Statistica. Esercitazione 3 5 maggio 2010 Serie storiche. Connessione e indipendenza statistica

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1 Corso di Laurea in Scienze dell Organizzazione Facoltà di Sociologia, Università degli Studi di Milano-Bicocca a.a. 2008/2009 Statistica Esercitazione 3 5 maggio 2010 Serie storiche. Connessione e indipendenza statistica Esercizio 1 - Serie temporali In tabella 1, è riportata la serie storica degli incidenti stradali rilevati dalla Polizia Municipale del Comune di Monza: Anno Incidenti stradali Tabella 1: Incidenti stradali nel Comune di Monza 1. Calcolare i numeri indice a base fissa (anno base: 2000) e a base mobile; le variazioni temporali percentuali, commentando i risultati

2 2. Calcolare il tasso di variazione medio annuo, verificando che non è uguale alla media aritmetica delle variazioni percentuali annue 1. Si ha: NI (a base fissa) = x t 100 x 1 t = 1,..., T NI (a base mobile) = x t 100 x t 1 t = 2,..., T In tabella sono riportati i numeri indice a base fissa e mobile e le relative variazioni percentuali. Anno t N incidenti NI b.f. var.% NI b.m. var.% I risultati - ultima colonna - evidenziano come, a parte l aumento di incidenti registrato tra il 2000 e il 2001, in tutti gli anni successivi si assiste ad una loro diminuzione, che è massima tra il 2004 e il 2005 ( 8%). 2. Il tasso di variazione medio annuo è dato da ( T 1 ν = ) ( ) 6 x 7 /x = 1713/ = 4.15% ed è diverso dalla media aritmetica delle variazioni percentuali annue: 1 ( ) = 4.05% 6 Esercizio 2 - Serie temporali Sia X t il prezzo in euro di un certo bene nell anno t (anno base: 2002 t = 1). Completare la seguente tabella inserendo i valori corretti: Anno t prezzo NI base fissa NI base mobile ? 104.0? ? 107.5? ?? ? 109.0? 2

3 Calcolare il tasso di variazione medio annuo. x 2 si può calcolare tenendo conto che è 1NI 2 = x 2 x = 104 x 2 = x 1 1NI = = 260 x 3 si può calcolare tenendo conto che è 1NI 3 = x 3 x = x 3 = x 1 1NI = x 4 si può calcolare tenendo conto che è 3NI 4 = x 4 x = 98.6 x 4 = x 3 3NI = 265 x 5 si può calcolare tenendo conto che è 1NI 5 = x 5 x = 109 x 5 = x 1 1NI = I numeri indice a base fissa e mobile mancanti si calcolano poi utilizzando le note formule dirette già viste negli esercizi precedenti. La tabella completa è: Anno t prezzo NI base fissa ( 1 NI t ) NI base mobile ( t 1 NI t ) Il tasso di variazione medio annuo si ricava come: ( T 1 ν = ) ( ) 4 x 5 /x = 272/ = +2.18% 3

4 Esercizio 3 - Connessione Un sondaggio effettuato su un campione di abitanti di un comune relativo alla possibile costruzione di una pista ciclabile ha dato i seguenti risultati: X,Y f c n M F (M = maschio, F = femmina, f = favorevole, c = contrario, n = non sa o non risponde ). Calcolare le frequenze marginali, condizionate e attese nel caso di indipendenza tra le due variabili. Verificare se X e Y sono indipendenti: in caso contrario, calcolare l indice di connessione (e normalizzarlo). Nella seguente tabella sono riportati i valori delle frequenze assolute marginali per X (ultima colonna) e Y (ultima riga). X,Y f c n f i M F f j Le due prossime tabelle riportano, invece, i valori delle frequenze (relative) condizionate di Y dato x i e di X dato y j. X,Y f c n M F X,Y f c n M F Le frequenze assolute attese nel caso di indipendenza tra X e Y si calcolano con la formula: Ad esempio, f ij = f i f j N f 11 = f 1 f 1 N per ogni i = 1,..., k = 35 35/75 = 16.3 j = 1,..., h 4

5 f12 = f 1 f 2 = 35 25/75 = 11.7 N e così via. Si ottiene, alla fine, la seguente tabella delle frequenze teoriche (o attese) in caso di i.s. (tabella teorica di i.s.): X,Y f c n fi = f i M F f j = f j X e Y non sono indipendenti: infatti, le frequenze congiunte f ij non sono tutte uguali alle frequenze teoriche fij: per esempio, f 11 = = f11. Si poteva giungere alla stessa conclusione anche osservando le distribuzioni di frequenze condizionate, per esempio, di Y dato x i, i = 1, 2: essendo diverse, non c è indipendenza tra X e Y. E possibile a questo punto calcolare l indice di connessione, utilizzando la formula k h f χ 2 ij 2 = N ( 1) f i f j i=1 che coi nostri dati dà luogo a ( ) 15 χ 2 2 = Essendo poi = = 3.06 j=1 N min {h 1, k 1} = N min {1, 2} = N 1 = N si ha che l indice di connessione normalizzato è pari a χ 2 = χ 2 N min(h 1, k 1) = χ2 N = che indica pertanto un grado di connessione molto basso tra le due variabili in esame. In alternativa, è possibile calcolare l indice Chi Quadro partendo direttamente dalla sua definizione: k h (f χ 2 ij f ij ) 2 = i=1 j=1 f ij = = 3.02 che coincide (solo alla prima cifra decimale a causa delle approssimazioni introdotte nel calcolo delle frequenze teoriche) col valore calcolato in precedenza. 5

6 Esercizio 4 - Connessione (Titanic) La seguente tabelle a doppia entrata riassume i dati relativi al disastro del Titanic (15 aprile 1912): i passeggeri sono suddivisi in base al loro status ( sopravvissuto o morto) ed alla loro classe di imbarco ( prima, seconda, terza, equipaggio). Classe morti sopravvissuti prima seconda terza equipaggio Tabella 2: Dati relativi al disastro del Titanic: classe vs status. Discutere la connessione tra status e classe d imbarco con un opportuno indice statistico. (Per i dati completi, si veda la tabella 6) Completiamo la tabella con le frequenze marginali di riga e di colonna (tabella 3). Classe/Status morti sopravvissuti f i prima seconda terza equipaggio f j Tabella 3: Tabella a doppia entrata: frequenze congiunte e marginali L indice di connessione Chi Quadro può essere calcolato come ( 4 ) 2 f χ 2 ij 2 = N 1 f i f j i=1 ( 122 χ 2 2 = ) = = j=1 6

7 L indice Chi Quadro normalizzato è pari a χ 2 = χ 2 N min(h 1, k 1) = χ 2 N min(4 1, 2 1) = χ2 N = quindi la connessione tra le due variabili è piuttosto bassa. A partire dalla tabella 6, si possono costruire altre due tabelle a doppia entrata: Età Morti Sopravvissuti Totale Bambini Adulti Tabella 4: Tabella a doppia entrata età/status Sesso Morti Sopravvissuti Totale Uomini Donne Tabella 5: Tabella a doppia entrata sesso/status Si può verificare che l indice di connessione normalizzato tra status e età (adulti/bambini) è pari a , mentre calcolato tra status e sesso (uomini/donne) è pari a In conclusione, la variabile status risulta più connessa alla variabile sesso. 7

8 Morti Sopravvissuti Classe Sesso Età 1a Uomini Bambini 0 5 Adulti Donne Bambini 0 1 Adulti a Uomini Bambini 0 11 Adulti Donne Bambini 0 13 Adulti a Uomini Bambini Adulti Donne Bambini Adulti Equipaggio Uomini Bambini 0 0 Adulti Donne Bambini 0 0 Adulti 3 20 Totale Tabella 6: I dati completi del disastro del Titanic 8

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