Il calcolo delle pavimentazioni stradali ha originato una molteplicità di metodi che possono essere raggruppati in:

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1 1. Metodi e fattori del dimensionamento 2. Il traffico come elemento di progetto 3. Influenza della temperatura 4. Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali 5. Il metodo di Ivanov o della massima deflessione 6. Metodo agli elementi finiti 7. Analisi dello stato di sforzo e deformazione 8. Verifica a fatica 9. Metodo AASHTO 1. Metodi e fattori del dimensionamento Il calcolo delle pavimentazioni stradali ha originato una molteplicità di metodi che possono essere raggruppati in: Metodi empirico-sperimentali sperimentali: derivano dalle indagini condotte su piste sperimentali e dalle correlazioni tra le deformazioni o i decadimenti misurati sulla pista con le condizioni di carico imposte (numero e peso degli assi), gli spessori degli strati, le caratteristiche dei materiali e dei sottofondi. I risultati vengono presentanti come abachi, tabelle e equazioni interpolanti i dati sperimentali e utilizzabili in fase progettuale. Il metodo empirico per eccellenza è quello proposto dall AASHTO che, a partire dagli anni 60, ha messo a punto un espressione analitica che interpreta una notevole serie di misure sperimentali. L espressione è stata recentemente ( 93) aggiornata introducendo alcune importanti modifiche che la rendono più razionale (alcuni coefficienti possono essere ricavati direttamente dalle teoria della meccanica del continuo) e innovativa con l introduzione del modulo resiliente per caratterizzare il sottofondo e, soprattutto, del concetto di affidabilità Metodi semi-empirici: empirici: derivano da un analisi teorica semplificata all interno della quale vengono introdotti parametri e coefficienti correttivi per ottenere la massima rispondenza tra il modello teorico e i dati misurati. Tra questi si ricordano il metodo di del CBR, di Goldbeck e dell Indice di gruppo. Metodi razionali: i metodi precedenti hanno il pregio di derivare da indagini sperimentali ma cadono in difetto poiché non consentono di tener conto di molti parametri come la frequenza di carico, la temperatura, le condizioni di vincolo, il reale comportamento elasto-plasto-viscoso dei materiali, la direzione e dinamicità dei carichi, etc. Tra i metodi razionali hanno grande importanza il metodo del multistrato elastico (del quale verrà analizzata un applicazione proposta da Ivanov) e più recentemente il metodo agli elementi finiti FEM. Il primo, ricorre ad una serie di ipotesi semplificative, per dedurre alcune semplici equazioni risolubili in modo iterativo. Nel metodo FE si rinuncia alla precisione assoluta dei risultati al di fuori dell elemento finito ma in compenso non esistono limitazioni nell analizzare qualunque configurazione di carico, di materiali, vincoli, etc., anche le più bizzarre. 1

2 1. Metodi e fattori del dimensionamento Molto utili in fase di predimensionamento risultano essere i cataloghi delle pavimentazioni, che propongono una serie di soluzioni preordinate in funzione dell entità del traffico, dei sottofondi, della tipologia di sovrastruttura e strada. In Italia è stato redatto dal CNR il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali BU 168/95. Tutti i metodi di dimensionamento Considerano, come dati di ingresso, i seguenti parametri: Spessore degli strati (s i ) Caratteristiche dei materiali (a i,d i,e i, i,etc.) Vita utile (n, N u,etc.) Caratteristiche del sottofondo (CBR, K, M d,m r,etc.) Caratteristiche degli assi (C eq,p,d,etc.) Entità del traffico (TGM, p%, p l,n a,p d,n,r,etc.) Sollecitazioni termiche (T, T m,etc.) Condizioni ambientali (pioggia, vento, irragg., etc.) Decadimenti, sforzi e deformazione limite ( n, n, PSI, fatica, freccia limite, etc.) n (1 r) 1 N 365TGM pd p pl d Ceq na r 2 pa 1 ns 1 8 f arc tan n 8 2 2a 3 E 0 3 PSI log logw Z S 9.36log SN R logM R SN 1 2. Il traffico come elemento di progetto Il dimensionamento di una sovrastruttura stradale oltre che dalla portanza dl piano di posa del sottofondo e dalla resistenza meccanica dei singoli strati, dipende dalla composizione e dalla entità del traffico, valutato tra l entrata in esercizio e il termine della vita utile dell infrastruttura. L analisi completa del traffico dovrebbe tenere conto oltre che del numero ed entità dei cicli di carico, anche delle fluttuazioni giornaliere e stagionali, della composizione degli assi dei differenti veicoli, delle variazioni di velocità. Tale operazione rappresenta un impegno non indifferente se condotta su un arteria esistente e diviene molta complessa ed incerta se occorre proiettarla nel futuro. L applicazione di modelli verificati attraverso approfondite ed estese indagini può risultare di grande aiuto mantenendo però larghi margini di approssimazione, in particolare per quanto riguarda la composizione del traffico pesante. Infatti, al fine del dimensionamento, risultano fondamentali le sollecitazioni dovute al passaggio degli autocarri, rispetto alle quali possono essere ritenute trascurabili quelle dovute al traffico leggero (autovetture) anche se questo è di gran lunga più elevato come entità numerica. Occorre anche tener presente che i mezzi pesanti esercitano la propria azione in modo diverso a secondo del carico massimo raggiungibile ed in relazione alla distribuzione di tale carico sui differenti assi e ruote. Le sollecitazioni risultano più gravose quando sono ripetute, quando le ruote passano sempre sullo stesso punto; nella realtà ciò non si verifica esattamente, ma in genere si riscontrano dispersioni rispetto alla traiettoria media che dipendono oltre che da fattori soggettivi, dalla larghezza dell area di impronta, dalla larghezza delle corsie, dai volumi di traffico, etc. Il primo aspetto che occorre considerare è quello di sapere quale è il numero medio di assi n a per veicolo pesante. In una indagine svolta presso il RRL, si è pervenuti ai seguenti valori: 2

3 2. Il traffico come elemento di progetto Il prodotto di tali coefficienti per il numero di veicoli commerciali che transitano è facilmente ottenibile il numero di assi cercato. Viene definito dalle norme CNR (Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali) veicolo commerciale quello con massa complessiva maggiore di 3 t. Al fine di rendere più semplice il calcolo si sono sviluppati in passato diversi metodi che trasformano i generici assi in assi equivalenti standard. In Italia attualmente l asse standard di riferimento è un asse singolo a ruote gemellate di 12 t, anche se il Catalogo delle Pavimentazioni, non fa esplicito riferimento ad esso ma fornisce gli spettri di traffico commerciale per diverse categorie di veicoli. Al fine della verifica statica della sovrastruttura interessa conoscere quale sarà il massimo carico che transiterà su di essa. Questo può essere individuato nella configurazione dei carichi eccezionali (60 t su 3 assi gemellati) come previsti dal D.M. LL.PP. del per il progetto strutturale dei ponti stradali. I metodi di calcolo sviluppati fanno riferimento talvolta (Biroulia-Ivanov) al numero N di passaggi di assi standard per giorno sulla corsia di marcia normale in un giorno dell ultimo anno di vita utile, altre volte al numero An annuale all anno n-esimo. Al fine di verificare la sovrastruttura nei confronti dell instaurarsi di possibili fenomeni di fatica, legati al ripetersi dei carichi, interessa invece conoscere il numero Nc cumulato di cicli ilidi carico che si verificherà lungo tuttott l arco dll della vita utile. Per poter valutare i valori cumulati a partire da valori attuali occorre ipotizzare il tasso di accrescimento del traffico; generalmente in assenza di sperimentazione diretta si assume 3%. Detto Ng il numero di assi giornalieri all anno iniziale, n il numero di anni di vita utile ed r il tasso di accrescimento, il numero di assi cumulato che sono transitati fino all anno n vale: N c 365 N g 1 r r n 1 mentre il numero di assi transitati all anno n sarà: A n n 365 N g 1 r 2. Il traffico come elemento di progetto Nel catalogo delle pavimentazioni si è deciso di far riferimento alle condizioni reali anziché ricorre al concetto di carico su ruota singola equivalente. Ciò in linea con le più recenti tendenze affermatesi in ambito internazionale, secondo le quali è opportuno scoraggiare il ricorso, nel dimensionamento a fatica con il metodi di calcolo razionali, al concetto di numero equivalente complessivo di ripetizioni di assi di progetto; infatti l affidabilità dei coefficienti di equivalenza tra i carichi per asse è assai scarsa. Quelli proposti nell AASHTO Guide, differenziati per il tipo di asse, in funzione dell indice PSI e della costituzione strutturale della pavimentazione rappresentano un valido tentativo di approfondimento. Il valore del coefficiente di equivalenza varia infatti nello spazio e nel tempo, essendo legato alla risposta strutturale della sovrastruttura ai carichi esterni, che come è noto varia al variare della temperatura, del grado di umidità, del grado di affaticamento dei materiali e della loro resistenza meccanica. Nello sviluppo del catalogo delle sovrastrutture si è deciso di partire dal dato disaggregato, rappresentato dalla suddivisione del traffico in classi di veicoli, ciascuna delle quali caratterizzata da un veicolo tipo avente ben definiti tipo e numero di assi e di ruote, di pressione di gonfiaggio e carichi per asse. 3

4 2. Il traffico come elemento di progetto Con riferimento ad esempio ad una tipica realtà stradale in Italia nella figura sono indicate le diverse classi di veicoli presenti nel traffico, gli assi e i carichi. Le 16 tipologie mostrate sono assunte anche dal Catalogo dll delle Pavimentazioni i i come rappresentative ti del traffico commerciale. 2. Il traffico come elemento di progetto La relazione tra carico per ruota e superficie dell area di contatto (funzione della pressione di gonfiaggio) è illustrata dipende oltre che dalla pressione di gonfiaggio dalle caratteristiche del battistrada e dell asse. Occorre fare svolgere qualche considerazione per quanto riguarda le prime due categorie di carichi, relative a carichi eccezionali e mezzi d opera. Con questi viene impostata una verifica preliminare a rottura in modo da accertare che la pavimentazione sopporti almeno un passaggio di questi carichi. Il carico eccezionale, come già accennato, è stato assunto il mezzo convenzionale da 60 t a 3 assi, aventi caratteristiche riportate in figura. 4

5 2. Il traffico come elemento di progetto I mezzi d opera sono invece automezzi di servizio per i quali la legge consente di superare i massimi carichi per asse legale. Il valore del carico indicato per questi ultimi corrisponde ad una situazione estrema tra quelle possibili. Nelle verifiche a rottura vengono considerati o il carico eccezionale o i mezzi d opera, in funzione del tipo di strada in esame secondo quanto indicato in figura, con riferimento alla classificazione data dal nuovo codice della strada. 5

6 2. Il traffico come elemento di progetto Generalmente il dato di partenza è il traffico giornaliero medio TGM, che transita o si presume transiterà nell infrastruttura nel primo anno di vita utile. Questo viene corretto per tener conto: 1. l evoluzione del traffico nel corso degli anni (r). È evidente che è estremamente difficile poter prevedere l esatta evoluzione, ma in genere si assiste ad tassi di crescita maggiori nei primi anni che si riducono nel tempo. In mancanza di dati più precisi si può assumere un tasso compreso tra il 2 3%nelprimoperiododivitautile,1 2% nel medio periodo di vita utile e 1% nell ultima parte; 2. la distribuzione del traffico per senso di marcia (p d ). In genere si può assumere che il TGM si suddivida equamente nelle due direzioni. In particolarisituazioni,legateafenomenidipendolarismosipuòverificareuna diversa suddivisione (70% in un senso, 30% nell altro); 3. la percentuale di veicoli commerciali (p). Questa varia da valori nulli se il transito è interdetto a questa categoria di mezzi, fino ad assumere valori del 30 40%. Valori medi sono compresi intorno tra 10 15%; 4. Percentuale di traffico commerciale che transita nella corsia lenta (p l ). Non tutti i veicoli definiti commerciali transitano nella corsia lenta; parte di questi, soprattutto quelli con minori carichi per asse, raggiungono velocità tali da impegnare anche le altre corsie. Di ciò si tiene conto ipotizzando che generalmente il 95% di tutti i veicoli commerciali transiti sulla corsia lenta; 5. la dispersione delle traiettorie (d t ). La traiettoria seguita dalle ruote, come già accennato, non è sempre la stessa, ma si disperde nell intorno di una valore medio. Si tiene conto di ciò riducendo, in genere del 20%, il TGM; 6. Coefficiente di equivalenza e la distribuzione dei carichi del traffico commerciale. I veicoli che compongono la corrente veicolare non hanno gli stessi carichi per asse e, quindi, determinano livelli di sollecitazione differenti. Per poter rendere uniforme i risultati spesso si ricorre al concetto di asse equivalente a cui riferire tutti gli altri. Il legame di equivalenza è espresso in termini di danno o di deflessione prodotta e la progressione al crescere del carico non è semplicemente lineare ma di tipo esponenziale. Yoder ha proposto un espressione del tipo C eq =2 0.78(x-y) dove x è il peso dell asse in esame ed y il peso dell asse equivalente standard. Altra espressione molto diffusa è la cosiddetta legge della 4 a potenza C eq = (x/y) 4 7. il numero medio di assi di un generico veicolo commerciale. Questo è compreso tra 2 e 5. Se si tiene conto della distribuzione delle differenti classi di veicoli commerciali, si può assumere un valore compreso tra 2.25 e Il traffico come elemento di progetto È bene precisare che con corsia lenta si intende o la corsia destra di marcia normale o, se presente, la corsia di arrampicamento, quando la pendenza della livelletta e la percentuale di veicoli pesanti la rendono necessaria. Il numero N di assi cumulati alla fine della vita utile potrà determinarsi moltiplicando i TGM per i parametri suddetti: Il numero N n g di assi che transitano in un (1 r) 1 giorno all inizio della vita utile vale: N c 365 TGM p d p p l d C eq n a r N g TGM pd p pl d Ceq na mentre in un giorno dell ultimo anno della vita utile: n Ng TGMpdppldCeqna ( 1r) N.B. Il traffico in realtà è composto da una molteplicità di assi. Sarà pertanto necessario conoscere la sua composizione percentuale e procedere a una stima media ponderata come meglio precisato più avanti. Se, ad esempio, si assumono i seguenti valori: n = 20 r = 0.03 TGM = asse equivalente 12 t asse medio 8.5 t C eq = (8.5/12)^4 =0.252 (legge della 4 a potenza) p d = 0.50 p = 0.25 n a =2.5 p l =0.95 d t =0.80 N c 20 (1 0.3) Il dato di ingresso del traffico all interno del Catalogo Italiano delle Pavimentazione è il numero di veicoli commerciali cumulato VC c durante la vita utile. Esso vale: 20 (1 0.3) 1 VC c

7 2. Il traffico come elemento di progetto Si voglia stimare il numero N di passaggi di assi da 12 t che saranno transitati al termine della vita utile di un infrastruttura per la quale si ha: Spettro degli assi TGM = p d = 0.50 p = 0.15 p l = 0.95 d = 0.80 Peso asse in t frequenza % n a = 2.5 n = 30 r = % 6 28% Il coefficiente di equivalenza può essere determinato, in 8 19% alternativa ti alla legge dll della 4 a potenza, con l espressione 10 10% proposta da Yoder: 12 5% il numero N di passaggi di assi da 12 t che saranno transitati al termine della vita utile sarà: 30 (1 0.02) 1 N c mentre il numero Ng di assi per giorno nell ultimo anno di vita utile vale: N c (1 0.02) Il traffico come elemento di progetto È possibile stimare, sulla base delle tab.2 e tab.3 del Catalogo delle Pavimentazioni Stradali il numero di assi medio per veicolo commerciale e il relativo coefficiente di equivalenza medio ponderato per ciascuna categoria di strada. Moltiplicando ciascuna colonna della matrice, che contiene le frequenze dei 16 diversi tipi di veicoli, per il numero di assi, che compongono il tipo di veicolo, si ottiene il contributo alla media ponderata di ciascuna classe. Si ottiene la matrice seguente, nella quale l ultima colonna è la somma di tutti gli elementi di una riga 7

8 2. Il traffico come elemento di progetto Per valutare il coefficiente di equivalenza medio ponderato del generico veicolo commerciale che transita su ciascun tipo di strada occorre conoscere il coefficiente di equivalenza di ciascun asse rispetto all asse standard (12 t). Utilizzando i valori proposti da Yoder e quelli derivanti dalla legge della 4 a potenza si ha: È possibile ottenere il valore cercato moltiplicando la frequenza per la somma dei coefficienti di equivalenza degli assi presenti nel generico veicolo. Si considerino, ad esempio, le corsie preferenziali (tipo strada 8) nella quale si ipotizzano presenti gli autobus di tipo 14 (1 asse da 4 t + 1 asse da 8 t) con una frequenza del 47%, e di tipo 15 (1 asse da 6 t + 1 asse da 10 t) con frequenza 53%, si ha: (C +C eq4 eq8 ) 0.47+(C +C eq6 eq10 )0.53 =( )0.47+( +( )0.53 = Il traffico come elemento di progetto I valori riportati nella tabella a lato rappresentano già il valore del prodotto C eq n a. Se, ad esempio si verifica: TGM = p d = 0.50 p = 0.15 p l =0.95 d=0.80 n=30 r=0.02 ilnumerondipassaggicumulatopergli8 differentitipidistradavale: E evidente come il diverso spettro di veicoli che transitano nei differenti tipi di strada determina un carico di assi equivalenti estremamente diverso. 8

9 2. Il traffico come elemento di progetto Esempio: strada extraurbana a forte traffico tipo tipo B : Traffico giornaliero medio TGM = Numero di giorni commerciali per anno gg= 365 Aliquota di traffico per direzione più carica pd = 0.50 Aliquota di veicoli commerciali p = 0.15 veicoli commerciali sulla corsia di marcia normale pl = 0.95 Coefficiente di dispersione delle traiettorie d = 0.80 Numero medio di assi per veicolo commerciale na = 2.5 Vita Utile in anni n = 30 Tasso di accrescimento del traffico durante la vita utile r = 0.03 Spettro di traffico (1 0.03) Nc t

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11 3. Influenza della temperatura Lo studio dell influenza della temperatura sulle pavimentazioni stradali viene condotto in maniera differente a secondasitrattidisovrastrutturerigide(rigidetradizionali indicate in genere con la sigla RG, o rigide continue RC), semirigide (SR) o flessibili (F). Nelle prime il parametro che interessa in maggior misura è il gradiente di temperatura tra le facce superiore e inferiore delle lastra in calcestruzzo. Questo fa si che la lastra si ingobbi, mentre la temperatura media della sovrastruttura non modifica in modo apprezzabile le caratteristiche meccaniche del calcestruzzo. Viceversa nelle pavimentazioni flessibili (F) e semirigide (SR) il parametro fondamentale è la temperatura media dello strato, che modifica le caratteristiche reologiche dei materiali costituenti data la loro elevata suscettibilità termica. Difficoltà si incontrano nel voler estendere i metodi tradizionali alla risoluzione di pavimentazioni rigide continue (RG), nel caso di contemporanea presenza di gradienti termici e carichi da traffico. Il Catalogo delle Pavimentazioni fa riferimento per le sovrastrutture flessibili e semirigide a condizioni climatiche di progetto caratteristiche dell Italia Centrale, mentre per quelle rigide alla situazione tipica dell Italia Settentrionale per tenere conto della maggiore sensibilità di questo tipo di sovrastruttura ai valori massimi di sollecitazione. In assenza di dati relativi alle condizioni climatiche del sito dell opera è possibile far riferimento ai valori di cui alle seguenti tabelle. 11

12 3. Influenza della temperatura Per poter procedere alla verifica a fatica, in particolare per le sovrastrutture rigide, occorre conoscere oltre ai suddetti dati anche le frequenze con cui i diversi gradienti termici si presentano. Questa informazione viene rappresentata in modo sintetico da curve di frequenza cumulata. Queste potranno essere valutate sperimentalmente sulla base dell andamento delle climatico del sito, oppure attraverso opportuni modelli matematici. 3. Influenza della temperatura Influenza delle variazioni termiche sul dimensionamento delle pavimentazioni flessibili e semirigide. Il conglomerato bituminoso è, come già più volte sottolineato, un materiale visco-elastico le cui caratteristiche meccaniche risultano notevolmente influenzate dalle condizioni termiche, è perciò opportuno mettere in relazione le proprietà reologiche del bitume con lo studio della variazione termica negli strati della pavimentazione in relazione a quella esterna. Le variazioni giornaliere si mantengono in genere entro limiti abbastanza contenuti ( C), per cui si possono ritenere ininfluenti sulle caratteristiche meccaniche degli strati superficiali, anche se data l elevata frequenza determinano fenomeni di invecchiamento e fatica. Le variazioni stagionali, oltre a presentarsi con una notevole escursione (40-50 C) avvengono gradualmente e perciò causano una modifica del comportamento meccanico del bitume. Nella stagione estiva la riduzione dei valori dei moduli degli strati superficiali determina, al passaggio dei carichi, un aumento degli scorrimenti e delle deformazioni permanenti, che accumulandosi determinano irregolarità più o meno estese e profonde (ormaie). In tal caso si riscontra un aumento delle tensioni massime sul piano di posa della sovrastruttura. La verifica andrebbe fatta considerando la massima deflessione. Nella stagione invernale e il valore del modulo o dei conglomerati o bituminosi aumenta sensibilmente, s e e, per cui gli strati bitumati assumono un comportamento a piastra. Di conseguenza aumenta la tensione negli strati superiori mentre si riduce quella sul sottofondo. La verifica viene condotta considerando le tensioni massime di trazione negli strati bitumati da confrontare con i valori ammissibili. Occorre dunque conoscere l andamento delle temperature esterne durante l anno, così da poter scegliere la temperatura da assumersi nel periodo estivo e in quello invernale. Ai fini della progettazione delle pavimentazioni flessibili interessa conoscere il valore assoluto di E * alle varie temperature e frequenze, perché da esso dipende l ampiezza delle deformazioni degli strati bitumati. Per i relativi valori numerici assunti dal modulo complesso si rimanda a quanto già illustrato per le miscele bituminose. 12

13 3. Influenza della temperatura Oltre a conoscere come i moduli dei conglomerati bituminosi variano in funzione della temperatura è necessario sapere a quale temperatura si trovano in esercizio. In genere si verifica che la superficie di una pavimentazione stradale durante il giorno viene riscaldata dal sole per irraggiamento raggiungendo abbastanza rapidamente un temperatura notevolmente superiore a quella dell aria circostante. Il calore assorbito si trasmette agli strati sottostanti della sovrastruttura nei quali, dopo il tramonto del sole, la temperatura pur inferiore, anche di molto, a quella degli stati superficiali rimane ben al di sopra di quella dell aria. Durante la sera e la notte il piano viabile, non più soggetto a irraggiamento, acquista rapidamente la temperatura dell aria, assumendo una temperatura inferiore a quella degli strati più profondi, ciò determina un trasferimento di calore dal basso verso l alto che prosegue fino al mattino successivo. Questo andamento è mostrato nelle curve in figura, le quali forniscono i valori delle temperatura a diverse profondità misurati su un tronco sperimentale in 3 stagioni differenti, in diversi orari della giornata. 3. Influenza della temperatura Influenza delle variazioni termiche sul dimensionamento delle pavimentazioni rigide tradizionali. Le variazioni di temperatura e di umidità possono generare nelle pavimentazioni in calcestruzzo uno stato tensionale anche in assenza dei carichi esterni. Istante per istante la temperatura interna delle lastre ha un andamento del tipo di quello indicato nella figura. Tale distribuzione si può pensare come somma di 2 contributi: una temperatura media uniforme su tutto lo spessore conseguente alla lenta variazione stagionale della temperatura media dell aria; una temperatura variabile nello spessore e nel tempo conseguente alle variazioni giornaliere della temperatura dell aria. Nel caso di variazioni stagionali, che si manifestano in maniera graduale senza dar luogo a dei gradienti termici apprezzabili, la struttura viene influenzata in maniera uniforme per tutto spessore, con conseguenti fenomeni di dilatazione e contrazione, che se contrastati determinano l insorgere di uno stato tensionale. Nelle pavimentazioni tradizionali calcestruzzo vengono realizzati giunti di dilatazione e contrazione, che hanno la funzione di evitare eccessivi stati tensionali e la fessurazione conseguente ai cambiamenti stagionali di temperatura. Anche in caso di libera dilatazione o contrazione queste sono parzialmente impedite dall attrito tra la superficie inferiore della piastra e la relativa fondazione. Nel caso di contrazione la massima tensione di trazione sulla faccia inferiore vale: se L è la lunghezza della piastra, f il coefficiente di attrito tra piastra e piano di posa, e il peso specifico del calcestruzzo. 1 2 Lf Se si considera una lastra di 7 m con = 2500 Kg/m 3 e f= si ha una tensione = Kg/cm². Con una lastra di 10 m gli sforzi normali diventano = Kg/cm². In questo caso il fenomeno è poco rilevante rispetto alle tensioni massime ammissibile nel calcestruzzo (per un R CK 300 sono tollerate = 97.5 Kg/cm²). 13

14 3. Influenza della temperatura In estate, la dilatazione impedita delle lastre produce all interno della pavimentazione uno stato sollecitazione di compressione. Questa non raggiunge quasi mai valori pericolosi; al contrario essa ha effetti benefici in quanto riduce l entità delle sollecitazioni risultanti dall applicazione dei carichi di traffico e dalle variazioni giornaliere di temperatura. La rottura a compressione della pavimentazioni in corrispondenza dei giunti può diventare un effettivo pericolo soltanto nel caso di lastre sottili (spessore inferiore i a 18 cm), piuttosto t lunghe (lunghezza maggiore di 5 m) enel caso di stesa invernale, con temperature molto basse. In inverno per effetto della diminuzione della temperatura dell aria, la pavimentazione tende a contrarsi e le sollecitazioni di trazione che si sviluppano nel calcestruzzo a causa dell attrito con il piano di posa possono raggiungere valori tali da causare fessurazioni nella pavimentazione. In realtà ciò e plausibile solo quando si tratta di lastre molto lunghe, con una lunghezza quasi mai critica ai fini del dimensionamento, essendo assai più limitative le condizioni conseguenti alle sollecitazioni termiche giornaliere. La lunghezza delle lastre che potrebbe determinare la rottura per trazione del calcestruzzo è fornita esplicando la precedente espressione analitica rispetto alla lunghezza e introducendo per la tensione la resistenza a trazione del calcestruzzo: 2 L rt max f Assumendo per rt un valore di 35 Kg/cm², per il coefficiente di attrito un valore medio pari a 1.5 e per la densità = 2400 Kg/m 3 la lunghezza delle lastre necessaria perché lo stato di sollecitazione prodotto dalla contrazione impedita del calcestruzzo porti alla loro fessurazione è di circa 190 m. 3. Influenza della temperatura Le variazioni giornaliere, data la rapidità con cui si manifestano, fanno si che nella piastra di calcestruzzo la superficie superiore e quella inferiore si trovano a diversa temperatura. Nasce, quindi, un gradiente termico che determina l ingobbamento della piastra. Il peso proprio della piastra, l attrito con la fondazione e con i bordi delle piastre adiacenti, o il collegamento tra queste si oppongono a tali variazioni di curvatura, determinando l insorgere di tensioni di trazione nel calcestruzzo. Quando la temperatura della superficie superiore è maggiore di quella della superficie inferiore (situazione che si manifesta nelle ore diurne) le lastre assumono una deformata con curvatura rivolta verso il basso; durante la notte, invece, quando la temperatura della superficie superiore è minore di quella della superficie inferiore, la deformata termica presenta una curvatura rivolta verso l alto. La tendenza ad inflettersi è contrastata dal peso proprio delle lastre che tende a riportare le lastre stesse nella condizione indeformata; di conseguenza si instaurano stati tensionali di trazione e compressione variabili nel tempo al variare della temperatura dell aria. In particolare: nel caso a di figura precedente, nel quale il gradiente di temperatura t=t/h tra le facce della lastra viene definito positivo, le fibre tese sono quelle della superficie superiore delle lastre; nel caso b invece, quando t<0, le fibre tese sono quelle della superficie inferiore. La distribuzione delle temperature all interno delle lastre ha in genere un andamento non lineare e quindi il valore del gradiente termico non è costante. Questo porta all instaurarsi nelle lastre ulteriori stati tensionali interni aventi segno opposto a quelli prodotti dall ingobbamento termico impedito della lastra ed aventi un valore che, in prima approssimazione, può essere assunto apri al 30% di questi ultimi. 14

15 3. Influenza della temperatura I massimi valori dei gradienti termici si manifestano durante il giorno, intorno alle ore 13-14, in primavera o in estate. Durante la primavera infatti il sottofondo è freddo e le lastre esposte al sole si riscaldano più rapidamente del La sottofondo, mentre in estate l irraggiamento solare provoca un notevole aumento della temperatura della superficie superiore delle lastre. I massimi gradienti termici positivi riscontrati nei climi europei, per pavimentazioni di tipo stradale dello spessore di cm, assumono valori compresi tra 0.70 e 0.85 C/cm. Aumentando lo spessore della pavimentazione il valore massimo del gradiente termico positivo diminuisce secondo la legge riportata in figura. I massimi gradienti termici negativi (faccia superiore più calda di quella inferiore) assumono in genere valori pari al 30% 50% dei gradienti termici positivi ( C/cm). Per quanto riguarda il calcolo delle sollecitazioni termiche nell ipotesi di gradiente termico costante lungo lo spessore della lastra, si può far riferimento alle relazioni proposte da Bradbury che ha ripreso rielaborandoli concetti già elaborati da Westergaard. sollecitazioni termiche ET w C 1 al bordo delle lastre 2 sollecitazioni termiche ET w C C al centro delle lastre 21 ( ) ( ) dove C 1 e C 2 sono forniti dal seguente diagramma in funzione della dimensione parallela e perpendicolare alla w calcolata 3. Influenza della temperatura Nella precedente figura L x e L y rappresentano la lunghezza e larghezza delle lastre ed l è il raggio di rigidità relativa, fornito dalla seguente espressione: 3 E = modulo di elasticità Es s = spessore della lastra l ( 1 ) K = coefficiente di Poisson K = modulo di reazione Recentemente Eisenmann ha sviluppato un nuovo metodo di calcolo mediante il quale viene chiaramente messa in evidenza la dipendenza del valore delle sollecitazioni termiche dalle dimensioni delle lastre. Mediante il concetto di lunghezza critica, definita come quella lunghezza in corrispondenza della quale la freccia della deformata termica dovuta alla presenza di un gradiente termico positivo e costante, è uguale a quella provocata dal peso proprio, ipotizzando la lastra appoggiata gli estremi. Eisenmann ha dimostrato che per controllare e ridurre le sollecitazioni da inflessione termica, occorre adottare lastre la cui lunghezza sia inferiore al 90% della lunghezza critica. 2 " L In questo modo la sollecitazione termica 40 ET w è fornita dalle seguente espressione: 09. l 2( 1 ) crit. L è la lunghezza effettiva delle lastre ed l crit. è la lunghezza critica, il cui valore, a seconda si tratti di lastre quadrate ( L x /L y compreso tra 0.8 e 1.2), o rettangolare è dato dalle relazioni: lcrit. 22.8h Et quadr. lcrit. 20h Et rett. Dal punto di vista progettuale il metodo proposto da Eisenmann mette in evidenza l opportunità di utilizzare lastre di forma quadrata anziché rettangolare. Nella figura viene riportato un diagramma valido per il calcolo delle lastre quadrate con tale metodo. 15

16 3. Influenza della temperatura Il precedente diagramma è valido per lunghezze delle lastre inferiori al 90% della lunghezza critica. Esso fornisce, in per i massimi gradienti termici positivi, le sollecitazioni in funzione dello spessore e della lunghezza della lastra e del modulo di reazione del piano di posa. Nella figura è riportata una linea tratteggiata che esemplifica il modo con cui il diagramma deve essere utilizzato, nell ipotesi di uno spessore di 35 cm, una lunghezza di 6.00 m e per due moduli di reazione pari a 50 e 150 GPa/m. Nell ipotesi di piastra indefinita E E = Kg/cm² per cls; Westergaard fornisce per la massima sollecitazioni di trazione l espressione: 21 ( ) Occorre però sottolineare che l espressione fornisce valori superiori a quelli che in pratica si riscontrano sulle pavimentazioni tradizionali a lastre (36 Kg/cm²). Per superare questo limite alcuni Autori hanno proposto una relazione: 110 5o C 1 coeff. dilat. termica cls; = coefficiente di Poisson = massima variazione di temperatura tra intradosso ed extradosso della lastra. E 0 21 ( ) dove 0 rappresenta l ampiezza del ciclo termico in superficie e un coefficiente che dipende dallo spessore, dalla diffusività termica del calcestruzzo del periodo del ciclo e dalle condizioni di vincolo. In tal le tensioni assumono i valori in tabella: Occorre a questo punto osservare che è difficile che si verifichino esattamente le condizioni di vincolo perfette, di conseguenza le massime tensioni termiche di trazione non superano 67Kg/cm². 3. Influenza della temperatura Influenza delle variazioni termiche sul dimensionamento delle pavimentazioni in calcestruzzo ad armatura continua. Il notevole aumento dell entità dei flussi veicolari e dei carichi per asse ha imposto di fatto la ricerca di pavimentazioni stradali con migliori prestazioni strutturali. Si è cercato di migliorare la resistenza, la durabilità ma anche il comfort delle pavimentazioni rigide tradizionali. Si sono sviluppate così negli ultimi anni le pavimentazioni in calcestruzzo ad armatura continua. La funzione di questa è unicamente quella di assorbire gli sforzi derivanti dai fenomeni igro-termici, regolando la formazione delle inevitabili fessurazioni e mantenendo queste chiuse entro limiti ristretti. Essa non contribuisce alla resistenza alle azioni pressoflessionali è pertanto viene disposta longitudinalmente a semispessore della lastra. Ciò consente l eliminazione dei giunti di dilatazione e di contrazione presenti nelle pavimentazioni rigide tradizionali. In queste si è potuto constatare come proprio la presenza di tali giunti possa essere una delle principali cause di ammaloramento. In questo caso i metodi di verifica tradizionali cadono in difetto. Si ricorre a metodi più raffinati quale è il metodo agli elementi finiti, che consente la risoluzione anche nel caso accoppiato ossia la contemporanea presenza di sollecitazioni termiche e sollecitazioni derivanti dai carichi transitanti (asse standard da 12 t). 16

17 3. Influenza della temperatura Influenza dei fenomeni igrotermici durante la fase di presa del calcestruzzo. Durante la fase iniziale di presa, subito dopo il getto, e quella successiva di indurimento, si manifesta all interno del calcestruzzo uno stato di sollecitazione causato dai fenomeni di ritiro igrometrico o da deformazioni termiche impedite che, se non adeguatamente controllate, possono compromettere seriamente il comportamento della sovrastruttura. Una fessurazione intempestiva, l usura prematura della tessitura superficiale, la maggiore sensibilità all azione azione aggressiva di sali disgelanti e il raggiungimento di resistenza inferiori a quelle di progetto possono essere causate dall instaurarsi di eccessive sollecitazioni interne durante le prime ore dopo i getto del calcestruzzo. A questo si può ovviare assicurando una adeguata maturazione del calcestruzzo fresco e provvedendo alla tempestiva formazione dei giunti di contrazione. Il primo provvedimento si attua controllando il fenomeno della riduzione, per evaporazione, del contenuto d acqua del calcestruzzo fresco durante le prime ore dopo il getto e di evitare quindi il fenomeno della fessurazione diffusa da ritiro. Allo stesso scopo occorre evitare anche che il calcestruzzo perda acqua per assorbimento o percolazione negli strati sottostanti e proteggere la pavimentazione contro l irraggiamento solare e controelevatisbalziditemperatura.latempestivaformazionedigiuntidicontrazione,consentedicontrollareil fenomeno della fessurazione che si produce inevitabilmente in relazione alle sollecitazioni igrotermiche iniziali e al fatto che il calcestruzzo non ha assunto, se non in minima parte, la sua massima resistenza. Qualche ora dopo la stesa, anche in condizioniioni ambientali favorevoli oli (temperaturere non eccessive), e) il calcestruzzo della pavimentazione subisce una rilevante espansione per effetto delle elevate temperature sviluppate durante il processo di idratazione; con il passare del tempo, al diminuire del colore di idratazione prodotto e dell eventuale temperatura esterna (al tramonto del sole) il calcestruzzo subisce una contrazione che viene ostacolata dall attrito sul piano di posa e che porta quindi alla fessurazione della sovrastruttura. Il taglio dei giunti deve avvenire prima che questa si manifesti in maniera spontanea e irregolare così da farla avvenire in sezioni prestabilite che verranno successivamente impermeabilizzate mediante tecniche di sigillatura dei giunti. La rappresentazione analitica di questi fenomeni è assai complessa e per questo spesso si ricorre a valutazioni globali ed approssimate. Si è sperimentalmente riscontrato, ad esempio, che gli effetti prodotti dal ritiro in fase plastica possono essere in genere considerati equivalenti a quelli prodotti da una diminuzione uniforme di temperatura delle lastre di circa 10 C. 3. Influenza della temperatura Influenza delle sollecitazioni igrometriche. Per effetto della ineguale ripartizione dell umidità all interno delle lastre possono nascere stati di tensione, la cui valutazione risulta piuttosto ardua. In considerazione però della loro limitata entità e del fatto che esse agiscono, almeno nei nostri climi, in senso inverso a quello delle sollecitazioni termiche, il dimensionamento delle lastre prescinde in generale dalla loro considerazione, nella convinzione che ciò vada a favore della sicurezza. In estate, infatti, o nelle ore calde della giornata, l irraggiamento e la temperatura dell aria tendono a riscaldare e quindi a dilatare la faccia superiore delle lastre; ciò però avviene in concomitanza con una riduzione di umidità del materiale che viceversa tende a contrarre la faccia superiore. In inverso o di notte avviene il fenomeno inverso. Le sollecitazioni igrometriche intervengono attenuando quelle di natura termica. 17

18 4. Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali 4. Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali 18

19 4. Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali 4. Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali 19

20 4. Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali 20

21 4. Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali 4. Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali Ad esempio, per strade extraurbane principali a forte traffico, una sovrastruttura flessibile avrà gli strati superficiali di 5 e 6 cm, la base compresa tra 14 e 23 cm, la fondazione di 15 cm; nel caso sia di tipo semirigido lo strato di usura è di 5 cm, quello di collegamento variabile tra 5 e 11 cm, la base in misto bitumato assente o, se presente, fino a 10 cm, la base in misto cementato compresa tra 20 e 30 cm, la fondazione assente; infine se di tipo rigido sarà realizzata una lastra di cm armata o no, poggiata su di uno strato di misto socementatoe di 15 cm e una fondazione o di misto soga granulare uaedi 15 cm. Ciascun tipo di sovrastruttura è caratterizzato da meccanismi di rottura differenti. Per le sovrastrutture flessibili accade spesso che i fenomeni di fatica siano quelli che generalmente portano a collasso l infrastruttura. Questi si manifestano con fessure che, partendo dall interfaccia tra strato di base e fondazione, si propagano verso l alto sino ad interessare gli strati superficiali; con il progredire del fenomeno la miscela si degrada perdendo le caratteristiche meccaniche iniziali e riducendo la portanza dell intera opera. Per questo tipo di sovrastrutture è importante evitare l accumulo eccessivo di deformazioni plastiche con l insorgere di ondulazioni, buche e ormaie. Più rara è la rottura per punzonamento che si manifesta con uno sfondamento repentino della superficie viabile. Nelle pavimentazioni semirigide i fenomeni sono più complessi. Talvolta si assiste a una fessurazione diffusa riconducibile al basso contenuto di legante e all applicazione app dei carichi c quando ancora anon è completo o il processo di maturazione aua edelmateriale. ae ae Inaltri casi si assiste ad una fessurazione localizzata che si produce nel materiale a causa del ritiro e delle sollecitazioni termiche. Tali fessure sono regolarmente distribuite di ampiezza ed interasse costante, in funzione delle caratteristiche del materiale e delle condizioni climatiche in esercizio. Uno stato critico si verifica quanto tali fessure si propagano allo strato superiore di conglomerato bituminoso. Le pavimentazioni di tipo rigido in lastre di conglomerato cementizio manifestano una più varia gamma di ammaloramenti. La fessurazione delle lastre può essere conseguenza dai fenomeni di ritiro igrotermico, imputabile all eccessivo distanziamento dei giunti di contrazione. La insufficiente portanza del piano di posa della lastra determina una fessurazione estesa, con la formazione di blocchi separati, o in prossimità del giunto di fenomeni di fatica. 21

22 5. Metodo di Ivanov o della massima deflessione Negli anni sono stati messi a punto una serie di metodi razionali per il calcolo delle sovrastrutture che hanno come punto di partenza l impostazione data da Boussinesq. Una di queste metodologie particolarmente diffusa è dovuta a Ivanov e si basa sul criterio di limitare la massima deflessione che si verifica al termine della vita utile sulla pavimentazione. Il metodo si sviluppa dapprima attraverso la semplificazione delle espressioni proposte da Boussinesq, arrestando al primo p termine il loro sviluppo in serie. In particolare per le tensioni verticali sia ha: z z z 3 2a f E dz pa La freccia massima vale: 0 E 8/ 3 2 Il valore differisce da quello già calcolato per la 8 posto risulta 2 pa pd determinazione del modulo E valida per un carico 2 3 f trasmesso da piastra rigida. E E pa 2 f (1 ) 2 E Consideriamo ora un doppio strato: Il cedimento totale sarà la somma di quello dovuto allo strato t di spessore s 1 e di quello dll dell ammasso semiinfinito s1 1 f f f E dz 0 E dz 1 0 con z p nz a 0 1 ns Metodo di Ivanov o della massima deflessione È stato introdotto un parametro n di equivalenza tra il modulo E dell ammasso e il modulo E 0 1 dello strato 1 di spessore s 1. In altri termini il problema sarebbe ricondotto al caso di ammasso semi-infinito se fosse possibile sostituire allo strato 1 di modulo E 1 uno strato di spessore ns 1 di modulo E 0, con gli stessi cedimenti totali. Si tratta di porre in eguaglianza i due cedimenti nelle due differenti situazioni. In base della teoria dell elasticità E E1 1 n 3 In genere, a favore delle sicurezza, si pone: n 2. 5 n assume il seguente valore: E E 0 Svolgendo le integrazioni e sommando si ottiene 0 f 2 pa 1 ns arc tan n 8 2 2a E 0 3 Il metodo procede con il calcolo del cosiddetto modulo equivalente, ossia del modulo di uno strato semi-infinito E e con lo stesso cedimento di uno strato s 1 E 1 poggiante su un mezzo semi-infinito E 0. In altri termini: f(e,a) 0 strato seminfinito = f(e 0, E 1, s 1, a,n) doppio strato 8 3 Dalla soluzione di questa equazione si ha: ' E 0 E e 2 1 ns arc tan n 2 a 3 Tuttavia, Ivanov suggerisce di utilizzare l espressione: ' E e E arctan 3.5 n ns 2 a 1 1 Da questa espressione deriva la definizione del modulo di elasticità di un ammasso indefinito fittizio equivalente all insieme del sottofondo e dello strato di spessore s 1. Il metodo è suscettibile di iterazione, consentendo così di sostituire ad un insieme di più strati un ammasso ideale indefinito. 22

23 5. Metodo di Ivanov o della massima deflessione f pd E e 5. Metodo di Ivanov o della massima deflessione Si procede dal basso verso l alto trasformando lo strato più profondo (s 1,E 1 ) e l ammasso sottostante (E 0 ) in un ammasso indefinito equivalente (E e ). Questo poi verrà combinato con il penultimo strato (s 2,E 2 ), e così via fino all ultimo strato. Quanto illustrato è valido nell ipotesi che il carico per ciascun bistrato sia distribuito su un area circolare di diametro d. Il calcolo può avere una diversa impostazione, considerando che le pressioni si distribuiscano secondo una particolare legge. Nell ipotesi che la freccia rimanga costante e che le pressioni si distribuiscano uniformemente si ha: ' '' Ed Ed Ed Ed 0 0 e 1 e 2 p In questo caso il calcolo inizia dall alto fissando E p ed i, valutando ogni volta il valore di s i /d i. Il valore d i viene fornito dalla precedente espressione. Si troverà un valore per il modulo del sottofondo che dovrà risultare inferiore a quello che effettivamente si riscontra nella realtà, altrimenti occorrerà ripetere la verifica modificando gli spessori e i moduli degli strati. Quest ultima impostazione è più cautelativa della precedente in quanto a parità di E 0 conduce ad un valore di E p inferiore. Il calcolo può essere agevolmente condotto con l impiego dell abaco di Kogane. In funzione del rapporto s 1 /d e E 0 /E 1 si individua sull abaco un punto. Si assume come valore E e /E 1 quello della curva che meglio approssima il punto. Si ripete il calcolo con s 2 /d ed E e /E 2 ecosìviapertuttiglistrati pervenendo in tal modo al modulo equivalente dell intera sovrastruttura. 23

24 5. Metodo di Ivanov o della massima deflessione 5. Metodo di Ivanov o della massima deflessione Per poter condurre il calcolo di verifica occorrerà confrontare il modulo equivalente così determinato con il modulo di progetto globale che la sovrastruttura dovrà possedere in relazione al tipo di strada, di traffico e dei materiali impiegati. Tale modulo potrà essere determinato sulla base delle espressioni già viste che lo legano alla massima deflessione dello strato superficiale. Questa a sua volta dipenderà dal numero di assi equivalenti N che si ipotizza transiteranno sulla strada. p pressione di gonfiaggio del pneumatico (circa 8 dan/cm²) pd d diametro di impronta supposta circolare (circa 30 cm) E e f f freccia massima ammissibile La freccia massima ammissibile risulta dipendente da numero N di assi equivalenti all asse standard (in un giorno e per corsia) che transiteranno sulla strada all anno n, termine della vita utile. Esistono diverse formule che esprimono questo legame. Una di queste è la seguente: f log( N ) Il porre un limite superiore alla massima deflessione corrisponde ad limitare inferiormente il modulo di progetto dell insieme sovrastruttura-sottofondo. Se, ad esempio, si ipotizzano 1500 assi equivalenti da 10 t, la massima freccia ammissibile sarà: f log( 1500) cm mentre per il modulo di progetto è: pd E dan p f cm 24

25 5. Metodo di Ivanov o della massima deflessione Ivanov propone per E p i valori in tabella: In sintesi il metodo procede secondo il seguente schema: INPUT: spessori degli strati s i moduli degli strati E i modulo del sottofondo E 0 La verifica sarà positiva quando: OUTPUT: modulo equivalente E e della sovrastruttura E > E e p Stato tensionale negli strati della sovrastruttura secondo la teoria del multistrato elastico Oltre ai carichi derivanti dal traffico è stato illustrato come anche le escursioni termiche stagionali inducono stati tensionali notevolmente variabili. Il comportamento del conglomerato bituminoso dipende oltre che dai carichi, dalla temperatura, dal numero di ripetizioni del carico e dalla loro frequenza. Numerosi studi anno mostrato che nel periodo invernale, in cui si verificano degli strati bitumati moduli più elevati, le maggiori sollecitazioni per trazione si verificano sul piano inferiore dello strato di base, mentre sulla superficie del manto si verificano tensioni di compressione. Inoltre durante la fase di frenata la superficie del manto e sottoposta a sollecitazioni di trazione. 5. Metodo di Ivanov o della massima deflessione Il metodo di seguito riportato consente di ricavare la massima tensione di trazione per flessione alla base di uno strato si spessore s1 e modulo E1, nell ipotesi che poggi su un piano posa di modulo Ee. Il metodo ha il pregio di essere collegato a quello di Ivanov. Supponiamo di aver determinato attraverso questo metodo il modulo Ee tra gli strati di base e fondazione. Il seguente abaco fornisce il valore di r (valore massimo della trazione in corrispondenza dell asse del carico). I dati di partenza sono: E /E 1 e rapporto tra modulo degli strati superficiali e modulo equivalente dello strato su cui poggiano; s 1 /d rapporto tra lo spessore strato superficiale e il diametro dell area impronta, supposta circolare; p massima pressione di gonfiaggio Nell abaco si parte con s 1 /d sino alla curva relativa al valore di E 1 /E e. Sull asse delle ordinate è possibile leggere il valore della adimensionale, da cui ricavare p r r Nello stesso diagramma sono riportate le rette di p che forniscono direttamente il valore di r Tale valore deve essere confrontato con quello ammissibile R r che, sulla base di indagini sperimentali, può assumersi in base al seguente diagramma in funzione dell intensità del traffico pesante. La verifica sarà positiva quando: r Rr 25