Ricerca operativa e pianificazione delle risorse. Introduzione

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1 Ricerca operativa e pianificazione delle risorse Introduzione

2 Introduzione p Ricerca operativa capacità di risolvere problemi con metodo scientifico p Nasce nel periodo della II guerra mondiale ma si afferma grazie allo sviluppo tecnologico dell informatica p Le principali aree applicative della ricerca operativa riguardano la previsione, lo scheduling, la pianificazione delle risorse e problemi di flusso su reti.

3 Che cosa è la Ricerca Operativa? Operativa Attività che vengono svolte all interno di un organizzazione o di un sistema complesso Ricerca Il processo di osservazione e verifica caratterizzato da un metodo scientifico: Analisi della situazione, definizione del problema, costruzione del modello, validazione, sperimentazione, soluzioni possibili. Ricerca Operativa è un approccio quantitativo che permette di prendere decisioni basate su un metodo scientivico al problem solving 3

4 Che cosa è la Ricerca Operativa? p Ricerca Operativa è un approccio scientifico per prendere delle decisioni e consiste in: n n n L arte della modellazione matematica di situazioni complesse La scienza dello sviluppo di tecniche risolutive utilizzate per risolvere questi modelli L abilità di communicare in modo efficace i risultati a chi deve prendere le decisioni 4

5 Cosa fanno i ricercatori operativi 1. I professionisti di RO hanno come obiettivo quello di fornire delle giustificazioni razionali alla base del processo decisionale cercando di comprendere e strutturare situazioni complesse con lo scopo di prevedere il comportamento del sistema e migliorarne le prestazioni. 2. La gran parte di questo lavoro è svolto utilizzando tecniche analitiche e numeriche per sviluppare e manipolare modelli matematici e computazionali dei sistemi (che possono anche essere sistemi organizzitivi composti da persone, macchine e procedure) 5

6 Terminologia p In Europa Operational Research", negli Stati Uniti Operations Research" spesso solo "OR". p Un altro termine è Management Science" ("MS"). Negli stati uniti spesso OR e MS sono combinati in "OR/MS" o "ORMS". p Alcune volte si usa anche il termine Decision Science" ("DS"). 6

7 Ricerca Operativa anche detta Operations Research = Management Science Ø operational research Ø operations analysis Ø quantitative analysis Ø quantitative methods Ø systems analysis Ø decision analysis Ø decision science

8 Interdisciplinarietà OR/MS si avvale e combina discipline quantitative tradizionalmente distinte che possono essere tutte sfruttate nelle decisioni manageriali da coloro che hanno responsabilità decisionali nell organizzazione e nella gestione di sistemi complessi. programmazione matematica simulazione ottimizzazione combinatoria teoria dei giochi statistica/probabilità 8

9 Modelli in Ricerca Operativa Deterministic Models Stochastic Models Linear Programming Discrete-Time Markov Chains Network Optimization Continuous-Time Markov Chains Integer Programming Queuing Theory Nonlinear Programming Decision Analysis Game Theory Simulation 9

10 Deterministico vs. Stocastico Modelli Deterministici i dati sono conosciuti con certezza Modelli Stocastici l incertezza dei dati è rappresentata da variabili casuali o processi stocastici 10

11 Ricerca Operativa: Contenuti p p p p p p Programmazione Lineare (PL): interpretazione geometrica Metodi Risolutivi della Programmazione Lineare n Algoritmo del Simplesso e Metodo delle due fasi n Dualità e Analisi di Sensitività nella PL Programmazione Lineare Intera n Formulazione n Metodo Branch & Bound n Problemi su grafi: Tecniche PRERT/CPM per la gestione di progetti Programmazione Non Lineare (PNL) non vincolata: n metodo del gradiente n metodo di newton PNL vincolata n condizioni di ottimalità di KKT Generazione di numeri casuali per la simulazione 11

12 Ricerca Operativa: Contenuti Introduzione ai problemi di programmazione lineare e loro formulazione Metodi risolu,vi per la programmazione lineare Teoria della dualità Analisi della sensi,vità La programmazione intera Tecniche PERT/CPM per la ges,one di proge? Metodi computazionali per la simulazione: la generazione di numeri casuali 12

13 Materiale p Libro di testo Hillier - Lieberman, Ricerca Operativa, McGraw-Hill. p Software n AMPL n Microsoft Excel (Solver) n Matlab n Altro 13

14 RO: Struttura del corso Lezioni Teoriche 28 ore Introduzione e sviluppo di aspetti teorici Esercitazioni Esercizi, esempi e applicazioni ore tot.ore lezione frontale tot. ore esercitazione tot. ore laboratorio tot. ore studio individuale Totale 14 da piano dida*co

15 Requisiti p Studiare!!!! 15

16 Fasi tipiche dello sviluppo di un modello di RO p Definizione del problema p Raccolta dati Info. Systems vs. decision model p Formulazione di un modello appropriato di RO che rappresenti gli aspetti essenziali del problema p Sviluppo di un sw che determini le soluzioni del problema partendo dal modello: p Test e Convalida del modello p Documentare il modello e predisporre un sistema di supporto all applicazione pratica del modello p Implementare/Interpretare/Trasferire 16

17 Problemi Decisionali Un esempio in ambito manifatturiero Strategico Tattico Prod. Ctrl. Attività di pianificazione strategica Plant location, lancio nuovi prodotti, dimensionamento capacità produttiva, Attività di programmazione stagionale Programmazione aggregata della produzione, allocazione stagionale della capacità produttiva, Attività di pianificazione di dettaglio Quantità e tempistica della produzione, lot sizing, politiche di approvvigionamento, anni mesi settimane Scheduling Attività esecutive Tempificazione di dettaglio delle attività, gestione in tempo reale degli imprevisti, giorni, ore 17 skip 17

18 Problemi Decisionali p p Le differenze tra le varie attività e le informazioni disponibili influenzano la struttura dei modelli per le decisioni. La pianificazione strategica si basa essenzialmente su informazioni esterne (analisi di mercato, sviluppi tecnologici, stime dei costi, ecc...). Le decisioni sono poco strutturate 18 18

19 Problemi Decisionali p La programmazione e controllo richiede che i dati aziendali siano omogenei e congruenti. A questo fine il sistema di controllo è basato su basi monetarie in modo da rendere confrontabili situazioni eterogenee. Le decisioni sono abbastanza strutturate p Le attività operative richiedono informazioni esatte in tempo reale in quanto si riferiscono ad eventi che vengono gestiti nel momento in cui si verificano. Le decisioni sono molto strutturate 19 19

20 Problemi Decisionali La struttura matematica di un problema decisionale diventa via via più labile al crescere di: n Livello di aggregazione del sistema n Incertezza sugli elementi da cui dipende la decisione migliore n Livello di giudizio soggettivo sulla situazione stessa n Orizzonte temporale 20 20

21 Problemi Decisionali Di conseguenza, anche i modelli matematici di supporto alle decisioni sono di tipo diverso ai vari livelli gerarchici: n Analisi delle decisioni n Ottimizzazione singolo criterio n Ottimizzazione multi criterio 21 21

22 Problemi Decisionali Operativo Strutturato Deterministico Quantitativo Strategico Destrutturato Stocastico Qualitativo Programmazione Matematica Teoria delle decisioni 22

23 Programmazione Matematica Termine con cui si indica la ricerca di una soluzione ottimale (migliore alternativa tra quelle disponibili) mediante l uso di modelli matematici. Caratteristica di questi modelli è quella di dotare il problema di una struttura matematica che consente di valutare un insieme elevato di alternative, di analizzare la sensibilità alla variazione di parametri e di 23 valutare l esistenza e la computabilità di una soluzione.

24 Programmazione La programmazione è la traduzione di un obiettivo (definito in fase di pianificazione) in un piano utilizzando gli strumenti disponibili a disposizione di un determinato livello gerarchico. Ovvero, definisce le azioni (tipo, tempo e quantità) da eseguire per rendere operativo l obiettivo. Il programma deve essere fattibile ed il migliore tra le possibili alternative, in grado cioè di sfruttare al meglio le risorse disponibili. 24

25 Ottimizzazione Con il termine ottimizzazione ci si riferisce all analisi e soluzione di problemi in cui una singola scelta deve essere presa tra un insieme di possibili scelte (ammissibili). L obiettivo è quello di individuare la scelta migliore che minimizza (massimizza) il valore di una certa funzione detta funzione obiettivo. 25

26 Cos è un Modello? n Gioco n Foglio elettronico n Plastico n Previsione del tempo n Altri esempi? p Rappresentazione del mondo reale p Non una completa rappresentazione della realtà 26

27 Modelli di Decisione p Classificazione n Modelli: Deterministici vs. Stocastici n Modelli: Continui vs. Discreti p Elementi caratterizzanti n Numero di alternative di decisione n Numero di decisori n Numero di criteri di decisione 27

28 La Ricerca Operativa fornisce strumenti e modelli che permettono di affrontare i problemi di decisione pensandoli in maniera strutturata, sfruttando così al meglio l informazione disponibile e permettendo l acquisizione di nuova informazione. PROBLEMA MODELLO (PROBLEMA STRUTTURATO) 28

29 PROBLEMA MODELLO Analisi del modello Soluzione del modello 29

30 Esempio: Winner Determination (FCC) autorità competente mette all asta 2 licenze (e.g., radiofrequenze) A e B n 3 partecipanti: p Ogni partecipante fa una offerta per entrambe le licenze p Ad ogni partecipante è assegnata al più una licenza 30

31 Winner Determination (2) p Domanda: A chi dovrebbero essere assegnate le licenze A, B? Offerte A B Partecipante Partecipante Partecipante

32 Winner Determination p Domanda: n 5 partecipanti e 4 licenze? Offerte A B C D Partecipante Partecipante Partecipante Partecipante Partecipante

33 Winner Determination 11 partecipanti e 10 licenze? A B C D E F G H I J

34 Winner Determination p Domanda: n 25 licenze? 100 licenze? p Quante sono le possibili combinazioni di assegnamenti delle licenze? n Come determinare l assegnamento migliore? 34

35 Modelli di decisione p Decision-Making riguarda aspetti di trade-offs p Modelli di decisione complicati da n alternative/decisori/criteri n incertezza p Occorre una metodologia (approccio strutturato) per generare e valutare decisioni razionali 35

36 Elementi di un Modello di RO/MS p Variabili di decisione n Cosa vogliamo decidere? p Funzione obiettivo n Come decideremo? p Vincoli n Cosa vincola le nostre decisioni? p Parametri n Quali dati abbiamo? 36

37 Problema La GTC produce strumenti da lavoro (martelli, seghe, trivelle, pinze, chiavi inglesi). Nell impianto di Winnipeg, l impresa produce unicamente pinze e chiavi il cui processo di produzione richiede: 1. acciaio (materia prima) 2. una fase di lavorazione dei singoli pezzi in acciaio (macchina per la lavorazione) 3. una fase di assemblaggio dei pezzi lavorati (macchina per l assemblaggio) Acciaio (in libbre) Ore macchina lavorazione Ore macchina assemblaggio per una chiave 37 per una pinza Disponibilità giornaliera 1, ,3 0,5 9000

38 ovvero... per produrre una chiave ci vogliono 1,5 lb di acciaio, mentre ne serve 1 lb per produrre una pinza......e ogni giorno si dispone di libbre di acciaio da lavorare. il coefficiente di utilizzo della macchina per la lavorazione è pari a 1 ora sia per la lavorazione dei pezzi necessari per una chiave sia per la lavorazione dei pezzi necessari per produrre una pinza......e ogni giorno la macchina può lavorare al più per ore. il coefficiente di utilizzo della macchina per l assemblaggio dei pezzi è pari a 0,3 ore per l assemblaggio dei pezzi di una chiave e a 0,5 ore per l assemblaggio dei pezzi di una pinza......e al massimo ogni giorno la macchina può lavorare per 9000 ore. 38

39 Problema (ct.) In più si conosce la domanda giornaliera (stimata) e il guadagno che si ottiene dalla vendita di ogni unità dei due prodotti. chiavi pinze Domanda max giornaliera (in unità di prodotto) Guadagno per 1000 unità vendute $130 $100 Cioè al massimo giornalmente si vendono unità di chiavi e unità di pinze con un guadagno pari a $130 per 1000 unità di chiavi vendute e pari a $100 per 1000 unità di pinze vendute. 39

40 Obiettivo... Pianificare la produzione giornaliera (di chiavi e pinze) per l impianto di Winnipeg in modo da massimizzare il guadagno totale ottenuto dalla vendita dei prodotti. In relazione a questo problema, la decisione che la GTC deve prendere riguarda il numero di unità di chiavi e di pinze che l impianto di Winnipeg deve produrre ogni giorno (che è per ora incognito) per massimizzare il guadagno totale potendo disporre di risorse limitate (in termini di materia prima e di ore/macchina). 40

41 Check list p Variabili di decisione n Cosa vogliamo decidere? p Funzione obiettivo n Come decidiamo? p Vincoli n Cosa vincola le nostre decisioni? p Parametri n Quali dati abbiamo? 41

42 Modello di Programmazione Lineare incognite o variabili decisionali: x c x p funzione obiettivo: numero di chiavi da produrre in un giorno (in migliaia) numero di pinze da produrre in un giorno (in migliaia) 130x c +100x p guadagno totale giornaliero (in dollari) L obiettivo della GTC è determinare il valore delle variabili che massimizza il guadagno totale giornaliero. Bisogna tener conto delle limitazioni delle risorse e della domanda. 42

43 vincoli di limitazione delle risorse quantità di acciaio necessaria per produrre x c migliaia di chiavi e migliaia di pinze x p 1, 5x c + x p 27 quantità di acciaio disponibile ogni giorno acciaio x c + x p 21 macchina lavorazione quantità di ore necessarie per produrre x c migliaia di chiavi e migliaia di pinze x p 0,3x c + 0, 5x p 9 numero di ore-macchina disponibili ogni giorno macchina assemblaggio 43

44 vincoli domanda e non-negatività x c 15 dom. di chiavi x p 16 dom. di pinze quantità, in migliaia, di chiavi e di pinze prodotte massima domanda giornaliera x c, x p 0 Non negatività delle variabili le quantità, in migliaia, di chiavi e di pinze prodotte sono numeri non negativi. 44

45 Formulazione funzione obiettivo max 130x c +100x p vincoli vincoli di limitazione superiore vincoli di nonegatività Soluzione ottima del problema: x c = 12 con un guadagno totale giornaliero x p = 9 pari a 45 1, 5x c + x p 27 x c + x p 21 0,3x c + 0, 5x p 9 x c 15 x p 16 x c, x p 0 130x c +100x p = = 2460 $

46 Risorse critiche La soluzione ottima soddisfa tutti i vincoli (si verifica facilmente sostituendo i valori della soluzione ottima). 1, 5x c + x p 27 x c + x p 21 0,3x c + 0, 5x p 9 1, , ,5 9 = = = ,1 < 9 b b b Osservazione: in corrispondenza della soluzione ottima trovata, la disponibilità di acciaio e di ore-lavorazione sono completamente utilizzate, mentre non è sfruttata a pieno la disponibilità di ore-assemblaggio. 46

47 Si osservi che esistono altre possibili assegnazioni di valori alle variabili decisionali del problema che soddisfano tutti i vincoli, come ad esempio la soluzione x = 6, = 8 per la quale si ha: 1, 5x c + x p 27 x c + x p 21 0,3x c + 0, 5x p 9 c x p 1,5 0, = = 6 + 0,5 8 = ,8 < < < b b b ma il guadagno totale giornaliero che questa soluzione ammissibile fornisce è notevolmente inferiore a quello fornito dalla soluzione ottima. 130 x c + 100xp = = 1580 $ 47

48 Problema: mix produttivo Un sarto produce camicie e cravatte. Le cravatte richiedono 2 ore di lavoro 0.5 m di stoffa; le camicie 1 ore di lavoro e 3 m di stoffa. Il profitto sulle camicie è 20 e 12 sulle cravatte. Considerando che lavora 40 ore/settimana, e dispone di 80 m/settimana di stoffa, qual è il mix ottimale per massimizzare il profitto? 48

49 Formulazione p Parametri p = profitto camicie ( 20) q= profitto cravatte ( 12) p Variabili di decisione x = prod. camicie y= prod. cravatte p Funzione obiettivo Max profitto totale = p x + q y = 20 x + 12 y p Vincoli 3 x y <= 80 1 x + 2 y <= 40 x, y >= 0 49

50 Reti di distribuzione Bell Computers produce computer in 3 stabilimenti e li trasporta in uno dei 4 centri di distribuzione. domanda 1 domanda 2 domanda 3 50 domanda 4

51 Reti di distribuzione (ct.) Stabilimento Capacità C. Distribuzione Domanda Texas 420 New Jersey 520 Singapore 610 Shannon 250 Barcelona 340 Buenos Aires 400 Taipei 380 Total 1,370 Total 1,550 Costo di trasporto New Jersey Shannon Buenos Aires Taipei Texas 22/unit Singapore Barcelona

52 Reti di distribuzione (ct.) p Variabili di decisione n Cosa vogliamo decidere? p Funzione obiettivo n Come decidiamo? p Vincoli n Cosa vincola le nostre decisioni? p Parametri n Quali dati abbiamo? 52

53 Formulazione p p Parametri C ij = costo di trasporto dallo stabilimento i al centro di distribuzione j d j = domanda al centro di distribuzione j Variabili di decisione x ij = quantità trasportata dallo stabilimento i al centro di distribuzione j p Funzione obiettivo Min costi trasporto totali = 3 4 i=1 j=1 c ij x ij C 11 x 11 + C 12 x 12 + C 13 x 13 + C 14 x 14 + C 21 x 21 + C 22 x 12 + C 23 x 13 + C 24 x 24 + C 31 x 31 + C 32 x 32 + C 33 x 33 + C 34 x 34 53

54 Formulazione p Vincoli x 11 + x 12 + x 13 + x 14 <= capacità 1 x 21 + x 12 + x 13 + x 24 <= capacità 2 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 <= capacità 3 x 11 + x 21 + x 31 <= d 1 x 12 + x 22 + x 32 <= d 2 x 13 + x 23 + x 33 <= d 3 x 14 + x 24 + x 34 <= d 4 x ij >= 0 i=1,2,3 j=1,2,3,4 54

55 Vincoli capacità x 11 + x 12 + x 13 + x 14 <= capacità 1 55

56 Vincoli domanda x 12 + x 22 + x 32 <= d 2 domanda 2 56

57 Problema: pianificazione Un agricoltore deve fertilizzare il suo terreno. Ci sono due tipi di fertilizzante che può usare: A e B. Ciascun tipo contiene una specifica quantità di azoto e fosfato. Il campo richiede almeno 16 kg di azoto e 24 di fosfato. A costa 6$ al sacco e B 3$. Quanti sacchi di ciascun tipo dovrebbe usare l agricoltore per fertilizzare adeguatamente il suo terreno? (lbs / sacco) Azoto Fosfato A 2 4 B

58 Check list p Variabili di decisione n Cosa vogliamo decidere? p Funzione obiettivo n Come decidiamo? p Vincoli n Cosa vincola le nostre decisioni? p Parametri n Quali dati abbiamo? 58

59 Variabili decisionali x 1 = sacchi di A x 2 = sacchi di B 59

60 Formulazione Minimizzare 6 x x 2 s.t. 2x x 2 16 Funzione obiettivo Vincoli 4x x 2 24 x 1, x 2 0 Variabili decisionali 60

61 Selezione del portafoglio Il CdA di un fondo considera i seguenti possibili 7 investimenti. Ogni investimento può essere fatto solo 1 volta. Gli investimenti 1 & 2 e 3 & 4 sono mutuamente esclusivi. Investimenti 3 o 4 sono disponibili soltanto se 1 o 2 sono effettuati. Il fondo dispone di 100 milioni da investire. Investimenti NPV Stimato Capitale Richiesto

62 Formulazione p Variabili di decisione x i = 1 se l investimento i è effettuato 0 altrimenti p Funzione obiettivo Max profitto totale = p Vincoli (esercizio!!) 7 i=1 NPV i x i 62

63 Inizio della Programmazione Lineare George Dantzig n U.S. Bureau of Labor Statistics ( ) n Direttore del unità di analisi USAF ( ) n PhD in Matematica, Berkeley (1946) n Inventò un metodo semplice ( Simplesso ) per risolvere problemi di Programmazione Lineare(1947) 63

64 Assunzioni di PL p Funzione obiettivo lineare, vincoli n Proporzionalità n Additività p Divisibilità n Variabili decisionali continue p Certezza n Parametri deterministici 64

65 Formulazione LP 65

66 Formulazione di PL: lista di controllo " Consistenza ed accuratezza delle unità di ciascun termine nella funzione obiettivo e dei vincoli " Accuratezza delle connessioni logiche tra variabili decisionali nella funzione obiettivo e nei vincoli " Accuratezza delle relazioni tra la costante di destra (RHS) e la funzione sulla sinistra per ogni vincolo. " Tutte le funzioni rilevanti sono lineari. 66

67 Notazione Matriciale x ( 1 2 n = x, x,..., x ) c, c,..., c ) c ( 1 2 n = b = (b 1,b 2,...,b m ) A = a a a m1 a a a m a a a 1n 2n mn A = coefficienti tecnologici che legano prodotti e risorse c = coefficienti di profitto b = temini noti max x cx FORMA GENERICA Ax <= b X>=0 67

68 Formulazione standard per PL Max Z = c j x j Soggetto a (s.t.) n j =1 j n j =1 j a ij x j b j i = 1,, m x j 0 j = 1,, m p Incongruenze? 68

69 Formulazione standard per PL (corretta!!!) Max Z = c j x j Soggetto a (s.t.) n j =1 n j =1 j a ij x j b i i = 1,, m x j 0 j = 1,, n 69

70 Esempio Un azienda elettronica produce due tipi di televisori, Astro e Cosmo. Ci sono due catene di montaggio, una per ogni modello e ci sono due reparti, ciascuno utilizzato per la produzione di entrambi i televisori. La catena di montaggio del modello Astro può produrre 70 televisori al giorno, mentre quella del modello Cosmo ne può produrre 50. Il reparto A produce tubi catodici, in questo reparto, c è bisogno di un ora di lavoro per ogni televisore Astro e due ore per ogni televisore Cosmo. Al momento è possibile impiegare, nel reparto A, un totale di 120 ore al giorno per produrre i due tipi di televisori. Il reparto B costruisce le casse; in questo reparto ogni televisore richiede un ora di lavoro. In questo reparto è possibile impiegare un totale di 90 ore di lavoro al giorno. Il profitto che l azienda ha dalla vendita di ciascun televisore è di 20$ per il modello Astro e 10$ per il modello Cosmo. Se l azienda può vendere tanti televisori quanti ne produce, quale dovrebbe essere la produzione giornaliera di ciascun modello? 70

71 Step 1: Determinare le variabili decisionali p A= produzione giornaliera TV Astro (A 0) p C= produzione giornaliera TV Cosmo (C 0) 71

72 Step 2: Determinare la funzione obiettivo Massimizzare il profitto: p Max(20A + 10C) 72

73 Step 3: Determinare i vincoli p Capacità catena di montaggio Astro n A 70 p Capacità catena di montaggio Cosmo n C 50 p Ore di lavoro reparto A n A + 2C 120 p Ore di lavoro reparto B n A + C 90 73

74 Formulazione di PL Elementi: Massimizzare Soggetto a 20A + 10C A 70 C 50 A + 2C 120 Funzione obiettivo Vincoli A + C 90 A,C 0 Variabili decisionali 74

75 Risoluzione PL: il metodo grafico p Disegnare tutti i vincoli, uno alla volta (indicando gli spazi associati a ciascuno di essi). p Determinare la regione ammissibile (l area che soddisfa tutti i vincoli). p Disegnare la funzione obiettivo usando un valore arbitrario per essa (e.g. 400). p Trovare la soluzione ottima traslando la funzione obiettivo nella direzione desiderata. 75

76 Il metodo grafico C Determinare la regione ammissibile Regione ammissibile A + 2 C = A

77 Il metodo grafico (cont.) C (0, 90) A + C = Regione ammissibile A + 2C = A

78 Il metodo grafico (cont.) C A + C = 90 A = C = Regione ammissibile A + 2C = 12 A

79 Il metodo grafico (cont.) C 65 (0, 100) Determinare la soluzione ottima (0, 40) 20 A + 10 C = A + 10 C = 400 (20, 0) (50, 0) Ottimo (A,C) = ( 70, 20) Payoff: 20 A + 10 C = A

80 Il metodo grafico (cont.) (0, 65) C f. o. Z = 10 A + 20 C (0, 50) (0,20) A + 20 C = A + 20 C = 400 Ottimo (A,C) = ( 62, 34) Payoff: 10 A + 20 C = (40,0) A

81 Condizione di Ottimalità La regione ammissibile di questo problema è descritta dall insieme: K= { x εr n : Ax <= b, x>=0 } Una soluzione ammissibile x*εk è ottima per il problema (di massimizzazione) se soddisfa la condizione cx <= cx* per ogni xεk 81

82 Vertici come soluzioni X Punto interno Ammissibile? Si Ottimo? Mai 82

83 Teorema fondamentale della PL Teorema: f lineare (non costante) su K (qualsiasi) se esiste l ottimo x* allora x* K (intorno di K) a) Se esiste una soluzione ottima allora essa deve essere un vertice b) Se esistono due soluzioni ottime, allora esistono infinite soluzioni ottime. c) Se esistono più soluzioni ottime e K è limitato, allora almeno due soluzioni ottime sono vertici ammissibili adiacenti 83

84 PL: Casi speciali p Ottimi molteplici p Problemi impossibili p Problemi illimitati 84

85 Ottimi molteplici 85

86 PL illimitati 86

87 PL impossibili 87

88 Relazione tra soluzioni ottime e vertici Un qualsiasi problema di PL che ammetta soluzioni ammissibili ed abbia regione ammissibile limitata deve avere almeno un vertice e almeno una soluzione ottima. Inoltre, una soluzione ottima deve coincidere con un vertice. Se un problema ha soluzioni ottime multiple almeno 2 di queste devono essere vertici 88

89 x 2 Vertici ammissibili e non (0, 9) (0, 6) (2, 6) x 1 = 4 (4, 6) 2x 2 = 12 Max 3x x 2 s.t. x 1 4 3x x x 2 12 x 1, x 2 0 (4, 3) 3x 1 + 2x 2 = 18 (0, 0) (4, 0) (6, 0) 89 x 1

90 Vertice: definizioni p Nell esempio, ogni vertice è dato dall intersezione della frontiera di 2 vincoli. In generale, per un PL con n variabili, ciascuno dei vertici si trova all intersezione della frontiera di n vincoli (definizione algebrica). p Quindi, un vertice è la soluzione di un sistema di n equazioni che definiscono la frontiera della regione ammissibile 90

91 Definizioni p 2 vertici si dicono adiacenti se condividono le frontiere di n-1 vincoli. p 2 vertici adiacenti sono collegati attraverso un segmento (spigolo della regione ammissibile) che giace sulla stessa frontiera comune 91

92 PL in forma standard PL in forma standard Min cx Ax = b x 0 92

93 PL in forma standard P1 Max cx Ax = x b 0 Min - cx P2 Ax = b x 0 1. Max cx Min - cx 93

94 Variabili di slack n aijxj j= 1 b i n j= 1 a x + x = ij j si b i p x si = variabile slack p Esempio : 3x 1 - x 2 + 2x 3 8 è 3x 1 - x 2 + 2x 3 + x s = 8 se x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 1 è x s = 1 se x 1 = 3, x 2 = 4, x 3 = 0.5 è x s = 2 n b a i j= 1 ij x j 94

95 Se una varibile di slack, nella soluzione corrente, è n uguale a zero, allora questa soluzione si trova sulla frontiera n maggiore di zero, la soluzione si trova nella regione ammissibile n minore di zero indica che la soluzione è fuori dalla regione ammissibile 95

96 L aggiunta della variabile di slack (scarto) (con il vincolo di non negatività) trasforma un vincolo di disuguaglianza ( ) in un vincolo equivalente di uguaglianza x 1 <= 4 ó x 1 + x s = 4 x s 0 96

97 Variabile di surplus n aijxj j= 1 b i n j= 1 a x x = ij j si b i p x si = variabile di surplus p Esempio : j= 1 3x 1 - x 2 + 2x 3 8 è 3x 1 - x 2 + 2x 3 - x s = 8 se x 1 = 3, x 2 = 1, x 3 = 1 è x s = 2 n a ij x j -b i 0 97

98 Slack e Surplus p Variabili di Slack/Surplus sono associate ad ogni vincolo n Slack: quantità di risorsa non utilizzata vincolo: 1x + 2y 40, soluzione: x=10,y=5 slack: (5)=20 n Surplus: quantità di richiesta in eccesso vincolo: 1x + 2y 40, soluzione: x=10,y=20 surplus: 10+2(20)-40=10 98

99 Altri Esempi di Modellazione Da svolgere come esercizio

100 Prodotti misti: Marketing Si vuole raggiungere ciascun settore di mercato e minimizzare la spesa per farlo.un dato prodotto può interessare tre settori di mercato: ragazzi adolescenti, donne ricche(età 40-49), e uomini in pensione. Ciascun minuto di publicità in TV e ciascuna pagina di giornale raggiunge il seguente numero di persone (in milioni) ed ha il seguente costo: 100

101 Il problema della dieta Un cibo per cani deve contenere per ogni kg almeno: proteine 2 hg / carboidrati 4 hg / grasso 3 hg Si possono miscelare 4 ingredienti con le seguenti caratteristiche ( in hg per ogni kg) Ingredienti Proteine Carboidrati Grasso Costo

102 Miscelazione di benzine Un azienda petrolifera, che massimizza i ricavi, deve produrre benzina normale e super (Premium) miscelando opportunamente gli stock disponibili. I dati sulle proprietà (numero di ottani e pressione del vapore) delle miscele e degli stock sono riportati in tabella. Miscele non utilizzate sono vendute agli Indipendenti a 8($/barile). Le caratteristiche della miscela sono ottenuta come media delle proprietà dei costituenti 102

103 Problema dei trasporti Un impresa ha due impianti e tre magazzini. Il primo impianto può fornire al massimo 100 unità e il secondo al massimo 200 dello stesso prodotto. La capacità di vendita nel primo magazzino è di 150, nel secondo 200, e nel terzo 350. Il prezzo di vendita di ciascuna unità per ciascun magazzino sono 12$ per il primo, 14$ per il secondo e 15$ per il terzo. Il costo (in dollari) per trasportare un unità da un impianto al magazzino di destinazione sono i seguenti: Magazzino Impianto Impianto Determinare un piano di trasporto che massimizzi il profitto totale. 103

104 Esempio: Turni di lavoro p Si consideri un ristorante che rimane aperto sette giorni la settimana. Basandosi sull esperienza passata, il numero di lavoratori necessario per ogni giorno della settimana è: p Ogni lavoratore lavora 5 giorni consecutivi ed ha 2 giorni di riposo, e così via. Come possiamo minimizare il numero totale di lavoratori per il ristorante? 104

105 Esempio: Selezione del portafoglio Un fondo dispone di $ da impiegare per finanziare varie attività. Ci sono cinque categorie di prestiti, ciascuno con associato interesse e rischio (1-10, 1 migliore): 105

106 Selezione del portafoglio (2) I soldi non investiti vengono messi in un conto privo di rischi e con un ritorno del 3%. L obiettivo è impiegare i soldi in modo da: a) Massimizzare il ritorno medio per dollaro b) Avere un rischio medio non superiore a 5 (tutti i conti vanno fatti sui soldi investiti non sui soldi depositati sul conto sicuro). c) Investire almeno il 20% in debiti commerciali. d) L ammontare del secondo investimento e dei debiti personali combinati non deve essere superiore all ammontare del primo investimento. 106

107 Esempio: Produzione nel tempo SilComputer deve soddisfare la domanda di portatili prima dei prossimi quattro trimestri (prima, cioè, che il modello corrente diventi obsoleto). n SilComputer ha 5,000 computers portatili in magazzino. n La domanda prevista per i prossimi quattro trimestri è di 7.000; ; ; e computers. n SilComputer può produrrre fino a computers ogni trimestre al costo di 2000$ ciascuno. Con lavoro straordinario, possono essere prodotti altri computers al costo di 2200$ ciascuno. n I computers prodotti in un trimestre possono essere usati o per soddisfare la domanda di quel trimestre, o possono essere conservati in magazzino ed essere venduti più tardi. Il costo di ciascun computer in magazzino è rincarato di 100$ per le spese di magazzino. Come può SilComputer soddisfare la domanda minimizzando i costi? 107

108 Esempio: Investimenti nel tempo Dato un badget iniziale di 1000$, definire il portafoglio titoli per i prossimi 6 anni. Possibili Investimenti: " Conto Corrente X, tasso annuo 5%. " Fondo Y, investimento biennale, tasso totale 12% se comprato ora, 11% altrimenti. " Fondo Z, investimento triennale, tasso totale 18%. " Fondo W, investimento quadriennale, tasso totale 24%. Ciascun Fondo può essere comprato in qualsiasi momento dell anno. È possibile investire nel: Fondo Y tutti gli anni eccetto l anno 3. Fondo Z in ogni momento dopo il primo anno. Fondo W in ogni momento ma 108 è un opportunità sfruttabile una sola volta.

109 Regole della formulazione 1. Definire gli indici e gli insiemi di appartenza, i parametri e le variabili 2. Non lasciare indefiniti gli indici nella funzione obiettivo 3. Nella funzione obiettivo e in ciascun vincolo deve apparire almeno una variabile decisionale 4. Assicurarsi che ogni variabile sia collegata in qualche modo con le altre. Se così non fosse, il problema risulterebbe separabile 109

110 Regole della formulazione (2) 5. Se una variabile o una costante inclusa in un vincolo presenta qualche indice, allora deve avvenire una delle seguenti operazioni: n n Sommare su tutti i valori dell indice; oppure Specificare per quali valori dell indice è applicato il vincolo 6. Disaggregare i vincoli quando possibile 110

111 Regole della formulazione (3) 7. Cercare di formulare il problema linearmente (quando possibile!), ovvero: n n n evitare moltiplicazione tra variabili decisionali, sia nella funzione obiettivo che nei vincoli; utilizzare variabili decisionali lineari; evitare funzioni non lineari. 111