Prova scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski

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1 10/9/2008 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b su R 3 associata, rispetto alla base canonica {e 1, e 2, e 3 } alla matrice A = ) Provare che (R 3, b) è uno spazio vettoriale Euclideo. 2) Posto W = L(e 1, e 3 ), si determini una base {u 1, u 2 } di W ortonormale rispetto a b e la si completi ad una base ortonormnale di (R 3, b). 3) Si determinino w W e u W tali che e 2 = w + u il complemento ortogonale essendo rispetto a b. Es. 2: Si considerino le rette r : y = 0, s : y = x, t : x = 0 ed i punti A = (1, 0), B = (2, 2), C = (0, 1) del piano affine R 2. Stabilire se esiste un affinità f : R 2 R 2 tale che f(r) = s, f(s) = t, f(a) = B, f(b) = C ed in caso affermativo determinarla esplicitamente. Stabilire inoltre se tale affinità è unica. Es. 3: Si classifichi la conica C R 2 avente equazione, nel riferimento cartesiano standard: C : 2x 2 y 2 4xy 4x 8y + 14 = 0. Si determini inoltre un isometria f : R 2 R 2 tale che f(c) = C o, dove C o è una forma canonica di C.

2 30/4/2008 Es. 1: Si consideri la forma quadratica q su R 3 definita da dove α R. q(x, y, z) = α (x 2 + y 2 + 2xz) + 1. a) Stabilire per quali valori di α q è definita positiva. b) Si determini, al variare di α, la dimensione del sottospazio W dove W = L((1, 1, 0), (0, 0, 1)) ed il complemento ortogonale è fatto rispetto alla forma bilineare simmetrica b associata a q. c) Posto α = 1/2, si determini una base ortonormale dello spazio Euclideo (R 3, b). Es. 2: Nel piano affine R 2 si considerino le rette r : y = 0, s : y = 1, t 1 : y = x e t 2 : x = 3. Si determini un affinità f : R 2 R 2 tale che f(r) = r, f(s) = s, f(t 1 ) = t 2. Es. 3: In uno spazio Euclideo, si determini l equazione del piano passante per il punto P (1, 0, 0), perpendicolare { al piano α : x + 2z = 0 ed avente x = z + 2 distanza 1 dalla retta r : y = 1

3 Prof. Boratynski 12/4/2005 Es. 1: data la matrice A = e ϕ : R 3 R 3 R la forma bilineare simmetrica associata ad A rispetto alla base canonica di R Dimostrare che ϕ un prodotto scalare in R 3 2. Determinare una base di V dove V = L((1, 1, 1), (0, 1, 1)) 3. Considerato R 3 come spazio affine euclideo associato allo spazio vettoriale euclideo (R 3, ϕ), calcolare la distanza dei punti P = (0, 1, 0) e Q = (1, 0, 1). Es 2: Si consideri la base {M 1,..., M 4 } di M 2 (R) tale che ( ) ( ) ( ) ( ) M 1 =, M =, M =, M = 0 1 e si denoti con B = {M 1,..., M 4 } la sua duale. a) Determinare le componenti, rispetto a B del vettore ϕ M 2 (R) tale che ( ) a b ϕ = a + d 2b. c d b) Data l applicazione lineare F : M 2 (R) M 2 (R) associata, rispetto a B, alla matrice A =

4 determinare una base di Ker(F ). Es 3: Nello spazio sono date le rette { x = y + z r 1 : y = 0 { x 3y z + 2 = 0 r 2 = y = 1 r 3 = { y + 2z = 0 x + z = Stabilire se esiste un piano π contenente r 1, r 2, r 3 ed in caso affermativo determinarne un equazione. 2. Determinare le equazioni delle circonferenze tangenti ad r 2 ed a r 3 ed aventi centro su r 1.

5 28/2/2006 Es. 1: Si consideri la forma quadratica q su R 3 definita da a) Diagonalizzare q. q(x, y, z) = xy + z 2. b) Si consideri il sottospazio W = L((1, 1, 0), (0, 0, 1)) di R 3. Verificare che la restrizione di q a W è definita positiva. c) determinare una base ortonormale dello spazio Euclideo (W, <, >) essendo <, > il prodotto scalare associato alla restrizione di q a W. Es. 2: Nel piano affine R 2 si considerino le rette r : y = 0, s : y = 1, t 1 : y = x e t 2 : x = 3. Si determini un affinità f : R 2 R 2 tale che f(r) = r, f(s) = s, f(t 1 ) = t 2. Es. 3: In uno spazio Euclideo, si determini l equazione del piano passante per il punto P (1, 0, 0), perpendicolare { al piano α : x + 2z = 0 ed avente x = z + 2 distanza 1 dalla retta r : y = 1

6 30/4/2008 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b su R 3 la cui forma quadratica q è data da q(x, y, z) = α (x 2 + y 2 + 2xz) + z 2. dove α R. a) Stabilire per quali valori di α b è definita positiva. b) Si determini, al variare di α, la dimensione del sottospazio W dove W = L((1, 0, 0), (0, 0, 1)) ed il complemento ortogonale è fatto rispetto a b. c) Posto α = 1/2, si determini una base ortonormale dello spazio Euclideo (R 3, b). Es. 2: Nel piano affine R 2 si considerino i punti A 1 = (0, 0), A 2 = (1, 1), A 3 = (0, 1), A 4 = (2, 2) B 1 = (1, 1), B 2 = (2, 0), B 3 = (1, 0), B 4 = (3, 1). Stabilire se esiste un affinità f : R 2 R 2 tale che f(a i ) = B i, i = 1,..., 4. In caso affermativo, la si determini esplicitamente e si stabilisca se è unica. Es. 3: In uno spazio Euclideo, si determinino le equazioni della circonferenza C passante per i punti A(0, 0, 1), B(0, 0, 1), C(1, 1, 0).

7 Prof. M. Boratysnki 17/4/09 Es. 1: Si consideri la forma quadratica q : R 3 R definita da q(x, y, z) := 6xz + 6yz 2xy x 2 y 2 9z 2. a) Determinare il rango, l indice di positività e l indice di negatività di q. b) Posto W = {(x, y, z) R 3 x = y}, si detemini il complemento ortogonale W di W rispetto alla forma bilineare simmetrica b associata a q. Stabilire se R 3 = W W. Es. 2: Sono dati i punti A 1 = (0, 0), A 2 = (2, 1), A 3 = ( 2, 1), A 4 = (0, 1) del piano affine R 2. Stabilire se esiste un affinità f : R 2 R 2 tale che f(a 1 ) = A 2, f(a 2 ) = A 3, f(a 3 ) = A 1, f(a 4 ) = A 4. Es. 3: Nello spazio Euclideo, si consideri il piano π : x y 2z + 8 = 0. a) Si determinino le equazioni dei piani π 1 e π 2 aventi distanza 6 da π. b) Si determini l equazione della sfera S tangente a π 1, π 2 e tangente nel punto A(0, 8, 6) al piano α : z = 6.

8 3/2/2006 Es. 1: a) Si consideri la forma quadratica q su R 4 definita da q(x, y, z, t) = x 2 + (y z) 2 + (t x) 2. Determinare la matrice che rappresenta q nella base B = {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 1)} b) Si consideri il sottospazio W = L((1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0)) di R 4. Stabilire se la restrizione di q a W è definita positiva. Es. 2: Determinare la dimensione e la giacitura del sottospazio affine di R 4 di equazioni x y + z + 2 = 0 x + 2z + t = 1 x + 2y + 4z + 3t 1 = 0 { x = 2y Es. 3: In uno spazio Euclideo, si considerino le rette r :, { z = 1 y = x + 1 s : ed il piano π : x + y z + 2 = 0. z = y a) Determinare le equazioni della retta t incidente r ed s e perpendicolare a π; b) Posto P = t r, determinare l equazione della sfera di raggio 3, tangente in P ad r e passante per l origine.

9 2/2/2007 Es. 1: a) Si consideri la forma quadratica q su R 3 definita da: q(x, y, z) = x 2 + λ 2 y z2 + 2xy + 2λyz. dove λ è un parametro reale. a) Stabilire per quali valori di λ q è definita positiva. b) Posto λ = 3, denotato con <, > il prodotto scalare associato a q, determinare esplicitamente la proiezione ortogonale p : R 3 R 3 dello spazio Euclideo (R 3, <, >) rispetto al sottospazio W = L((1, 0, 0), (0, 1, 0)). c) Determinare una base B di R 3 rispetto alla quale la matrice associata a p sia A = Es. 2: Si considerino il punto A = (1, 1) e le rette r : x = 0, s : y = 1, t : y = 3x del piano affine R 2. Determinare un affinità f : R 2 R 2 tale che f(r) = r, f(s) = t, f(t) = s, f(a) = A. Stabilire se tale affinità è unica. Es. 3: Nello spazio si determinino le { circonferenze tangenti nel punto y = 1 P (0, 1, 0) alla retta r di equazioni r :, aventi centro sul piano z = 0 π : 2x + y = 0 e raggio 5.

10 20/2/2007 Es. 1: Si consideri l endomorfismo f : R 4 R 4 associato alla matrice A = rispetto alla base B = {(1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 0)}. a) Provare che f è simmetrico rispetto al prodotto scalare standard. b) Determinare una base ortonormale di R 4 costituita da autovettori di f. c) Posto W =< (0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 1) >, verificare che: f(w ) = f 1 (W ). Es. 2: Si consideri la forma quadratica q su C 3 definita da: q(x, y, z) = x 2 + 2y 2 + z 2 2xy + 2yz. Determinare una base di C 3 rispetto alla quale la matrice associata a q è Es. 3: Si consideri la conica C del piano Euclideo di equazione C : (2k + 1)x 2 + (k + 1)xy 2(k + 1)x (2k + 1)y + k + 1 = 0 dove k R. a) Stabilire per quali valori di k C è unione di due rette incidenti. b) Posto k = 0, si determini un affinità f : R 2 R 2 tale che dove C o : xy = 0. f(c) = C o

11 19/2/2008 Es. 1: Si consideri il sottospazio E = L(e 2 + e 3, e 2 e 4 ) di R 4 dove {e 1,..., e 4 } è la base canonica. a) Determinare una base ortonormale di E ed una base ortonormale di E. b) Si consideri l unico endomorfismo f : R 4 R 4 tale che per ogni u E e v E. f(u) = u, f(v) = 2v Determininare la matrice associata ad f rispetto alla base canonica. c) Stabilire se f è simmetrico. Es. 2: Si considerino le rette r 1 : x + y = 0, r 2 : y = 1 s 1 : x + y = 1, s 2 : 2x + ky = 0 del piano affine R 2 dove k R. Stabilire per quali valori di k esiste un affinità f : R 2 R 2 tale che f(r i ) = s i, i = 1, 2. Nel caso k = 0 si determini esplicitamente una tale f e si stabilisca se è unica. Es. 3: In uno spazio Euclideo, { si determinino le equazioni delle circonferenze tangenti alla retta r :. e tangenti nel punto A(0, 0, 1) alla y = z { x = 0 x = y retta t : y = 0.

12 20/2/2009 Es. 1: Si consideri la forma quadratica q : R 3 R definita da a) Diagonalizzare q. q(x, y, z) := 5x 2 + y 2 + z 2 + 4xy 4xz 2yz. b) Dire quali delle seguenti matrici è associata a q rispetto ad un opportuna base di R 3, determinando anche, quando possibile, una tale base: A 1 = 0 1/2 0, A 2 = 0 1/2 0, A 3 = 0 1/ Es. 2: Si consideri l applicazione f : R 2 R 2 tale che f(x, y) = (kx + 3y + 1, kx + 2y + k). a) Dire per quali valori di k R f è un affinità. b) Posto k = 1, determinare il punto di intersezione delle rette f(r) e f(s) dove r : y = x, s : y = 2x + 1. Determinare inoltre l equazione di f 1 (s). Es. 3: Classificare la seguente conica del piano euclideo, e determinarne una forma canonica: C : 3x 2 4xy + 8x + 5 = 0.

13 8/2/2010 Es. 1: Si considerino le forme quadratiche q i : M 2 (R) R, i = 1, 2, tali che q 1 (A) = tr( t AA) q 2 (A) = tr(a 2 ). (a) Stabilire che q 1 è definita positiva e diagonalizzare q 2. (b) Stabilire se l endomorfismo f : M 2 (R) M 2 (R) definito da f(a) = A + t A A M 2 (R) è simmetrico rispetto al prodotto scalare associato a q 1. Es. 2: Nel piano affine R 2 si considerino i punti A = (1, 1), B = (2, 2) e le rette r : x = y 1, t : x = 0. Stabilire se esiste un affinità f : R 2 R 2 tale che f(r) = r, f t = Id t, f(a) = B. Es. 3: Fissato in uno spazio euclideo un riferimento cartesiano, si considerino le rette { { x = 1 y = 1 r : z = 2y, s : z = x. (a) Si stabilisca la posizione reciproca delle rette r e s. (b) Si determinino equazioni delle sfere aventi centro sul piano π : x+ y+ z = 0, tangenti la retta r nel punto A(1, 0, 0), e tangenti la retta s.

14 19/2/2010 ( ) a b Es. 1: Posto, per ogni matrice A = c d tr(a) = a + d, si consideri la forma quadratica q : M 2 (R) R definita da q(a) = tr( t AA) (a) Stabilire che q è definita positiva. A M 2 (R). (b) Stabilire se l endomorfismo f : M 2 (R) M 2 (R) definito da f(a) = A + t A A M 2 (R) è simmetrico rispetto al prodotto scalare associato a q. Es. 2: Si consideri la conica C R 2 di equazione C : x 2 + y 2 6xy + 2 = 0. Si classifichi C e si determini un isometria f : R 2 R 2 tale che f(c) = C o dove C o è la forma canonica di C. Es. 3: Fissato in uno spazio euclideo un riferimento cartesiano, si considerino i piani π 1 : x + y z = 0, π 2 : x + y = 0. (a) Si determini un equazione della sfera S tangente il piano π 1 nel punto A(1, 1, 2) e avente centro sul piano π 2. (b) Detta C la circonferenza intersezione della sfera S con il piano π 2, si determini la retta tangente la circonferenza C nel punto B(1, 1, 4).

15 Prof. Boratynski 17/1/2005 Es. 1: data la matrice A = e ϕ : R 3 R 3 R la forma bilineare simmetrica associata ad A rispetto alla base canonica di R Dimostrare che ϕ un prodotto scalare in R 3 2. Ortonormalizzare la base canonica di R 3 rispetto a ϕ 3. Determinare l aggiunto, rispetto a ϕ, dell endomorfismo f : R 3 R 3 definito da f(x, y, z) = (x y, z, 3x). 4. Determinare una matrice P M 3 (R) tale che t P AP sia diagonale. Es. 2: Si consideri la base {u 1 = (1, 2), u 2 = (1, 0)} di R 2 e la base duale {u 1, u 2 } di (R 2 ). dato l endomorfismo f : R 2 R 2 tale che f(x, y) = (x y, x + y). 1. Esprimere il vettore η (R 2 ) dato da η(x, y) = 3x y come conbinazione lineare di u 1 e u 2 2. Scrivere la matrice di f rispetto alla base {u 1, u 2 }.

16 Es. 3: Nello spazio sono date le rette r 1 : { x y z = 1 x + 2z = 0 r 2 = { 2x y + z = 2 y + 3z = Verificare che r 1 e r 2 sono parallele e trovare il piano che le contiene. 2. Trovare il centro ed il raggio della circonferenza tangente ad r 1 in P (0, 1, 0) e ad r 2.

17 11/1/2008 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica <, > su R 3 associata alla forma quadratica q : R 3 R tale che q(x, y, z) = 1 2 x y z2 yz. a) Stabilire che <, > è un prodotto scalare che ammette B = {e 1 + e 2, e 1 e 2, e 2 + e 3 } come base ortonormale. b) Posto W = L(e 1 + e 2, e 3 ), si determini una base di W dove il complemento ortogonale è fatto rispetto a <, >. c) Si consideri l endomorfismo f : (R 3, <, >) (R 3, <, >) definito da f(x, y, z) = ( 1 2 x y z, x + y + z, 1 2 x y z). Stabilire che f è simmetrico e determinare una base ortonormale di (R 3, <, >) costituita da autovettori di f. Es. 2: Denotato con (x, y, z, t) il generico punto di R 4, si consideri il sottospazio affine E di equazioni { x + y + z = k x + y + kz = 1 dove k è un parametro reale. a) Si determinino la dimensione e la giacitura di E al variare di k R. b) Posto k = 0, considerato il punto A = (0, 1, 1, λ), dove λ R, mostrare che (A, {(1, 1, 0, 2), (0, 0, 0, 1)}) è un riferimento affine di E. Stabilire per quale valore di λ il punto P = (1, 0, 1, 0) E ha coordinate (1, 1) rispetto a tale riferimento.

18 Es. 3: In uno spazio Euclideo, si determinino le equazioni della circonferenza { Γ avente centro nell origine e tangente in A(1, 0, 0) alla retta y = z t : x = 1. Determinare inoltre l equazione della sfera S contenente Γ ed avente centro sul piano π : x + y 1 =0.

19 25/1/2008 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b su C 3 associata alla matrice A = a) Determinare una base di C 3 diagonalizzante per b. b) Per ciascuna delle seguenti matrici stabilire se essa rappresenta b in un opportuna base di C 3 e si determini, in caso affermativo, una tale base: A 1 = 0 1 0, A 2 = Es. 2: Stabilire se esiste un affinità f : R 2 R 2 tale che f((0, 0)) = (1, 1), f(1, 1) = (2, 2), f(0, 1) = (1, 0), f(1, 0) = (2, 1) ed in caso affermativo determinarla esplicitamente e stabilire se essa è unica. Es. 3: { In uno spazio Euclideo, sono dati il piano π : x 2y + 2z = 0 e la y = z retta s : x = 0. a) Stabilire che l unione delle rette perpendicolari a π e non sghembe con s è un piano e se ne determini un equazione. b) Determinare le{ equazioni delle sfere di raggio 1, tangenti a π e aventi x = y centro sulla retta t : z = 0.

20 9/1/2009 Es. 1: Si considerino le forme bilineari simmetriche B o e B su R 4 definite come segue B o ((x 1, x 2, x 3, x 4 ), (y 1, y 2, y 3, y 4 )) = x 1 y 1 +x 2 y 2 x 4 y 4 2x 1 y 3 2x 3 y 1 +x 2 y 3 +x 3 y 2 +3x 2 y 4 +3x 4 y 2 B 1 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ), (y 1, y 2, y 3, y 4 )) = x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 2x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4. a) Verificare che B è un prodotto scalare, mentre B o non lo è. b) Sia W R 4 il sottospazio vettoriale costituito dalle soluzioni del sistema omogeneo: { x1 + 2x 2 + 3x 3 = 0. x 1 + x 4 = 0 Si determini una base di W dove il complemento ortogonale è fatto rispetto a B. Es. 2: Si considerino i punti A = (1, 0), B = (1, 1), C = (2, 0), A = ( 1, 1), B = (2, 2), C = (0, 1) del piano affine R 2. Stabilire se esiste un affinità f : R 2 R 2 tale che f(a) = A, f(b) = B, f(c) = C ed in caso affermativo determinarla esplicitamente. Stabilire inoltre se tale affinità è unica. Es. 3: In uno spazio Euclideo, si determini l equazione del piano tangente nel punto P (1, 4, 3) alla sfera S di equazione S : x 2 + y 2 + z 2 2x 4y 6z + 10 = 0. Determinare inoltre il centro ed il raggio della circonferenza C = S π dove π è il piano di equazione π : x = 0.

21 6/2/2009 Es. 1: Si consideri l endomorfismo f : R 4 R 4 tale che f(1, 2, 0, 0) = (2, 8, 2, 0), f(0, 1, 0, 0) = (0, 4, 0, 0) f(0, 0, 1, 0) = (2, 0, 2, 0), f(0, 0, 1, 1) = (2, 0, 2, 4). a) Stabilire se f è simmetrico rispetto al prodotto scalare standard. b) Posto W = L((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)), si consideri l endomorfismo g : W W definito da g(w) = f(w) w W. Determinare, se possibile, una base ortonormale di W costituita da autovettori di g. Es. 2: Si considerino le rette r 1 : y = x, r 2 : y + x = 2, r 3 : y = 2 ed il punto A = (1, 2) del piano affine R 2. f : R 2 R 2 tale che f(r 1 ) = r 2, f(r 2 ) = r 1, f(r 3 ) = r 3, f(a) = A Stabilire se esiste un affinità ed in caso affermativo determinarla esplicitamente. Stabilire inoltre se tale affinità è unica. Es. 3: In uno spazio Euclideo, stabilire per quali valori di k R le rette { x = t x + ky 1 = 0 r : s : y = t 2. 2y z + k = 0 z = 2t sono sghembe. Determinare inoltre, nel caso k = 0, la retta di minima distanza tra r ed s.

22 11/1/2010 Es. 1: Si considerino le forme quadratiche q i : M 2 (R) R, i = 1, 2, tali che q 1 (A) = tr( t AA) q 2 (A) = tr(a 2 ). (a) Stabilire che q 1 è definita positiva e determinare la segnatura di q 2. (b) Stabilire se l endomorfismo f : M 2 (R) M 2 (R) definito da f(a) = A + t A A M 2 (R) è simmetrico rispetto al prodotto scalare associato a q 1. Es. 2: Nel piano affine R 2 si considerino i punti A 1 = ( 1, 2), B = (1, 2) e la retta r : y = 1. Stabilire se esiste un affinità f : R 2 R 2 tale che f(a) = B, f(b) = A, f(r) = r. In caso affermativo, determinare esplicitamente una tale f e dire se è unica. Es. 3: Fissato in uno spazio euclideo un riferimento cartesiano, si considerino le rette x = t { { 3x + y + z 2 = 0 2x y = 0 r 1 : y = t 1, r 2 :, r x + y 1 = 0 3 :. x z = 0 z = 2t 1 (a) Si verifichi che r 1, r 2 e r 3 sono complanari e si determini un equazione del piano che le contiene. (b) Si determinino le circonferenze aventi centro sulla retta r 1 e tangenti le rette r 2 e r 3.

23 Appello di Gennaio 2006 Es. 1: a) Posto W = L((1, 1, 0, 1), (0, 0, 0, 1)), si determini una base di W dove il complemento ortogonale è fatto rispetto al prodotto scalare standard di R 4. b) Determinare la matrice associata, rispetto alla base canonica, alla proiezione ortogonale p : R 4 R 4 di R 4 su W. Es. 2: Diagonalizzare la forma quadratica q su R 3 definita da q (x, y, z) = xz 2yz. Stabilire inoltre se q è definita positiva. Es. 3: In uno spazio Euclideo, { determinare l equazione della sfera contenente la circonferenza Γ : x y = 0 x 2 + y 2 + z 2 4x 2y 4z + 5 = 0 e passante per il punto A(2, 1, 2).

24 Es. 1: data la matrice Prova scritta di Geometria 2 Prof. Boratynski A = 12/4/ e ϕ : R 3 R 3 R la forma bilineare simmetrica associata ad A rispetto alla base canonica di R Dimostrare che ϕ un prodotto scalare in R 3 2. Ortonormalizzare la base canonica di R 3 rispetto a ϕ 3. Determinare una base di V dove V = L((1, 1, 1), (0, 1, 1)) 4. Considerato R 3 come spazio affine euclideo associato allo spazio vettoriale euclideo (R 3, ϕ), calcolare la distanza dei punti P = (0, 1, 0) e Q = (1, 0, 1). Es. 2: Si consideri la base {M 1,..., M 2 } di M 2 (R) tale che ( ) ( ) ( ) ( ) M 1 =, M =, M =, M = 0 1 e si denoti con B = {M 1,..., M 4 } la sua duale. a) Determinare le componenti, rispetto a B del vettore ϕ M 2 (R) tale che ( ) a b ϕ = a + d 2b. c d b) Data l applicazione lineare F : M 2 (R) M 2 (R) definita da ( ) ( ) a b x y F = ax dt c d z t calcolare F 1 (M1 ). Es. 3: Nello spazio sono date le rette { { 3z y = 1 z = 0 r 1 : r 2y z 2 = 0 2 = y = 0 r 3 = { 2x z = 2 3x 5z = 3.

25 1. Stabilire se esiste un piano π contenente r 1, r 2, r 3 ed in caso affermativo determinarne un equazione. 2. Determinare le equazioni delle circonferenze tangenti ad r 2 ed a r 3 ed aventi centro su r 1.

26 Prof. Boratynski 24/6/2005 Es. 1: a) Dire per quale valore di a R l insieme B = {(a, 1, 1), (a, 2a, 1), (1, 0, 1)} è una base ortogonale di (R 3, ), essendo il prodotto scalare standard; b) Stabilire se l endomorfismo F : R 3 R 3 associato, rispetto alla base ortogonale B di cui sopra, alla matrice A = è un endomorfismo simmetrico. Es. 2: Si consideri la forma bilineare B : R 1 [x] R 1 [x] R la cui forma quadratica associata è data da B(p, p) = p(0) 2 + p(1) 2. a) Determinare la matrice di B rispetto alla base canonica {1, x} di R 1 [x]; b) Stabilire che B è un prodotto scalare; c) Calcolare < h > dove h = 1 x. Es. 3: Nello spazio sono dati i piani π 1 : x y z+1 = 0, π 2 : y z 1 = 0 ed il punto P (0, 0, 1). a) Determinare l equazione del piano π 3 passante per P e perpendicolare a π 1 e a π 2 ; b) Posto Q = π 1 π 2 π 3, e detta r la retta per P perpendicolare a π 1, determinare le equazioni della circonferenza di centro Q tangente in P ad r.

27 6/6/2006 Es. 1: a) Si consideri la forma quadratica q su R 3 definita da q(x, y, z) = x 2 + y 2 + 2z 2 + 2yz. a) Verificare che q è definita positiva. b) Denotato con <, > il prodotto scalare associato a q, determinare una base ortonormale dello spazio Euclideo (R 3, <, >). c) Stabilire se l endomorfismo f : (R 3, <, >) (R 3, <, >) definito da è simmetrico. f(x, y, z) = (x + z, 0, x + z) Es. 2: Determinare la dimensione e la giacitura del sottospazio affine di R 4 di equazioni x + t 2 = 0 x + y = 0 2y 3t + 9 = 0 t = 5 Es. 3: Nel piano affine R 2, si consideri la conica C di equazione C : x 2 + 4xy + 2y 2 x + y 1 = 0. a) Determinare la forma canonica C o di C. b) Determinare un affinità F : R 2 R 2 tale che F (C) = C o.

28 21/6/2006 Es. 1: a) Si consideri la forma bilineare simmetrica b : R 4 R 4 R associata, nella base canonica, alla matrice A = a) Verificare che (R 4, b) è uno spazio Euclideo. b) Determinare una base di W dove W = L(e 1, e 3 +e 4 ) ed il complemento ortogonale è fatto rispetto a b; c) Denotata con p : R 4 R 4 la proeizione ortogonale relativa a W, determinare esplicitamente l insieme p 1 (e 1 ). Es. 2: Si considerino il punto B = (0, 1) e le rette r 1 : y = x + 1, r 2 : y = x + 1, t : x = 0 del piano affine R 2. Determinare un affinità f : R 2 R 2 tale che f(b) = B, f(t) = t, f(r 1 ) = r 2. Stabilire se tale affinità è unica. Es. 3: In uno spazio Euclideo, si determinino le circonferenze di raggio 1, passanti per { i punti A 1 (1, 0, 0), A 2 (0, 0, 1) e contenute in un piano parallelo y = x + 1 alla retta r :. x = z

29 19/6/2007 Es. 1: Sia v o R n ed F : R n R n l endomorfismo definito da F (v) =< v, v o > v o essendo <, > il prodotto scalare standard. a) Mostrare che F è simmetrico. b) Nel caso in cui n = 3 e v 0 = (1, 0, 1) si determini una baase ortonormale di R 3 costituita da autovettori di F. Es. 2: Nel piano affine R 2 si considerino le rette r : y = 0, s : y = x ed i punti A 1 = (1, 0), A 2 = (1, 1), A 3 = (0, 1). Stabilire se esite un affinità f : R 2 R 2 tale che f(r) = s, f(a 1 ) = A 2, f(a 2 ) = A 3 f(a 3 ) = A 1. In caso affermativo, determinare esplicitamente f e stabilire se è unica. { x = 2y Es. 3: In uno spazio Euclideo, si considerino la retta r : ed il z = 0 piano α : x + 2y + 2z + 4 = 0. Si determini l equazione della sfera Σ passante per il punto P (0, 4/3, 0), tangente ad α, avente centro su r e raggio pari a 4/3. Determinare inoltre il raggio della circonferenza C = Σ π dove π : 2x y 2z + 1 = 0.

30 3/6/2008 Es. 1: Si consideri la forma quadratica q su R 3 definita da dove λ R. q(x, y, z) = 2λx 2 6xy + 2y 2 + 8yz + 2z 2 a) Stabilire per quali valori di λ q è definita positiva. b) Posto λ = 1, diagonalizzare q. Es. 2: Nel piano affine R 2 si considerino le rette r 1 : x = 0, r 2 : y = 1, r 3 : x y = 0. Stabilire se esiste un affinità f : R 2 R 2 tale che f(r 1 ) = r 2, f(r 2 ) = r 3, f(r 3 ) = r 1. In caso affermativo, determinare esplicitamente f e stabilire se è unica. Es. 3: In uno spazio Euclideo, si considerino le rette r ed s di equazioni: x = 1 + 2t { y z + 1 = 0 r : y = 1 t s : 4x y z 11 = 0 z = 1 + 2t Verificare che r ed s sono complanari. Stabilire se esse sono incidenti oppure parallele e determinare l equazione cartesiana del piano che le contiene.

31 5/6/2009 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b : R 3 R 3 R associata, rispetto alla base canonica, alla matrice A = a) Verificare che b è un prodotto scalare. b) Posto v 1 = (1, 1, 0) e v 2 = (0, 0, 1), si consideri l endomorfimo F : R 3 R 3 definito da F (v) = b(v 1, v)v b(v 2, v)v 2 v R 3. Stabilire che F è un endomorfismo simmetrico dello spazio euclideo (R 3, b). c) Stabilire se F (W ) = W dove W = L(v 1, v 2 ) ed il complemento ortogonale è fatto rispetto a b. Es. 2: Si considerino le rette r 1 : y = x 1, r 2 : y = x + 1, t 1 : y = 1, t 2 : y = 1 del piano affine R 2. Stabilire se esiste un affinità f : R 2 R 2 tale che f(r 1 ) = r 2, f(r 2 ) = r 1, f(t 1 ) = t 1, f(t 2 ) = t 2 ed in caso affermativo determinarla esplicitamente. Stabilire inoltre se tale affinità è unica. Es. 3: In uno spazio euclideo, si determinino le equazioni della circonferenza passante per i punti A(1, 1, 0), B(1, 1, 0), avente raggio R = 6 { e 2 y + z = 0 tale che la proiezione ortogonale del suo centro sulla retta a : x z + 1 = 0 sia il punto H(0, 1, 1).

32 19/6/2009 Es. 1: Si consideri l endomorfismo F : R 3 R 3 tale che F (v) = (v v o ) u o + (v u o )v o v R 3 dove u o = ( 1 2, 0, 1 2 ), v o = (0, 1, 0) ed il simbolo denota il prodotto scalare standard di R 3. a) Mostrare che F è un endomorfismo simmetrico di (R 3, ). F. b) Determinare una base ortonormale di R 3 costituita da autovettori di c) Determinare una base ortonormale di R 3 costituita da autovettori di G = F F. Es. 2: Si considerino le rette r 1 : y = x 1, r 2 : y = x + 1 del piano affine R 2. Stabilire se esiste un affinità f : R 2 R 2 tale che f(r 1 ) = r 2, f(r 2 ) = r 1 ed in caso affermativo determinarla esplicitamente. Stabilire inoltre se tale affinità è unica. Es. 3: In uno spazio euclideo, { si determinino le equazioni delle sfere di x = y raggio 3 tangenti alla retta a : nel punto A(1, 1, 1) e passanti per y = z B(1, 1, 0).

33 Appello di Luglio 2004 Es. 1: Sia f : R 3 R 3 l endomorfismo dello spazio vettoriale Euclideo (R 3, ) definito da (x, y, z) R 3 f(x) = (x z, 0, z x) f. 1) Verificare che f è simmetrico. 2) Determinare una base ortonormale di R 3 costituita da autovettori di 3) Calcolare la dimensione ed una base di Im(f). Es. 2: Sia A 3 uno spazio affine reale di dimensione 3. Fissato un riferimento affine, determinare l equazione del piano π passante { per i punti x = y A(0, 2, 1) e B(1, 1, 1) e parallelo alla retta r di equazioni r : z + y = 0. Es. 2: Sia E 3 uno spazio Euclideo di dimensione 3. Fissato un riferimento cartesiano, determinare l equazione della sfera{ tangente all asse delle x = z 1 x nel punto P (1, 0, 0) ed alla retta r di equazioni r : nel punto y z = 1 Q( 1, 1, 0). Es. 4: Determinare un affinità f : R 2 R 2 tale che f(p 1 ) = P 2, f(p 2 ) = P 3, f(p 3 ) = P 1 dove P 1 = (1, 2), P 2 = (1, 0) e P 3 = (0, 1). Stabilire se f è unica.

34 Prof. Boratynski 12/7/2005 Es. 1: Sia B la forma bilineare simmetrica su R 4 associata alla matrice A = rispetto alla base canonica {e 1,..., e 4 }. a) Determinare la dimensione ed una base di U dove U = L(e 1 e 4 + 2e 3, 2e 2 e 1 + e 4, e 2 + e 3 ) ed il complemento ortogonale è fatto rispetto a B. b) Si consideri il vettore f (R 4 ) tale che f(v) = B(v, e 4 ) per ogni v R 4. Determinare le componenti di f rispetto alla base {e 1,..., e 4}. c) Posto W = L(f, g, h) con g(x, y, z, t) = x + 3z + t, h = g + 4e 1 8e 3 3e 4 determinare la dimensione ed una base di W. Es. 2: Nel piano affine R 2 sono dati i punti P = (0, 1), Q = (0, 1) e la retta r : y + x = 0. Determinare un affinità f : R 2 R 2 tale che f(p ) = Q, f(r) = r e tale che la restrizione di f ad r sia l applicazione identica di r. Stabilire se f è unica. { 2x = (2k + 5)z + 2 Es. 3: Nello spazio sono date le rette r : y = z a) Stabilire per quali valori di k R, r ed s sono parallele; b) Stabilire per quali valori di k R, r ed s sono sghembe., s : { z 2x = 0 y + kx = 1.

35 10/7/2006 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b : C 3 C 3 C associata, nella base canonica, alla matrice A = Determinare due basi B 1 e B 2 di C 3 rispetto alle quali la matrice associata a b sia rispettivamente A 1 ed A 2, dove A 1 = 0 1 0, A 2 = Es. 2: Si considerino i punti A = (1, 1), B = ( 2, 2) e le rette r : y = x, s : y = x del piano affine R 2. Determinare un affinità f : R 2 R 2 tale che f(a) = B, f(b) = A, f(r) = s, f(s) = r. Stabilire inoltre se tale affinità è unica. Es. 3: Nel piano affine R 2 sono date la coniche di equazioni C 1 : y 2 2y 3 = 0, C 2 : xy + x + y = 0, C 3 : x 2 + 3xy + 2y 2 + x + y = 0. a) Stabilire quali di queste coniche sono semplicemente degeneri e se ne determinino le componenti; b) Stabilire se esiste un affinità f : R 2 R 2 tale che f(c 1 ) = C 3.

36 8/7/2008 Es. 1: Dimostrare che l endomorfismo f : R 3 R 3 definito da f(x, y, z) = (5x + y + 3z, x + 5y + 3z, 3x + 3y + 3z) è simmetrico rispetto al prodotto scalare standard di R 3. Determinare una base ortonormale di R 3 costituita da autovettori di f. Es. 2: Nel piano affine R 2 si considerino le rette r 1 : x = 0, r 2 : y = 1, r 3 : x y = 0. Stabilire se esiste un affinità f : R 2 R 2 tale che f(r 1 ) = r 2, f(r 2 ) = r 3, f(r 3 ) = r 1. In caso affermativo, determinare esplicitamente f e stabilire se è unica. Es. 3: In uno spazio Euclideo, si determini l equazione della sfera tangente all asse z nel punto A(0, 0, 1) e tangente nel punto B(0, 1, 1) alla retta di equazioni: r : x = t y = 1 + t z = 1 + t

37 8/7/2009 Es. 1: Si consideri l endomorfismo F : R 3 R 3 tale che F (v) = (v v o ) u o + (v u o )v o v R 3 dove u o = ( 1 2, 0, 1 2 ), v o = (0, 1, 0) ed il simbolo denota il prodotto scalare standard di R 3. a) Mostrare che F è un endomorfismo simmetrico di (R 3, ). F. b) Determinare una base ortonormale di R 3 costituita da autovettori di c) Determinare una base ortonormale di R 3 costituita da autovettori di G = F F. Es. 2: Si considerino le rette ed i punti r 1 : y 1 = x, r 2 : y 1 = 2x, r 3 : y + x 1 = 0 A 1 = ( 1, 0), A 2 = ( 1 2, 0), A 3 = (1, 0) del piano affine R 2. Stabilire se esiste un affinità f : R 2 R 2 tale che f(r 1 ) = r 2, f(r 2 ) = r 3, f(a 1 ) = A 2, f(a 2 ) = A 3 ed in caso affermativo determinarla esplicitamente. Stabilire inoltre se tale affinità è unica. Es. 3: Si consideri il sottospazio affine S di R 4 avente equazioni { x1 x S : 2 1 = 0 x 3 x 4 2 = 0. Determinare le equazioni del sottospazio S avente la stessa dimensione di S, parallelo ad S e passante per il punto A(1, 1, 2, 3).

38 Appello di Novembre 2004 Es. 1: Sia, il prodotto scalare su R 3 la cui forma quadratica associata q : R 3 R è data da: (x, y, z) R 3 q (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 2z 2 2xy + 2xz 2yz. 1) Determinare una base di V, dove V = e 3 ed il complemento ortogonale è fatto rispetto a, ; 2) Determinare una base ortonormale rispetto a, del sottospazio W = e 3 e 1, e 1 e 2. 3) Stabilire se l endomorfismo f : R 3 R 3 definito da (x, y, z) R 3 f(x, y, z) = (x + z, x y + z, 0) è simmetrico rispetto a,. Es. 2: In un piano affine reale, si considerino le rette r : y = 0 e s : x y = 1. Determinare, se esiste, un affinità tale che ω(r) = s e ω(s) = r. Es. 3: { In uno spazio Euclideo, { determinare la posizione reciproca delle x y + 1 = 0 x + 2y 2z = 1 rette r 1 : x z 3 = 0 e r 2 :. Determinare inoltre 2x 2z = 1 le equazioni della retta passante per P (0, 0, 1), incidente r 2 e perpendicolare ad r 1.

39 Appello di Novembre 2005 Es. 1: Stabilire per quali valori di λ R i vettori e 1 + 2e 2 + e 3, 2e 1 + e 2 e 3, e 1 e 2 + λ e 3 non formano una base di (R 3 ), essendo {e 1, e 2, e 3 } la base canonica di R 3. Es. 2: Diagonalizzare la forma bilineare simmetrica su R 4 associata alla matrice A = Es. 3: In un piano affine reale, si considerino le rette r : y = 0 e s : y = 1 ed i punti A(0, 1) e B(1, 1). Determinare, se esiste, un affinità F : R 2 R 2 tale che F (r) = s e F (A) = B. Stabilire se F é unica. Es. 4: In uno spazio Euclideo, determinare la posizione reciproca delle rette { { { x = y x + z = 0 x = 0 r : s : t : z = 1 z = 2 z = 1. Determinare inoltre la retta di minima distanza tra r ed s.

40 6/11/2006 Es. 1: a) Si consideri l endomorfismo f di R 3 associato alla matrice A = Determinare una base ortonormale di R 3 costituita da autovettori di f. b) Posto W = L((1, 1, 0), (1, 0, 0)), determinare esplicitamente la proiezione ortogonale p : R 3 R 3 relativa a W. Es. 2: Si considerino le rette s : y = x, t : x = 0 ed i punti A = (1, 0), B = (2, 0) del piano affine R 2. Determinare un affinità f : R 2 R 2 tale che f(a) = B, f(s) = t. Stabilire inoltre se tale affinità è unica. Es. 3: Nello spazio si determinino le equazioni delle circonferenze di raggio 1, aventi { centro sul piano α : x 2z = 0, e tangenti alla retta r di x = 1 equazioni r : nel punto A(1, 0, 0). y = z

41 11/11/2008 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b : R 4 R 4 R associata, rispetto alla base canonica {e 1, e 2, e 3, e 4 }, alla matrice ) Determinare il rango e la segnatura di b. 2) Determinare una base di L(e 2, e 3, e 4 ) dove il complemento ortogonale è fatto rispetto a b. 3) Detta b la restrizione di b al sottospazio W = L(e 1 +e 2, e 2 +e 3, e 2 +e 4 ), stabilire se (W, b ) è uno spazio euclideo. Es. 2: In R 2 si considerino le rette r : y = 1, r : y = 0 ed i punti A = (0, 1), B = ( 1, 2), C = (2, 0), D = ( 2, 1). Stabilire se esiste un affinità f : R 2 R 2 tale che f(a) = C, f(b) = D, f(r) = r. In caso affermativo, determinare esplicitamente una tale f e dire se è unica. Es. 3: Si determinino le equazioni della circonferenza di R 3 avente centro in C(1, 1, 1) e passante per i punti P 1 (3, 3, 0), P 2 (0, 3, 3).

42 16/11/2009 Es. 1: Si consideri l endomorfismo f : R 4 R 4 tale che f(1, 0, 1, 1) = (1, 0, 1, 1), f(2, 1, 0, 0) = (2, 2, 0, 0) f(1, 0, 0, 1) = (1, 0, 1, 0), f(1, 0, 0, 0) = (1, 0, 0, 0). (a) Stabilire se f è simmetrico. (b) Posto U = {(x, y, z, t) R 4 3x + z + t = 0}, si determini una base di U. (c) Determinare, se possibile, una base ortonormale di U costituita da autovettori di f U : U U. Es. 2: In R 2 si considerino i punti A 1 = (1, 1), A 2 = (2, 2), A 3 = (0, 1) B 1 = (1, 0), B 2 = (2, 0), B 3 = ( 1, k) dove k R. Stabilire per quali valori di k esiste un affinità f : R 2 R 2 tale che f(a i ) = B i i = 1, 2, 3. In corrispondenza di tali valori, determinare esplicitamente una tale f e dire se è unica. Es. 3: Fissato { in uno spazio euclideo un riferimento cartesiano, si consideri la retta r :. x + y = 0 z = 0 (a) Si determini un equazione del luogo L dei punti aventi distanza 1 da r. (b) Si determini il piano π ortogonale alla retta r e passante per il punto P ( 1 2, 1 2, 1). (c) Considerata la circonferenza C = L π, si determini la retta t tangente in P a C.

43 Appello di Settembre 2005 Es. 1: Si considerino le applicazioni lineari F : R 4 (R 4 ), G : (R 4 ) R 4 tali che F (a, b, c, d)(x, y, z, t) = 2(x + t)(a + d) e la matrice associata a G rispetto alle basi {e 1,..., e 4} e {e 1,..., e 4 } è A = a) Determinare Ker(F ) e Ker(F ), dove il complemento ortogonale è fatto rispetto al prodotto scalare standard. b) Determinare una base ortonormale di Im(G). c) Stabilire se l endomorfismo G F di (R 4, ) è simmetrico. Es. 2: In un piano affine reale, si considerino le rette r : y = 0 e s : x y = 1, t : x y = 2. Determinare, se esiste, un affinità tale che ω(r) = r e ω(s) = t. Es. 3: In uno spazio Euclideo, determinare le equazioni della circonferenza { passante per il punto A(0, 1, 1) e tangente nell origine alla retta z 2x = 0 r : y = 0

44 Secondo Appello Settembre 2005 Es. 1: Sia f : R 3 R 3 l endomorfismo di R 4 definito da (x, y, z, t) R 3 f(x) = (x, y + z, y + z, t) f. 1) Verificare che f è simmetrico rispetto al prodotto scalare standard; 2) Determinare una base ortonormale di R 4 costituita da autovettori di 3) Calcolare la dimensione ed una base di Im(f). Es. 2: Si considerino i vettori f, g, h di (R 3 ) tali che f(x, y, z) = αx + y + z, g(x, y, z) = x + αy, h = e 2 + e 3 dove {e 1, e 2, e 3 } è la base canonica di R 3. a) Dire per quali valori del parametro reale α, B = {f, g, h} è una base di (R 3 ). b) Determinare la matrice associata, rispetto alla base {e 1, e 2, e 3}, all endomorfismo F : (R 3 ) (R 3 ) tale che ω (R 3 ) F (ω)(x, y, z) = ω(e 1 )x ω(e 2 )y + ω(e 3 )t. Es. 3: Determinare le equazioni delle sfere tangenti al piano { π : y z = 0 x = 2y nel punto P (1, 0, 0) e tangenti alla retta s di equazioni s : z = 1

45 11/9/2006 Es. 1: Si consideri l endomorfismo f di R 3 definito da f(x, y, z) = (x + αy 3z, 0, 3x + 9z). a) Stabilire per quali valori di α R f è simmetrico. In corrispondenza di tali valori determinare una base ortonormale di R 3 costituita da autovettori di f. b) Posto α = 1, determinare esplicitamente l aggiunto t f : R 3 R 3 di f. Es. 2: Si considerino i punti A = (1, 0), A = (1, 1) e le rette r : y = 0, s : y = 1, t : y = x r : y + x = 0, s : y + x = 1, t : x = 1 del piano affine R 2. Determinare un affinità f : R 2 R 2 tale che f(a) = A, f(r) = r, f(s) = s, f(t) = t. Stabilire inoltre se tale affinità è unica. Es. { 3: Nello spazio si considerino la retta r ed il piano π di equazioni x = y r :, π : x = 2y. Si determinino le equazioni delle circonferenze y = z tangenti ad r nell origine, aventi centro su π e raggio pari a 1 14.

46 27/9/2006 Es. 1: Si consideri la forma quadratica su R 4 : a) Determinare il rango di q. q(x, y, z, t) = yz + zt. b) Determinare una base di R 4 rispetto alla quale la matrice associata a q è A = c) Stabilire se esiste una base di R 4 rispetto alla quale la matrice associata a q è B = Es. 2: Si consideri il sottospazio affine di R 4 di equazioni x y + z = 1 S : 2x y + 3z t = 2 y + z t = 0 a) Determinare la dimensione di S. b) Determinare un riferimento affine R di S e rispetto a tale riferimento calcolare le coordinate dei punti P 1 = (1, 0, 0, 0) e P 2 = (0, 0, 1, 1) di S. { Es. 3: Nello { spazio si considerino le rette r ed s di equazioni r : 2x = z x + 2 = 0, s :. Si determinino le equazioni della circonferenza y = 1 y = z tangente in A(0, 1, 0) ad r ed avente centro su s.

47 10/9/2007 Es. 1: Si consideri l endomorfismo f di R 3 associato, rispetto alla base B = {(0, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)}, alla matrice A = ) Provare che f è simmetrico rispetto al prodotto scalare standard di R 3. f. 2) Determinare una base ortonormale di R 3 costituita da autovettori di Es. 2: Si considerino le rette r 1 : x = 1, r 2 : x = 2, s 1 : y = 1, s 2 : y = 2, t : y = 2x del piano affine R 2. Stabilire se esiste un affinità f : R 2 R 2 tale che f(r 1 ) = s 1, f(r 2 ) = s 2, f(t) = t ed in caso affermativo determinarla esplicitamente. Stabilire inoltre se tale affinità è unica. Es. 3: Nello spazio { si determinino le rette passanti per A(0, 1, 0), perpendicolari alla retta r : ed aventi minima distanza 1 x = z 2 y = 0 da r.

48 21/9/2007 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b : R 4 R 4 R associata, nella base canonica, alla matrice k A = k dove k è un parametro reale. 1) Stabilire per quali valori di k b è non degenere e per quali valori di k è definita positiva. 2) Posto W = L((1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)), si determini, al variare di k, una base di W dove il complemento ortogonale è fatto rispetto a b. 3) Posto k = 0, si determini una base diagonalizzante per b. Es. 2: Si considerino le applicazioni f 1, f 2 : R 2 R 2 definite da: f 1 (x, y) = ( x + y + 1, x + y), f 2 (x, y) = ( x + y + 1, x + y). a) Verificare che soltanto una di esse è un affinità. Si denoti tale affinità con f. b) Si determini l equazione della retta f(r) dove r : x y + 2 = 0. c) Stabilire se f τ = τ f essendo τ la traslazione di vettore v = (1, 1). Es. 3: Nello spazio si determinino le { equazioni della circonferenza avente z = 0 centro sulla retta r di equazioni r : e tangente nel punto { x 2y = 0 x 1 = 0 A(1, 0, 0) alla retta s di equazioni s : y z = 0.

49 24/9/2008 Es. 1: Sia f : R 4 R 4 l endomorfismo di R 4 definito da f(e 1 ) = 2e 1 + 2e 3, f(e 2 ) = 4e 2, f(e 3 ) = 2e 1 + 2e 3, f(e 4 ) = 4e 4 dove {e 1, e 2, e 3, e 4 } è la base canonica. Verificare che f è simmetrico rispetto al prodotto scalare standard e determinare una base ortonormale costituita da autovettori di f. Es. 2: In R 3 sono dati il piano π : x+2y+z = 0 e la retta r : { x = 0 y + z = 0 a) Dopo aver verificato che r e π sono incidenti in un punto, determinare la retta s proiezione ortogonale di r su π. b) Determinare l immagine f(s) dove f è l affinità tale che f(x, y, z) = (x + 2y + 3z, 4y + 5z, 6z). Es. 3: Si determinino le equazioni della circonferenza di R 3 passante per i punti P 1 (1, 0, 0), P 2 (1, 2, 3), P 3 (0, 0, 1).