E-BOOK01 INVALSI Matematica

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2 E-book01 per la scuola secondaria di II grado Per la preparazione alle prove INVALSI dell anno scolastico Le domande presenti in questo e-book sono prodotte e distribuite dall Istituto Nazionale per la Valutazione del Sistema Educativo di Istruzione e Formazione (INVALSI). Skill On Line srl ne ha curato la raccolta ed il commento.

3 Numeri 6 Tabella numeri primi... 7 La notazione scientifica... 8 La percentuale... 9 All ufficio cambio Lo sconto Numeri razionali e irrazionali Potenza e proprietà delle potenze Tabella euro Espressioni letterali Prodotti notevoli Calcolo dell area di una figura geometrica col metodo della quadrettatura Risolvere un equazione Sistema di numerazione a base Spazio e Figure 20 Formule area e perimetro Teorema di Pitagora Angoli al centro e alla circonferenza Sviluppo di un parallelepipedo rettangolo e di un cubo Calcolo dell area di una figura geometrica col metodo della quadrettatura Teorema sui triangoli Asse di simmetria Assi di simmetria Il quadrato e lo sviluppo del cubo Proporzioni I triangoli Triangolo isoscele Dati e previsioni 35 L Istogramma La probabilità di un evento La Tabella Media aritmetica Coordinate di un grafico Media aritmetica e media ponderata Scarto quadratico medio Il Grafico e l Istogramma Relazioni e funzioni 45 Sommario

4 La scala di rappresentazione L equazione Aritmetica dei numeri pari e dispari Coordinate in un grafico Disequazione di primo grado ad una incognita La Tabella L equazione della parabola La negazione Esercizio dalle parole alla formula Valore assoluto La percentuale La molla Espressioni letterali Prova anno scolastico D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D Sommario

5 D D D Prova anno scolastico D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D Sommario

6 Numeri

7 Numeri Tabella numeri primi Tabella dei numeri Primi fino a Numeri 7

8 Numeri La notazione scientifica La notazione scientifica viene usata per esprimere i numeri reali utilizzando le potenze intere di dieci, ed è usata per numeri molto grandi o molto piccoli. La notazione permette di esprimere quantità fisiche senza includere lunghe file di zeri: 10 1 = = = = = = Oltre alle potenze positive, si possono usare le potenze negative: 10 -n è uguale a 1/10 n e in decimali si può esprimere con uno 0 seguito dalla virgola, da n-1 zeri e da un 1: 10-1 = 1/10 = 0, = 1/1000 = 0, = 1/ = 0, In questo modo, un numero molto grande come può essere espresso come 1, , (si mette la virgola dopo il primo numero e poi si contano tutte le altre cifre per determinare l esponente). Un numero piccolo come 0, può essere scritto come 1, (si mette la virgola dopo la prima cifra diversa da zero, poi si contano tutti gli zeri per determinare l esponente). Numeri 8

9 Numeri La percentuale La percentuale è un particolare rapporto tra due grandezze a e b espresso in centesimi. Si ottiene moltiplicando per 100 il rapporto a/b e ponendo a fianco il simbolo %. Esempio: 5 allievi su 25 risultano assenti. La percentuale degli allievi assenti allora sarà: Quindi la percentuale è un rapporto che indica quante parti sul totale (rispetto a 100) soddisfano una certa condizione. Lo sconto Supponiamo di trovare un'offerta che ci dice che su un videogioco che costa 70 euro si applica uno sconto pari al 20 per cento, quanto pagheremo alla cassa? L'operazione da fare sarà: 70 (prezzo del videogioco), moltiplicato per 20 (percentuale di sconto), il tutto diviso 100 per calcolare lo sconto: Sconto = (70 x 20)/100 = 14 euro Ora sottraiamo i 14 euro di sconto ai 70 euro del videogioco per ottenere il prezzo scontato: prezzo scontato = = 56 euro il risultato è 56 euro, il prezzo del videogioco scontato. Trucchetto Avresti potuto ottenere il prezzo scontato direttamente facendo 70 x 0,8 = 56 euro. Perché? Suggerimento: su 100 parti se ne pagano solo 80! Numeri 9

10 Numeri All ufficio cambio Quando ci rechiamo all estero o per vacanza o per studio abbiamo l esigenza di effettuare il cambio della valuta; bisogna fare dei calcoli talvolta neanche semplici per molti. Però si può ricorrere ad una regola pratica come riportato di seguito: fissato un indice di cambio se voglio sapere quanti dollari riceverò basterà moltiplicare il numero degli euro da cambiare per l indice di cambio viceversa se voglio sapere quanti euro dovrò cambiare per ricevere un numero determinato di dollari basterà dividere il numero dei dollari per l indice di cambio. Esempio 1) Ho da cambiare 1000 euro e l indice di cambio è 1,33 Riceverò 1330 dollari cioè: 1000 x 1,33 2) Voglio sapere quanti euro dovrò cambiare per avere 1000 dollari 1000/1,33 = 752 cioè devo cambiare 752 euro per avere 1000 dollari Numeri 10

11 Numeri Lo sconto Supponiamo di trovare un'offerta che ci dice che su un videogioco che costa 70 euro si applica uno sconto pari al 20 per cento, quanto pagheremo alla cassa? L'operazione da fare sarà: 70 (prezzo del videogioco), moltiplicato per 20 (percentuale di sconto), il tutto diviso 100 per calcolare lo sconto: Sconto = (70 x 20)/100 = 14 euro Ora sottraiamo i 14 euro di sconto ai 70 euro del videogioco per ottenere il prezzo scontato: prezzo scontato = = 56 euro il risultato è 56 euro, il prezzo del videogioco scontato. Trucchetto Avresti potuto ottenere il prezzo scontato direttamente facendo 70 x 0,8 = 56 euro. Perché? Suggerimento: su 100 parti se ne pagano solo 80! Numeri 11

12 Numeri Numeri razionali e irrazionali Un numero razionale è un numero che si ottiene come rapporto tra due numeri interi, il secondo dei quali diverso da 0. Si esprime mediante una frazione a/b, di cui a è detto il numeratore e b il denominatore. Esempi di numeri razionali: ; ; I numeri razionali formano un campo, indicato con il simbolo Q che sta per quoziente. Si dicono numeri irrazionali i numeri che non possono essere descritti come rapporto di due numeri interi. Ad esempio: Infatti come si può verificare nessuno di questi due numeri può essere descritto come rapporto di due numeri interi. ( ; = 1, ) Numeri 12

13 Numeri Potenza e proprietà delle potenze In matematica la potenza è un'operazione che associa ad una coppia di numeri a e n - detti rispettivamente base ed esponente - il numero dato dal prodotto di n fattori uguali ad a: Le potenze scritte nella forma a n si leggono come elevato alla n o più semplicemente alla n. L esponente è usualmente rappresentato come apice immediatamente a destra della base. Alcuni esponenti hanno un loro nome. L esponente due è spesso indicato come al quadrato (un numero alla seconda rappresenta l area di un quadrato che abbia per lato quel valore) e l esponente 3 come al cubo (un numero alla terza rappresenta il volume di un cubo che abbia per spigolo quel valore). Esempi 3 2 = 3 x 3 = = 2 x 2 x 2 = 8 ( ) = Proprietà delle potenze Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente uguale alla somma degli esponenti. 3 2 x 3 3 = 3 5 Il quoziente di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente uguale alla differenza degli esponenti. 3 5 : 3 2 = 3 3 La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. (3 2 ) 3 = 3 6 Numeri 13

14 Numeri Tabella euro Nella figura a lato è riportato un esempio di tabella; in essa viene riportato il peso per ogni moneta. Ad esempio si può leggere alla 7 riga che la moneta da 1 euro ha il peso di 7,5 g. Moneta Peso 1 centesimo 2,3 g 2 centesimi 3,06 g 5 centesimi 3,92 g 10 centesimi 4,19 g 20 centesimi 5,74 g 50 centesimi 7,8 g 1 euro 7,5 g 2 euro 8,5 g Una tabella è formata da una griglia di righe e colonne che intersecandosi individuano tante celle. riga cella colonna La tabella in figura è composta da 4 righe e 5 colonne; quindi se si vuole individuare la posizione dove c è la scritta in rosso cella bisogna indicare la prima riga e la 5 colonna. Numeri 14

15 Numeri Espressioni letterali Un espressione letterale è un espressione algebrica dove compaiono numeri e lettere; ad esempio a + b + c + d ; 3a - 5b 2 + 7c ; assegnando alle lettere dei valori numerici le espressioni letterali diventano numeriche. Esempio 1 5ab + 2c per a= 3 ; b = - 4, c = 2 si ha: ( ) Esempio 2 ( ( ) ) per a = 1 ; b= 2 ; c= 4 ( ( ) ) ( ) Esempio 3 per x = 4 ; y = 4 Numeri 15

16 Numeri Prodotti notevoli ( ) + 2ab + ( ) + 2ab - Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo termine, più il doppio prodotto del primo per il secondo, più il quadrato del secondo termine. (Nel caso del segno meno il doppio prodotto è negativo) ( ) + 3 b + + ( ) - 3 b + - Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo, più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo termine. (Nel caso del segno meno vanno alternati i segni) ( )( ) - Differenza di due quadrati ( )( + ab + ) = - Differenza di due cubi Numeri 16

17 Numeri Calcolo dell area di una figura geometrica col metodo della quadrettatura Per determinare l area di una figura geometrica col contorno irregolare come quella riportata nella figura non possiamo utilizzare le formule abituali. Si può utilizzare il metodo della quadrettatura; questo metodo ci permette di conoscere l area con una buona approssimazione e che migliora quanto più piccoli sono i quadretti. Supponiamo di voler calcolare l area della superficie racchiusa dalla curva. Possiamo agire nel seguente modo: 1) Disegniamo un poligono quadrettato che sia sempre esterno alla curva e contiamo quanti quadretti contiene (in pratica l area del poligono esterno alla curva) 2) Disegniamo poi un poligono quadrettato interno alla curva e contiamo quanti quadretti contiene (in pratica l area del poligono interno alla curva) L area racchiusa dalla curva è intermedia alle aree dei due poligoni pertanto il suo valore approssimato si può calcolare facendo la media aritmetica delle due aree, cioè: È evidente che quanto più saremo precisi nel tracciare i due poligoni in maniera adiacente alla curva tanto più il risultato risulterà meglio approssimato. Numeri 17

18 Numeri Risolvere un equazione Risolvere un equazione significa trovare quel valore di x che soddisfi l equazione data. Un equazione di primo grado ammette sempre una ed una sola soluzione. Esempi a) 3x + 3 = 0 3x = -3 b) 2x -4x = 0-2x = x = -4 Verifica dell equazione Per controllare se la soluzione trovata è esatta si può sostituire ad x la soluzione trovata e verificare che i due membri abbiano lo stesso valore; verifichiamo l equazione dell esempio b): -2(+2) = -4-4 = -4 Numeri 18

19 Numeri Sistema di numerazione a base 10 Il nostro sistema di numerazione si dice posizionale in quanto il valore di un simbolo dipende dalla posizione che esso occupa nella scrittura del numero. I simboli usati (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) vengono detti cifre. Esempio. Nel numero le cifre sono 2, 6, 9, 5 Nella scrittura di un numero decimale si distinguono due parti: la parte intera, che è quella prima della virgola e la parte decimale che è quella dopo la virgola. Per quanto detto precedentemente ogni cifra ha un valore che dipende dalla posizione che essa occupa nel numero stesso. Questo valore si chiama valore posizionale della cifra. Spostandosi da destra verso sinistra, il valore posizionale delle cifre aumenta di 10 volte per ogni posto. Esempi 1 decina = 10 unità 1 centinaia = 10 decine = 100 unità 1 migliaia = 100 decine = 1000 unità Esercizio Scomponi il numero 34,567 Numeri 19

20 Spazio e Figure 20

21 Spazio e Figure Formule area e perimetro Figura Quadrato Rettangolo Triangolo Trapezio l l h b a h b c a h b B c Area A = l x l oppure A = l 2 A = b x h A = A = ( ) P = 2b + 2h Perimetro P = l x 4 oppure P = b + c + d P = B + b + c + d P = 2 x (b + h) Spazio e Figure 21

22 Spazio e Figure Teorema di Pitagora Il teorema di Pitagora stabilisce una relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo. Enunciato In un triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti. Dato un triangolo rettangolo di lati a, b e c, ed indicando con c la sua ipotenusa e con a e b i suoi cateti, il teorema è espresso dall'equazione: o, in alternativa, risolvendolo per c: a 2 + b 2 = c 2 Da cui si ricavano i rispettivi cateti: e Spazio e Figure 22

23 Spazio e Figure Angoli al centro e alla circonferenza Per comprendere quale relazione ci sia tra gli angoli al centro e alla circonferenza occorre ricordare il seguente Teorema: In ogni circonferenza l'angolo al centro è doppio dell'angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco. Ipotesi A B = angolo al centro A B = angolo alla circonferenza (insiste sullo stesso arco ) Tesi A B = 2 A B Dimostrazione Tracciamo il diametro COD e poi cominciamo col dimostrare che D B = 2D B osservando che: il triangolo OBC è isoscele poiché OB ed OC sono uguali in quanto raggi della circonferenza e quindi i due angoli O B ed O C sono uguali l angolo D B è un angolo esterno rispetto al triangolo OCB ed è pari a 2 O B, infatti: D B = C B = 180 (180-2 O B) = 2 O B quindi: D B = 2 O B = 2D B come volevasi dimostrare. ora per dimostrare che D A= 2D A si agisce come prima (puoi provarlo a fare tu). Concludendo allora si ha che: A B = 2 D B + 2D A = 2(D B + D A) = 2 A B Spazio e Figure 23

24 Spazio e Figure Sviluppo di un parallelepipedo rettangolo e di un cubo Osserva lo sviluppo di un parallelepipedo rettangolo. Spazio e Figure 24

25 E-BOOK01 Spazio e Figure Sviluppo del cubo Osserva lo sviluppo di un cubo. Spazio e Figure 25

26 Spazio e Figure Calcolo dell area di una figura geometrica col metodo della quadrettatura Per determinare l area di una figura geometrica col contorno irregolare come quella riportata nella figura non possiamo utilizzare le formule abituali. Si può utilizzare il metodo della quadrettatura; questo metodo ci permette di conoscere l area con una buona approssimazione e che migliora quanto più piccoli sono i quadretti. Supponiamo di voler calcolare l area della superficie racchiusa dalla curva. Possiamo agire nel seguente modo: 1) Disegniamo un poligono quadrettato che sia sempre esterno alla curva e contiamo quanti quadretti contiene (in pratica l area del poligono esterno alla curva) 2) Disegniamo poi un poligono quadrettato interno alla curva e contiamo quanti quadretti contiene (in pratica l area del poligono interno alla curva) L area racchiusa dalla curva è intermedia alle aree dei due poligoni pertanto il suo valore approssimato si può calcolare facendo la media aritmetica delle due aree, cioè: È evidente che quanto più saremo precisi nel tracciare i due poligoni in maniera adiacente alla curva tanto più il risultato risulterà meglio approssimato. Spazio e Figure 26

27 Spazio e Figure Teorema sui triangoli Teorema - In un triangolo ogni lato è maggiore della somma degli altri due. Ipotesi: supponiamo sia assegnato il triangolo ABC (quello in rosso) Tesi: dimostriamo che il lato AB è minore della somma degli altri due lati AC e CB. B β α γ A C D Dimostrazione: prolunghiamo il lato AC con un segmento CD uguale a CB; poi congiungiamo il punto B con il punto D; si ottiene il triangolo isoscele CDB (CB=CD); gli angoli alla base in un triangolo isoscele sono uguali quindi α = γ. Inoltre α è minore di β perché è una parte dell angolo β quindi anche γ che è uguale ad α è minore di β. Osservato questo si può dedurre quindi che nel triangolo ABD il lato AB opposto all angolo minore γ è minore dell angolo AD opposto all angolo maggiore β, cioè AB<AD; ma AD = AC + CD e poiché CB=CD possiamo scrivere che: AD = AC + CB quindi AB < AC + CB. Spazio e Figure 27

28 Spazio e Figure Asse di simmetria Simmetria rispetto all asse x. Consideriamo l asse x (y = 0) come asse di simmetria. Il simmetrico di A(x,y) rispetto all asse delle x è il punto B(x, y ) osserviamo dunque che: l ascissa di B è uguale a quella di A, l ordinata di B è uguale all ordinata di A cambiata di segno. Le equazioni della simmetria rispetto all asse x sono quindi: x = x y = - y Es. A(3, 2) simmetrico B(3, -2) Simmetria rispetto all asse y Consideriamo l asse y (x = 0) come asse di simmetria. Il simmetrico di A(x, y) rispetto all asse delle x è il punto B(x, y ) osserviamo dunque che: l ascissa di B è uguale a quella di A cambiata di segno, l ordinata di B è uguale all ordinata di A. Le equazioni della simmetria rispetto all asse y sono quindi: x = - x y = y Es. A(3,2) simmetrico B(-3, 2) Spazio e Figure 28

29 Spazio e Figure Simmetria rispetto ad un punto qualsiasi Si calcolano le coordinate del punto medio come di seguito: { { Dal sistema si ricavano le equazioni di simmetria rispetto ad un punto qualsiasi: { Spazio e Figure 29

30 Spazio e Figure Assi di simmetria Di seguito alcuni esempi di assi di simmetria nei poligoni regolari. Il triangolo equilatero ha tre assi di simmetria Il quadrato ha quattro assi di simmetria Il pentagono ha cinque assi di simmetria Spazio e Figure 30

31 E-BOOK01 Spazio e Figure Il quadrato e lo sviluppo del cubo Il quadrato è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati uguali e quattro angoli uguali (tutti retti). Le diagonali di un quadrato sono uguali e perpendicolari; si intersecano nel loro punto di mezzo e misurano Sviluppo del cubo Spazio e Figure 31

32 Spazio e Figure Proporzioni Abbiamo una proporzione quando tra quattro numeri il rapporto tra i primi due numeri è uguale al rapporto tra gli ultimi due numeri. Una proporzione è pertanto un uguaglianza tra due rapporti formati con quattro numeri che prendono il nome di termini della proporzione: che si può anche scrivere come: a : b = c : d (si legge: a sta a b come c sta a d) Il primo ed il quarto termine (a e d) si dicono estremi, mentre il secondo ed il terzo termine si dicono medi. Esempio 1 36 : 4 = : 8 La (un medio è uguale al prodotto tra gli estremi diviso l altro medio) Esempio 2 36 : 4 = La (un estremo è uguale al prodotto tra i medi diviso l altro estremo) Grandezze direttamente ed inversamente proporzionali Due grandezze variabili si dicono direttamente proporzionali se raddoppiando, triplicando la prima anche l altra raddoppia, triplica. Due grandezze variabili si dicono inversamente proporzionali se raddoppiando, triplicando la prima l altra si dimezza, si riduce a un terzo. Spazio e Figure 32

33 Spazio e Figure I triangoli Il triangolo è un poligono con tre lati e tre angoli. Un triangolo si dice equilatero se ha tutti e tre i lati uguali Un triangolo si dice isoscele se ha due lati uguali Un triangolo si dice scaleno se ha i tre lati disuguali Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso Un triangolo si dice acutangolo se ha tre angoli acuti Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto; i due lati adiacenti all angolo retto si chiamano cateti ; il lato opposto all angolo retto si chiama ipotenusa. Da ricordare: Per costruire un triangolo è necessario che ogni lato sia minore della somma degli altri due. Spazio e Figure 33

34 Spazio e Figure Triangolo isoscele Si definisce triangolo isoscele un triangolo che possiede almeno due lati uguali o un triangolo che possiede almeno due angoli uguali. Infatti vale il seguente Teorema: Un triangolo ha due lati uguali solo se ha due angoli uguali. Gli angoli alla base del triangolo crescono al crescere dell altezza. Come in tutti i triangoli la somma delle ampiezze degli angoli vale 180 gradi. Formule ( ) (verificala con il teorema di Pitagora e ricorda che la base è divisa in due dall altezza) Spazio e Figure 34

35 Dati e previsioni 35

36 Dati e previsioni L Istogramma Un istogramma è un particolare grafico dove ogni dato è rappresentato dalla superficie di un rettangolo. I rettangoli hanno tutti ugual base e il confronto fra le loro superfici è possibile grazie alle diverse altezze. Come per i diagrammi a linee, i rettangoli possono essere posizionati in verticale o in orizzontale. Inoltre, possono essere disegnati uno di seguito all altro senza spazi intermedi, in modo da formare un unica superficie (istogramma) oppure separatamente a strisce verticali (ortogramma). Nel lessico quotidiano però si parla di istogramma in ambedue i casi. Vengono anche detti : grafici a colonna, grafici a rettangolo Esempio Disegniamo l istogramma relativo alla classifica di alcune squadre di calcio di serie A. 60 Classifica Serie A P u n t i Serie 1 0 Dati e previsioni 36

37 Dati e previsioni La probabilità di un evento Si definisce probabilità di un evento il rapporto fra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei casi possibili supposti tutti ugualmente possibili p = P(E) = Essendo m il numero dei casi favorevoli ed n il numero dei casi possibili. Ad esempio: Nel lancio di una moneta posso ottenere o testa o croce. I casi favorevoli sono 1; I casi possibili sono 2 (le due facce della moneta), quindi: p = = 0,5 (cioè il 50%) Se si fanno due lanci si possono ottenere le seguenti combinazioni (TT, CC, TC,CT); in questo caso per calcolare la probabilità che facendo due lanci si ottenga la combinazione (TT) dovremo considerare che: I casi favorevoli sono 1 I casi possibili sono 4 p = = 0,25 (cioè il 25%) Per calcolare la probabilità che facendo due lanci si ottenga la combinazione TC o CT dovremo considerare che: I casi favorevoli sono 2 I casi possibili sono 4 p = = 0,5 (cioè il 50%) Dati e previsioni 37

38 Dati e previsioni La Tabella Una tabella è formata da una griglia di righe e colonne che intersecandosi individuano tante celle. riga cella colonna La tabella in figura è composta da 4 righe e 5 colonne; quindi se si vuole individuare la posizione dove c è la scritta in rosso cella bisogna indicare la prima riga e la 5 colonna. Es. Verifica che nella tabella seguente il ragazzo più alto è Vittorio e il dato si trova nella cella individuata dalla riga 4 e la colonna 3, cioè 173 cm. Nome Età Altezza Angelo Mario Luca Vittorio Dario Dati e previsioni 38

39 Dati e previsioni Media aritmetica La media aritmetica è il tipo di media impiegato più comunemente e quello al quale, con il termine "media", si fa in genere riferimento nel parlare comune. Viene usata per riassumere con un solo numero un insieme di dati su un fenomeno misurabile (per esempio, l'altezza media di una popolazione). Viene calcolata sommando i diversi valori a disposizione, i quali vengono divisi per il loro numero complessivo. La formula della media aritmetica semplice per n elementi è: media = Oltre che in matematica, la media aritmetica è ampiamente impiegata in svariati campi, quali economia, sociologia e nella maggior parte delle discipline accademiche. Esempio Consideriamo una classe composta da 10 alunni e di voler calcolare l altezza media; nella tabella sono indicate le varie altezze in cm. Alunno Mario Giovanni Alberto Danilo Francesco Giulio Carlo Bruno Sandro Mauro Altezza in cm. l altezza media sarà pari a: = 154,4 cm Dati e previsioni 39

40 Dati e previsioni Coordinate di un grafico La figura rappresenta un piano cartesiano; per poterlo disegnare devi tracciare l asse delle X (le ascisse) e l asse delle y (le ordinate). L asse delle X e delle Y sono suddivisi in tanti parti uguali; ogni parte è uguale all unità di misura U. Il punto A è un punto del piano cartesiano. Per trovare il punto bisogna conoscere le sue coordinate: l ascissa 1 e l ordinata 3. Riepilogando quindi, ogni punto del piano si può individuare con una coppia di numeri reali chiamati rispettivamente ascissa e ordinata del punto e si scrive: P(x,y); Dati e previsioni 40

41 Dati e previsioni Media aritmetica e media ponderata Media aritmetica La media aritmetica è il tipo di media impiegato più comunemente e quello al quale, con il termine "media", si fa in genere riferimento nel parlare comune. Viene usata per riassumere con un solo numero un insieme di dati su un fenomeno misurabile (per esempio, l'altezza media di una popolazione). Viene calcolata sommando i diversi valori a disposizione, i quali vengono divisi per il loro numero complessivo. La formula della media aritmetica semplice per n elementi è: media = Oltre che in matematica, la media aritmetica è ampiamente impiegata in svariati campi, quali economia, sociologia e nella maggior parte delle discipline accademiche. Media ponderata Quando si deve tenere conto non solo dei singoli valori ma anche di quante volte gli stessi valori compaiono nei dati raccolti, cioè della loro frequenza, bisogna ricorrere alla media ponderata o pesata. Per calcolare la media ponderata: si moltiplica ciascun valore per la relativa frequenza(peso); si sommano i prodotti ottenuti; si divide per la somma delle frequenze(pesi). Prendendo come esempio proprio quello del quesito sopra riportato, abbiamo: valori: 1,5-2,5-3,5-4,5 frequenze(pesi): somma frequenze(pesi) = 30 Peso medio = Dati e previsioni 41

42 Dati e previsioni Scarto quadratico medio Lo scarto quadratico medio o anche deviazione standard misura la dispersione dei dati intorno al valore atteso. In pratica la deviazione standard ci fornisce l'informazione su quanto i vari valori (dai quali si è ricavata la media) siano "lontani" dalla media. In effetti data una serie di valori bisogna calcolarne prima la media aritmetica, poi si calcolano per ogni valore le differenze al quadrato tra il valore stesso e il valore medio, si sommano tutte le differenze trovate e le si divide per il numero di valori, infine si fa la radice quadrata del risultato di questo rapporto. Facciamo un esempio: Supponiamo che gli studenti della classe 1A abbiano ottenuto i seguenti voti: 7,7,6,6,6.5 Quelli della 1B i seguenti: 8,7,5,4,8.5 Calcoliamo il valore medio per entrambe le classi: 1A) 1B) Calcoliamo ora la deviazione standard con i passi suddetti per entrambe le classi: 1A) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dev. stand. = 1B) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dev. stand. = Come si può notare pur avendo la stessa media, per la classe 1B la deviazione standard ha un valore maggiore perché i voti sono più' distanti dalla media 6.5. Dati e previsioni 42

43 Dati e previsioni Il Grafico e l Istogramma La figura rappresenta un piano cartesiano; per poterlo disegnare devi tracciare l asse delle X (le ascisse) e l asse delle y (le ordinate). L asse delle X e delle Y sono suddivisi in tanti parti uguali; ogni parte è uguale all unità di misura U. l ordinata 3. Il punto A è un punto del piano cartesiano. Per trovare il punto bisogna conoscere le sue coordinate: l ascissa 1 e Riepilogando quindi, ogni punto del piano si può individuare con una coppia di numeri reali chiamati rispettivamente ascissa e ordinata del punto e si scrive: P(x,y); L Istogramma Un istogramma è un particolare grafico dove ogni dato è rappresentato dalla superficie di un rettangolo. I rettangoli hanno tutti ugual base e il confronto fra le loro superfici è possibile grazie alle diverse altezze. Come per i diagrammi a linee, i rettangoli possono essere posizionati in verticale o in orizzontale. Vengono anche detti: grafici a colonna, grafici a rettangolo. Dati e previsioni 43

44 Dati e previsioni Esempio Disegniamo l istogramma relativo alla classifica di alcune squadre di calcio di serie A. 60 Classifica Serie A P u n t i Serie 1 Puoi verificare che la Juventus ha 50 punti, l Inter tra 40 e 50 punti, il Napoli 40 punti, etc. Dati e previsioni 44

45 Relazioni e funzioni 45

46 Relazioni e funzioni La scala di rappresentazione La scala di rappresentazione è il rapporto tra le dimensioni della realtà e quella di una sua rappresentazione. La rappresentazione in scala viene utilizzata in cartografia, nel disegno, etc. La scala essendo il rapporto tra due grandezze omogenee è uguale al rapporto delle due misure (carta e realtà) espresse nella stessa unità di misura. Il rapporto è, quindi, un numero puro, indipendente dall unità di misura prescelta. La scala numerica è una frazione avente per numeratore l unità e per denominatore il numero che indica quante volte bisogna moltiplicare una lunghezza misurata sulla carta per ottenere la corrispondente misura reale. Esempio 1: Nel leggere un rapporto di scala si usa leggere il segno di due punti come (sta) a. Esempio 1: si legge 1 (sta) a Se troviamo scala 1: (si legge 1 (sta) a 1 milione) significa che 1 centimetro sulla carta corrisponde a di centimetri nella realtà e cioè a 10 chilometri. Esercizio Completa le seguenti affermazioni: Scala 1: significa che 1 cm sulla carta corrisponde a nella realtà e cioè a Km. Relazioni e funzioni 46

47 Relazioni e funzioni L equazione Ogni equazione del tipo: ax + b = 0 (con a diverso da zero) si dice equazione di primo grado in una incognita. Risolvere un equazione significa trovare quel valore di x che soddisfi l equazione data. Un equazione di primo grado ammette sempre una ed una sola soluzione. Esempi a) 3x + 3 = 0 3x = -3 b) 2x -4x = 0-2x = x = -4 Verifica dell equazione Per controllare se la soluzione trovata è esatta si può sostituire ad x la soluzione trovata e verificare che i due membri abbiano lo stesso valore; verifichiamo l equazione dell esempio b): -2(+2) = -4-4 = -4 Esercizio Prova a risolvere la seguente equazione: 6x 6 = 2x +4 [Ris. ] Relazioni e funzioni 47

48 Relazioni e funzioni Aritmetica dei numeri pari e dispari In matematica, qualsiasi numero intero è o pari o dispari. Se è un multiplo di due(es. 8=2x2x2x2), è un numero pari, altrimenti, è un numero dispari (es. 7 non lo puoi ricavare moltiplicando tante volte 2). Ancora un numero espresso con il sistema di numerazione decimale è pari o dispari a seconda che la sua ultima cifra sia pari o dispari. Ovvero, se l'ultima cifra è 1, 3, 5, 7, o 9, è dispari, altrimenti è pari. L'insieme dei numeri pari può essere scritto come: Pari = 2Z = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6,...}. L'insieme dei numeri dispari può essere scritto come: Dispari = 2Z+ 1 = {..., -5, -3, -1, 1, 3, 5,...}. Dove Z è l insieme dei numeri relativi. [I numeri interi (o numeri relativi) sono formati dall'unione dei numeri naturali (0, 1, 2,...) e dei numeri negativi (-1, -2, -3,...), costruiti ponendo un segno - davanti ai naturali positivi. L'insieme di tutti i numeri interi in matematica viene indicato con Z, perché è la lettera iniziale di "Zahl" che in tedesco significa numero.] Addizione e sottrazione Moltiplicazione Divisione * pari ± pari = pari pari pari = pari pari / dispari = pari pari ± dispari = dispari pari dispari = pari dispari / dispari = dispari dispari ± dispari = pari dispari ± pari = dispari. dispari dispari = dispari pari / pari può dare un risultato o pari o dispari. dispari / pari non da mai un risultato intero Si applica solo per i numeri interi quando il risultato è un numero intero Relazioni e funzioni 48

49 Relazioni e funzioni Coordinate in un grafico La figura rappresenta un piano cartesiano; per poterlo disegnare devi tracciare l asse delle X (le ascisse) e l asse delle y (le ordinate). L asse delle X e delle Y sono suddivisi in tanti parti uguali; ogni parte è uguale all unità di misura U. Il punto A è un punto del piano cartesiano. Per trovare il punto bisogna conoscere le sue coordinate: l ascissa 1 e l ordinata 3. Riepilogando quindi, ogni punto del piano si può individuare con una coppia di numeri reali chiamati rispettivamente ascissa e ordinata del punto e si scrive: P(x,y); Relazioni e funzioni 49

50 Relazioni e funzioni Disequazione di primo grado ad una incognita Una disequazione si dice di primo grado quando l esponente dell incognita x è pari ad 1 Esempio x x - 2 è una disequazione di primo grado ad una incognita per risolverla si applicano le stesse regole utilizzate per risolvere un equazione di primo grado ad una incognita con una sola ed importante differenza: se si moltiplica o si divide per un numero negativo si deve cambiare verso alla diseguaglianza, cioè diventa e viceversa. Risolviamo la disequazione x x 2 x - 6x 12 2 (portiamo tutte le x da una parte ed i numeri dall altra, avremo) (eseguiamo le operazioni) -5x 10 (dividiamo entrambi per -2 e cambiamo verso alla disequazione) x -5 quindi la soluzione è l insieme delle x minori di -5, cioè (-,-5] oppure graficamente: -5 (con il cerchietto si indica che è compreso anche il valore -5) Relazioni e funzioni 50

51 Relazioni e funzioni La Tabella Una tabella è formata da una griglia di righe e colonne che intersecandosi individuano tante celle. riga cella colonna La tabella in figura è composta da 4 righe e 5 colonne; quindi se si vuole individuare la posizione dove c è la scritta in rosso cella bisogna indicare la prima riga e la 5 colonna. Es. Verifica che nella tabella seguente il ragazzo più alto è Vittorio e il dato si trova nella cella individuata dalla riga 4 e la colonna 3, cioè 173 cm. Nome Età Altezza Angelo Mario Luca Vittorio Dario Relazioni e funzioni 51

52 Relazioni e funzioni L equazione della parabola La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistante da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, chiamata direttrice. Equazione della parabola: ( ) ( ) Esempio Parabola con equazione Relazioni e funzioni 52

53 Relazioni e funzioni La negazione Data una proposizione p la sua negazione p (si legge non p) è la proposizione p che è vera quando p è falsa e viceversa: p p V F F V Esempio P tutti i gatti sono neri p c è almeno un gatto non nero (è corretta) Nessun gatto è nero (non corretta) Relazioni e funzioni 53

54 Relazioni e funzioni Esercizio dalle parole alla formula Trova l'anno in cui fu scoperta l'america aggiungendo a 1000, 4 volte il numero 100 e 2 volte il numero 46. [Soluzione: x x 46 = = 1492] Trova l'anno in cui ci fu la 'Presa della Bastiglia' aggiungendo a 500, il suo doppio e il prodotto di 17 per se stesso. [Soluzione: x x 17 = = 1789] Relazioni e funzioni 54

55 Relazioni e funzioni Valore assoluto Nel caso di numeri reali il valore assoluto si definisce come: { 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 Serie1 1,00 0, Il grafico mostra che il valore dell ordinata è sempre il medesimo sia che l ascissa sia positiva che negativa (es. per x=5 si ha y=5; per x =-5 si ha y=5) Esempio Risoluzione grafica Relazioni e funzioni 55

56 Relazioni e funzioni La percentuale La percentuale è un particolare rapporto tra due grandezze a e b espresso in centesimi. Si ottiene moltiplicando per 100 il rapporto a/b e ponendo a fianco il simbolo %. Esempio: 5 allievi su 25 risultano assenti. La percentuale degli allievi assenti allora sarà: Quindi la percentuale è un rapporto che indica quante parti sul totale (rispetto a 100) soddisfano una certa condizione. Esercizio Quale sarebbe la percentuale degli alunni presenti? Ris. [80%] Relazioni e funzioni 56

57 Relazioni e funzioni La molla Una molla è un oggetto elastico, generalmente fabbricato in acciaio, usato ed ottimizzato per accumulare energia meccanica. In meccanica, e fisica, la legge di Hooke è la più semplice relazione costitutiva di comportamento dei materiali elastici. Essa è formulata dicendo che l'allungamento subìto da una molla è direttamente proporzionale alla forza applicata: F=Kδ K: costante di proporzionalità; viene detta costante elastica e dipende dalla molla. δ: è l allungamento subito dalla molla I materiali per i quali la legge di Hooke è un'utile approssimazione del reale comportamento sono detti materiali elastico-lineari. Relazioni e funzioni 57

58 Relazioni e funzioni Espressioni letterali Un espressione letterale è un espressione algebrica dove compaiono numeri e lettere; ad esempio a + b + c + d ; 3a - 5b 2 + 7c ; assegnando alle lettere dei valori numerici le espressioni letterali diventano numeriche. Esempio 1 5ab + 2c per a= 3 ; b = - 4, c = 2 si ha: ( ) Esempio 2 ( ( ) ) per a = 1 ; b= 2 ; c= 4 ( ( ) ) ( ) Esempio 3 per x = 4 ; y = 4 Relazioni e funzioni 58

59 Prova anno scolastico Prova anno scolastico

60 Numeri D1 D1. La tabella seguente riporta alcune informazioni nutrizionali stampate su tre confezioni di Confezione 1 Confezione 2 Confezione 3 grammi di cereali percentuale di zucchero 20% 10% 20% Sulla base dei dati in tabella, indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). V F a. b. c. La quantità di zucchero contenuta nella confezione 2 è uguale alla quantità di zucchero contenuta nella confezione 3. La quantità di zucchero contenuta nella confezione 1 è maggiore della quantità di zucchero contenuta nella confezione 2. La quantità di zucchero contenuta nella confezione 1 è maggiore della quantità di zucchero contenuta nella confezione 3. a) Per rispondere all opzione (a) calcoliamo le percentuali di zucchero contenute nelle confezioni 2 e 3 e poi le confrontiamo. Quindi operando il confronto si vede facilmente che la quantità di zucchero contenuta nella confezione 2 è maggiore di quella contenuta nella confezione 3 pertanto l affermazione risulta falsa. Prova anno scolastico

61 Numeri a) Per rispondere all opzione (b) calcoliamo le percentuali di zucchero contenute nelle confezioni 1 e 2 e poi le confrontiamo. Quindi operando il confronto si vede facilmente che la quantità di zucchero contenuta nella confezione 1 è uguale a quella contenuta nella confezione 2 pertanto l affermazione risulta falsa. a) Per rispondere all opzione (c) calcoliamo le percentuali di zucchero contenute nelle confezioni 1 e 3 e poi le confrontiamo. Quindi operando il confronto si vede facilmente che la quantità di zucchero contenuta nella confezione 1 è maggiore di quella contenuta nella confezione 3 pertanto l affermazione risulta vera. Prova anno scolastico

62 Relazioni e funzioni D2 D2. Mario va in vacanza in una località sciistica. Per usufruire degli impianti di risalita (seggiovie, funivie,...), può scegliere tra due offerte, A e B, entrambe valide per tutta la stagione invernale. Offerta A: costo iniziale fisso di 100 euro più 15 euro per ogni giornaliero (ossia per ogni giorno in cui si usano gli impianti di risalita). Offerta B: 30 euro per ogni giornaliero, senza costo iniziale. Osserva la seguente figura. a. Quale, fra i grafici F e G, rappresenta l offerta A? A. Il grafico F B. Il grafico G Per rispondere all opzione (a) basta semplicemente osservare il grafico e cercare su di esso il punto che in corrispondenza dell ascissa numero giornalieri zero, vale 100. Questo punto ovviamente apparterrà al grafico che rappresenta l offerta A in quanto quest ultima prevede un costo di 100 euro fisso al di là dei giornalieri che poi si acquisteranno a 15 euro. Si vede facilmente che il punto suddetto appartiene al grafico G. Prova anno scolastico

63 Relazioni e funzioni b. Completa la seguente tabella, relativa all offerta B. Numero di giorni in cui Mario usufruisce degli impianti di risalita Costo in euro L offerta B fa pagare ogni giornaliero 30 euro quindi per conoscere il costo relativo a un numero di giorni n basta moltiplicare il costo del giornaliero per il numero di giorni n ; nel nostro caso abbiamo che: per n=2 giorni si ha: per n=3 giorni si ha: c. Se Mario usa gli impianti di risalita solo per cinque giorni durante la stagione invernale, quale offerta gli conviene scegliere? Per rispondere basta calcolare il costo relativo alle due offerte e poi confrontarle. Offerta A: Offerta B: Pertanto dal confronto si vede facilmente che l opzione B è la più conveniente. Offerta A: Offerta B: d. Scrivi due formule, una per l offerta A e una per l offerta B, che esprimano il costo c al variare del numero di giornalieri g. Per rispondere basta tradurre la descrizione a parole dell offerta in una formula numerica: Per l offerta A: costo iniziale fisso di 100 euro significa che nella formula bisognerà inserire proprio il numero 100 che si dovrà addizionare agli altri costi...più 15 euro per ogni giornaliero significa che dovremo moltiplicare il costo del giornaliero per il numero di giorni g ; quindi in definitiva si avrà: Prova anno scolastico

64 Relazioni e funzioni Per l offerta B: 30 euro per ogni giornaliero significa che dovremo moltiplicare il costo del giornaliero per il numero di giorni g ; quindi in definitiva si avrà: e. Qual è il numero di giornalieri per cui il costo dell offerta B è una volta e mezza il costo dell offerta A? Risposta: 20 Per rispondere occorre impostare una equazione con le formule precedentemente ricavate: Offerta B uguale ad una volta e mezza l offerta B ( ) Riscriviamola in maniera più compatta e risolviamola: ( ) ) Prova anno scolastico

65 Relazioni e funzioni D3 D3. ABC è uno degli infiniti triangoli aventi la base AB sulla retta r e il terzo vertice in un punto qualunque della retta s parallela a r e passante per C. Fra gli infiniti triangoli descritti sopra, quali hanno la stessa area di ABC? A. Soltanto il triangolo ABC, simmetrico di ABC rispetto all asse di AB B. Soltanto il triangolo isoscele di base AB C. Soltanto il triangolo rettangolo in A e il triangolo rettangolo in B D. Tutti gli infiniti triangoli di base AB Per rispondere correttamente bisogna osservare che essendo le rette r ed s parallele i triangoli che si possono costruire spostando il punto c sulla retta s hanno tutti la stessa base e la stessa altezza. Questo lo si può vedere nella figura in cui si sono disegnati tre degli infiniti triangoli possibili; questi triangoli hanno tutti la stessa base AB e la stessa altezza h, pertanto hanno tutti la stessa area. Prova anno scolastico

66 Dati e previsioni D4 D4. Un gruppo di boyscout è formato da ragazzi di età compresa tra i 10 e i 14 anni. La distribuzione delle frequenze percentuali delle età è riportata nel diagramma seguente: 50% Ragazzi per età (in percentuale) 40% 30% 20% 10% 0% anni Sulla base dei dati riportati nel diagramma, indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). V F a. Più dell 80% dei ragazzi ha meno di 13 anni. b. Meno del 70% dei ragazzi ha più di 11 anni. c. La percentuale di ragazzi che hanno 12 o 14 anni è uguale alla percentuale di ragazzi che hanno 10 o 11 o 13 anni. Per rispondere correttamente occorre leggere con attenzione il diagramma a barre. Riportiamo di seguito per comodità il diagramma con le percentuali indicate su ogni barra. Prova anno scolastico

67 Dati e previsioni Ragazzi per età (in percentuale) 50% 40% 30% 20% 10% 0% 40% 30% 15% 5% 10% anni a) Per l opzione (a) dobbiamo considerare le percentuali dei ragazzi con età inferiore ai 13 anni Quindi: 10 anni 5% 11 anni - 30% 12 anni - 40% La loro somma rappresenta il 75% percentuale in disaccordo con quanto asserito nell opzione a pertanto l affermazione risulta falsa. b) Per l opzione (b) dobbiamo considerare le percentuali dei ragazzi con età superiore agli 11 anni Quindi: 12 anni - 40% + 13 anni 15% 14 anni -10% La loro somma rappresenta il 65% percentuale in accordo con quanto asserito nell opzione b pertanto l affermazione risulta vera. c) Per l opzione (c) dobbiamo considerare le percentuali dei ragazzi con età: 12 anni o 14 anni 40% + 10% = 50% 10 anni o 11 anni o 13 anni 05% + 30% + 15% = 50% Le percentuali complessive risultano uguali e ciò corrisponde con quanto asserito nell opzione c pertanto l affermazione risulta vera. Prova anno scolastico

68 Numeri D5 D5. Si sa che 2 10 = Quale fra le seguenti potenze del 10 è quella che più si avvicina a 2 70? A B C D Per rispondere cominciamo cercando l ordine di grandezza di 2 10 : Ora applicando le proprietà sulle potenze possiamo cercare la potenza con base 10 che più si avvicina a 2 70, infatti: ( ) ( ) ( ) ( ) Prova anno scolastico

69 Dati e previsioni D6 D6. Si sa che in una popolazione di individui il 10% è affetto da una malattia, mentre il 90% è sano. Il test che diagnostica la presenza della malattia è affidabile solo parzialmente: nel 5% dei casi rileva la malattia su un individuo sano e nell 1% dei casi non rileva la malattia su un individuo malato. Il diagramma seguente riassume la situazione: a. Utilizzando i dati del diagramma ad albero, completa la seguente tabella. Esito corretto del test Esito errato del test Totale Sani Malati Totale Per rispondere occorre leggere il grafico e riportare nella tabella i dati corrispondenti. Compiliamo la tabella cercando il dato da inserire nella cella individuata dalla <riga Sani e la colonna Esito corretto del test >, dato che troviamo sul grafico percorrendo la diramazione 9000 sani arrivando al nodo 8550 esito corretto del test. Analogamente si trovano gli altri. Prova anno scolastico

70 Dati e previsioni b. Qual è la probabilità che l esito del test sia corretto per una persona scelta a caso da quella popolazione? A. 99,0% B. 97,0% C. 95,4% D. 85,5% Per rispondere occorre ricordare che la probabilità di un evento è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei casi possibili supposti tutti ugualmente possibili; pertanto il numero dei casi possibili è rappresentato dall intera popolazione, cioè 10000; il numero dei casi favorevoli corrisponde al numero complessivo tra sani e malati che hanno l esito del test corretto riportato in tabella, cioè 9540; quindi possiamo calcolare la probabilità: c. Qual è la probabilità che un individuo, preso a caso tra tutti quelli che hanno avuto un esito corretto al test, sia sano? Scrivi il risultato in percentuale con una cifra dopo la virgola. Risposta: 89,6% Per rispondere occorre anche in questo caso individuare il numero dei casi favorevoli e di quelli possibili, pertanto: casi favorevoli: gli individui sani con esito corretto al test, cioè 8550 casi possibili; tutti gli individui sani e malati con esito corretto al test, cioè 9540 Prova anno scolastico

71 Relazioni e funzioni D7 D7. Una compagnia telefonica propone quattro tariffe K, X, Y e Z, tra le quali i clienti possono scegliere. Le tariffe sono descritte nella seguente tabella: Tariffa Costo alla risposta (in centesimi di euro) Costo per minuto di conversazione (in centesimi di euro) Costo per ogni SMS (in centesimi di euro) K X Y Z a. Giulia ha scelto la tariffa Y. Quanti centesimi di euro deve pagare per una telefonata della durata di 3 minuti? A. 14 B. 18 C. 24 D. 26 Per rispondere occorre ricavare i dati presenti nella tabella in corrispondenza della riga y : Costo alla risposta: 8 centesimi di euro Costo per minuti di conversazione: 6 centesimi di euro Per calcolare la spesa che Marta deve sostenere possiamo utilizzare la formula: spesa = Costo alla risposta + Costo per minuti di conversazione x minuti quindi: Prova anno scolastico

72 Relazioni e funzioni b. Marta vuole scegliere la tariffa per lei più conveniente. Di solito ogni giorno invia 25 SMS e fa 20 telefonate, ciascuna delle quali dura in media 1 minuto. Sulla base delle precedenti informazioni, quale fra le quattro tariffe è la più vantaggiosa per Marta? A. La tariffa K B. La tariffa X C. La tariffa Y D. La tariffa Z Per rispondere possiamo calcolare la spesa per ogni tariffa con la formula: spesa = Costo alla risposta x Numero telefonate + Costo per minuti di conversazione x (Numero telefonate x durata media) + Costo per sms x numero sms e poi effettuare una comparazione tra i risultati ottenuti Tariffa k) ( ) centesimi di euro Tariffa x) ( ) centesimi di euro Tariffa y) ( ) centesimi di euro Tariffa z) ( ) centesimi di euro Pertanto si vede facilmente dal confronto che la tariffa z è quella più conveniente per Marta. Prova anno scolastico

73 Spazio e figure D8 D8. La seguente figura rappresenta in prospettiva un cubo che è stato sezionato con il piano passante per i vertici B, D, E. Marina afferma: Il triangolo BDE è un triangolo equilatero. Marina ha ragione? Scegli una delle due risposte e completa la frase. Sì No Per rispondere occorre osservare che: un cubo è costituito da sei facce quadrate; i lati del triangolo sono tutti e tre diagonali delle facce del cubo poiché le diagonali di ogni faccia sono uguali possiamo concludere affermando che i lati del triangolo sono tutti uguali tra loro e quindi si tratta di un triangolo equilatero. Prova anno scolastico

74 Dati e previsioni D9 D9. Osserva i seguenti grafici relativi alle operazioni effettuate con carte di credito dal 2004 al Numero di operazioni (in milioni) effettuate con carta di credito Variazione percentuale annua del numero di operazioni effettuate con carta di credito (Fonte: Osservatorio sulle carte di credito. Assofin Crif Decision Solutions Gfk Eurisko) Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). V F a. Il numero di operazioni effettuate con carte di credito è diminuito dal 2004 fino al 2006, poi è aumentato e, successivamente, è di nuovo diminuito fino al b. I due grafici sono in contraddizione perché il primo mostra una continua crescita nel tempo, mentre il secondo no. c. L aumento del numero di operazioni effettuate con carte di credito che si è avuto dal 2006 al 2007 è stato superiore all aumento che si è avuto dal 2007 al d. Nel 2006 il numero di operazioni effettuate con carte di credito si è quasi azzerato. L affermazione riportata nell opzione (a) occorre osservare che: che il numero di operazioni riportate nell istogramma sono in continuo aumento, infatti: 433,6 < 463,5 < 465,9 < 503,9 < 522,6 Pertanto l affermazione risulta falsa. In effetti quanto riportato nell opzione (a) sarebbe la descrizione esatta dell andamento grafico riportato nel secondo grafico che riguarda la percentuale annua del numero di operazioni. Prova anno scolastico

75 Dati e previsioni Quanto riportato all affermazione (b) è falso proprio per quanto detto precedentemente infatti i due grafici mostrano due diverse funzioni. Quanto riportato all affermazione (c) lo possiamo verificare calcolando i due aumenti nei diversi periodi, cioè: aumento = 503,9 465,9 = 38 aumento = 522,6-503,9 = 18,7 per cui l aumento è maggiore di quello relativo al periodo e quindi l affermazione risulta vera. Quanto riportato all affermazione (d) lo possiamo verificare leggendo direttamente sul grafico, in riferimento alla colonna del 2006, il numero di operazioni pari a 465,9 operazioni; quindi non si è azzerato contrariamente a quanto indicato pertanto l affermazione risulta falsa. Ciò che risulta azzerata nel 2006 è la variazione percentuale annua del numero di operazioni. Prova anno scolastico

76 Relazioni e funzioni D10 D10. Con spazio di frenata intendiamo lo spazio che un auto percorre dall inizio della frenata fino a quando si ferma. Una regola pratica per stimare lo spazio di frenata (in metri), nel caso in cui l auto viaggi su una strada asfaltata in buone condizioni e non bagnata, è la seguente: Eleva al quadrato il valore della velocità (in km/h) dell auto all inizio della frenata e dividi il risultato ottenuto per 200. a. Completa la tabella seguente, che fornisce lo spazio di frenata s (approssimato per eccesso al metro) per alcuni valori della velocità v quando la strada si trova nelle condizioni descritte sopra. v(km/h) s (approssimato per eccesso al metro) Per rispondere occorre tradurre in formula numerica la regola pratica, cioè: Applichiamo la formula scritta ai tre casi mancanti in tabella: Prova anno scolastico

77 Relazioni e funzioni b. Quale fra i seguenti grafici può rappresentare lo spazio di frenata s al variare della velocità v? A. Il grafico 1 B. Il grafico 2 C. Il grafico 3 D. Il grafico 4 Per rispondere correttamente occorre osservare che il valore della velocità è elevato al quadrato quindi il legame tra s e v riportato nei grafici non può essere di tipo lineare pertanto i grafici 2 e 4 vanno esclusi. Tra i grafici 1 e 3 va scelto il numero 1 perché la relazione tra s e v è quadratica, tipico di una parabola, come quella riportata nel grafico. Il grafico 4 lo si può anche scartare considerando che per velocità zero lo spazio è zero. Prova anno scolastico

78 Numeri D11 D11. a. Osserva e completa la seguente tabella. n (n-1)n(n+1) Per rispondere occorre sostituire nel parametro n il valore riportato in tabella, quindi: per n= 4: (n 1)n(n + 1) = (4 1)4(4 + 1) = 3 x 4 x 5 per n= 5: (n 1)n(n + 1) = (5 1)5(5 + 1) = 4 x 5 x 6 b. Giulia afferma: Per ogni numero naturale n maggiore di 1,(n 1)n(n+1) è divisibile per 6. Giulia ha ragione? Sì No Per rispondere occorre osservare che il prodotto (n 1)n(n + 1) rappresenta tre numeri consecutivi ad esempio: 3, 4, 5; uno di loro sarà dispari ed un altro sarà multiplo di 3 quindi il prodotto sarà divisibile sia per 2 che per 3; pertanto ricordando che un numero è divisibile per 6 se è contemporaneamente divisibile per 2 e per 3 possiamo affermare che Giulia ha ragione. c. Francesco afferma: n 3 n è uguale a (n 1)n(n+1). Francesco ha ragione? Sì No Per rispondere occorre osservare che il prodotto (n 1)n(n + 1) si può scrivere anche: (n 1)(n + 1)n = (n 2 1)n = n 3 n quindi si può affermare che Francesco ha ragione. Prova anno scolastico

79 Numeri D12 D12. È data l equazione (3k 6)x 5k + 2 = 0, in cui x è l incognita e k è un numero reale. La soluzione dell equazione è 0 per k = Per trovare il fattore k cominciamo prima a risolvere l equazione: ( ) ( ) ( ) La x sarà uguale a zero se il numeratore (5k 2) si annullerà, cioè sarà uguale a zero; calcoliamo quindi per quale valore di k si annullerà: Quindi la soluzione dell equazione sarà zero quando il fattore k assumerà il valore: Prova anno scolastico

80 Spazio e figure D13 D13. Osserva la circonferenza di centro O rappresentata in figura. Comunque siano presi i punti B, C, D, E sulla circonferenza, è possibile affermare che A. il triangolo BCE è congruente al triangolo CBD B. il segmento BD è congruente al segmento CE C. l angolo EBC è congruente all angolo DCB D. l angolo CEB è congruente all angolo CDB Per rispondere occorre ricordare il teorema sulla corda; esso afferma che per una corda AC l angolo alla circonferenza α rimane sempre lo stesso comunque si sposti il punto B sulla circonferenza. Nel nostro caso gli angoli ed insistono sulla stessa corda CB pertanto per il teorema della corda avremo che: = quindi l opzione da selezionare è la D Prova anno scolastico

81 Spazio e figure Su questo sito puoi trovare un applet interessante: Prova anno scolastico

82 Dati e previsioni D14 D14. La seguente tabella riporta il numero di occupati, in migliaia, in Italia in ciascuno degli anni dal 1995 al Anni Occupati (in migliaia) a. Quale tra le seguenti espressioni dà come risultato l aumento percentuale del numero di occupati nel 2001 rispetto al numero di occupati nel 2000? A. B. C. D. Per rispondere occorre calcolare l incremento avuto tra il 2000 ed il 2001 e dividerlo per il numero di lavoratori del 2000, cioè: ( ) Quindi l opzione da selezionare è la B. Prova anno scolastico

83 Dati e previsioni b. Di quanto sono aumentati gli occupati dal 1995 al 2005? Risposta: 2323 migliaia Per rispondere è sufficiente calcolare la differenza tra il numero degli occupati nel 2005 e quelli occupati nel 1995, cioè: c. Qual è stato l aumento medio annuo del numero di occupati nei dieci anni dal 1995 al 2005? Risposta: 232,3 migliaia Per rispondere è sufficiente calcolare il rapporto tra l aumento totale degli occupati (2323) calcolato precedentemente ed il numero degli anni (10), cioè: Prova anno scolastico

84 Numeri D15 D15. Nelle ultime elezioni svoltesi in un paese europeo è andato a votare il 70% degli aventi diritto al voto. Di questi il 20% ha votato per il partito A. Quale percentuale di aventi diritto al voto ha votato per il partito A? A. 60% B. 50% C. 20% D. 14% Per rispondere correttamente basta calcolare il 20% del 70% cioè eseguire il calcolo tra le due percentuali: Pertanto l opzione da selezionare è la D. Prova anno scolastico

85 Dati e previsioni D16 D16. La professoressa Rossi vuole verificare il livello delle conoscenze in scienze nelle classi 1 e 1B. Decide di somministrare lo stesso test nelle due classi. Elaborando i punteggi del test ottiene i seguenti risultati: Classe 1A Classe1B media aritmetica 6,5 6,5 scarto quadratico medio (o deviazione standard) 1,1 2,3 La professoressa chiede a Martina, una sua alunna di 1B, di commentare i risultati ottenuti dagli alunni delle due classi. Martina afferma che i risultati indicano che gli alunni delle due classi hanno lo stesso livello medio di conoscenze, ma gli studenti della classe 1A hanno ottenuto complessivamente punteggi più vicini alla media. Martina ha ragione? Sì No Per rispondere correttamente occorre ricordare che lo scarto quadratico medio(o deviazione standard) rappresenta quanto sono distanti i valori dalla media. Pertanto più lo scarto è basso tanto più i valori sono poco distanti dalla media. Quindi Martina ha ragione nell affermare che i voti ottenuti dagli studenti della classe 1A sono complessivamente più vicini alla media perché il loro scarto quadratico medio è minore rispetto a quello della classe 1B. Prova anno scolastico

86 Spazio e figure D17 D17. Calcola l area del quadrilatero ABCD disegnato in figura. Risposta: 12 cm 2 Si può rispondere in vari modi; scegliamo quello che fa ricorso al calcolo di aerea di figure regolari da sottrarre man mano fino ad individuare l area della figura irregolare. Individuiamo nel quadrato DEFG l aerea da cui cominciare a sottrarre le altre aree: Area DEFG = 8 x 8 = 64 cm 2 Da questa area sottraiamo l aerea del quadratino AFCB (in verde): Area AFCB = 2 x 2 = 4 cm 2 Prova anno scolastico

87 Spazio e figure Poi sottraiamo l area del triangolo rettangolo CGD Area CGD = (CG x GD)/2 = (6 x 8)/2= 24 cm 2 Infine sottraiamo l area del triangolo rettangolo ADE Area ADE = (AE x DE)/2 = (6 x 8)/2= 24 cm 2 Quindi in definitiva basterà sottrarre all area del quadrato DEFG tutte le aree calcolate per ottenere l area del quadrilatero ABCD, cioè: Area ABCD = = = 12 cm 2 Prova anno scolastico