Volatilità implicita. P(t) = S(t)Φ(d 1 ) e r(t t) K Φ(d 2 ) con. d 1 = d 2 + σ T t. d 2 =

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1 Volatilità implicita Abbiamo visto come sia possibile calcolare la volatilità di un titolo attraverso la serie dei log-return. In teoria però la volatilità di un sottostante può essere determinata dal prezzo del derivato stesso. Infatti, dalla formula di Black e Scholes con P(t) = S(t)Φ(d 1 ) e r(t t) K Φ(d 2 ) d 1 = d 2 + σ T t d 2 = ln S(t) K + ( r 1 2 σ2) (T t) σ T t posto t = 0 e guardando al valore cui viene proposto il claim al tempo 0, cioè oggi, abbiamo

2 Volatilità implicita con p = P(0) = S(0)Φ(d 1 ) e rt K Φ(d 2 ) d 1 = d 2 + σ T d 2 = ln S(0) K + ( r 1 2 σ2) T σ T noto il tempo di esercizio T, il prezzo di strike K, il valore del titolo sottostante S(0), il tasso di interesse annuo r e il prezzo cui viene venduto il claim, l unica incognita è σ.

3 Volatilità implicita Anche se non può essere ricavata in forma esplicita σ può essere calcolata numericamente [ ] come il valore di σ che soddisfa l equazione p S(0)Φ(d 1 ) e rt K Φ(d 2 ) = 0 Questo valore di σ, chiamato volatilità implicita non coincide quasi mai con il valore di σ stimato attraverso la serie storica dei log-return di S. Infatti, la volatilità implicita riflette le aspettative che il mercato possiede sulla probabilità che l opzione venga realmente esercitata.

4 Volatilità implicita Se la volatilità implicita è elevata, questo vuol dire che il mercato si aspetta grosse fluttuazioni dei rendimenti del titolo sottostante con alta probabilità, infatti σ 2 è la varianza dei log-return di S a loro volta distribuiti come una gaussiana. Se la volatilità implicita è bassa, il mercato si aspetta solo deboli fluttuazioni nei rendimenti del titolo e quindi, per fissato valore per prezzo di strike, bassa probabilità che il diritto di opzione venga esercitato. Ovviamente la distanza temporale e il valore del prezzo di esercizio hanno effetto indipendentemente dalla volatilità.

5 Azioni autostrade Autostrade 23/7/04 5/5/05 S gg lavorativi

6 Azioni autostrade (log return) Autostrade, sigma= x gg lavorativi

7 Volatilità implicita per call option su Autostrade Il 13-maggio-2005 il titolo autostrade viene quotato 20.55, la volatilità stimata sui log-return nel periodo 23/7/04-5/5/05 è pari a Vediamo come il mercato fissa la volatilità implicita σ per opzioni call vendute il 13-mag-05, ad un prezzo p (rendimento titoli di stato ad un anno 2.074%, quindi r = /252) scadenza T K p σ p 3-giu giu giu giu

8 Volatilità implicita per call option su Autostrade Nei vari casi la volatilità implicita risulta essere inferiore a quella storica del titolo, cioè a quella osservata sui dati. I mercati si aspettano una variazione del titolo minore di quanto avvenuto in passato e quindi una maggiore stabilità del titolo attorno alla sua quotazione del 13-mag-05. Nella precedente tabella, la colonna p riporta il valore che l opzione dovrebbe avere secondo il modello di Black and Scholes se come volatilità si usasse quella stimata sulla serie storica dei log-return.

9 Le Greche del modello di Black e Scholes Nella derivazione della formula di Black e Scholes, compaiono diverse derivate della funzione C. Abbiamo già visto che C x (t, x) = Φ(d 1 ) viene chiamata delta e rappresenta la sensitività del prezzo del claim al prezzo del titolo sottostante. Le altre derivate parziali di C hanno vari nomi e interpretazioni. Tra queste vi sono: theta C t (t, x) e gamma C xx (t, x)

10 Le Greche del modello di Black e Scholes: theta In particolare theta = C t (t, x) = rke r(t t) Φ(d 2 ) (con ϕ la densità della gaussiana). σx 2 T t ϕ(d 1) < 0 Misura la velocità con cui un claim perde valore al variare del tempo ferme restando le altre variabili

11 Le Greche del modello di Black e Scholes: theta theta val K K+0.5 K tempo

12 Le Greche del modello di Black e Scholes: gamma gamma = C xx (t, x) = x C x(t, x) = 1 σx T t ϕ(d 1) > 0 Indica la variazione del delta al variare del prezzo del titolo sottostante (x)

13 Le Greche del modello di Black e Scholes: vega e rho Vi sono poi vega = C(t, x) σ = x T ϕ(d 1 ) rho = C(t, x) r = xt Φ(d 2 )e rt

14 Le Greche del modello di Black e Scholes: vega e rho Vega esprime la sensitività del prezzo del derivato rispetto alle variazioni della volatilità, la seconda la variazione rispetto al tasso di interesse. Della prima abbiamo già discusso con l esempio numerico, per essere più precisi però si deve notare che nel modello di Black e Scholes σ è considerata constante, mentre vega varia nel tempo (di fatto anche la volatilità osservata non è affatto costante). Vega calcolata sul modello di Black e Scholes è comunque considerata una buona approssimazione di quella calcolata assumendo un modello di B&S a volatilità stocastica.

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