Risoluzione angolare per fotoni di bassa energia con esperimento GAMMA-400

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1 Università degli Studi di Firenze Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Tesi di laurea in Fisica Risoluzione angolare per fotoni di bassa energia con esperimento GAMMA-400 Tesi di Laurea di Lorenzo Pacini Relatore Prof. Oscar Adriani Anno accademico 2010/2011 Firenze, 26 Luglio 2011

2 Indice Introduzione 1 1 Missione GAMMA Obiettivi scientici Descrizione delle congurazione geometriche analizzate Rivelatori a micro-strisce di silicio Fenomeni sici alla base del sistema di rilevazione Creazione di coppie elettrone-positrone Scattering multiplo Simulazione di eventi e algoritmo di ricostruzione Simulazione degli eventi Algoritmo di ricostruzione Analisi della risoluzione angolare Visualizzazione eventi Stima della risoluzione angolare Stima a posteriori dell'errore attribuito alla risoluzione angolare Risoluzione angolare al variare dell'energia Ecienza di conversione Conclusioni Bibliograa 32 i

3 Introduzione Questo lavoro di tesi si inquadra nello studio del futuro esperimento GAMMA-400, progetto che nasce con lo scopo di misurare lo spettro dei raggi cosmici ed in particolare di fotoni, elettroni e nuclei leggeri. L'apparato strumentale, che verrà installato su di un satellite, è stato progettato come un compatto rivelatore nel quale la parte superiore è adibita alla misura dell'angolo di incidenza dei fotoni, tramite un tracciatore, e la parte inferiore è adibita alla misura dell'energia dei raggi cosmici, tramite un calorimetro. Sono attualmente in studio due congurazioni dell'apparato. Lo scopo di questo lavoro di tesi è quello di confrontare il valore della risoluzione angolare, per fotoni di bassa energia, nelle due possibili congurazioni dello strumento. Per raggiungere tale scopo è stato utilizzato un software di simulazione basato su GEANT4, necessario per simulare l'interazione dei fotoni con i materiali di cui è composto il rivelatore, ed un programma di ricostruzione eventi per eseguire l'analisi dati e stimare la risoluzione angolare [5]. Nel primo capitolo descriverò brevemente l'apparato strumentale e gli obiettivi scientici di GAMMA-400, concentrandomi maggiormente sulla parte riguardante la misura dei raggi gamma a basse energie. Nel secondo sono illustrerò i fenomeni sici della creazione di coppie elettrone positrone e dello scattering multiplo che sono i fenomeni che maggiormente inuiscono sul funzionamento del rivelatore studiato Nel terzo capitolo invece descriverò il funzionamento dei programmi usati, facendo una breve introduzione alla struttura del programma di simulazione, e concentrandomi maggiormente sull'algoritmo di ricostruzione da me usato e modicato. Inne nel quarto capitolo capitolo spiegherò come, dalle informazioni forniteci dal programma di ricostruzione, abbiamo ricavato la risoluzione angolare, con il proprio errore, e l'andamento di questa in funzione dell'energia. 1

4 Capitolo 1 Missione GAMMA Obiettivi scientici L'esperimento GAMMA-400 è un progetto dedicato allo studio dei raggi cosmici con i seguenti obiettivi: Misura dello spettro di raggi gamma ad alta energia (30 GeV GeV) Misura dello spettro degli elettroni. Misura dello spettro di nuclei con numero atomico inferiore a 26. I dati saranno raccolti da un rivelatore compatto (chiamato anche telescopio) installato su di un satellite. La missione, promossa da Roscosmos (Agenzia Spaziale della Federazione Russa), che provvederà al razzo e al satellite e a cui parteciperà un gruppo di ricercatori russi, è stata proposta come possibile collaborazione con gli istituti italiani di ricerca. I gruppi di ricerca dell'esperimento PAMELA delle sezioni INFN di Trieste, Roma 2 e Firenze hanno espresso interesse ad avviare una collaborazione con gli ideatori del progetto a partire dal I parametri principali della missione (massa totale disponibile per gli apparati scientici 2600 kg, potenza 2 kw e apogeo dell'orbita del satellite km) permettono di progettare un esperimento capace non solo di adempiere a pieno agli obbiettivi originali, ma anche di di estenderli. Lo schema originale dell'apparato sperimentale era comprendeva due rivelatori: un tracciatore-convertitore (tracker/converter ) nella parte superiore, con il compito di misurare l'angolo di incidenza dei fotoni di alta energia e un calorimetro a immagine nella parte inferiore, adibito alla misura dell'energia degli sciami elettromagnetici. Per 2

5 quanto riguarda la misura dei raggi gamma ad energia di circa 100 GeV la missione doveva soddisfare due richieste: una risoluzione angolare di 0.01 e una precisione nella misura dell'energia dei fotoni incidenti di circa 1%. Grazie alla collaborazione italiana sono stati proposti, e sono attualmente in studio, alcuni importanti ampliamenti negli obiettivi della missione: estendere la capacità di misura anche a fotoni gamma di energie più basse (no a qualche decina di MeV) ottimizzare la congurazione geometrica dei rivelatori in modo da ottenere un accettanza superiore a 1m 2 sr così da poter misurare,in qualche anno di presa dati, il usso di protoni con energie superiori a 1 PeV e il usso di nuclei di elio con energia superiore a 0.5 MeV per nucleone Per soddisfare la prima richiesta sono state proposte modiche alla parte superiore dell'apparato che permette la misura dell'angolo di incidenza e dell'energia dei raggi gamma sfruttando la creazione di coppie elettrone-positrone dovute all'interazione di fotoni con il rivelatore stesso. Sono state prese in considerazione due possibili congurazioni per iltracker a basse energie: 1. Nella prima la zona del telescopio predisposta alla misura dei raggi gamma a bassa energia è posta sopra il tracker per alte energie ed è composta da circa piani di rivelatori di silicio a microstrisce con dimensione passo dell'ordine di 500 µm e con spessore di circa 300 µm. 2. Nella seconda le zone di alta e bassa energia non sono separate e i piani sensibili sono alternati da sottili piani di tungsteno. Il numero esatto dei piani, nelle due congurazioni, sarà determinato in base al risultato di studi eseguiti tramite simulazioni e tenendo conto dei parametri della missione quali il costo, la potenza elettrica disponibile e la massa del dispositivo. Lo studio dello spettro dei raggi gamma per energie inferiori a 1 GeV è complicato dal fatto a causa del fatto che fotoni a così basse energie hanno una sezione d'urto piccola per la produzione di coppie. Una misura con buona risoluzione in questa zona spettrale fornirebbe interessanti informazioni su sorgenti di raggi cosmici sia galattici che extra-galattici. Illustrerò brevemente alcuni esempi di sorgenti per le quali lo studio degli spettri basse energie è importante. 3

6 I resti di supernove (Supernova Remmants o SNR) sono comunemente considerate le sorgenti galattiche in cui raggi cosmici vengono accelerati no alle energie della cosiddetta zona del ginocchio, circa ev [9]. Una conferma di questo processo si può avere misurando con ottima risoluzione lo spettro dei raggi gamma provenienti da SNR.I raggi gamma possono infatti essere prodotti dal decadimento di pioni neutri, che si formano a seguito delle collisioni dovute a protoni accelerati nell'ambiente ricco di campi elettromagnetici delle SNR. Studiando la cinematica di tali decadimenti si ricava che lo spettro dei fotoni emessi è simmetrico intorno a m π c 2 /2 = 67MeV. La misura di una tale caratteristica dello spettro proveniente da SNR sarebbe una eccellente conferma dei SNR come sorgenti di raggi cosmici. Gli esperimenti più recenti per la misura dei raggi gamma dallo spazio (Fermi-LAT [2], AGILE [3]) forniscono in eetti indicazioni sulla complessità dell'ambiente dei SNR, ma per raggiungere questo tipo di obiettivo è necessario uno strumento con una miglior risoluzione spaziale anche per fotoni con bassa energia, come GAMMA-400. La misura di fotoni a bassa energia è cruciale anche per lo studio dei processi di accelerazione di particelle nelle sorgenti Galattiche compatte (micro-quasar [13] e pulsar [11].). Per quanto riguarda oggetti extra-galattici, GAMMA-400 potrebbe dare un contributo nello studio del taglio intrinseco nello spettro dei GRB che potrebbe spiegare la mancanza delle alte energie negli spettri dei GBR riscontrati da AGILE e Fermi-LAT [?]. Inoltre l'interazione dei raggi gamma con la materia circostante la sorgente può produrre linee di assorbimento misurabili da GAMMA-400; per quanto riguarda questo aspetto le misure eseguite da Fermi sono limitate a 100 MeV. Inne anche l'emissione dei raggi gamma nel corso dei brillamenti solari potrebbe essere misurata durante il prossimo ciclo solare. Non sono al momento previste altre missioni che possano coprire la zona di basse energia che GAMMA-400 sarà in grado di misurare. Grazie ad una maggiore granularità sia trasversale che longitudinale, lo strumento potrà ampliare gli spettri anche per energie inferiori ai 30MeV, dove Fermi-LAT e AGILE sono limitate a causa dello scattering multiplo e della piccola area ecace. Lo scopo di questo lavoro di tesi è quello di studiare la risoluzione angolare per fotoni di bassa energia, confrontando due possibili congurazioni del tracker/converter, analizzando gli eventi generati tramite 4

7 Geometry schema GEOV02R00 AC AC 2 scintillator layers 120x120x0.5 cm 3 TOP TRK ~ 60cm TOP TRK 30 planes at ~2cm from each other. Each plane two layers of Si Si-X (300µm) and Si-Y ( 300µm) TCAL: 2 planes BGO cristals tot thickness 1cm ~.9Xo Target calorimeter TCAL ~0.9 Xo TRK up TOF1 TRK middle ~ 50cm TRK up a Si double sided plane with 10x10 tiles TOFS1 2 layers 100x100x0.5cm3 TRK middle a Si double sided plane with 10x10 tiles TRK low a Si double sided plane with 10x10 tiles TOF S2 2 layers 80x80x0.5cm 3 Si Array 50x140 preshower pre-shower CALS 4Xo TOF3 Calorimeter CALH 22Xo tail-catcher TAIL 4Xo TOF4 neutron detector 80cm preshower TRK low TOF2 30cm Si Array 50x140 ~8cm ~ 29cm CALS (80x80xcm 2 ) 4 planes each with: SiX 8x8 tiles, pitch 0.05cm BGO thickness 1cm SiY like SiX TOF S3 2 layers 80x80x0.5cm 3 CALH 80x80x28.7cm3 vertical BGO (2.5x2.5x23.7cm 3 ) plus 5cm free space for BGO readout TAIL same as CALS TOF S4 2 layers 80x80x0.5cm 3 ND 80x80x15cm 3 SiArray 2 planes 140x50cm 2 x300 µm. Pixel 1cm 2. Plane distance 1cm Lateral Preshower 4 planes 80x40cm 2 each with: Si thickness 500 µm W thickness 0.26cm Figura 1.1: Schema della congurazione GEOV02R00; la zona TOP TRK (top tracker) è dedicata alla misura di fotoni a bassa energia mentre quella sottostante, costituita da TRK up, TRK middle, e TRK lower, è pensata per raggi gamma ad alte energie. Inne la parte inferiore dell'apparato è costituita dal calorimetro e da altri tipi di rivelatori. un un software di simulazione Montecarlo basato su GEANT-4 [5]. 1.2 Descrizione delle congurazione geometriche analizzate Le congurazioni che testeremo sono denominate GEOV02R00 e GEOV03R00. Lo schema del rivelatore in congurazione GEOV02R00 è riportato in g.1.1 La parte dell'appartato da noi studiata è quella superiore, denominata TOP TRK, ed è costituita da 30 piani di silicio orientati lungo la coordinata x e 30 piani orientati lungo la coordinata y con spessore di 0.03cm, larghezza e lunghezza di circa 100cm. Ogni piano è composto a sua volta da 100 sezioni. Ognuna di queste sezioni è un rivelatore a micro-strisce predisposto alla misura di una sola delle coordinate del punto di impatto della particella ionizzante (single sided). Un fotone, attraversando i vari piani, può 5

8 Geometry schema GEOV03R00 AC TOF1 AC 2 scintillator layers 120x120x0.5 cm 3 TRK 20 planes of double sided Si and 20 W planes TOFS1 2 layers 100x100x0.5cm3 TRK ~ 114 cm TOF S2 2 layers 80x80x0.5cm 3 Si Array 50x140 PREShower TOF2 pre-shower CALS 4Xo TOF3 Calorimeter CALH 21Xo tail-catcher TAIL 4Xo TOF4 neutron detector PREShower 30cm Si Array 50x140 ~ 180cm CALS (80x80xcm 2 ) 4 planes each with: SiX 8x8 tiles, pitch 0.05cm BGO thickness 1cm SiY like SiX TOF S3 2 layers 80x80x0.5cm 3 CALH 80x80x28.7cm3 vertical BGO (2.5x2.5x23.7cm 3 ) plus 5cm free space for BGO readout TAIL same as CALS TOF S4 2 layers 80x80x0.5cm 3 ND 80x80x15cm 3 SiArray 2 planes 140x50cm 2 x300 µm. Pixel 1cm 2. Plane distance 1cm Lateral Preshower 4 planes 80x40cm 2 each with: Si thickness 500 µm W thickness 0.26cm 80cm ~ 140cm Figura 1.2: Schema della congurazione GEOV03R00; la zona denominata TRK è predisposta alla misura dei fotoni a bassa e alta energia. La parte inferiore dell'apparato resta invariata rispetto alla congurazione GEOV02R00. interagire con questi convertendosi in una coppia elettrone-positrone: queste particelle, attraversando gli strati sottostanti a quello in cui si è formata la coppia, ionizzano il silicio permettendo la misura delle posizioni e l'energia delle stesse. Il silicio quindi opera sia da convertitore di raggi gamma in coppie elettrone-positrone, sia da rivelatore di particelle ionizzanti. La zona appena inferiore, costituita da 3 piani di silicio anche essi in congurazione single sided, è adibita alla misura dei raggi gamma a più alte energie. Inne nella sezione più bassa dell'apparato sono presenti una serie di altri rivelatori, fra cui un calorimetro eterogeneo che misurerà gli sciami prodotti da fotoni e elettroni ad alta energia, oltre che protoni e nuclei di raggi cosmici. Nella congurazione GEOV03R00, g. 1.2, invece non c'è distinzione fra il tracker per le alte e le basse energie: il TRK in questo caso è composto da venti piani di silicio di spessore 300 µm alternati da venti piani di tungsteno di spessore 100 µm. La lunghezza e la larghezza dei piani è di 100 cm. In questa congurazione il tungsteno ha il compito 6

9 di convertire i raggi gamma incidenti in coppie elettrone-positrone, mentre il silicio mantiene la doppia veste, convertitore-rivelatore, che possedeva nella congurazione precedente. Il calorimetro rimane identico nelle due congurazioni. Va aggiunto inne che in entrambe le congurazioni la distanza fra le micro/stirce (pitch) che compongono i rivelatori è di 100 µm. Nel prossimo paragrafo descriverò brevemente il funzionamento dei rivelatori a micro-strisce. 1.3 Rivelatori a micro-strisce di silicio Nelle simulazioni usate per lo studio preliminare della congurazione dell'esperimento GAMMA-400 sono stati considerati piani sensibili costituiti da rivelatori a micro-strisce di silicio con spessore di 300 µm. Un tipico rivelatore di questo genere è costituiti da una base di silicio di tipo n (cioè drogata con atomi donori) su cui vengono posizionate sottili micro-strisce di silicio di tipo p; si vengono quindi a creare delle giunzioni p- n che, se adeguatamente contropolarizzate, possono generare regioni di svuotamento sucientemente grandi da coprire tutta la base di tipo n. Consideriamo un diodo formato da due cristalli semiconduttori uno di tipo p, drogato con una densità numerica di atomi accettori N a, e uno di tipo n, drogato con una densità numerica di atomi donori N b. Se non viene applicato nessun potenziale esterno al semiconduttore il potenziale di barriera che si instaura nella zona di contatto fra i due cristalli, a temperature T, assumendo chen a, N b >> n 2 i, è dato dalla formula V d = kt e ln N d N a n 2 i dove n i è la densità intrinseca di portatori,e è la carica dell'elettrone e K è la costante di Boltzmann [1] ; V d è in media di circa 0.5 V. Applicando un potenziale V b esterno di contropolarizzazione il potenziale totale che si genera nella zona di contatto sarà V t = V d + V b. La regione di svuotamento è tanto più grande quanto è grande V t e possiamo stimare la dimensione di questa ragionando nel modo seguente: se W p è lo spessore della regione di svuotamento di tipo p e W n di quella di tipo n, poiché la carica totale deve rimanere nulla, approssimando che ogni atomo accettore rappresenti una carica negativa, e opposta carica per gli atomi donori, si ha N a W p = N d W n. Supponendo che la zona di svuotamento sia rettangolare possiamo scrivere l'equazione 7

10 di Poisson come segue: d 2 V dx 2 = en d ɛ Integrando questa equazione due volte e imponendo la condizione che per x = W n il campo elettrico sia uguale a0, si trova la relazione che lega il potenziale alla larghezza della zona di svuotamento. Invertendo quest'ultima si ricava 2ɛVt W n = qn d (1 + Na N d ) e identica formula per W p scambiando N d con N a Scegliendo N a di cm 3, N d di cm 3 e V b = 100V si ottiene W p = 0.4µm e W n = 300µm [12]. É possibile quindi, nel caso dei rivelatori a micro-strisce, drogare fortemente le zone p per avere una regione di svuotamento che coprano con buona approssimazione tutta la base di tipo n. Il vantaggio principale di avere una tale congurazione è quella che nel momento in cui una particella ionizza gli atomi di silicio, gli elettroni e le lacune passati in banda di conduzione non incontrano portatori di carica liberi con cui ricombinarsi. Quando si creano le coppie elettrone lacuna a seguito del passaggio di una particella carica, gli elettroni vengono spinti dal potenziale verso la base del rivelatore, mentre le lacune vengono raccolte dalle strisce di silicio drogato p. Misurando quindi la questa corrente si determinano le coordinate del punto in cui sono passate le particelle. 8

11 Capitolo 2 Fenomeni sici alla base del sistema di rilevazione In questo capitolo descriverò brevemente i fenomeni sici alla base del sistema di rivelazione dei raggi gamma da noi studiato facendo una rapida descrizione del fenomeno della creazione di coppie elettrone-positrone e dello scattering multiplo. 2.1 Creazione di coppie elettrone-positrone Ci sono tre meccanismi principali di interazione fra i fotoni e la materia: eetto fotoelettrico, eetto Compton e produzione di coppie. L'eetto fotoelettrico e la produzione di coppie provocano un completo assorbimento dei fotoni che interagiscono, l'eetto Compton invece provoca ampi angoli di scattering e perdite di energia ma non l'assorbimento completo. Un fascio di fotoni che attraversa un materiale è attenuato secondo la legge I = I 0 e µx dove µ è il coeciente di attenuazione di massa dato da µ = N A A in cuin A è il numero di Avogadro, A è il peso atomico e la somma viene svolta sulle sezioni d'urto σ i dei vari processi che contribuiscono all'attenuazione del fascio; il coeciente di attenuazione dipende fortemente dall'energia dei fotoni incidenti.in i σ i 9

12 Dipendenza dall'energia del coe ciente di assorbimento µ e di attenuazione µ per fotoni in acqua: µ descrive l'e etto fotoelettrico, µ e µ lo scattering e l'assorbimento Compton, µ la produzione di coppie. I coe cienti di assorbimento ed attenuazione sono de niti da µ = µ + µ + µ e µ = µ + µ. Figura 2.1: a ph cs ca p a ph p ca generale il fenomeno dominante per energie inferiori a per energie medie (Eγ 1M ev ) la produzione di coppie. a 100keV cs è l'e etto fotoelettrico, l'e etto Compton e per alte energie, Eγ >> 1M ev I valori esatti dell'energia per i quali i tre fenomeni diven- tano dominanti dipendono dal materiale in considerazione: in gura 2.1 è mostrato l'andamento dei coe cienti di assorbimento nell'alluminio. Questo ultimo e etto è quello che permette la rilevazione di raggi gamma nei rilevatori del tipo tracker-converter come quelli da noi studiati. La produzione di coppie dovuta dall'interazione di un fotone con il campo Coulombiano generato da un nucleo può avvenire soltanto se l'energia del fotone supera un energia di soglia: Es = 2me c (me c)2 mnucleo

13 poiché però m e << m nucleo la relazione può essere approssimata a E γ > 2m e c 2 È possibile inoltre che la coppia venga prodotta dall'interazione di fotoni con un campo Coulombiano generato da elettroni, ma questo processo è trascurabile rispetto alla produzione di coppie dovuta alla presenza dei nuclei. Si può stimare la sezione d'urto per la produzione di coppie dovuta ai nuclei nel regime di alte energie: detto ɛ = Eγ m ec 2 allora se vale ɛ >> 1 αz 1/3 σ pair 7 A 9 N a X 0 dove X 0 è una lunghezza di radiazione del materiale, che rappresenta la distanza media nella quale un elettrone perde (1 1 ) della sua energia nell'attraversare il materiale e [7]. Si vede dunque che nel regime delle alte energie la sezione d'urto per la produzione di coppie non dipende dall'energia. Per le basse energie, invece, la sezione d'urto è proporzionale a ln2ɛ. L'energia liberata si distribuisce uniformemente fra l'elettrone e il positrone solo a basse energie. La sezione d'urto dierenziale per la creazione di una coppia con energia del positrone compresa fra E + e de + e di un elettrone con energia E è data da: dσ de + = αre 2 Zf(ɛ, Z) E γ 2m e c2 dove c è l velocità della luce, α la costante di struttura ne, r e è il raggio classico dell'elettrone, m e è la massa dell'elettrone e Z il numero atomico del materiale [8]. La funzione f(ɛ, Z) dipende debolmente da Z, mentre la dipendenza dal parametro di partizione dell'energia: x = E + m e c 2 E γ 2m e c 2 è mostrato in g L'energia comincia a distribuirsi, con buona probabilità, tutta su una delle due particelle per valori di ɛ pari a 200, e quindi per energie del fotone di circa 0, 1GeV. Va inne aggiunto che l'angolo di apertura delle traiettorie delle due particelle dipende dall'energia del fotone che ha generato la coppia: si stima tale angolo 11

14 Figura 2.2: Andamento della funzione di partizione f(ɛ, Z) in funzione del parametro di partizione x. con la seguente relazione approssimata: θ pair = m ec 2 E gamma 2.2 Scattering multiplo Esistono molti meccanismi di interazione fra particelle cariche e la materia quali l'eccitazione e la ionizzazione degli atomi, il bremsstrahlung, lo scattering multiplo. Nell'apparato da noi studiato quest' ultimo fenomeno che limita la risoluzione angolare, infatti particelle cariche che attraversano la materia possono essere diuse a causa del potenziale Coulombiano generata dai nuclei. Lo scattering multiplo, al contrario del fenomeno di ionizzazione degli atomi, in cui il contributo dominate è dovuto all'interazione con gli elettroni del materiale, è un processo dominato dalla presenza dei nuclei che causano un alto numero di processi di scattering con angoli di deessione mediamente piccoli rispetto alla traiettoria originale. La distribuzione dell'angolo di scattering causato dello scattering multiplo Coulombiano è descritta dalla teoria di 12

15 Molière 6. Nell'approssimazione di angoli di scattering piccoli, ponendo uguale a zero l'angolo con il quale le particelle cariche incidono sulla supercie del materiale, si stima una distribuzione di probabilità dell'angolo di uscita proiettato su un qualsiasi piano con media θ 0 = 0 e deviazione standard θ rms = 13.6MeV βcp x Z X 0 dove p, βc e Z sono l'impulso, la velocità e la carica della particella incidente. x/x 0 è lo spessore di scattering misurato in unità di lunghezza di radiazione. La presenza di angoli di scattering più grandi, provocati dalle collisioni delle particelle cariche con i nuclei, rendono le code della distribuzione di θ più grandi rispetto a quelle aspettate in una normale distribuzione Gaussiana con media zero e σ = θ rms. 13

16 Capitolo 3 Simulazione di eventi e algoritmo di ricostruzione In questo capitolo fornirò una breve descrizione del software di simulazione degli eventi, concentrandomi maggiormente sull'algoritmo di ricostruzione da me direttamente usato 3.1 Simulazione degli eventi Il software di simulazione, denominato GCD, è un interfaccia per GEANT4. GEANT4 è un pacchetto che contiene un insieme di strumenti, come classi e funzioni, utili per la simulazione del passaggio di particelle attraverso la materia. Questo software, scritto nel linguaggio di programmazione C++ è sviluppato da CERN, e trova grandi applicazione nella sica delle alte energie, nella sica nucleare, nella sica medica e inne nella sica dell'universo. Essendo GEANT4 un insieme di librerie è l'utente che ha il compito di scrivere un programma che utilizzi questi per eseguire la simulazione necessaria. GCD è proprio un software progettato per questo scopo: anch'esso scritto in C++, implementa in modo generico e essibile la maggior parte delle sezioni del codice richieste all'utente (come il formato delle informazioni associate all'evento, o la struttura dati di uscita, ad esempio), e le integra con il core della simulazione. La congurazione geometrica dei rivelatori (il tipo di materiali, il loro posizionamento, etc) viene fornita dall'utente sotto forma di una libreria dinamica che viene letta dal programma principale a run time, mentre le caratteristiche sul modo in cui le particelle in ingresso vengono generate sono specicate tramite data cards, garantendo una grande versatilità del programma stesso. Nel nostro caso le particelle generate sono 14

17 fotoni con energia e angoli di incidenza ssati. Le coordinate con cui il fotone viene generato vengono invece scelte, all'interno di un range da noi ssato, tramite un generatore di numeri casuali Per ogni evento, oltre ai dati della particella primaria, vengono memorizzate informazioni relative al passaggio delle particelle nei volumi sensibili (hit). A seconda del livello di dettaglio necessario durante la successiva analisi dei dati, per ogni volume sensibile gli hit possono essere di 3 tipi: 1. di tipo Posizione: a ogni passo (step) eseguito dalla simulazione all'interno dei materiali per ogni particella è associato un set di informazioni quali l'energia depositata, il tipo di particella, la posizione di tipo Particella: il passaggio di ogni particella attraverso il volume sensibile genera un unico set di informazioni contenenti l'energia totale depositata, il tipo di particella interagente, la media delle coordinate di ogni step della simulazione all'interno del materiale, la media dell'impulso della particella. 3. di tipo Integrato: il passaggio di una o più particelle genera un unico set di informazioni dei parametri di tutte le particelle che hanno interagito all'interno del materiale, per un dato evento, non contenente il tipo di particelle che hanno interagito. L'utente avrà a disposizione solo la somma dell'energia rilasciata da particelle diverse senza poterne distinguere il tipo Per quanto riguarda lo studio del tracker i volumi logici sensibili sono quelli di silicio e l'informazione raccolta è di tipo Particella. Ogni volta quindi che un evento provoca una creazione di coppie elettrone positrone, queste particelle attraversando le zone sensibili rilasciano un'energia che viene memorizzata dal programma. Tutte le informazioni vengono poi inviate al le di uscita di GCD in formato TTree di ROOT. ROOT é un software ad oggetti, sviluppato dal CERN, scritto in C++, che e' molto usato per l'analisi dei dati nella sica delle alte energie. L'algoritmo di ricostruzione da me usato, anch'esso scritto in C++, accetta in entrata questi tipi di le, ricavando, per ogni singolo evento, la posizione in cui sono passate le particelle. Una volta ottenute questa informazioni il programma, usando due semplici metodi basati sulla cinematica degli eventi, fornisce 2 stime dell'angolo di incidenza del fotone e quindi della risoluzione angolare. 15

18 3.2 Algoritmo di ricostruzione L'algoritmo di ricostruzione, o programma di analisi, può essere diviso in tre parti principali: lettura dei volumi logici e delle coordinate dei punti in cui le particelle hanno interagito con i volumi sensibili, selezione dei punti da utilizzare all'interno del t di ricostruzione, stime della risoluzione angolare. Nella prima parte del programma vengono lette le coordinate dei volumi sici costituenti i piani di silicio. In questo modo è possibile vericare che la congurazione del rivelatore usata durante la simulazione degli eventi rispetti fedelmente lo schema del tracker analizzato. Si apre adesso un ciclo che scorre gli eventi (loop sugli eventi) generati dalla simulazione e che si conclude solamente al termine del programma. Nella parte iniziale del loop si selezionano gli eventi in cui si è generata una coppia e vengono lette e memorizzate le coordinate dei punti in cui gli elettroni e i positroni sono passati attraverso i volumi sensibili (hits ). Il passaggio successivo è la digitizzazione di queste coordinate. In un rivelatore a micro/strisce infatti la posizione degli hits delle particelle ha una precisione massima denita dalla geometria del rivelatore. Nell'algoritmo usato la digitizzazione, che tiene conto di questo problema, è stata realizzata nel modo seguente: si è approssimato che le coordinate degli hits fossero date dalla posizione della micro/striscia più vicina ai punti di interazione fra le particelle e il materiale. Poiché nel nostro rivelatore il pitch è in entrambe le congurazioni di 100µm, non avrebbe senso usare le coordinate generate direttamente dalla simulazione, poiché queste hanno una precisione molto migliore di 100µm. Alle coordinate discretizzate è stato poi associato un errore pari a pitch 12, poiché questa è la deviazione standard attribuita ad una distribuzione di probabilità costante di ampiezza pari al valore del pitch. Infatti immaginiamo di misurare la coordinata x di una particella uguale a zero: questo signica che abbiamo una probabilità costante che questa particella sia eettivamente passata in una zona larga pitch/2 a destra o a sinistra della striscia posizionata su x = 0. La varianza di tale distribuzione è: σ 2 x = 1 pitch +pitch/2 pitch/2 x 2 dx = (pitch)2 12 che giustica l'errore attribuito alle coordinate rese discrete. 16

19 Nella parte successiva dell'algoritmo si determinano in maniera molto semplice e approssimata le traiettorie del positrone e dell'elettrone, e il risultato è usato poi come stima iniziale per il t delle tracce: supponendo le traiettorie come rette, si prende il primo e l'ultimo hit per le due particelle e tramite questi punti si ricavano le due rette. Dall'intersezione delle rette si ricava poi una stima del punto (chiamato vertice) in cui il fotone è stato assorbito generando la coppia. Questi parametri andranno poi passati al t di minimizzazione del χ 2 che fornirà le stime denitive delle traiettorie e del vertice. Prima di fare questo si opera una scelta dei punti da includere nel t: per ogni hit, ad esclusione del primo e dell'ultimo, si ricava la traiettoria incidente e uscente dal piano in cui è avvenuto l'hit e si stima l'angolo di incidenza e l'angolo di uscita rispetto alla perpendicolare al piano. Se la dierenza di questi due angoli supera un certo angolo limite, i punti successivi vengono scartati e non utilizzati all'interno del t. Viene adesso svolto il t, che consiste in una semplice funzione di minimizzazione del χ 2. I parametri che il t può variare per ottenere la minimizzazione richiesta sono le tre coordinate del vertice e gli angoli polari ed assiali delle due particelle. Il t restituisce in uscita questi sette valori ed χ 2 χ risotto = 2 dove N N e+n p 7 e r N p sono rispettivamente il numero di hits dell'elettrone e del positrone inclusi nel t. Una volta ricostruite le traiettorie possiamo stimare la risoluzione angolare usando due semplici metodi basati sulla cinematica della creazione di coppie. Per queste stime si utilizzano gli angoli e le coordinate del vertice stimati dal t. Si suppone invece di saper misurare l'energia depositata per ogni hit in maniera molto precisa. Poiché poi l'energia depositata è proporzionale al modulo dell'impulso delle particelle, leggiamo questa informazione direttamente dal le di uscita della simulazione. Così facendo si trascura un l'errore nella lettura dell'energia depositata provocato dalla non perfezione del rivelatore. Lo stimare in questo modo il modulo dell'impulso serve per ricavare le proiezioni dell'impulso: p x = p sin θ cos φ p y = p sin θ sin φ p z = p cos θ dove θ e φ sono rispettivamente l'angolo assile e polare stimati per la particella, p è il modulo dell'impulso e p x, p y e p z sono le proiezioni dell'impulso lungo gli assi x, 17

20 y e z. Nella prima stima della risoluzione angolare consideriamo sia l'elettrone che il positrone. Usando la conservazione dell'impulso si ricava: p γ = p e + p p Nel le di uscita dalla simulazione è contenuta anche l'informazione dell'impulso dei fotoni incidenti. Facendo quindi il prodotto scalare fra l'impulso ricostruito e quello generato dalla simulazione possiamo ricavare l'angolo fra i due vettori, che chiamiamo α: cos α = p ric p sim p ric p sim α è proprio quindi la risoluzione angolare associata all'evento in considerazione Nella seconda stima invece si considera solo la particella che ha avuto più hits all'interno del silicio. In questo caso l'impulso del fotone si pone uguale all'impulso dell'unica particella in considerazione. Nel caso in cui le due particelle abbiano avuto lo stesso numero di hits viene presa la bisettrice fra le due tracce come direzione ricostruita del fotone e la seconda stima è identica alla prima. Naturalmente la prima stima restituirà una risoluzione angolare migliore della seconda e per questo la prima è denominata α best e la seconda α worse. La seconda stima è stata eseguita per tenere conto del fatto che, soprattutto ad alte energie, l'energia ceduta alle particelle a seguito della creazione della coppia può essere fortemente asimmetrica. In questo caso una delle due particelle avrà poca energia e la rilevazione della sua posizione sarà meno precisa. Infatti nella reale ricostruzione della risoluzione angolare bisognerà sare l'informazione dellenergia delelettrone e del positrone proveniente dal calorimentro, nel caso queste particelle non vengano assorbite all'interno del tracker, o dall'energia depositata all'interno del silicio. Noi all'interno del programma di analisi stiamo però usando l'informazione vera, generata dalla simulazione e per questo α best è un limite inferiore della risoluzione angolare, ma non può rappresentarne il valore vero. la stima α worse invece, leggendo solo le informazioni provenienti da una delle due particelle, rappresenta un limite superiore al valore vero della risoluzione angolare. Tutte le informazioni ricavate dall'algoritmo di ricostruzione vengono memorizzate nel le di uscita in formato TTree di ROOT. Dall'analisi di questi dati abbiamo ricavato l'andamento della risoluzione angolare in funzione dell'energia. 18

21 Capitolo 4 Analisi della risoluzione angolare Per ogni simulazione da noi lanciata gli angoli con cui sono stati generati i fotoni incidenti sono stati ssati nel modo seguente: angolo polare 45 gradi, angolo assiale 5 gradi. Tutti i risultati riportati di seguito valgono quindi per tali angoli. Inoltre il numero di eventi simulati ad ogni lancio è stato di Per analizzare le informazioni in uscita dal software di ricostruzione è stato usata il programma ROOT. Tutti i graci presenti in questo capitolo, compresi quelli inerenti la visualizzare degli eventi, sono stati realizzati tramite questo programma di analisi. 4.1 Visualizzazione eventi Il primo passo dell'analisi dati ricavati dal programma di analisi è stato quello di visualizzare gli eventi per comprendere se la simulazione e la ricostruzione eventi è stata eseguita correttamente. Per far questo è stato necessario leggere le coordinate degli hits delle due particelle per ogni singolo evento. In gura 4.1 è mostrato un evento tipico generato dalla simulazione eseguita per l'energia dei fotoni ssata a 100MeV. La congurazione del rivelatore usata è la GEOV02R00. Il colore rosso rappresenta le coordinate degli elettroni, il colore blu quelle dei positroni. Nel graco a superiore sono visualizzate le coordinate x rivelate dal tracker a basse energie ( la sigla xlet sta per Low energy tracker x ). Nel graco inferiore vengono visualizzate le coordinate y. I cerchi rappresentano le coordinate che sono state incluse nel t. Nella congurazione GEOV02R00 l'angolo limite usato nell'algoritmo di ricostruzione per discriminare i punti da includere nel t è di 2 gradi: i punti scartati dalla selezione sono visualizzati con un simbolo a forma di triangolo. Le traiettorie stimate dal t sono visualizzate come delle linee di colore rosso per gli elettroni e blu per i positroni. Inne i piani di silicio 19

22 Figura 4.1: Visualizzazione evento numero 15 congurazione GEOMV02R00 ad energia 100MeV, i punti rappresentati sono spiegati nel testo. 20

23 sono visualizzati in verde e le varie sezioni che li compongono sono separate dai brevi tratti verticali che intercettano i piani. La simulazione tiene conto delle inecienze di rivelazione dovute al fatto che le superci dei sensori al silicio non sono interamente ricoperte di microstrisce, ma ai bordi esistono delle zone morte non sensibili, per cui nel punto di contatto fra le sezioni non è possibile rivelare il passaggio delle particelle. Nell'evento visualizzato si nota, infatti, come le coordinate non posso essere misurate nel momento in cui la particella attraversa una zona di contatto fra le sezioni del piano. Sul graco di visualizzazione degli eventi sono riportati il χ 2 ridotto risultante dal t e le due stime della risoluzione angolare in radianti per il singolo evento. Il valore del χ 2 elevato è dovuto al fatto che la minimizzazione viene eseguita tramite un t lineare mentre, a causa del fenomeno dello scattering multiplo, la traiettoria reale delle particelle è un susseguirsi di linee spezzate. In gura 4.2 è mostrato un evento realizzato tramite la simulazione in congurazione GEOV03R00 e con energia dei fotoni incidenti ssata a 500 MeV Come descritto nella sezione 1.2, in questa congurazione nello spazio che intercorre fra un piano di silicio e il sottostante è presente un piano di tungsteno. La presenza di questo materiale aumenta la larghezza della distribuzione degli angoli di scattering dovuti allo scattering multiplo (come descrito dalla formula discussa in sezione 2.2). Per questo motivo l'angolo limite per il quale i punti vengono inclusi nel t è ssato a 4 invece che a 2. Questo inoltre spiega i valori del χ 2 che risultano molto più grandi rispetto a quelli trovati nella GEOV02R00. Nonostante tali valori la risoluzione angolare rimane ragionevole. Una volta vericato il corretto svolgimento della simulazione tramite la visualizzazione dei singoli eventi, abbiamo trovato una stima della risoluzione angolare e del suo errore. 4.2 Stima della risoluzione angolare Inserisco adesso la denizione di quantile poiché le stime della risoluzione angolare sono state eseguite tramite questo concetto. Sia F (x) l'integrale fra 0 ed x della distribuzione di probabilità della variabile aleatoria x, normalizzata a uno e a valori positivi: il quantile q calcolato all'ordine A è denito come quel valore per cui F (q) = A. Per quanto riguarda l'analisi della risoluzione angolare, usando i dati proveniente dal programma di ricostruzione, sono state eseguite le seguenti operazioni: è stato operato un taglio su eventi con valori del χ 2 elevati, per escludere i casi 21

24 Figura 4.2: Visualizzazione evento numero 126 congurazione GEOMV03R00 ad energia 300MeV 22

25 in cui il t non ha ricostruito in maniera attendibile le traiettorie delle particelle cariche è stata fornita la stima della risoluzione angolare totale calcolando il quantile della distribuzione al 68, 3%. è stato attribuito alla risoluzione angolare un errore derivante dall'ecienza del metodo Montecarlo. Il primo passo è stato svolto realizzando un graco della distribuzione del χ 2 e ricavando il valore del quantile di ordine 95%. Tutti gli eventi con valore del χ 2 maggiore di questo sono stati scartati. Il secondo passo è stato svolto realizzando due istogrammi contenenti i valori di α best e di α worse. É stati poi calcolato il valore del quantile, per ogni graco, al 68, 3%, Questi valori rappresentano le stime di α best e di α worse. L'errore sulla risoluzione angolare è stato calcolato, tramite gli istogrammi precedenti, come segue: chiamato A l'ordine da noi scelto nella stima della risoluzione angolare, abbiamo ricavato altri due ordini A + ed A A ± = A ± A (1 A)/N dove N è il numero di entrate con cui si è generato l'istogramma in questione. L'errore sarà quindi la media fra gli scarti tra il quantile calcolato all'ordine A e i due quantili calcolati agli ordini A + e A 4.3 Stima a posteriori dell'errore attribuito alla risoluzione angolare Per vericare che il metodo usato per il calcolo dell'errore attribuito alla risoluzione angolare fosse corretto abbiamo lanciato più volte il software di simulazione con i seguenti parametri in ingresso: energia dei fotoni 100M ev e congurazione GEOV02R00. Per 23

26 Angular resolution(deg) (V02) alpha best Q= α best mean α best mean ± RMS media = RMS = Energy(GeV) Figura 4.3: stima a posteriori dell'errore su α best. Nel graco si riportano i risultati delle 10 prove, la media calcolata su questi valori, e le zone comprese tra media + RMS e media - RMS problemi legati al tempo di elaborazione dati il lancio della simulazione è stato eseguito solo 10 volte. Naturalmente il numero limitato di prove eseguite non permette di considerare quella che segue una vera e propria stima statistica dell'errore. Nel graco in gura 4.3 sono riportati i 10 valori di α best e il loro rispettivo errore, ricavati dall'analisi dati delle simulazioni. È stato scelto di usare i valori ricavati calcolando il quantile al 68, 3%. La linea rossa rappresenta la media di questi valori. È stato poi calcolato il valore RMS (root mean square) con la formula: RMS = i (α i α mean ) 2 dove N p è il numero di prove eettuato. La banda colorata in gura rappresenta i valori compresi fra α mean + RMS e α mean RMS. Vediamo dal graco che le barre di errore sono confrontabili con la larghezza della banda: possiamo quindi considerare l'errore attribuito a α best corretto. In gura 4.4 è riportato il graco contenente le informazioni su α worse. Anche in questo caso le barre di errore attribuite alle misure sono confrontabile con la larghezza N p 24

27 Angular resolution(deg) (V02) alpha worse Q= α best mean α best mean ± RMS media = RMS = Energy(GeV) Figura 4.4: stima a posteriori dell'errore su α worse. Nel graco si riportano i risultati delle 10 prove, la media calcolata su questi valori, e le zone comprese tra media + RMS e media - RMS della banda. Inoltre, in entrambi i graci più della metà delle misure cadono all'interno della banda α mean ±RMS, e questo ci suggerisce che il valore RMS trovato sia in prima approssimazione corretto. Tutte le informazioni ricavate dalla stima precedente andranno confermate da studi statistici eseguiti su un numero di prove maggiore. Poiché per gli scopi nali di questo lavoro di tesi l'errore attribuito alla risoluzione angolare é poco inuente, questa stima statistica può essere tralasciata. 4.4 Risoluzione angolare al variare dell'energia Per ottenere la stima della risoluzione angolare in funzione dell'energia dei fotoni incidenti, abbiamo eseguito più volte il programma di simulazione eventi, per entrambe le congurazioni, con i seguenti valori dell'energia dei raggi gamma: 5 MeV, 10 MeV, 25 MeV, 50 MeV, 100 MeV, 250 MeV, 500 MeV e 1 GeV. Abbiamo poi eseguito il programma di ricostruzione su i 16 le di uscita, 8 per una congurazione e 8 per l'altra, ricavati dalle simulazioni. Dai le di uscita dal software di ricostruzione, applicando i metodi descritti al paragrafo 4.2, è stata ricavata la stima della risoluzione angolare e 25

28 Figura 4.5: graco della risoluzione angolare in funzione dell'energia in congurazione GEOV02R00. Vengono riportate le due stime, α best e α worse, con i rispettivi errori, per 8 energie dei fotoni incidenti (Gli assi sono in scala logaritmica) dell'errore. Abbiamo deciso di riportare i valori ricavati calcolando il quantile al 68, 3%. In gura 4.5 sono mostrati i valori di α best e α worse ricavati tramite le simulazioni in congurazione GEOV02R00. La risoluzione angolare, come ci aspettavamo, decresce in maniera regolare con l'aumentare dell'energia. L'andamento può essere spiegato tenendo conto che il contributo che limita la risoluzione angolare è lo scattering multipolo; infatti l'ampiezza degli angoli di scattering è inversamente proporzionale all'energia delle particelle poiché θ rms = 13.6MeV βcp x Z X 0 e il valore βcp, per le energie da noi considerate, può essere approssimato con l'energia delle particelle. In gura 4.6 è mostrato l'analogo graco a svolto per la congurazione GEOV03R00. Anche qui valgono le considerazioni svolte per il caso precedente. Per entrambe le congurazioni, come ho già spiegato nel capitolo precedente, il valore eettivo della risoluzione angolare non sarà ne α best ne α worse. È ragionevole pensare che il valore eettivo della risoluzione angolare cada in una banda di valori compresi tra α best e α worse, poiché la prima rappresenta una stima ottimistica e la seconda rappresenta una stima pessimistica della risoluzione angolare vera. Questo è 26

29 Figura 4.6: graco della risoluzione angolare in funzione dell'energia in congurazione GEOV03R00. Vengono riportate le due stime, α best e α worse, con i rispettivi errori per 8 energie dei fotoni incidenti (Gli assi sono in scala logaritmica) il motivo per cui gli errori calcolati sulle due singole stime sono poco inuenti ai ni di confrontare le due congurazioni. Le bande comprese tra α best e α worse, infatti, sono molto più ampie delle barre di errore sui singoli punti, che risultano quindi trascurabili nello stimare i possibili valori veri della risoluzione angolare. Nel graco in gura 4.7 sono riportate le bande dei valori possibili della risoluzione angolare nelle due congurazioni studiate: per i motivi spiegati precedentemente sono state omesse le barre di errore. In questo graco, per ogni energia studiata, le stime α best e α worse rappresentano il limite superiore ed inferiore del valore vero della risoluzione angolare. Si vede dunque che per quanto riguarda il tracker per le basse energie, la congurazione GEOV02R00 garantisce una migliore risoluzione angolare per tutte le energie da noi studiate tramite il software di simulazione e tramite il programma di analisi. Dal graco 4.7 si può infatti apprezzare il fatto che il valore della risoluzione angolare nella congurazione GEOV03R00 è in media tre volte superiore rispetto a quello stimato nell'altra congurazione. 27

30 Figura 4.7: graco delle bande dei valori possibili della risoluzione angolare, in funzione dell'energia, in congurazione GEOV02R00 e GEOV03R00. I punti circolari rappresentano, al variare dell'energia, le due stime α best e α worse che forniscono il limite inferiore e superiore al valore vero della risoluzione angolare. (Gli assi sono in scala logaritmica) 4.5 Ecienza di conversione Oltre alla risoluzione angolare, un altro aspetto molto importante per il corretto confronto delle due congurazioni è l'ecienza di conversione. Questo parametro rappresenta la probabilità che un fotone, interagendo con i piani che compongono il tracker per le basse energie, generi una coppia elettrone positrone. L'ecienza dipenderà sia dalla congurazione del rivelatore che dall'energia dei fotoni incidenti Nel le di uscita del programma di analisi vengono riportati due parametri riguardanti l'ecienza: il numero di coppie elettrone positrone generate all'interno del tracker per le basse energie e il numero di eventi che sono stati utilizzati nella ricostruzione delle traiettorie delle particelle. Questi due parametri sono diversi poiché non tutti gli eventi che producono una coppia possono essere utilizzati per stimare le traiettorie delle particelle, come nei due seguenti esempi: Le particelle generate si ricombinano con gli atomi di silicio, o con gli atomi di tungsteno, prima di aver attraversato almeno due piani adibiti alla misura della coordinata x e due piani adibiti alla misura della coordinata y. 28

31 Energia(MeV) GEOV02R00 GEOV03R Tabella 4.1: Numero di eventi per i quali il t è riuscito a ricostruire le traiettorie Per motivi inerenti alla traiettorie delle particelle, la minimizzazione del χ 2 all'interno del t non riesce. Questo può essere causato da traiettorie troppo spezzate, che non possono essere approssimate da una retta, come richiesto nel t. In tabella 4.1 è riportato il numero di eventi, per le due congurazioni, che hanno permesso una buona riuscita del t, e che quindi sono stati utilizzati per stimare le traiettorie delle particelle. In tabella 4.2 è invece riportato il numero di coppie generate all'interno del tracker per le basse energie. In entrambe le tabelle si nota un ecienza della congurazione GEOV03R00 in media tre volte maggiore rispetto alla congurazione GEOV02R00. Per avere un ulteriore conferma della buona riuscita delle simulazioni da noi effettuate possiamo adesso vericare se l'ecienza ricavata tramite le simulazioni è ragionevole rispetto alle predizioni teoriche. Faremo questa stima sui valori ricavati ad 1 GeV così da poter usare la formula approssimata per il calcolo della sezione d'urto della creazione di coppie. Infatti questa approssimazione è lecita se E γ m e c 2 >> 1 αz 1/3. dove E gamma è l'energia del fotone, αm è la costante di struttura ne, m e c 2 l'energia a riposo dell'elettrone e Z il numero atomico del materiale attraversato. Questa relazione è vericata in maniera abbastanza corretta per E gamma = 1GeV infatti 1000M ev 0.5MeV 137 >> = 2000 >> /3 29

32 Energia(MeV) GEOV02R00 GEOV03R Tabella 4.2: Numero di coppie generate nell tracker per le bsse energie dove al posto di Z è stato sostituito il numero atomico del silicio, poiché questo ha il numero atomico più basso del tungsteno. Possiamo quindi usare la formula approssimata σ pair 7 A 9 N a X 0 Usando le formule citate nel paragrafo 2.1 si ricava che se I 0 è il numero di fotoni che incidono su un materiale di spessore x, il numero di coppie N c generato dai fotoni è dato da N c = I 0 (1 exp ( N A A σ pairx)) = N c = I 0 (1 exp ( 7x 9X 0 )) Calcolando questo valore per la congurazione GEOV02R00, dove X 0 è la lunghezza di radiazione del silicio pari a 9.4 cm, lo spessore x è pari allo spessore totale dei 60 piani ciascuno di spessore 0.03 cm e il numero di fotoni incidenti è pari a si ottiene cm N c = 10000(1 exp( 9 9.4cm ) Il numero di coppie generato tramite la simulazione in congurazione GEOV02R00, ad energia 1 GeV, è 1307 che è confrontabile con il valore trovato dalla stima teorica. Il fatto che la stima teorica fornisca un valore leggermente più elevato proviene dall'aver usato formule approssimate. Un calcolo analogo può essere svolto anche per la congurazione GEOV03R00: in questo caso lo spessore del materiale in lunghezze di radiazioni (x/x 0 ) sarà dato dalla somma dello spessore in lunghezze di radiazione dei piani silicio (spessore 0.03 cm) e 30