MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 2 marzo 2010 programma vecchio ordinamento

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1 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 2 marzo 2010 programma vecchio ordinamento Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: dott. Quaranta (SI) prof. Pacati (SI) dott. Riccarelli (AR) dott. Falini (GR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l investimento di un importo S = per t anni. Sapendo il tasso annuo di interesse è il 8% e che il valore finale è il triplo del capitale investito, si calcolino le seguenti grandezze ipotizzando una sottostante legge degli interessi semplici: la durata dell investimento t = anni l interesse I = euro il tasso d interesse anticipato (tasso di sconto) periodale k = % l intensità di interesse γ = anni 1 Si calcolino quindi le stesse grandezze ipotizzando lo stesso importo, lo stesso tasso annuo e lo stesso valore finale, ma assumendo una sottostante legge degli interessi composti: la durata dell investimento t = anni l interesse I = euro il tasso d interesse anticipato (tasso di sconto) periodale k = % l intensità di interesse γ = anni 1 Esercizio 2. Si consideri il prestito di una somma S = euro, che viene restituito in due rate trimestrali di R = euro l una. Si calcoli il tasso interno di rendimento i dell operazione finanziaria e lo si esprima in forma percentuale e in base annua. i = % Si assuma ora che, a fronte del prestito della stessa somma, il rimborso venga effettuato in unica soluzione dopo un anno. Si determini l importo da restituire C, in modo che il tasso interno di rendimento di questa nuova operazione sia ancora i. C = euro Si calcoli infine il tasso interno di rendimento i 1 del prestito di 2S euro, rimborsato in tre rate: la prima di R euro dopo tre mesi, la seconda R euro dopo sei mesi e la terza di C euro dopo un anno. i 1 = %.

2 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma S = euro, da restituirsi secondo un ammortamento composto da 3 rate semestrali posticipate al tasso annuo i = 8%. L ammortamento prescelto è di tipo non standard e prevede che: il debito residuo dopo il pagamento della seconda rata sia di euro, la prima rata sia di euro. Si compili il piano di ammortamento. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

3 Esercizio 4. Siano dati i titoli: x: TCN a pronti con valore facciale euro, maturity sei mesi; y: rendita perpetua con rata mensile posticipata di 10 euro. Nell ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello del 5% annuo, si calcolino i valori attuali e le duration dei due titoli: V (0, x) = euro D(0, x) = anni V (0, y) = euro D(0, y) = anni Si assuma di essere già in possesso di un titolo a cedola nulla z, che rimborsa euro a un anno, e di avere a disposizione ulteriori euro, da investire nei titoli x e y con l obiettivo di non modificare la durata media finanziaria di quanto già detenuto. Determinare quante unità α del titolo x e quante unità β del titolo y bisogna comprare. α = β = Esercizio 5. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 siano quotati i seguenti titoli: un TCN a pronti e maturity 6 mesi, con valore facciale 100 euro e quotato 97 euro; un TCN a termine, con valore facciale 200 euro esigibile tra un anno, con prezzo pagabile tra sei mesi di euro; un TCN a termine, con valore facciale 100 euro esigibile tra un anno e mezzo, con prezzo pagabile tra sei mesi di 94.5 euro. Si determini la struttura per scadenza dei tassi a pronti e dei tassi a termine in vigore in questo mercato, esprimendo i tassi in forma percentuale e in base annua. i(0, 0.5) = % i(0, 0, 0.5) = % i(0, 1) = % i(0, 0.5, 1) = % i(0, 1.5) = % i(0, 1, 1.5) = %

4 Esercizio 6. Si consideri un mercato azionario in cui siano quotati due titoli rischiosi con rendimenti aleatori I 1 e I 2. I rendimenti attesi dei titoli sono E 1 = 5%, E 2 = 3% e le varianze V 1 = 0.05, V 2 = La correlazione fra i due titoli nulla. Fra le composizioni di portafoglio del tipo I = αi 1 + (1 α)i 2, si calcoli la composizione α del portafoglio a varianza minima, il rendimento atteso E e la varianza V di tale portafoglio. α = E = % V = Si calcoli poi il rendimento atteso E P e la varianza V P di un portafoglio P composto per il 35% dal titolo I 1 e per la restante parte dal titolo I 2. Dire infine, motivando la risposta se il portafoglio P è efficiente. E P = % V P = P è efficiente Motivo: P non è efficiente

5 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 2 marzo 2010 programma vecchio ordinamento Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: dott. Quaranta (SI) prof. Pacati (SI) dott. Riccarelli (AR) dott. Falini (GR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l investimento di un importo S = per t anni. Sapendo il tasso annuo di interesse è il 9% e che il valore finale è il triplo del capitale investito, si calcolino le seguenti grandezze ipotizzando una sottostante legge degli interessi semplici: la durata dell investimento t = anni l interesse I = euro il tasso d interesse anticipato (tasso di sconto) periodale k = % l intensità di interesse γ = anni 1 Si calcolino quindi le stesse grandezze ipotizzando lo stesso importo, lo stesso tasso annuo e lo stesso valore finale, ma assumendo una sottostante legge degli interessi composti: la durata dell investimento t = anni l interesse I = euro il tasso d interesse anticipato (tasso di sconto) periodale k = % l intensità di interesse γ = anni 1 Esercizio 2. Si consideri il prestito di una somma S = euro, che viene restituito in due rate quadrimestrali di R = euro l una. Si calcoli il tasso interno di rendimento i dell operazione finanziaria e lo si esprima in forma percentuale e in base annua. i = % Si assuma ora che, a fronte del prestito della stessa somma, il rimborso venga effettuato in unica soluzione dopo un anno. Si determini l importo da restituire C, in modo che il tasso interno di rendimento di questa nuova operazione sia ancora i. C = euro Si calcoli infine il tasso interno di rendimento i 1 del prestito di 2S euro, rimborsato in tre rate: la prima di R euro dopo quattro mesi, la seconda R euro dopo otto mesi e la terza di C euro dopo un anno. i 1 = %.

6 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma S = euro, da restituirsi secondo un ammortamento composto da 3 rate semestrali posticipate al tasso annuo i = 7%. L ammortamento prescelto è di tipo non standard e prevede che: il debito residuo dopo il pagamento della seconda rata sia di euro, la prima rata sia di euro. Si compili il piano di ammortamento. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

7 Esercizio 4. Siano dati i titoli: x: TCN a pronti con valore facciale euro, maturity sei mesi; y: rendita perpetua con rata mensile posticipata di 20 euro. Nell ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello del 6% annuo, si calcolino i valori attuali e le duration dei due titoli: V (0, x) = euro D(0, x) = anni V (0, y) = euro D(0, y) = anni Si assuma di essere già in possesso di un titolo a cedola nulla z, che rimborsa euro a un anno, e di avere a disposizione ulteriori euro, da investire nei titoli x e y con l obiettivo di non modificare la durata media finanziaria di quanto già detenuto. Determinare quante unità α del titolo x e quante unità β del titolo y bisogna comprare. α = β = Esercizio 5. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 siano quotati i seguenti titoli: un TCN a pronti e maturity 6 mesi, con valore facciale 100 euro e quotato 96.5 euro; un TCN a termine, con valore facciale 200 euro esigibile tra un anno, con prezzo pagabile tra sei mesi di euro; un TCN a termine, con valore facciale 100 euro esigibile tra un anno e mezzo, con prezzo pagabile tra sei mesi di 93.5 euro. Si determini la struttura per scadenza dei tassi a pronti e dei tassi a termine in vigore in questo mercato, esprimendo i tassi in forma percentuale e in base annua. i(0, 0.5) = % i(0, 0, 0.5) = % i(0, 1) = % i(0, 0.5, 1) = % i(0, 1.5) = % i(0, 1, 1.5) = %

8 Esercizio 6. Si consideri un mercato azionario in cui siano quotati due titoli rischiosi con rendimenti aleatori I 1 e I 2. I rendimenti attesi dei titoli sono E 1 = 5%, E 2 = 2% e le varianze V 1 = 0.06, V 2 = La correlazione fra i due titoli nulla. Fra le composizioni di portafoglio del tipo I = αi 1 + (1 α)i 2, si calcoli la composizione α del portafoglio a varianza minima, il rendimento atteso E e la varianza V di tale portafoglio. α = E = % V = Si calcoli poi il rendimento atteso E P e la varianza V P di un portafoglio P composto per il 25% dal titolo I 1 e per la restante parte dal titolo I 2. Dire infine, motivando la risposta se il portafoglio P è efficiente. E P = % V P = P è efficiente Motivo: P non è efficiente

9 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 2 marzo 2010 programma vecchio ordinamento Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: dott. Quaranta (SI) prof. Pacati (SI) dott. Riccarelli (AR) dott. Falini (GR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l investimento di un importo S = per t anni. Sapendo il tasso annuo di interesse è il 10% e che il valore finale è il triplo del capitale investito, si calcolino le seguenti grandezze ipotizzando una sottostante legge degli interessi semplici: la durata dell investimento t = anni l interesse I = euro il tasso d interesse anticipato (tasso di sconto) periodale k = % l intensità di interesse γ = anni 1 Si calcolino quindi le stesse grandezze ipotizzando lo stesso importo, lo stesso tasso annuo e lo stesso valore finale, ma assumendo una sottostante legge degli interessi composti: la durata dell investimento t = anni l interesse I = euro il tasso d interesse anticipato (tasso di sconto) periodale k = % l intensità di interesse γ = anni 1 Esercizio 2. Si consideri il prestito di una somma S = euro, che viene restituito in due rate trimestrali di R = euro l una. Si calcoli il tasso interno di rendimento i dell operazione finanziaria e lo si esprima in forma percentuale e in base annua. i = % Si assuma ora che, a fronte del prestito della stessa somma, il rimborso venga effettuato in unica soluzione dopo un anno. Si determini l importo da restituire C, in modo che il tasso interno di rendimento di questa nuova operazione sia ancora i. C = euro Si calcoli infine il tasso interno di rendimento i 1 del prestito di 2S euro, rimborsato in tre rate: la prima di R euro dopo tre mesi, la seconda R euro dopo sei mesi e la terza di C euro dopo un anno. i 1 = %.

10 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma S = euro, da restituirsi secondo un ammortamento composto da 3 rate semestrali posticipate al tasso annuo i = 6%. L ammortamento prescelto è di tipo non standard e prevede che: il debito residuo dopo il pagamento della seconda rata sia di euro, la prima rata sia di euro. Si compili il piano di ammortamento. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

11 Esercizio 4. Siano dati i titoli: x: TCN a pronti con valore facciale euro, maturity sei mesi; y: rendita perpetua con rata mensile posticipata di 30 euro. Nell ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello del 7% annuo, si calcolino i valori attuali e le duration dei due titoli: V (0, x) = euro D(0, x) = anni V (0, y) = euro D(0, y) = anni Si assuma di essere già in possesso di un titolo a cedola nulla z, che rimborsa euro a un anno, e di avere a disposizione ulteriori euro, da investire nei titoli x e y con l obiettivo di non modificare la durata media finanziaria di quanto già detenuto. Determinare quante unità α del titolo x e quante unità β del titolo y bisogna comprare. α = β = Esercizio 5. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 siano quotati i seguenti titoli: un TCN a pronti e maturity 6 mesi, con valore facciale 100 euro e quotato 96 euro; un TCN a termine, con valore facciale 200 euro esigibile tra un anno, con prezzo pagabile tra sei mesi di euro; un TCN a termine, con valore facciale 100 euro esigibile tra un anno e mezzo, con prezzo pagabile tra sei mesi di 92.5 euro. Si determini la struttura per scadenza dei tassi a pronti e dei tassi a termine in vigore in questo mercato, esprimendo i tassi in forma percentuale e in base annua. i(0, 0.5) = % i(0, 0, 0.5) = % i(0, 1) = % i(0, 0.5, 1) = % i(0, 1.5) = % i(0, 1, 1.5) = %

12 Esercizio 6. Si consideri un mercato azionario in cui siano quotati due titoli rischiosi con rendimenti aleatori I 1 e I 2. I rendimenti attesi dei titoli sono E 1 = 5%, E 2 = 1% e le varianze V 1 = 0.07, V 2 = La correlazione fra i due titoli nulla. Fra le composizioni di portafoglio del tipo I = αi 1 + (1 α)i 2, si calcoli la composizione α del portafoglio a varianza minima, il rendimento atteso E e la varianza V di tale portafoglio. α = E = % V = Si calcoli poi il rendimento atteso E P e la varianza V P di un portafoglio P composto per il 15% dal titolo I 1 e per la restante parte dal titolo I 2. Dire infine, motivando la risposta se il portafoglio P è efficiente. E P = % V P = P è efficiente Motivo: P non è efficiente

13 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 2 marzo 2010 programma vecchio ordinamento Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: dott. Quaranta (SI) prof. Pacati (SI) dott. Riccarelli (AR) dott. Falini (GR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l investimento di un importo S = per t anni. Sapendo il tasso annuo di interesse è il 11% e che il valore finale è il triplo del capitale investito, si calcolino le seguenti grandezze ipotizzando una sottostante legge degli interessi semplici: la durata dell investimento t = anni l interesse I = euro il tasso d interesse anticipato (tasso di sconto) periodale k = % l intensità di interesse γ = anni 1 Si calcolino quindi le stesse grandezze ipotizzando lo stesso importo, lo stesso tasso annuo e lo stesso valore finale, ma assumendo una sottostante legge degli interessi composti: la durata dell investimento t = anni l interesse I = euro il tasso d interesse anticipato (tasso di sconto) periodale k = % l intensità di interesse γ = anni 1 Esercizio 2. Si consideri il prestito di una somma S = euro, che viene restituito in due rate quadrimestrali di R = euro l una. Si calcoli il tasso interno di rendimento i dell operazione finanziaria e lo si esprima in forma percentuale e in base annua. i = % Si assuma ora che, a fronte del prestito della stessa somma, il rimborso venga effettuato in unica soluzione dopo un anno. Si determini l importo da restituire C, in modo che il tasso interno di rendimento di questa nuova operazione sia ancora i. C = euro Si calcoli infine il tasso interno di rendimento i 1 del prestito di 2S euro, rimborsato in tre rate: la prima di R euro dopo quattro mesi, la seconda R euro dopo otto mesi e la terza di C euro dopo un anno. i 1 = %.

14 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma S = euro, da restituirsi secondo un ammortamento composto da 3 rate semestrali posticipate al tasso annuo i = 5%. L ammortamento prescelto è di tipo non standard e prevede che: il debito residuo dopo il pagamento della seconda rata sia di euro, la prima rata sia di euro. Si compili il piano di ammortamento. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

15 Esercizio 4. Siano dati i titoli: x: TCN a pronti con valore facciale euro, maturity sei mesi; y: rendita perpetua con rata mensile posticipata di 40 euro. Nell ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello del 8% annuo, si calcolino i valori attuali e le duration dei due titoli: V (0, x) = euro D(0, x) = anni V (0, y) = euro D(0, y) = anni Si assuma di essere già in possesso di un titolo a cedola nulla z, che rimborsa euro a un anno, e di avere a disposizione ulteriori euro, da investire nei titoli x e y con l obiettivo di non modificare la durata media finanziaria di quanto già detenuto. Determinare quante unità α del titolo x e quante unità β del titolo y bisogna comprare. α = β = Esercizio 5. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 siano quotati i seguenti titoli: un TCN a pronti e maturity 6 mesi, con valore facciale 100 euro e quotato 95.5 euro; un TCN a termine, con valore facciale 200 euro esigibile tra un anno, con prezzo pagabile tra sei mesi di euro; un TCN a termine, con valore facciale 100 euro esigibile tra un anno e mezzo, con prezzo pagabile tra sei mesi di 91.5 euro. Si determini la struttura per scadenza dei tassi a pronti e dei tassi a termine in vigore in questo mercato, esprimendo i tassi in forma percentuale e in base annua. i(0, 0.5) = % i(0, 0, 0.5) = % i(0, 1) = % i(0, 0.5, 1) = % i(0, 1.5) = % i(0, 1, 1.5) = %

16 Esercizio 6. Si consideri un mercato azionario in cui siano quotati due titoli rischiosi con rendimenti aleatori I 1 e I 2. I rendimenti attesi dei titoli sono E 1 = 5%, E 2 = 0% e le varianze V 1 = 0.08, V 2 = La correlazione fra i due titoli nulla. Fra le composizioni di portafoglio del tipo I = αi 1 + (1 α)i 2, si calcoli la composizione α del portafoglio a varianza minima, il rendimento atteso E e la varianza V di tale portafoglio. α = E = % V = Si calcoli poi il rendimento atteso E P e la varianza V P di un portafoglio P composto per il 5% dal titolo I 1 e per la restante parte dal titolo I 2. Dire infine, motivando la risposta se il portafoglio P è efficiente. E P = % V P = P è efficiente Motivo: P non è efficiente

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