Il rischio di credito

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1 Il rischio di credito Francesco Romito Università RomaTre, 1Q 2009

2 Agenda CreditRisk Definizioni I sistemi di rating interni La previsione delle insolvenze I modelli di scoring L approccio univariato L approccio multivariato: Il modello discriminante Il modello logistico Calibrazione e Masterscale I modelli fondati sul mercato dei capitali Structural models Reduced form models La stima dei tassi di recupero e dell esposizione al momento del default Il VaR di un portafoglio creditizio

3 Default risk e credit risk Default risk: rischio che un affidato, un emittente ovvero una controparte non onori i suoi obblighi di pagamento Credit risk: rischio di default ovvero di riduzione del valore di mercato causata da cambiamenti del merito creditizio dell emittente, dell affidato ovvero della controparte Rischio collegato: Liquidity Risk Effetti prezzo e quantità Esempi recenti default Russia nel 1998, scandalo Enron 2001, subprime crisis Default events I default sono rari e accadono inaspettatamente Comportano perdite significative il cui importo è ignoto prima del default

4 Default: le possibili definizioni Status giuridico: amministrazione straordinaria, Liquidazione, Chapter 11 Regolamentazione finanziaria: sofferenze, incagli, ristrutturate, Past due Classificazioni interne degli intermediari Prassi di specifici mercati (es., CDS)

5 Definizione regolamentare post Basilea II Per esposizioni in default si intendono: sofferenze, incagli, crediti ristrutturati, crediti scaduti e/o sconfinanti (past due). Rientrano tra i crediti scaduti e/o sconfinanti quelli per cui: il debitore è in ritardo su una obbligazione creditizia rilevante verso la banca o il gruppo bancario da: (i) oltre 180 per i crediti al dettaglio e quelli verso gli enti del settore pubblico; (ii) oltre fino al per i crediti verso le imprese; (iii) oltre 90 per gli altri; la soglia di rilevanza è pari al 5% dell esposizione. Resta ferma la possibilità di utilizzare, per le filiazioni del gruppo operanti in altri Stati comunitari o del Gruppo dei Dieci, la definizione di default adottata dalle locali autorità di vigilanza. Non determinano un default le seguenti modifiche delle originarie condizioni contrattuali: il riscadenzamento dei crediti e la concessione di proroghe, dilazioni, rinnovi o ampliamenti di linee di credito. Tali modifiche non devono dipendere dal deterioramento delle condizioni economico-finanziarie del debitore ovvero non devono dare luogo a una perdita.

6 Rilevanza del rischio di credito Durante la crisi giapponese negli anni 90 le perdite cumulate sono state pari a $ 550 billion Attuale crisi: stimati più di $ 1000 billion?? Principali cause: Elevato livello di leverage e scoppio della real estate bubble Deficienze nel risk management Inadeguati standard di concessione Carenze della supervisione finanziaria

7 E più importante del rischio di mercato? Derivatives market Orange County (Dec 1994) Reverse repos 1,810 Showa Shell Sekiyu (Feb. 1993) Currency forwards 1,580 Kashima Oil (Apr. 1994) Currency forwards 1,450 Metallgesellschaft (Jan. 1994) Oil futures 1,340 Barings (Feb. 1995) Stock index futures 1,330 Credit market Japan (1990s) Bad loans 550,000 China (1990s) 4 state banks insolvent 498,000 US ( ) 1400 S&L, 1300 banks fail 150,000 South Korea (1998-) Restructuring of banks 90,000 Worldwide ( ??) Subprime and delevereging??

8 Le misure del rischio di credito: credit rating I credit ratings delle tre grandi agenzie di rating (Standard & Poor s, Moody s e Fitch) forniscono indicazioni sul merito creditizio degli emittenti I Credit ratings poossono essere divisi in due classi: 1 Investment grade (da Aaa a Baa ovvero da AAA a BBB ) 2 Speculative grade

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10 Corporate spreads

11 Mortage e FED rates

12 Corporate spreads e maturity

13 La probabilità di default o di insolvenza cresce al peggiorare del rating

14 Historical Default Probabilities Average default frequencies delle classi di rating S&P per diversi orizzonti temporali da 1 a 10 anni (in %).

15 Come cambia il rischio (ed il rating)? Fonte: Standard & Poor s

16 Componenti del rischio di credito Arrival Risk: incertezza derivante dalla manifestazione o meno del default Probability of Default (PD) Timing Risk: incertezza connessa al tempo della manifestazione del default Recovery Risk: severità delle perdite in caso di default Distribuzione del recovery rate (RR=1-LGD) Market Risk: cambiamenti nel valore di mercato di uno strumento dovuti a cambiamento del merito creditizio o delle condizioni di mercato (incl. migration risk). Default Correlation Risk: rischio che più emittenti/affidati/controparti vadano in default simultaneamente ovvero in sequenza Arrival & Timing Risks

17 Agenda CreditRisk Definizioni I sistemi di rating interni La previsione delle insolvenze I modelli di scoring L approccio univariato L approccio multivariato: Il modello discriminante Il modello logistico Calibrazione e Masterscale I modelli fondati sul mercato dei capitali Structural models Reduced form models La stima dei tassi di recupero e dell esposizione al momento del default Il VaR di un portafoglio creditizio

18 Sistema di rating Definizione Elementi Rischio di Credito Insieme strutturato e documentato delle metodologie, dei processi organizzativi e di controllo, delle modalità di organizzazione delle basi dati che consente la raccolta e l elaborazione delle informazioni rilevanti per la formulazione di valutazioni sintetiche della rischiosità di una controparte e delle singole operazioni creditizie. Il rischio connesso con un esposizione è espresso attraverso quattro componenti: probabilità di default (PD), che attiene al debitore; tasso di perdita in caso di default (LGD), attengono alla esposizione al momento del default (EAD) singola operazione scadenza effettiva (M).

19 Portafogli creditizi: altri elementi per la determinazione della rischiosità Granularità: grado di concentrazione (hp BIS II granularità infinita) Correlazione tra prenditori, aree geografiche, settori di attività (nell accordo approccio semplificato per portafogli e livelli di PD)

20 Sistema di rating Attraverso il sistema di rating la banca: attribuisce al debitore il grado interno di merito creditizio (rating), ordinando le controparti in relazione alla loro rischiosità; perviene a una stima delle componenti di rischio. Il rating rappresenta la valutazione, riferita a un dato orizzonte temporale, effettuata sulla base di tutte le informazioni ragionevolmente accessibili di natura sia quantitativa sia qualitativa ed espressa mediante una classificazione su scala ordinale, della capacità di un soggetto affidato o da affidare di onorare le obbligazioni contrattuali. Ad ogni classe di rating è associata una probabilità di default. Le classi di rating sono ordinate in funzione del rischio creditizio: muovendo da una classe meno rischiosa a una più rischiosa, la probabilità che i debitori risultino in default è crescente.

21 Il nuovo Accordo: Basilea 2 Il Nuovo Accordo di Basilea consente di scegliere tra tre approcci per il calcolo del requisito patrimoniale minimo per il rischio di credito Internal Rating Based (IRB) Standard IRB Foundation IRB Advanced L attivo ponderato viene calcolato come per Basilea I in base a ponderazioni fisse. Sono introdotti rating esterni per le controparti Corporate Banche e Paesi e definito un nuovo trattamento delle garanzie, dei derivati e delle cartolarizzazioni L attivo ponderato viene calcolato come funzione di 4 elementi costituenti il rischio di credito, con utilizzo di stime interne per determinare la PD, mentre gli altri elementi (LGD/EAD/M) sono standard in quanto definiti a priori dalla normativa L attivo ponderato viene calcolato come funzione dei 4 elementi costituenti il rischio di credito con utilizzo di stime interne

22 Sistema IRB: overview Classi di attività SISTEMA DI RATING PD LGD EAD M Funzioni di ponderazione Criteri minimi Ponderazioni e requisiti

23 Agenda CreditRisk Definizioni I sistemi di rating interni La previsione delle insolvenze I modelli di scoring L approccio univariato L approccio multivariato: Il modello discriminante Il modello logistico Calibrazione e Masterscale I modelli fondati sul mercato dei capitali Structural models Reduced form models La stima dei tassi di recupero e dell esposizione al momento del default Il VaR di un portafoglio creditizio

24 Le fasi della stima di un modello quantitativo per la PD L obiettivo è ottenere un indicatore che differenzi in modo significativo imprese normali e in crisi che permetta di ottenere una graduazione del livello di rischio associato ad ogni impresa Le fasi della stima di un modello: 1) Definizione del default 2) Formazione del campione di stima 3) Stima del modello 4) Verifica dell efficacia su un campione indipendente

25 La formazione del campione di stima Una volta definito il default, si selezionano le imprese appartenenti ai due gruppi alternativi (default vs. non default) 1)... cercando di costruire campioni ampi; 2) e che rappresentino l universo delle imprese da classificare NB. L utilizzo di filtri arbitrari nella selezione delle imprese (ad esempio, per eliminare dati anomali ) può distorcere: L individuazione della regola di classificazione La valutazione della performance del modello nel separare i due gruppi

26 La formazione del campione di stima Per ogni impresa selezionata è opportuno raccogliere informazioni precedenti il default, per identificare i sintomi più efficaci della crisi. Normalmente si ritiene adeguato un orizzonte di valutazione annuale Non è importante rispettare esattamente la proporzione numerica tra i due gruppi nell universo, ma è opportuno un bilanciamento delle caratteristiche operative (es. dimensione, settore di appartenenza)

27 La stima del modello Ogni metodologia richiede alcune scelte a priori da parte dell analista, relativamente All individuazione degli indicatori Alla gestione di eventuali dati anomali Alla procedura di stima utilizzata All obiettivo che si vuole conseguire Non sembra possibile individuare una tecnica dominante. Obiettivi che può essere opportuno perseguire sono comunque: Una buona stabilità della performance a livello previsionale Una sufficiente stabilità nelle diverse fasi del ciclo economico

28 La verifica dell efficacia previsionale La valutazione del risultato del modello sul campione di stima distorce verso l alto l accuratezza di classificazione. Sono state elaborate alcune tecniche che permettono di simulare la performance previsionale del modello (es. Jackknife). Possono essere utili soprattutto nella scelta tra diversi modelli alternativi. La verifica dell efficacia deve essere out-of-sample, magari con dati relativi a un periodo di tempo successivo (out-of-time).

29 Agenda CreditRisk Definizioni I sistemi di rating interni La previsione delle insolvenze I modelli di scoring L approccio univariato L approccio multivariato: Il modello discriminante Il modello logistico Calibrazione e Masterscale I modelli fondati sul mercato dei capitali Structural models Reduced form models La stima dei tassi di recupero e dell esposizione al momento del default Il VaR di un portafoglio creditizio

30 L approccio univariato Discriminare le imprese sane da quelle deboli in base a un singolo indicatore Esame individuale o sistema strutturato Confronti con dati di settore e con parametri di riferimento, esame dei conti aziendali, uso integrato di altre informazioni di natura qualitativa L analisi univariata non fa alcun tentativo di combinare i singoli indicatori in una misura quantitativa di sintesi.

31 L approccio univariato Sistematica differenza di livello e di andamento degli indicatori delle società anomale rispetto a quelli delle società sane. Il paragone dei soli valori medi concentra l intera distribuzione dei valori degli indicatori in un solo punto. Esame della sovrapposizione delle distribuzioni calcolate separatamente sulle società sane e su quelle anomale, Individuazione di un punto ottimale di separazione (cutoff) per gli indicatori, in grado di ridurre al minimo gli errori di attribuzione delle società ai due insiemi (sane - anomale).

32 La classificazione sulla base di un singolo indicatore di rischio Frequenze Anomale Cut-off Sane Se Xi > cut-off => gruppo delle sane, altrimenti anomale Xi, ad es. ROE

33 Errori di primo e secondo tipo Reale situazione delle aziende Fallite Sane Totale Classificazione ottenuta Fallite Sane Totale n. di corrette n. di errori del n. di aziende classificazioni I tipo fallite n. di errori del n. di corrette n. di aziende II tipo classificazioni sane n. aziende classificate fallite n. aziende classificate sane n. totale imprese del campione Considerando il valore critico (cut-off) è possibile 1. Calcolare la % di errore per ogni gruppo (Ei / Ni) 2. Calcolare il tasso medio di errore di classificazione (E 1 + E 2 ) / (N 1 +N 2 )

34 L approccio univariato: difficoltà implementative definizione del concetto di insolvenza indicatori di bilancio e di Centrale dei Rischi: pro e contro composizione dei campioni presenza di valori anomali indicatori con denominatore negativo forme anomale della distribuzione

35 I risultati dell analisi univariata Ricerche evidenziano che il migliore indicatore per la previsione delle insolvenze è il rapporto tra cash flow ed i debiti totali Gli altri indicatori tratti da dati di bilancio mettono in luce risultati inferiori, con percentuali di classificazione fortemente degradanti col procedere a ritroso dell anno di osservazione delle variabili di bilancio. L analisi del comportamento nel tempo delle distribuzioni degli indicatori: società sane: distribuzioni stabili nel tempo società anomale: progressivo spostamento verso la parte peggiore dei valori con l avvicinarsi al momento dell insolvenza, riducendo l area della sovrapposizione con le distribuzioni delle sane.

36 I n d i c e C a s h F l o w / O n e r i F i n a n z i a r i, A n n o % 30% 25% 20% "Sane" 15% 10% 5% 0% Frequenze (%) 4.38 S o ffe re n z e I n d i c e C a s h F l o w / O n e r i F i n a n z i a r i, A n n o % 30% 25% 20% "Sane" 15% 10% 5% 0% Frequenze (%) 4.38 S o f fe r e n z e I n d i c e C a s h F l o w / O n e r i F i n a n z i a r i, A n n o % 30% 25% 20% "Sane" 15% 10% 5% 0% Frequenze (%) 4.38 Cash flow / oneri finanziari Sofferenze

37 Indicatori di Centrale dei Rischi Tipologie: 1. indicatori della dimensione del finanziamento 2. indicatori della composizione del finanziamento 3. indicatori di tensione finanziaria Riflettono il giudizio del sistema bancario nei confronti dell impresa. Informazioni ulteriori rispetto agli indici di bilancio? La composizione dei finanziamenti si modifica con l approssimarsi della crisi Gli indici che evidenziano l esistenza di tensioni finanziarie sono le più efficaci nel separare i due gruppi. (ad es., utilizzo di c/c / accordato di c/c )

38 Agenda CreditRisk Definizioni I sistemi di rating interni La previsione delle insolvenze I modelli di scoring L approccio univariato L approccio multivariato: Il modello discriminante Il modello logistico Calibrazione e Masterscale I modelli fondati sul mercato dei capitali Structural models Reduced form models La stima dei tassi di recupero e dell esposizione al momento del default Il VaR di un portafoglio creditizio

39 L approccio multivariato Uso individuale delle variabili economicofinanziarie: considerazione separata dei vari elementi dell impresa (redditività, struttura finanziaria, liquidità, etc.) Passo successivo: combinare insieme tutti i segnali che arrivano dalle diverse variabili e cercare di ottenere una misura sintetica dello stato di salute dell impresa Valutazione simultanea anziché sequenziale

40 L analisi discriminante lineare Classificazione di un oggetto in due (o più) popolazioni note a priori (ciascuna popolazione è dotata di caratteristiche proprie, descritte in un contesto multivariato da una serie di variabili) L oggetto da classificare viene osservato sulle stesse variabili ed in base alla maggiore o minore distanza complessiva, costruita pesando opportunamente le distanze individuali delle singole variabili, viene attribuito alla popolazione più prossima. Come ricavare i pesi relativi dei diversi indicatori? L analisi del comportamento individuale degli indicatori resta un passo importante

41 L analisi discriminante lineare Aspetto descrittivo: costruire una regola di classificazione che permetta di individuare le caratteristiche delle unità statistiche che meglio discriminano tra i gruppi Aspetto predittivo: classificare una nuova unità statistica, di cui non si conosce la provenienza, in uno dei gruppi individuati a priori. L aspetto predittivo è lo scopo principale perseguito nell utilizzo della analisi discriminante per la costruzione di modelli per la previsione delle insolvenze aziendali.

42 Il modello discriminante: interpretazione grafica (X1, X2) piano che riporta le imprese appartenenti ai due campioni delle popolazioni A e B XA e XB medie complessive (centroidi) Y retta che meglio separa i due insiemi (minor numero di errori di attribuzione) Tale retta ha la proprietà che le proiezioni delle nuvole dei punti sulla retta S, perpendicolare ad essa, disegna delle distribuzioni con la minor area di sovrapposizione S è la retta che rappresenta il luogo delle combinazioni lineari delle variabili, ovvero rappresenta la funzione discriminante lineare ottima, date le caratteristiche X1 e X2. Riduzione della dimensione delle caratteristiche osservate, ovvero grazie al passaggio dello spazio ad n dimensioni delle variabili X ad 1 dimensione della linea di punti S (la riduzione dimensionale in realtà passa da n a g-1 ove g è il numero delle popolazioni; nel caso in questione g = 2).

43 Il modello discriminante: interpretazione grafica Due variabili (X1; X2) e due popolazioni (A; B)

44 Il modello discriminante Le imprese da classificare sono rappresentate da punti sulla retta degli score, sulla base dei quali è immediato e non equivoco effettuare degli ordinamenti. La scelta dei pesi (ai) non è effettuata soggettivamente dall analista, ma è oggettiva e dipendente dalle caratteristiche delle due popolazioni (NB l elemento soggettivo dell analista finanziario può entrare in gioco nella scelta delle variabili (X) con le quali osservare le imprese). Più è ampia l area della sovrapposizione tra le due distribuzioni, maggiore è l incertezza della classificazione (errore di classificazione P(B A) 0) Nel caso limite di due distribuzioni nettamente separate non vi sono errori, nell altro caso di perfetta sovrapposizione vi è la massima incertezza di attribuzioni.

45 Il modello discriminante L approccio di Fisher alla classificazione in un contesto multivariato: tra tutte le combinazioni lineari possibili delle variabili osservate sulle due popolazioni si utilizza quelle che rende massima la distanza media delle due popolazioni. Dal punto di vista analitico si tratta di massimizzare il rapporto tra la varianza tra le popolazioni e la varianza nelle popolazioni. Le osservazioni delle variabili sull oggetto (impresa) j-esimo vengono sintetizzate in un unico valore (score), che ne determina la classificazione sulla base della distanza dagli score medi delle due popolazioni: Zj=λ1X1j + λ 2X2j +... λ ixij λ nxnj = λ X con Zj = score dell impresa j-esima λi = coefficiente della variabile Xi Xi = variabile descrittiva della caratteristica i-esima dell impresa (xi indica il vettore colonna di tali variabili)

46 La stima di un modello mediante l analisi discriminante lineare L'analisi discriminante individua il vettore di coefficienti λ che massimizza la distanza tra i due gruppi E( X λ) E( X Var( X λ) i1 j2 λ) Con X i1 il vettore delle variabili indipendenti rilevato per l'azienda i appartenente al gruppo 1, indicativo delle imprese in crisi; X j2 il vettore delle variabili indipendenti rilevato per l'azienda j appartenente al gruppo 2, indicativo delle imprese normali ; Z α la media dei valori della funzione discriminante per le osservazioni del gruppo α (con α = 1,2), dato che Z iα = X iα 'λ. 2 = ( Z 1 Z 2) σ 2 Z

47 La zona di sovrapposizione tra le due curve viene minimizzata ponendo λ = Σ -1 (μ 1 - μ 2 ), con L analisi discriminante lineare Σ la matrice varianze-covarianze per le due popolazioni; μ α il vettore media delle variabili considerate per la popolazione α. La classificazione dell'impresa i avverrà nel gruppo 1 (nell'ipotesi in cui Z 1 > Z 2 ) se X i ' λ (μ 1 + μ 2 )' λ, cioè se Z i ( Z1 Z2) 2

48 L analisi discriminante lineare Si osserva che i coefficienti della funzione discriminante non sono unici dato che possono essere trasformati linearmente mantenendo la stessa capacità di separare i due gruppi (infatti, se λ = α + λ β, si ottiene Z * = α +Z β, dato che Z iα = X iα 'λ. i coefficienti della funzione discriminante sono proporzionali a quelli che derivano dalla regressione con i minimi quadrati Y = a + b X, con y i = 1 se in crisi, y i = 0 se normale

49 Lo Z score di Altman Zi = 1,2 Xi,1 + 1,4 Xi,2 + 3,3 Xi,3 + 0,6 Xi,4 + 1,0 Xi,5 X1 = capitale circolante / totale attivo X2 = utili non distribuiti / totale attivo X3 = EBIT / totale attivo X4 = valore di mercato patrimonio / valore contabile debiti l.t. X5 = fatturato / totale attivo

50 Lo Z score di Altman Al crescere di Z diminuisce la probabilità d insolvenza Valore soglia = 2,6 Z > soglia sup.: impresa sana Z < soglia inf.: impresa debole Due valori soglia: soglia inf. 1,81 < Z < 3 soglia sup.: grey area

51 La classificazione nei gruppi In generale un impresa da classificare può essere assegnata considerando la probabilità che data l appartenenza al gruppo g presenti il vettore di variabili esplicative X i Si assegna a S se f(x i S) > f(x i F), f(x i S) / f(x i F) >1 (max likelihood) NB: in pratica, si deve stimare P(X i g) dal campione in esame 45,00% 40,00% 35,00% 30,00% 25,00% 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00% Densità(S) Densità(F)

52 Le probabilità a priori Se la numerosità dei due gruppi è diversa, la regola di classificazione deve tenere conto della diversa probabilità a priori di estrarre casualmente un azienda sana o in crisi Si assegna a S se p S f(x i S) > p F f(x i F), f(x i S) / f(x i F) > p F / p S -9,00-8,00-7,00-6,00-5,00-4,00-3,00-2,00-1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00

53 Se la distribuzione delle variabili utilizzate è una normale multivariata,... e se le matrici di covarianza per i due gruppi sono uguali, la regola di assegnazione equivale alla funzione lineare vista in precedenza: La probabilità a priori ha un effetto solo sul termine noto, non sui coefficienti della funzione discriminante. E possibile quindi adeguare a posteriori la regola di classificazione. ( ) ( ) ( ) ( ) S F F S i F S i S F F S F S i F S p p Z Z Z p p X p p X ln ) ( 2 1 ln 2 1 ln > + > + Σ > Σ μ μ λ λ μ μ μ μ μ μ Le probabilità a priori

54 Ipotesi del modello discriminante lineare 1. Uguali matrici var-cov per le due popolazioni 2. Indipendenza del vettore X delle osservazioni 3. Normalità multivariata

55 Ipotesi del modello discriminante lineare Sul punto 1, alcuni test hanno verificato una sufficiente robustezza delle stime, se la numerosità dei campioni è ampia o uguale (altrimenti, i livelli di significatività sono inattendibili e i coefficienti λ distorti) Non è chiaro l effetto della non normalità; se la distribuzione ha fat tails ma è simmetrica, l effetto non è particolarmente rilevante; è invece sensibile ad una forte asimmetria. La LDA funziona bene anche con variabili categoriche Gli outlier possono aver un effetto rilevante sulle stime. Alcune procedure che permettono di ottenere stime robuste di media e var-cov possono migliorare l efficacia di classificazione

56 La probabilità a posteriori La probabilità a priori è la probabilità che, prima dell osservazione del vettore X i utilizzato per la classificazione, si estragga un impresa appartenente ad uno dei due gruppi È possibile classificare l impresa i, della quale non è nota l appartenenza al gruppo S o F considerando la probabilità a posteriori che, date le variabili Xi, essa appartenga al gruppo g ( S o F ) Dal teorema di Bayes si ottiene che P(g X i ) P(g) P(X i g) = P(X i ) = = P(g) P(X i g) _ P(S) P(X i S) + P(F) P(X i F) p g P(X i g) _ p S P(X i S ) + p F P(X i F )

57 Teorema di Bayes Prob [A B] = P[A B] P[ B] A B 0 t τ s τ

58 La probabilità a posteriori La decisione di assegnare l osservazione in base alla probabilità a posteriori è: Assegna a S se P( S X i ) > P( F X i ) Sulla base della relazione precedente, ciò equivale a p S P(Xi S ) > p F P(Xi F ) P(X i S ) / P(X i F ) > p F / p S Si ottiene quindi lo stessa regola di classificazione ottenuta considerando le probabilità a priori

59 Il costo degli errori di classificazione Il costo delle errate classificazioni è diverso tra i due gruppi Anche in questo caso, l effetto è solo sul termine noto Considerando congiuntamente probabilità a priori e costi di classificazione, la costante deve essere modificata di ln C(1 2)*π2 / C(2 1)*π1. Se la probabilità a priori è 2% per le imprese in crisi e 98% per le imprese sane e se il costo di effettuare un errore di classificazione è 100 volte superiore per le imprese in crisi, Δcutoff = (100 * 2%) / (1 * 98%) = 0.71

60 Difficoltà implementative analisi disciminante Definizione di default Numerosità dei campioni di stima Omogeneità dei campioni Individuazione degli indicatori Veridicità delle ipotesi di normalità multivariata delle distribuzioni delle variabili e uguaglianza delle matrici di varianza e covarianza

61 Agenda CreditRisk Definizioni I sistemi di rating interni La previsione delle insolvenze I modelli di scoring L approccio univariato L approccio multivariato: Il modello discriminante Il modello logistico Calibrazione e Masterscale I modelli fondati sul mercato dei capitali Structural models Reduced form models La stima dei tassi di recupero e dell esposizione al momento del default Il VaR di un portafoglio creditizio

62 La regressione multipla per la stima della probabilità d insolvenza Stimare un modello che ha come dipendente una variabile dicotomica che descrive l appartenenza all insieme delle società sane o anomale: 1 se impresa anomala Y = 0 se impresa sana mentre gli indicatori di bilancio sono le variabili indipendenti. Linear probability model: interpreta la y come probabilità di appartenenza al gruppo. Difficoltà: la varianza degli errori della stima non è costante,determinando un problema di eteroschedasticità; la stima della y non determina valori compresi tra 0 ed 1, necessari per interpretare i risultati in termini di probabilità.

63 Regressione lineare vs regressione logistica regressione lineare stimata tra la variabile dipendente (0;1) ed un indicatore di bilancio (X); le stime escono dall intervallo ammissibile per le probabilità.

64 Il modello logistico Il modello logistico (logit) consente di ottenere dei valori che appartengono tutti monotonicamente all intervallo 0 ; 1 Rispetto all analisi discriminante, le ipotesi sottostanti l applicabilità del modello sono meno gravose. L unica condizione richiesta è che, per ogni variabile esplicativa, le osservazioni siano indipendenti, mentre non risultano necessarie le ipotesi di normalità distributiva dei regressori e di uniformità delle matrici di varianza e covarianza nei gruppi L idea che sta al di sotto del modello logistico consiste nel supporre che esista una relazione causale tra la probabilità di un impresa di diventare insolvente (variabile inosservabile) ed una serie di grandezze osservabili che sono strettamente connesse con l evento insolvenza.

65 Il modello logistico Identificate con p le probabilità di insolvenza, con X il vettore delle variabili indipendenti e con a e b il termine costante ed i coefficienti del modello si ha: p = F(α + βx) ove F identifica la funzione standard cumulativa logistica

66 Il modello logistico f (h) indica la funzione di densità logistica odd-ratio (rapporto tra le probabilità dell evento ed il suo complemento).

67 Analisi discriminante vs modello logistico. Analisi discriminante L analisi discriminante ipotizza che le imprese osservabili siano tratte da due universi distinti dati; La rilevazione delle variabili di bilancio sulle imprese può essere di aiuto per trovare le caratteristiche rilevanti e per individuare da quale universo esse provengono. L analisi discriminante cerca di prevedere l appartenenza a un gruppo, dopo aver osservato le variabili ritenute rilevanti per caratterizzare le diversità tra i due universi. Nell analisi discriminante gli indicatori vanno interpretati come segnali individuali che giustificano la loro presenza per il contributo marginale che danno al segnale complessivo. Modello logistico Il modello logistico ipotizza che le imprese siano tratte casualmente da un unico universo cui appartengono e cerca di stimare il grado di salute ovvero la probabilità di insolvenza/fallimento. Relazione causale tra variabili di bilancio e stato di salute dell impresa. Non si stima l appartenenza dell impresa ad un gruppo, ma il grado dello stato di difficoltà economico- finanziaria in cui versa l impresa. Nella logistica, gli indicatori rappresentano le variabili esogene che sono funzionali a spiegare la situazione dell impresa dal punto di vista del creditore

68 Analisi discriminante vs modello logistico. Rispetto all analisi discriminante lineare, gli studi empirici di solito non rilevano risultati molto diversi. Ricerche hanno comunque evidenziato Se i dati sono normali e Σ F = Σ S, LDA è ottimale per campioni piccoli (ma la performance risulta molto simile) Se Σ F # Σ S, logit sembra leggermente superiore Per distribuzioni non normali, Logit sembra chiaramente superiore Secondo alcune ricerche, preferibile l uso della logit analysis per i dati bilancio

69 Selezione delle variabili discriminanti Metodo simultaneo (diretto): in base ad "a priori" teorici (inclusione delle variabili che ci si attende siano rilevanti) Metodo stepwise: si parte da un elevato numero di variabili e si eliminano via via quelle con minor potere esplicativo (backward elimination) oppure si inseriscono progressivamente quelle con maggior potere esplicativo (forward selection) oppure si inserisce una variabile alla volta che poi viene eliminata se perde potere discriminante a seguito dell'inserimento di altre (stepwise selection)