La modellazione delle strutture

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1 La modellazione delle strutture 1

2 Programma Introduzione e brevi richiami al metodo degli elementi finiti La modellazione della geometria La modellazione degli elementi strutturali I collegamenti ed i vincoli La modellazione dei materiali La modellazione dei carichi L'analisi della struttura L'interpretazione dei risultati La validazione del calcolo 2

3 Riassunto puntata precedente 3

4 Dal progetto architettonico alla struttura

5 La modellazione della geometria Modellazione geometrica Rendering 3d 5

6 La modellazione della geometria Gli elementi strutturali sono introdotti con segmenti che indicano assi e piani medi degli elementi stessi Nodi: punti di convergenza degli assi degli elementi 6

7 La modellazione della geometria I nodi sono necessari anche su elementi rettilinei per cambio di sezione o di materiale. In alcuni software è richiesto l inserimento di un nodo per ogni carico concentrato e per conoscere sollecitazioni e sposamenti in un certo punto. Con Axis VM non è necessario N.B. ogni nodo aggiunto significa nuove incognite 7

8 La modellazione degli elementi strutturali 8

9 Le fasi della progettazione strutturale A) Struttura reale: concezione generale del progetto B) Modello di calcolo: scelta dello schema statico (trave continua, telaio piano, telaio spaziale con muri, ecc.) e della distribuzione dei carichi, dei vincoli, ecc. C) Modello FEM: sulla base del punto B) definizione della geometria e dei diversi tipi di elementi finiti utilizzati (travi, piastre, gusci, ecc.) e collegamenti 9

10 La modellazione delle strutture Il modello FEM si ottiene assemblando le componenti (scelta del tipo di elemento finito e parametri relativi) in funzione di: 1.Modello strutturale (travi, pilastri, piastre, ) 2.Comportamento dell elemento (lineare e non) 3.Tipo di analisi (statica, dinamica, ) 4.Il tipo ed il livello di analisi che si vuole ottenere 10

11 Esempio: calcolo muro controterra l = 1m h q1 q2 incastro cerniera b Struttura reale Ribaltamento 1 modello di calcolo 1 modello FEM suolo elastico Tensioni terreno: 2 modello di calcolo 2 modello FEM 11

12 Esempio Calcolo di un muro di sostegno 12

13 Esempio: calcolo muro controterra Verifica a ribaltamento (modello a corpo rigido) Momento di incastro al vincolo: (Ms Mr) 67,7 Momento ribaltante al piede del muro: Mr = -106,7 Momento stabilizzante: Ms = 67, ,6 = 174,3 Coefficiente di sicurezza: Ms/Mr = 1,63 13

14 Esempio: calcolo muro controterra Per strutture complesse la modellazione con elementi lineari non è sufficiente, si usano elementi superficiali 14

15 Esempio: calcolo muro controterra Struttura deformata 15

16 Gli elementi finiti Puntuali Lineari e curvi Portanti e di collegamento Superficiali piani 16

17 Formulazione matematica degli elementi finiti 17

18 Analisi matriciale delle strutture y 0 = + K x Il sistema esprime l equilibrio delle forze ai nodi prodotte dai carichi ed e la reazione della struttura (spostamenti elastici) y 0 = reazioni d incastro perfetto (prodotte dai carichi) K = matrice rigidezza completa (reazione elastica della struttura) x = spostamenti incogniti La matrice di rigidezza globale si ottiene assemblando le matrici di rigidezza degli elementi della struttura 18

19 Analisi matriciale delle strutture La soluzione esatta è disponibile solo per alcuni elementi: per gli elementi trave si possono facilmente calcolare matrice di rigidezza e reazioni ai nodi k =matrice di rigidezza s 0 =reazioni ai nodi In questo caso non è necessario dividere gli elementi in quanto l elemento fornisce una risposta «esatta» nell ambito della teoria adottata (De Saint Venant) 19

20 20 Metodo FEM In generale si procede imponendo una modalità di deformazione al singolo elemento, ricavando con procedimenti analitici la matrice di rigidezza e le reazioni ai nodi Per gli elementi travi (Eulero Bernoulli) le formule sono esatte, NON E necessario dividere gli elementi ) ( 2 3 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ξ ζ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ + = = + = + = = N N N N c c c c u

21 Il metodo FEM Per elementi finiti complessi (lineari alla Timoshenko e superficiali), le funzioni che approssimano gli spostamenti non sono esatte, e quindi è necessario meshare gli elementi per migliorare la precisione u ( ξ, η) = c1 + c2ξ + c3η + c4ξ + c5ξη + c6η + c7ξ η c8ξη N N 1 5 ( ξ, η) = (1 ξ )(1 η)(1 2ξ 2η ) ( ξ, η) = 4ξ (1 ξ )(1 η) η N 1 N 2 P 4 P 7 + P 3 P P 6 P 1 + P 5 P 2 ξ

22 Il metodo FEM Confronto tra metodo matriciale e metodo FEM CALCOLO MATRICIALE METODO FEM GENERALE Individuazione elementi finiti Individuazione elementi finiti Calcolo matrice di rigidezza in modo diretto Definizione delle funzioni di forma e calcolo matrice di rigidezza (approssimata con metodi numerici) Calcolo reazioni incastro perfetto Calcolo dei carichi ai nodi (approssimati con metodi numerici) Costruzione della matrice globale della struttura Soluzione del sistema di equazioni e calcolo spostamenti Calcolo sollecitazioni e spostamenti negli elementi Costruzione della matrice globale della struttura Soluzione del sistema di equazioni e calcolo spostamenti Stress recovery: calcolo deformazioni, sollecitazioni e tensioni (approssimate) e loro adattamento 22

23 Esempio Modellazione di un portale 23

24 Elementi finiti puntuali 24

25 Elementi finiti puntuali (vincoli esterni) Sono posizionati in un nodo di un elemento e definiscono i vincoli esterni Ortogonali Orientati 25

26 Elementi finiti lineari 26

27 Elementi finiti lineari Elementi lineari (1d) Reticolare Trave Nervatura Link rigido Molla Collegamento tra elementi Comportamento Lineare Non lineare Lineare Non lineare Lineare Non lineare Indeformabile Lineare Non lineare Lineare Non lineare d e d u 27

28 Elementi finiti lineari Reticolare 2nodi - 3 gdl assi x,y,z sollecitazioni interne: Nx elemento isoparametrico, lineare, 2nodi non linearità: solo trazione/compressione con/senza resistenza limite non richiede mesh (sollecitazioni e spostam. esatti)

29 Elementi finiti lineari Trave 2 nodi - 6 gdl assi x,y,z sollecitazioni: Nx, Qy, Qz, Mx, My, Mz elemento a sezione costante o variabile cubico hermitiano tipo Eulero-Navier-Bernoulli sconnessioni iniziali e finale (3u 3j) lineari e non grandi spostamenti (piccole deformazioni) non richiede mesh (sollecitazioni e spostam. esatti)

30 Elementi finiti lineari Nervatura 3 nodi - 6 gdl assi x,y,z sollecitazioni: Nx, Qy, Qz, Mx, My, Mz elemento a sezione costante o variabile a isoparametrico tipo Timoshenko sconnessioni iniziali e finale (3u 3j) lineari e non grandi spostamenti (piccole deformazioni) richiede mesh (sollecitazioni e spost. approssimati)

31 Elementi finiti lineari: differenze Elemento indeformato: Modello Eulero-Navier-Bernoulli: flessione: sezione normale all asse (L/h > 10) - 2 nodi esatto no mesh Modello Timoshenko: considera anche la deformazione per taglio (L/h>3) - 3 nodi approssimato necessita mesh

32 Elementi finiti lineari Nervatura 3 nodi (Timoshenko) Consente di disassare gli elementi senza aggiunta di link rigido: es. pilastri

33 Elementi finiti lineari Nervatura: collegamento con piastre per impalcati ortotropi shell element rigid connection neutral axis of rib element ecc N rib N shell M rib M yd = M y, Rib + N x, ( Nx, Rib = Nx, Shell) zd Q z N xd Rib Q = = 0 ecc

34 Esempio Piastra ortotropa 34

35 Sistema di riferimento locale Convenzione per travi e nervature: Asse x coincidente con l asse dell elemento orientato dal nodo minore al nodo maggiore (modificabile) Asse z orientato secondo l asse Z assoluto (modificabile) Nel caso di asta verticale l asse z è orientato secondo l asse X assoluto Per asse y e direzione dei momenti vale la regola della mano destra

36 Sistema di riferimento locale Tramite dei versori è possibile riorientare l asse z, definendo così qualsiasi rotazione agli elementi 36

37 Modelli di calcolo 37

38 Modelli di calcolo Elementi lineari (1d) Elemento singolo Trave continua Reticolare piano Reticolare spaziale Griglia Telaio piano Telaio spaziale Modelli con piano rigido Disposizione carichi Nel piano Nel piano Nel piano (e nei nodi) Comunque disposti (e nei nodi) Normali al piano Nel piano Comunque disposti Comunque disposti 38

39 Esempio Strutture lineari 39

40 Elementi finiti superficiali 40

41 Elementi finiti superficiali Elementi superficiali (2d) Membrana (tensione piana) Membrana (deformazione piana) Piastra Guscio Disposizione carichi Nel piano Nel piano Normali al piano Comunque disposti Comportamento elastico di un elemento di superficie Sollecitazioni e spostamenti sono secondo gli assi X e Y 41

42 Comportamento membranale Stato piano di tensione Deformazione trasversale libera ε z 0 tensioni asse σ z =0 La sollecitazioni sono solo di sforzo normale

43 Comportamento membranale Stato piano di deformazione (lunghezza infinita) Deformazione trasversale impedita ε z = 0 tensioni asse z: σ z 0, sono presenti tensioni anche lungo l asse z La sollecitazioni sono solo di sforzo normale z

44 Elementi finiti superficiali Membrane sollecitazioni: nx, ny, nxy, n1, n2, na elementi quadrangolari 8 nodi - Serendipity elementi triangolari 6 nodi modellazione tensione piana, deformazione piana richiede mesh

45 Comportamento a piastra I carichi sono normali alla superficie La sollecitazioni sono momento flettente e taglio

46 Elementi finiti superficiali Piastre sollecitazioni: m x, m y, m xy, q xz, q yz, q Rz, m 1, m 2, m α elementi quadrilaterali 8/9 nodi elementi triangolari 6 nodi teoria Mindlin-Reissner modellazione piastra sottile e spessa

47 Ipotesi per analisi modello a piastra Ipotesi di Kirchoff La sezione è sempre normale alla deformata. Ipotesi valida per piastre sottili. Ipotesi di Mindlin Reissner Prende in conto anche la deformazione al taglio, la sezione non è più normale alla deformata. Questo è necessario per piastre spesse.

48 Comportamento a guscio La sollecitazioni sono momento flettente, taglio e sforzo normale

49 Elementi finiti superficiali Gusci sollecitazioni: m x, m y, m xy, q xz, q yz q Rz, m 1, m 2, m a, n x, n y, n xy, n 1, n 2, na elementi quadrangolari 8/9 nodi elementi triangolari 6 nodi teoria Mindlin-Reissner (resistenza a flessione e taglio) modellazione piastra sottile e spessa

50 Sistema di riferimento per elementi di superficie Assi x e y nel piano Asse z perpendicolare al piano z y x

51 La modellazione delle strutture Ogni software dispone di una libreria di elementi: è necessario conoscerne bene le caratteristiche per poterli usare consapevolmente. 51

52 Definizione elementi strutturali Modellazione elementi verticali: limiti tra pilastro e setto Pilastro (1D) Setto verticale (2D) L L 4B L L<4B B B B S S B/10 S B S<B/10 52

53 Definizione elementi strutturali Modellazione elementi orizzontali: limiti tra trave e parete Trave (1D) Parete (2D) L H L H L 3H L<3H L S H/10 S S<H/10 53

54 Definizione elementi strutturali freccia (f) < 20% S piccoli spostamenti rispetto allo spessore 54

55 Definizione elementi strutturali Soletta con comportamento flessionale prevalente in una sola direzione: si può isolare una striscia Lati incastrati e lati liberi Lati incastrati L 2 Si può calcolare come trave se L 1 2*L 2 55

56 Definizione elementi strutturali Soletta (spessore S) L 1 L 2 Comportamento: Guscio o Piastra: L 2 <5S (rigidezza flessionale non trascurabile) Membrana: L 2 5S (rigidezza flessionale trascurabile) 56

57 FINE

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