Verifica agli stati limite: la sollecitazione di taglio

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1 DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA MECCANICA E STRUTTURALE FACOLTÀ DI INGEGNERIA UNIERSITÀ DEGLI STUDI DI TRENTO CORSO DI AGGIORNAMENTO PER GEOMETRI SU PROBLEMATICHE STRUTTURALI erifica agli stati limite: la sollecitazione di taglio Antonella Colombo Il taglio: introduzione Di rado le travi sono sollecitate a sola flessione o presso-flessione: normalmente queste azioni sono accompagnate dal taglio, sollecitazione che produce tensioni tangenziali. La presenza della sollecitazione di taglio è legata alla variazione lungo l asse della trave del momento flettente secondo la formula: = dm / dx P q M M 1

2 Il taglio: introduzione La presenza delle tensioni tangenziali rende incoerente il semplice modello del calcestruzzo privo di resistenza a trazione, in quanto il trasferimento di queste tensioni dalla parte tesa della sezione (l armatura) a quella compressa richiede la partecipazione del calcestruzzo presente nella zona tesa (trascurato nella teoria della flessione). La resistenza a trazione del calcestruzzo, anche se modesta, svolge un ruolo essenziale nel funzionamento delle travi sollecitate a flessione e taglio. In molti casi gli effetti delle sollecitazioni di taglio risultano critici per la resistenza degli elementi in cemento armato. Essendo provocato dalla rottura del calcestruzzo teso, il collasso dovuto alle forze di taglio è di tipo fragile (improvviso, accompagnato da piccole deformazioni), quindi estremamente pericoloso: occorre dunque rendere la resistenza a taglio degli elementi maggiore di quella a flessione. Il comportamento a taglio Materiale con comportamento elastico-lineare Le tensioni tangenziali si possono calcolare con la relazione derivata mediante la teoria approssimata di Jourawski: τ(y) = S(y) / I b(y) τmax = / z b Materiale con comportamento elastico-lineare Le tensioni tangenziali si possono ancora calcolare con la relazione derivata mediante la teoria approssimata di Jourawski. Sotto il baricentro le tensioni restano costanti perché il cls teso viene trascurato. Le tensioni poi si annullano in corrispondenza dell armatura tesa.

3 Interazione taglio-flessione La comprensione del comportamento di una trave soggetta a taglio e flessione richiede l analisi della trave nella sua interezza (la sezione non è più sufficiente). Resistenza a trazione raggiunta: formazione di una fessura verticale (perpendicolare all asse della trave) Crescita del carico: la fessura si propaga e per effetto delle tensioni tangenziali si inclina verso l asse si deve rinunciare al semplice schema della sezione fessurata normalmente all asse ed esaminare dei conci di lunghezza infinita entro cui, nella parte tesa, si estendono delle fessure inclinate. Principali meccanismi di resistenza al taglio Dall equazione indefinita dell equilibrio, esprimente il taglio come derivata del momento flettente, = dm dx e dalla equivalenza tra momento flettente e prodotto della risultante delle tensioni di trazione T (o compressione) per il braccio della coppia interna z si ottiene: d dt dz = ( Tz ) = z + T dx dx dx effetto trave travi snelle effetto arco travi tozze 3

4 Il comportamento delle travi in cemento armato fessurate per l azione della flessione e del taglio è piuttosto complesso e la stima dell entità dei contributi forniti dai diversi meccanismi non sempre si può dedurre sulla base della sola legge tensione deformazione del materiale; spesso si deve ricorrere a formule empiriche, giustificate dai risultati di esperimenti di laboratorio e dal loro utilizzo pratico. Sperimentazione di laboratorio Modello fisico Per travi senza armatura a taglio il rapporto M/d corrisponde a a/d con d = altezza utile della sezione F F M/=a M + Fa + - F 4

5 Resistenza travi sollecitate a flessione e taglio (tratto da R. Park and T. Paulay: Reinforced Concrete Structures) Modalità di collasso travi sollecitate a flessione e taglio 1 Tipo 1. Collasso del meccanismo di trave al momento o immediatamente dopo l applicazione del carico corrispondente alla fessurazione diagonale (3< a/d <7) 5

6 Modalità di collasso travi sollecitate a flessione e taglio 1 Tipo. Collasso del meccanismo ad arco per compressione o trazione di origine flessionale della zona compressa corrispondente ad un carico superiore a quello relativo alla fessurazione diagonale (< a/d <3) Modalità di collasso travi sollecitate a flessione e taglio 3 1 Tipo 3. Collasso del meccanismo ad arco per schiacciamento o splitting del calcestruzzo (a/d <.0) 6

7 Modalità di collasso travi sollecitate a flessione e taglio Tipo 4. Meccanismo puramente flessionale al raggiungimento della capacità resistente flessionale (a/d >7.0) Comportamento sperimentale travi sollecitate a flessione e taglio Tipo di collasso 30 mm 190 mm 70 mm a/d

8 Comportamento sperimentale travi sollecitate a flessione e taglio Tipo di collasso 30 mm 190 mm 70 mm a/d (tratto da R. Park and T. Paulay: Reinforced Concrete Structures) alutazione delle direzioni principali di tensione 1 τ σ σ ξ =τ xy I stadio II stadio P (tratto da G. Toniolo: Cemento Armato) Caso 1: elemento infinitesimo posto in corrispondenza dell asse neutro, o anche - nel caso di sezione parzializzata - elemento posto tra l asse neutro e l armatura tesa. Il cerchio di Mohr mostra che la direzione principale di trazione è a 45 e che la tensione principale di trazione σ ξ è uguale in valore alla τ xy 8

9 alutazione teorica delle direzioni principali di tensione P τ σ σ ξ I stadio II stadio (tratto da G. Toniolo: Cemento Armato) Caso : elemento posto al di sopra dell asse neutro la presenza contemporanea di una tensione di compressione sulla faccia verticale, unita alla riduzione del valore delle τ xy, aumenta l inclinazione rispetto all asse della trave e riduce il valore della tensione principale di trazione alutazione teorica delle direzioni principali di tensione 3 τ σ ξ P σ I stadio II stadio (tratto da G. Toniolo: Cemento Armato) Caso 3. Nel caso di calcestruzzo reagente a trazione la presenza di tensioni normali di trazione riduce l inclinazione rispetto all asse ed aumenta il valore della tensione principale di trazione negli elementi situati al di sotto dell asse neutro 9

10 Definizione dei meccanismi di collasso (tratto da G. Toniolo: Cemento Armato) alori limite La normativa (EC) definisce tre valori limite per il taglio : Rd1 Resistenza di calcolo dell elemento privo di armatura a taglio Rd Massima forza di taglio di calcolo che può essere sopportata senza rottura delle bielle compresse convenzionali di calcestruzzo Rd3 Forza di taglio di calcolo che può essere sopportata da un elemento con armatura a taglio Alle tensioni ammissibili erano richieste le tre verifiche: τ < τ co per controllare se le tensioni nel cls sono molto basse e quindi è possibile non calcolare espressamente l armatura a taglio τ < τ c1 per controllare se la sezione è accettabile (cls in grado di sopportare le tensioni indotte dal taglio) σ < σ s per l armatura a taglio, per controllare se è sufficiente 10

11 Se sd < Rd1 non è richiesta armatura a taglio (deve essere previsto un minimo di normativa) sd > Rd1 deve essere prevista una opportuna armatura a taglio tale che sd Rd3 A tal proposito sono possibili due metodi di calcolo: il metodo normale ed il metodo dell inclinazione variabile del traliccio. INOLTRE: In nessuna sezione di qualunque elemento la forza di taglio di calcolo deve essere maggiore di Rd sd < Rd Nel caso del taglio, i risultati ottenuti nella verifica alle T.A. possono essere anche notevolmente differenti da quelli dello stato limite ultimo, a causa della differenza tra i modelli usati nei due casi. Si può ritenere che il metodo allo stato limite ultimo sia più rispondente al reale comportamento delle strutture, mentre le formulazioni usate nel metodo alle T.A. sono in genere (ma non sempre) più cautelative. 11

12 Elementi non armati a taglio modello resistente corrente compresso (costola del pettine) puntone inclinato (dente del pettine) armatura a flessione Evidenza sperimentale Modello meccanico Il modello a pettine nasce dall osservazione che una trave fessurata a taglio può vedersi come costituita da un corrente compresso, corrispondente alla costola del pettine, e dagli elementi compresi tra le lesioni, corrispondenti ai denti del pettine, inclinati a 45 gradi rispetto alla costola. I denti del pettine sono attraversati, nella parte inferiore, dall armatura disposta per la flessione. N.B. la figura si riferisce ad una trave appoggiata agli estremi, sollecitata da un momento flettente positivo. Modello a pettine Le fessure che attraversano la zona tesa della trave la separano in tanti blocchi di calcestruzzo che si comportano come mensole incastrate nella parte superiore compressa dell elemento. Quando agisce il meccanismo resistente del comportamento a trave, la mensola è sollecitata dalla forza N = N 1 -N, prodotta dalla variazione della forza di trazione dell armatura. A questa sollecitazione si oppongono le seguenti azioni resistenti: 1. Le tensioni tangenziali τ a che agiscono sulle superfici delle fessure, dovute all ingranamento degli inerti.. Le forze di taglio d, prodotte dall effetto spinotto (dowel action) delle armature longitudinali. 3. Il momento M c agente nella sezione di incastro della mensola di calcestruzzo nel corrente compresso. 1

13 Modello a pettine Analisi della sollecitazione x N c Nc+ Nc d d-x 45 z N s x N s + N s In un modello lineare, in assenza di fessurazione, la variazione di N s è bilanciata dalle τ di aderenza. In presenza di fessurazione la variazione di N s diventa invece un azione orizzontale N s sul dente. Ricordando che la variazione del momento flettente è legata al taglio ( M= x), si ha M x N s = = z z Sezione di scorrimento analisi della sollecitazione x N c Nc+ Nc d d-x 45 N 0 M 0 d x x/4 z N s x N s + N s Le caratteristiche della sollecitazione provocate dalla forza N s nella sezione di incastro del dente valgono: N s N 0 =- =- x z x x x M 0 =- Ns d-x- =- d-x- 4 z 4 13

14 erifica della sezione di scorrimento La sezione resistente ha base b ed altezza x / ; la sua area è quindi A = b x / ed il modulo di resistenza W = b x / /. ( ) 6 La massima tensione di trazione è di conseguenza pari a: N 6 M 1 (d x x/4) σ= = + b ( x/ ) b ( x/ ) b z b z x In base a considerazioni sperimentali si può assumere: x = d x = 0. d e quindi d x = 0.8 d Si ottiene così σ= = b z b d e, considerando la resistenza a trazione per flessione pari a 1.6 f ctd si ottiene: Rd = 0.5 b d f ctd Corrente compresso analisi della tensione x P N c d d-x 45 z z N s Se si prende in esame il concio di estremità della trave in corrispondenza dell appoggio, delimitato dalla prima lesione a taglio, si ricava dall equilibrio alla rotazione: N c = 14

15 La sezione del corrente è soggetta a sforzo normale di compressione e taglio. Supponendo per semplicità che le tensioni dovute a ciascuna delle caratteristiche di sollecitazione siano costanti nella sezione, si ha: e quindi σ = τ. Corrente compresso analisi della tensione N σ= C b x τ= b x Il cerchio di Mohr corrispondente è caratterizzato da: centro σ C =, 0 ; raggio σ R = +τ τ tens. princ. di trazione σ = ξ +τ σ σ P σ erifica del corrente compresso Sostituendo nell espressione della tensione principale di trazione i valori delle tensioni normali e tangenziali prima determinati si ha: σ ξ = 0.6 τ= 0.6 b x Se, inoltre, si impone che la tensione principale di trazione sia uguale al valore di resistenza a trazione del calcestruzzo si ottiene un valore limite del taglio pari a: Rd =1.6 b x f ctd Nota: Confrontando il valore ora determinato con quello fornito dalla verifica del dente, si ha che la resistenza del corrente compresso è minore di quella del dente se: 1.6 x < 0.5 d ovvero x < d Questa situazione normalmente non si verifica in sezioni soggette a flessione semplice, a meno che l armatura a flessione non sia estremamente bassa; diventa invece molto probabile se la sezione è soggetta a tensoflessione. 15

16 Altri contributi alla resistenza del dente Ingranamento degli inerti Le lesioni non sono mai perfettamente lisce; quando i denti si deformano a pressoflessione, lo scorrimento tra le due facce della fessura viene limitato dall attrito dovuto alla scabrosità delle superfici e soprattutto dal contatto diretto tra gli inerti. Le azioni mutue così generate riducono l entità del momento flettente e limitano la deformazione del dente. Questo effetto, detto di ingranamento degli inerti, è particolarmente rilevante per travi basse, per le quali le fessure sono particolarmente strette; al crescere dell altezza della trave l ampiezza della lesione aumenta e l effetto dell ingranamento si riduce. Altri contributi alla resistenza del dente Effetto spinotto Lo scorrimento tra le due facce di una fessura comporta anche una deformazione dell armatura flessionale, mostrata in maniera esageratamente accentuata nella figura. Anche le barre di armatura esercitano quindi un azione mutua che riduce il momento flettente nel dente e ne aumentano la resistenza (effetto spinotto, o effetto bietta). L azione delle barre longitudinali è però limitata dalla possibilità che salti il copriferro ed il suo contributo può essere quantizzato proprio valutando la resistenza del calcestruzzo di ricoprimento. 16

17 Altri contributi alla resistenza del dente Effetto dello sforzo assiale La presenza di uno sforzo assiale di compressione incrementa la resistenza a taglio di una sezione non armata. Esso infatti aumenta le dimensioni del corrente superiore rendendone più difficile la rottura; contemporaneamente i denti del modello a pettine vengono accorciati e si riduce in essi l effetto flettente. Il contrario accade in presenza di trazione: la diminuzione di dimensione del corrente compresso e l incremento di flessione nel dente riducono sensibilmente la capacità di portare taglio, rendendo quasi sempre necessaria la disposizione di specifiche armature per il taglio. Resistenza di elementi non armati a taglio 1 COMPORTAMENTO AD ARCO Resistenza del corrente del modello a pettine + contributi: ingranamento inerti spinotto Splitting/schiacciamento del cls 3 COMPORTAMENTO A TRAE Resistenza del dente del modello a pettine + contributi: ingranamento inerti spinotto 17

18 Elementi non armati a taglio La resistenza a taglio di calcolo Rd1 è data da: Rd1 = [ τ k (1, + 40 ρ ) + 0,15 σ ] b d Rd l cp w τ Rd resistenza unitaria a taglio di calcolo di riferimento (0,5 f ctk0,05 ) / γ c Il valore di γ c. deve di regola essere assunto pari a 1,5 (I : 1,5 o 1,6 ). k 1 per elementi in cui più del 50% dell armatura inferiore è interrotta. In caso contrario vale 1,6 d 1 (d in metri); Asl ρ 0,0 ; con A sl area delle armature di trazione che si bw d estende per non meno di d+l b,net oltre la sezione considerata. b w σ cp larghezza minima della sezione lungo l altezza efficace; N Sd / A c, con N Sd forza longitudinale nella sezione dovuta ai carichi o alla precompressione (compressione positiva). Elementi non armati a taglio icino agli appoggi, dove la configurazione di carichi concentrati e la reazione di appoggio è tale che una parte dei carichi può essere trasferita all appoggio per compressione diretta (appoggio diretto), si può ammettere un incremento della resistenza a taglio Rd1. Il raggiungimento di Rd1 dipende in modo significativo da un appropriato ancoraggio delle armature tese da una parte e dall altra di ogni possibile piano di rottura. EFFETTO ARCO 18

19 Elementi non armati a taglio Perché si tenga conto dell incremento della resistenza a taglio devono, di regola, essere soddisfatte le seguenti condizioni: a) il carico e le reazioni di appoggio sono tali da creare una compressione diagonale nell elemento (appoggio diretto); b) a un appoggio di estremità tutta l armatura tesa richiesta alla distanza pari a,5 d dall appoggio deve, di regola, essere ancorata all interno dell appoggio; c) a un appoggio intermedio l armatura tesa richiesta al filo dell appoggio deve di regola proseguire per almeno,5 d + l b,net nella campata. Applicazione Dati: - Trave a sezione rettangolare - b = 30 cm - h = 60 cm -A sl = 5φ0 = 15.7 cm -c = 3 cm - = 75 kn -Cls: R ck = 30 N/mm - Acciao: Fe B 44 k 19

20 Applicazione Tensioni ammissibili - Calcolo tensioni tangenziali ammissibili R ck τc0 = = = 0.6 N / mm τ c1 σ s R ck = = = = 55 N / mm - Tensione max nel cls: N / mm τcm = = 0.49 N / mm < τc Solo armatura minima da normativa: A sw * s = 0.1 b = d τ c0 =.44 cm / m Applicazione Stati limite - alori di calcolo Rd1 = [ τ k (1, + 40 ρ ) + 0,15 σ ] b d d = γ = 1.5 x 75 = 11.5 kn τ Rd = 0.5 x 0.7 x 0.7 R ck /3 /1.6 = k = 1.6 d = = 1.03 ρ = A sl /bd = / 30 x 57 = Rd l cp w Rd1 = x 1.03 x ( x 0.009) x 300 x 570 = N < d La trave deve essere armata a taglio!!!!!! 0

21 Elementi con armatura a taglio osservazioni generali La presenza dell armatura a taglio non muta sostanzalmente il meccanismo di resistenza al taglio precedentemente descritto. Le mensole di calcestruzzo (denti del modello a pettine), principali elementi del comportamento a trave, sono tuttavia ora vincolate dall armatura trasversale. Elementi con armatura a taglio importanza delle armature trasversali La presenza delle armature trasversali: 1. Migliora l effetto spinotto;. Diminuisce le tensioni di trazione da flessione nelle sezioni di incastro delle mensole (denti del pettine); 3. Limita l apertura delle fessure diagonali in campo elastico, dunque preservando e migliorando il trasferimento del taglio per effetto ingranamento deglli inerti; 4. Confina e dunque aumentando la resistenza a compressione di zone sollecitate da comportamento ad arco; 5. Impedisce il cedimento dell ancoraggio, allorché fessure da splitting si sviluppano nelle zone di ancoraggio. 1

22 Meccanismi resistenti travi con armatura al taglio La resistenza della trave in presenza di armatura trasversale risulta governata dal: comportamento a trave comportamento ad arco + comportamento a trave reticolare Modello resistente travi con armatura trasversale Il comportamento a collasso a taglio-flessione degli elementi con armatura al taglio risulta individuato dal modello reticolare. Esso è costituito da: un corrente superiore (calcestruzzo); elementi diagonali compressi (calcestruzzo); elementi diagonali tesi (armatura trasversale); un corrente inferiore (armatura flessionale); a P P a z

23 Elementi con armatura a taglio osservazioni Il modello di traliccio, proposto da Mörsch ed utilizzato per il metodo delle tensioni ammissibili, fa in realtà riferimento ad una situazione ben diversa da quella di materiale omogeneo ed isotropo, perché le diagonali compresse (puntoni inclinati di calcestruzzo) sono individuate dalle fessure provocate dal taglio. Appare quindi logico utilizzare tale modello anche nell ambito delle verifiche allo stato limite ultimo. Occorre però notare che il modello proposto da Mörsch è un traliccio isostatico, nel quale tutte le aste sono incernierate nei nodi. Nella realtà il puntone diagonale compresso è incastrato al corrente superiore; appare quindi più corretto tenere conto di tale vincolo utilizzando un modello di traliccio iperstatico. Calcolo del taglio resistente di travi armate a taglio SE sd Rd1 è richiesta armatura a taglio Il calcolo del taglio resistente di elementi armati a taglio e basato sui valori: - Rd Massima forza di taglio di calcolo che può essere sopportata senza rottura delle bielle compresse convenzionali di calcestruzzo - Rd3 Forza di taglio di calcolo che può essere sopportata da un elemento con armatura a taglio, il cui collasso è attivato dallo snervamento dell armatura a taglio 3

24 Calcolo del taglio resistente di travi armate a taglio Metodi di normativa per il calcolo di Rd e Rd3 - Metodo normale - Metodo dell inclinazione variabile del traliccio Il taglio resistente di elementi armati a taglio e fornito dal minore tra Rd e Rd3. Metodo Normale Il cosiddetto metodo normale per la valutazione della resistenza a taglio di una trave dotata di specifica armatura per il taglio consiste nell analizzare il modello di traliccio iperstatico, con puntoni compressi inclinati a 45 ed incastrati nel corrente compresso. Le diagonali tese possono essere costituite da ferri sagomati o da staffe N.B. nella trattazione si indicherà genericamente con α l inclinazione di tali elementi rispetto all orizzontale, essendo quindi α=45 per i sagomati e α=90 per le staffe P P θ=45 z α 4

25 Metodo Normale Schiacciamento del puntone Lo schema è iperstatico, ma nel valutare la resistenza a compressione del puntone si può ritenere trascurabile il momento flettente, data la piccola entità delle deformazioni ed il fatto che la rigidezza estensionale è molto maggiore di quella flessionale. La forza di compressione nel puntone è quindi data, in base alla condizione di equilibrio, da N pun = = sin 45 Poiché la distanza tra i puntoni, misurata in orizzontale, è pari a z(1+cotα), la loro sezione trasversale ha altezza z (1+cot α) e larghezza b. Metodo Normale Schiacciamento del puntone La rottura per schiacciamento si avrà quando la tensione raggiunge il valore ν f cd, essendo ν un opportuno fattore di riduzione che per l Eurocodice vale f ν= 0, 7 ck 0,5 con f ck in N/mm 00 La rottura a compressione si ha quindi quando σ c = =ν f b z (1+ cot α)/ cioè per un valore del taglio, che indicheremo col simbolo Rd Rd 1 = υ fcd b z cot N.B. L Eurocodice, nell imporre questa formula, precisa che si deve utilizzare cautelativamente il valore α=90 (e quindi cot α=0) in presenza di sagomati, perché la piega della sagomatura induce localmente valori più elevati di tensione nel calcestruzzo. cd ( 1+ α) 5

26 Metodo Normale Snervamento dell armatura Al crescere delle azioni sullo schema di traliccio iperstatico, inizialmente sono preponderanti le azioni assiali ed è molto piccolo il momento flettente nel puntone. Quando nell armatura a taglio si raggiunge la tensione di snervamento, gli ulteriori incrementi di carico producono un incremento della sollecitazione flessionale nel puntone inclinato, fino alla sua rottura, mentre l armatura si deforma a tensione costante. Il valore del taglio che porta alla rottura, che indichiamo con Rd3, è quindi somma del valore wd che si avrebbe in uno schema iperstatico e dell aliquota cd dovuta alla resistenza del puntone compresso = + Rd3 wd cd Metodo Normale Snervamento dell armatura La forza di trazione nella diagonale tesa del traliccio è data, in base alle condizioni di equilibrio, da Ndiag = sen α Se si indica con A sw l area di armatura a taglio disposta in un tratto x, l area della diagonale tesa è A = + α x sw Adiag z (1 cot ) ed imponendo che la tensione nella diagonale, N diag / A diag, sia pari a f yd si determina il taglio che provoca lo snervamento dell armatura wd Asw = z f yd sen x ( 1+ cot α) α 6

27 Metodo Normale La resistenza a taglio di una sezione con armature a taglio è data dall equazione: Rd3 = cd + wd cd wd è il contributo del calcestruzzo ed è uguale a Rd1 è il contributo delle armature a taglio. Il contributo delle armature verticali a taglio è dato dall equazione: A sw s f ywd A wd = s sw z f ywd è l area della sezione trasversale delle staffe; è il passo delle staffe; è lo snervamento di calcolo delle armature a taglio. Metodo Normale Nella verifica a schiacciamento del puntone compresso, Rd è data dall equazione: ν f b z cd = Rd La tensione nel puntone di calcestruzzo deve, di regola, essere limitata a σ c ν f cd, dove ν è il fattore di efficienza dato da: f ck ν = 0,7 00 0,5 (f ck in N/mm ) Il braccio di leva z può essere assunto pari a 0,9 d. 7

28 Metodo dell inclinazione variabile del traliccio Le prove di carico condotte su travi, fino alla rottura per taglio, mostrano che l inclinazione delle isostatiche di compressione tende ad aumentare dopo lo snervamento dell armatura a taglio. Ciò può essere giustificato teoricamente pensando che quando le armature sono snervate tendono ad esserci sensibili scorrimenti lungo le lesioni a taglio e che per l ingranamento degli inerti viene così trasmessa una tensione tangenziale τ 1. N c N c N st N st θι θι N st θ N st N s N s Metodo dell inclinazione variabile del traliccio Il metodo detto di inclinazione variabile del traliccio consiste nell analizzare un modello di traliccio isostatico, generalizzazione di quello di Mörsch, nel quale si considera una generica inclinazione θ del puntone compresso ed una inclinazione α (compresa tra 45 e 90 ) dell armatura a taglio. 8

29 Metodo dell inclinazione variabile del traliccio Schiacciamento del puntone Il contributo del puntone di calcestruzzo è valutato non rendendo lo schema iperstatico bensì considerando variabile l inclinazione del puntone stesso. La resistenza a schiacciamento del puntone può essere valutata immediatamente, generalizzando l espressione determinata per il metodo normale. Si ha infatti: Npun = sen θ e l altezza della sezione del puntone è z ( cot θ + cot α) sen θ. Quindi il taglio che porta a rottura il puntone è essendo Rd υ f = cd b z 1+ cot θ = 1 sen θ 1+ cot ( cot θ + cot α) θ Metodo dell inclinazione variabile del traliccio Snervamento dell armatura La forza che agisce nell armatura inclinata vale ancora N diag = sen α mentre l area della diagonale tesa è, in funzione dell area di armatura a taglio A sw disposta in un tratto x, A x sw Adiag = z (cot θ+ cot α) Il taglio che provoca lo snervamento dell armatura è quindi Rd3 Asw = z f yd sen x ( cot θ + cot α) α 9

30 Metodo dell inclinazione variabile del traliccio Osservazioni Dalle due espressioni ν fcd bz (cot θ+ cot α) Rd = 1+ cot θ Asw 3 = z fyd (cot θ+ cot α) sen α x si può notare che se, partendo da un inclinazione del puntone θ=45 (cioè cot θ=1), si riduce il valore di θ (e cresce cot θ) si ha una riduzione di Rd ed un aumento di Rd3. Si può allora pensare che nelle fasi iniziali del processo di carico le isostatiche di compressione siano a 45. Quando, dopo aver raggiunto lo snervamento, si incrementano ulteriormente i carichi iniziano a verificarsi grosse deformazioni e scorrimenti tra le fessure e le isostatiche di compressione si inclinano. In questo modo l armatura può portare un taglio maggiore. Contemporaneamente si riduce la resistenza del puntone compresso ed il collasso sarà sempre raggiunto per quel valore di θ per il quale Rd e Rd3 diventano uguali. Rd Metodo dell inclinazione variabile del traliccio Osservazioni Nelle applicazioni pratiche occorre però mettere un limite inferiore a θ, ovvero un limite superiore a cot θ Eurocodice L angolo θ tra il puntone compresso e l asse longitudinale è limitato a: 0,4 < cot θ <,5 (I: 1,0 < cot θ <,0 ) per travi con armature longitudinali non interrotte, e a: 0,5 < cot θ <,0 (I: 1,0 < cot θ <,0 ) per travi con armature longitudinali interrotte. Altri valori di θ possono essere usati a condizione che possano essere giustificati. 30

31 Metodo dell inclinazione variabile del traliccio Per elementi con armature a taglio verticali, le resistenze a taglio sono definite da: A sw s f ywd A = θ s sw Rd3 z fywd cot è l area della sezione trasversale delle staffe; è il passo delle staffe; è lo snervamento di calcolo delle armature a taglio. Metodo dell inclinazione variabile del traliccio Per elementi con armature a taglio verticali, le resistenze a taglio sono definite da: bw z ν fcd Rd = cot θ + tan θ con la condizione Asw fywd 1 ν b s w La tensione nel puntone di calcestruzzo deve, di regola, essere limitata a σ c ν f cd, dove ν è il fattore di efficienza dato da: f ck ν = 0,7 0,5 (f ck in N/mm ) 00 Il braccio di leva z può essere assunto pari a 0,9 d. f cd 31

32 Calcolo dell armatura a taglio Per determinare il minimo quantitativo di armature a taglio, per tensioni di taglio basse o medie, i limiti superiori dati per cot θ in precedenza governano di norma il progetto. Per tensioni di taglio più elevate, il più grande valore di cot θ (corrispondente al minimo quantitativo di armatura) può essere determinato uguagliando la forza di taglio di progetto Sd a Rd. Il valore di cot θ può anche essere scelto in modo da ottimizzare il progetto, per esempio riducendo al minimo il quantitativo totale di armatura. Progetto dell armatura a taglio (Metodo Inclinazione ariabile) Dopo aver accertato che è necessaria armatura a taglio ( Sd > Rd1 ), si calcola il valore di Rd, resistenza del puntone di calcestruzzo in presenza di armatura a taglio realizzata mediante staffe, per controllare se la sezione è sufficiente per sopportare il taglio utilizzando cotθ=: Rd b z ν fcd = (cot θ + tan θ) Se Rd > Sd, si calcola Rd3 per diversi valori dell armatura a taglio (con cotθ=) e si sceglie l armatura nei diversi tratti di trave: Rd3 Asw = z f ywd cot θ s 3

33 Stati limite - erifica del puntone compresso Applicazione Calcolo dell armatura a taglio ν f = b z cd d = γ = 1.5 x 75 = 11.5 kn ν = R ck / 00 = f cd = 0.83 R ck / 1.6 = N/mm Rd f yd = 430/1.15 = 374 N/mm z = 0.9 d = 0.9 x 570 = 513 Rd = x x 300 x 513 / = kn >>> d - Taglio portato dal cls cu = Rd1 = N - Calcolo staffe wd = d cu = = 7439 N < d / = 5650 N A sw /s = wd /z f ywd = 5650 / 513 x 374 = 0.94 mm /mm =.94 cm /m - staffe φ 8 a bracci con passo 33 cm (3 staffe al metro) Applicazione Calcolo dell armatura a taglio Consideriamo il caso di una sezione fortemente sollecitata a taglio ( Sd prossimo a Rd ): Sd = kn Tensioni ammissibili Asw sd /1.5 = = 34.6 cm s z σ s Stati limite Asw d Rd1 = = cm s z f ywd / m / m Staffe φ8/5 a 4 bracci Staffe φ8/6 a 4 bracci 33

34 Limiti per l armatura a taglio Eurocodice Elementi che richiedono armature a taglio ( Sd > Rd1 ) Generalità P(1) Nelle travi le armature rialzate non devono essere utilizzate come armature a taglio se non in combinazione con staffe. Almeno il 50% del valore di Sd deve essere assorbito da staffe verticali. P() Dove siano impiegate armature a taglio inclinate, l angolo tra le armature e l asse longitudinale della trave non deve, di regola, essere minore di 45. P(3) Dove il carico non agisca all estradosso della trave, o quando l appoggio non sia all intradosso della trave, si devono disporre ulteriori armature per riportare gli sforzi all estradosso del traliccio resistente. Limiti per l armatura a taglio Elementi di altezza costante P(1) Per la verifica a taglio si considera l elemento come costituito da membrature compresse e tese separate da una distanza pari al braccio di leva interno z. La zona di taglio ha profondità z e larghezza b w. Il braccio di leva è calcolato perpendicolarmente alle armature longitudinali ignorando l effetto delle armature rialzate. (-3). (4) Alla disposizione delle armature a taglio si applicano le seguenti prescrizioni: - percentuale minima di armatura a taglio; - limitazione delle aperture delle fessure nell anima; - disposizione delle armature a taglio. 34

35 Limiti per l armatura a taglio Armature a taglio delle travi (1) L armatura a taglio deve di regola formare un angolo compreso tra 45 e 90 con il piano medio dell elemento strutturale. () L armatura a taglio può essere costituita da una combinazione di: - staffe che racchiudono le armature longitudinali tese e la zona compressa; - barre rialzate; - assemblaggi di armature a taglio in forma di gabbie, graticci, ecc., realizzati con barre ad aderenza migliorata, messi in opera senza contenere le armature longitud., ma che devono essere adeguatamente ancorati in zona tesa e compressa. (3) Le staffe saranno ancorate in modo efficace. Sono ammesse giunzioni per sovrapposizione di bracci vicini alla superficie dell elemento solo per armature ad aderenza migliorata. Limiti per l armatura a taglio Armature a taglio delle travi (4) Di regola almeno il 50% dell armatura a taglio necessaria deve essere realizzata mediante staffe. (5) Il rapporto di armatura a taglio è dato dall equazione: ρ w ρ w = A sw /s bw sin α è il rapporto di armatura a taglio; A sw è l area dell armatura a taglio sulla lunghezza s; s è il passo dell armatura a taglio; b w è la larghezza dell anima dell elemento; a è l angolo tra l armatura a taglio e l armatura principale (per staffe verticali a=90 e sin a=1). 35

36 Limiti per l armatura a taglio Armature a taglio delle travi (5) I valori minimi del rapporto di armatura a taglio ρ w sono forniti dal prospetto: Prospetto alori minimi di ρ W Classi di calcestruzzo* Classi di acciaio S0 S400 S500 Da C1/15 a C0/5 0,0016 0,0009 0,0007 Da C5/30 a C35/45 0,004 0,0013 0,0011 Da C40/50 a C50/60 0,0030 0,0016 0,0013 * Come assunto in progetto. Limiti per l armatura a taglio Armature a taglio delle travi (5) Quando le armature a taglio sono realizzate con barre tonde lisce il loro diametro non deve di regola essere maggiore di 1 mm. (7) Il massimo passo longitudinale s max di insiemi successivi di staffe o di armature dalle seguenti condizioni: -se : -se : -se : Sd 1/5 Rd 1/5 Rd < Sd /3 Rd Sd > /3 Rd s max = 0,8 d 300 mm s max = 0,6 d 300 mm s max = 0,3 d 00 mm 36

37 Limiti per l armatura a taglio Armature a taglio delle travi (8) La massima distanza longitudinale fra barre rialzate è data dall equazione: s max = 0.6 d(1 + cot a) (9) La distanza trasversale dei bracci di un insieme di staffe a taglio non deve di regola essere maggiore di: -se: 1/5 s max d o 800 mm Sd Rd -se: >1/5 si applicano le eq o 5.19 Sd Rd Limiti per l armatura a taglio Armature trasversali nei pilastri (1) Il diametro delle armature trasversali (staffe, risvolti o armature elicoidali) deve, di regola, essere non minore di 6 mm o di un quarto del diametro massimo delle barre longitudinali, assumendo il valore maggiore fra i due; il diametro dei fili delle reti elettrosaldate formanti armature trasversali deve, di regola, essere non minore di 5 mm. () Le armature trasversali devono, di regola, essere adeguatamente ancorate. 37

38 Limiti per l armatura a taglio Armature trasversali nei pilastri (3) La distanza tra le armature trasversali di un pilastro non deve di regola essere maggiore della minore delle tre seguenti: - 1 volte il minimo diametro delle barre longitudinali; - il lato minore della sezione del pilastro; mm. (4) La distanza sarà ridotta secondo un fattore 0,6 : i) in sezioni posizionate al di sopra o al di sotto di una trave o di una piastra per un tratto pari alla maggiore dimensione della sezione del pilastro; ii) in prossimità delle giunzioni per sovrapposizione se il massimo diametro delle barre è maggiore di 14 mm. Limiti per l armatura a taglio Armature trasversali nei pilastri (5) Dove le barre longitudinali cambiano direzione (per esempio nelle variazioni di sezione) la distanza tra le armature trasversali sarà calcolata considerando le forze trasversali che si generano. (6) Ciascuna barra longitudinale (o gruppo di barre longitudinali) posta in uno spigolo deve essere tenuta in posizione da una armatura trasversale. (7) Un massimo di 5 barre situate in uno spigolo o in prossimità di esso può essere assicurato contro l instabilità da ciascuna serie di armature trasversali dello stesso tipo. 38