Teoria delle Decisioni

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Teoria delle Decisioni"

Transcript

1 La teora delle decson Teora delle Decson L oggetto della Decson Theory è la decsone ntesa come scelta tra alternatve Esemp: se ntrodurre o meno d un nuovo prodotto, se rnnovare un mpanto oppure aprrne uno nuovo, se effettuare o meno un nvestmento, d quanto rfornrs per soddsfare una domanda d prodotto,... 3/1/ Decson dagl est non determnstc Le conseguenze d una decsone non sono certe Cas dvers da quell affrontat con metod d ottmzzazone (funzone obettvo = msura certa della prestazone) 1 2 La teora delle decson Un semplce esempo The newsvendor model: Un vendtore d gornal deve decdere d quanto rfornrs Acqusta gornal a 4 e l vende a 7 Non conosce a pror quale sarà la domanda d gornal Se s rfornsce n eccesso perde l nvestmento (4 per nvenduto) Se s rfornsce n dfetto perde potenzal clent (stma per clente) Se ad esempo lvell d domanda fossero d=,1,2,3 Decsone Lvello della domanda La teora delle decson Fas dell anals decsonale (Decson Analyss, DA) Indvduazone delle alternatve A, =1,...,m (mutuamente esclusve) Indvduazone degl event futur (stat della natura) S, =1,...,n (esaustv e mutuamente esclusv) S = S S S = ; Calcolo (stma) degl est della scelta ne dvers stat della natura (payoff) V, =1,...,m; =1,...,n Matrce de Payoff A 1 S 1 V V... A n... V m S n V 1n V mn 4

2 Fas dell anals decsonale Valutazone delle alternatve La teora delle decson La teora delle decson certezza rscho ncertezza Tre class d decson Decson n condzon d certezza lo stato futuro della natura (est della decsone) sono cert Decson n condzon d rscho lo stato futuro della natura è noto n probabltà Decson n condzon d ncertezza non s conosce nulla crca lo stato futuro della natura ProdMx c c var. aleatore p(c ) Imperfezone dell nformazone Inaffdabltà de modell (nsoddsfazone delle soluzon) c {c 1, c 2, c 3 } Sono tre modell artfcal (nella realtà non s verfcano quas ma) S cerca d modellare le stuazon d nformazone mperfetta o parzale Condzon d rscho la probabltà fornsce una msura del rscho d una decson normalmente è una probabltà soggettva (stma) 6 La teora delle decson La teora delle decson Nella realtà fattor soggettv (emotv, avversone al rscho, valutazon non quanttatve) gocano un ruolo fondamentale La teora delle decson fornsce un supporto metodologco per confrontare alternatve decsonal I metod assumono un comportamento razonale del decsore (Decson Maker, DM): Un DM è razonale se scegle l alternatva che gudca la mglore Assunzon della DA: l DM è n grado d quantfcare suo gudz su possbl stat futur della natura (probabltà soggettve) l DM è n grado d specfcare le sue preferenze crca la desderabltà delle alternatve (teora dell utltà) l DM (consstentemente rspetto alle probabltà soggettve e alla propra utltà) scegle l alternatva che massmzza l utltà attesa Decson strutturate e non strutturate Strutturate Certezza Rpettvtà Operatve Obettvo sngolo Procedure dsponbl DM sempre razonal Non strutturate Incertezza Unctà Strategche Obettv multpl contrastant Non esstono procedure DM spesso non razonal Ruolo della DA fornre strument metodologc che autano DM a prendere decson razonal, ossa consstent con loro gudz d preferenza 7 8

3 La teora delle decson Teora delle decson vs Teora de goch S suppongono specfcate le probabltà (soggettve) degl stat futur della natura S basano sulla massmzzazone del valore atteso Nella Game Theory s potzza la presenza d pù DM che operano n competzone la decsone del DM è presa n presenza d enttà ntellgent che agscono n opposzone (tendono a determnare uno stato futuro sfavorevole per l DM) e possono subre a loro volta conseguenze (negatve) n seguto alla decsone del DM Alternatve A, =1,...,m Stat delle natura S, =1,...,n Probabltà d occorrenza degl stat p(s ) Matrce de payoff V (n m) V =[V,=1,...,m =1,...,n] Nella Decson Analyss non esste un enttà che opera n opposzone ma un enttà, la natura, che determna lo stato futuro restando ndfferente rspetto alle decson del DM (l oppostore è la natura che non agsce n modo malevolo) Valore monetaro atteso dell alternatva EV = p(s )V Valore monetaro atteso massmo (EV) EV = max EV A* = { A : = arg max EV } 9 1 Il crtero del massmo EV non è generalmente accettable Esempo 1: decdere un nvestmento Il crtero del massmo EV non è generalmente accettable Esempo 2: una dversa opportuntà d un nvestmento per DM 1 rcavo 1. p=, 8 Investmento d 2. 1-p=, -2 rcavo EV = 3. rcavo 23. p=, 18. Investmento d. 1-p=, - rcavo EV = 6. Guadagno atteso = EV = 3. Due dvers decsor: DM 1 : una perdta >. corrsponde alla bancarotta non nveste DM 2 : dspone d un surplus d captale nveste La decsone dpende dalla dversa propensone del DM a rschare Guadagno atteso = EV = 6. Anche se l EV è molto nferore DM 1 questa volta accetta d nvestre! 11 12

4 Il crtero del massmo EV non è generalmente accettable Perché l crtero del massmo valore atteso monetaro non funzona? S basa sull potes che la stuazone decsonale s possa rpetere un numero suffcente grande d volte: se Z, =1,..n sono le realzzazon d una varable aleatora Z con meda E[Z] e varanza σ 2... la meda della sequenza camponara tende a E[Z] per n dato che la varanza della sequenza σ 2 / n La decsone è presa consderando l utltà attesa L utltà è una msura (cardnale) della preferenza d un DM n presenza d rscho Tene conto de payoff delle alternatve ma anche della dversa avversone o propensone al rscho del DM La funzone d utltà, U(.), fornsce un valore numerco che è legato al valore ntrnseco della decsone per un DM U(.) esprme una msura soggettva: se A > B (A è preferta a B) U(A) > U(B) U(A) è una msura proporzonale alla preferenza del DM per A Il crtero s basa sulla legge de grand numer ma la decsone reale è unca e non può essere rpetuta è determnata fssando l orgne (zero) e la scala de valor d utltà Costruzone della funzone d utltà (l espermento d Von Neumann- Morgenstern) Esempo: A 1 :nvestmento es. 1, A 2 :nvestmento es. 2. La lottera standard (standard lottery) S(p) p=, 8. U(X E ) =1 Scelta p X E U(X E ) EU(A 1 ) = 1-p =, -2. U(X D )= 1-p X D U(X D ) X E è la conseguenza pù desderable (utltà massma) X D è la conseguenza meno desderable (utltà mnma) Data un alternatva A, U(A) s costrusce chedendo al DM d specfcare per quale lvello d p rsulta ndfferente sceglere A o partecpare alla lottera S(p) Scelta EU(A 2 ) = 8 p=, 1-p =, 18. U(X 1 ) =9 -. U(X 2 ) =7 U(A) = EV(S(p)) = pu(x E )+(1-p)U(X D ) 1 16

5 Determnazone dell utltà delle alternatve: n questo caso, l utltà è normalzzata a 1. Altre scelte possono essere adottate, ved n seguto la CME. S nza fssando l utltà delle conseguenze ultme delle vare decson, s procede qund all ndetro determnando l utltà delle vare alternatve: alla conseguenza pù desderable X E è mposta utltà 1; alla conseguenza meno desderable X D è mposta utltà ; alla conseguenza X 1 è mposta utltà 9,.e., l decsore rnuncerebbe a suo 18. EUR solo per partecpare ad una lottera n cu la probabltà d vttora d 8. EUR è 9% e la probabltà d perdere 2. EUR è %; Comment (cont.): alla conseguenza X 2 è mposta utltà 7,.e., l decsore puttosto che perdere con certezza. EUR partecperebbe ad una lottera n cu la probabltà d vttora d 8. EUR è 7% e la probabltà d perdere 2. EUR è l 2%. S not che l DM prefersce perdere con certezza. EUR per probabltà d perdta superore al 2%; data l utltà delle sue possbl conseguenze, l utltà (attesa) dell alternatva A 1 (ved lucd successv) è =.U(X E )+.U(X D ); n modo analogo, l utltà (attesa) dell alternatva A 2 è 8 =.U(X 1 )+.U(X 2 ). (contnua) Esempo: Calcolo utltà A 2. p=, A Scelta 2 1-p =, 18. U(X 1 ) =9 -. U(X 2 ) =7 calcolando la probabltà totale che s verfch 8. e 2. s ottene, l albero seguente. Data la defnzone d utltà alla Von Neumann-Morgenstern, due alber sono equvalent. p=,9 8. U(X 1 ) =9 p=, 1-p =, -2. A Scelta 2 p=, p =, U(X 2 ) =7 1-p =,2-2. Scelta A 2 p=,8 1-p =, per l DM sceglere l alternatva A 2 equvale a sottopors ad una lottera n cu v sa la probabltà p=,8 d vncere 2.EUR e la probabltà 1-p=,1 d perdere 2.EUR. L utltà d A 2 corrsponde qund a,8 ovvero al valore atteso ottenendo medando le utltà d X 1 e X 2. Questo rsultato è vero n generale come s può banalmente provare, mponendo le utltà e le probabltà come de parametr. 19 2

6 Costruzone della funzone d utltà: la CME (Certezza Monetara Equvalente) funzone d utltà X D CME A X E La CME è l massmo valore che l DM è dsposto a pagare per una lottera con probabltà p, ossa con EV par ad A L utltà della CME è uguale alla utltà della lottera 1 p U(CME ) = p U(X E ) + (1-p )U(X D ) retta del valore atteso EV =p X E +(1-p )X D premo d rscho (rsk premum) > n presenza d avversone al rscho 21 Costruzone della funzone d utltà: la CME (Certezza Monetara Equvalente) La CME è anche la mnma somma a cu l DM è dsposto a cedere l drtto a partecpare alla lottera S(p ) Esempo: lottera con prem A e B V U Se p=, EV=p+2(1-p)=21 CME=21 A 1 p B 2 1-p 1, Costruzone della funzone d utltà: L avversone al rscho La curva d utltà ndca l avversone o propensone al rscho del DM DM avverso al rscho DM propenso al rscho (concava) (convessa) Scelta della struttura della funzone d utltà Propretà local d U(x) Per studare le propretà local della funzone utltà s suppone d avere un captale x e d partecpare ad una lottera l cu rsultato è l valore stocastco D defnto da possbl prem d d d, ognuno con probabltà p e dove d è un valore nfntesmo. Sa EV=E{D} =, mentre ovvamente sa var{d} >. L andamento della curva per un DM può varare nel tempo La curva è non decrescente (l utltà cresce con l rtorno) Com è la curva nel caso d ndfferenza al rscho? 23 La certezza monetara equvalente d questa stuazone CME(x+D) è vcno a x (concderebbe con x, se d=) e dpende da var{d}. In potes d avversone al rscho, CME(x+D) dmnusce all aumentare d var{d}. 24

7 Calcolo d CME(x+D) U(CME(x +D)) = Σ U(x+d )p Σ (U(x)+ U (x) d + ½U (x) d 2 ) p = da cu CME(x +D) = U(x)Σ p + U (x)σ d p + ½ U (x)σ d 2 p = U(x) + ½ U (x) var{d} = U -1 (U(x) + ½ U (x) var{d}) x + ½ (U (x) var{d}) / U (x) = x - ½ r(x) var{d} Nella prma equazone s sono approssmat n valor d U(.) con l suo svluppo n sere d Taylor fno al secondo grado n quanto la somma delle component d prmo grado è uguale a. Nella seconda equazone s sono approssmat n valor d U -1 (.) con l suo svluppo n sere d Taylor, tenendo presente che la dervata d una funzone nversa è uguale all nverso della dervata della funzone dretta. La funzone r(x) è detta Pratt-Arrow measure of [absolute] rsk averson. Se l DM è avverso al rscho r(x), n quanto U (x) e U (x). 2 Propretà global d U(x) Dalla soluzone dell equazone dfferenzale U (x) +r(x)u (x) = U(x mn ) = U(x max ) = 1 s ottene la funzone d utltà U(x) desderata. Al varare d r(x) s ottengono funzon d utltà dverse. 26 r(x) = r = costante U(x) = a - b e -rx è ragonevole rtenere che l DM abba la stessa r per lottere dverse se queste convolgono valor paragonabl. r(x) costante mplca che l avversone al rscho del DM non dpende dalla dsponbltà del captale, ma solo dalla varabltà de possbl rsultat della lottera. Equvalentemente: Il DM decde se partecpare a una lottera solo n base alle probabltà de var prem e a loro valor relatv. Il DM rtene che CME d due lottere, cu prem corrspondent hanno le stesse probabltà e hanno valor che dfferscono per una costante Q, a loro volta dfferscono per la stessa costante Q. Esempo, se l DM rtene che vale la pena partecpare ad una lottera con costo 1 dove v è l % d probabltà d rcavare e l % d probabltà d rcavare 2, allo stesso modo rterrà che vale la pena partecpare ad una lottera con costo 1 dove v è l % d probabltà d rcavare 9 e l % d probabltà d rcavare 11. S not che non vale lo stesso ragonamento per valor n proporzone, e.g., costo 1, prem e r(x) decrescente n x r(x) = 1/(x + c) U(x) = a + b log(x + c) r(x) = (1 - α)/(x + c) con <α < 1 U(x) = a + b(1/α)(x+c) α r(x) decrescente n x mplca che l avversone al rscho del DM dmnusce con la maggore dsponbltà del captale. Equvalentemente Il DM dventa meno sensble a possbl varazon del propro captale fnale. Il DM è tanto meno dsponble a pagare un premo d rscho per evtare tal varazon tanto pù pccole sono le varazon rspetto al captale. Esempo, l DM potrebbe rtenere che non vale la pena partecpare ad una lottera con costo 1 dove v è l % d probabltà d rcavare e l % d probabltà d rcavare 2, ma che valga la pena partecpare ad una lottera con costo 1 dove v è l % d probabltà d rcavare 9 e l % d probabltà d rcavare

8 Esempo d stma emprca della curva d utltà Il management della ACME, che s vuole mantenere coerente con le decson A, B, C e D, prese nel passato, deve decdere se accettare l nvestmento E. A B C D E Investmento rchesto Rcavo atteso n caso d successo Probabltà a pror d successo 6% 7% 8% 6% 7% Investmento effettuato o rfutato effettuato rfutato effettuato rfutato da decdere Nell potes che l denaro se non nvestto produca guadagno nullo s può affermare che A B C D Valore monetaro Stma U() 6% 7% 8% 6% Correttezza stma sovrastma sottostma sovrastma sottostma Valore con utltà Valore con utltà 1 Se l denaro potesse essere nvestto anche n altro modo nella colonna valore monetaro s dovrebbe nserre l guadagno prodotto dall nvestmento alternatvo Nell potes ragonevole che s possa usare una r(x) = r per tutt gl nvestment deve valere che Investmento A: U().6U(1) +.4 U(-1) a - b e -r.6(a - b e -1r ) +.4(a - b e 1r ) e -r.6 e -1r +.4 e 1r (*) rsolvendo numercamente la dsequazone (*) s ottene che per ogn r.4, dove.4 è l valore massmo d r per cu la (*) è vera, l utltà d è mnore dell utltà della lottera corrspondente e che qund l nvestmento A vene eseguto. Investmento B: U().7U(1) +.3 U(-1) e -r.7 e -1r +.3 e 1r (**) rsolvendo numercamente la dsequazone (**) s ottene che per ogn r.3, dove.3 è l valore mnmo d r per cu la (**) è vera, l utltà d è maggore dell utltà della lottera corrspondente e che qund l nvestmento B non vene eseguto Investmento C: U().6U(18) +.4 U(-12) e -r.8 e -18r +.1 e 12r r.13 Investmento D: U().6U(4) +.4 U(-3) e -r.7 e -4r +.3 e 3r r.33 Da rsultat ottenut per dvers nvestment s deduce che.3 r.4 Investmento E: s calcola U()=.7U(6) +.2 U(-9) per r, ottenendo r=,9 da cu s deduce che per.3 r.4 s ha U().7U(6) +.2 U(-9). La scelta d effettuare l nvestmento E sarebbe qund coerente con le decson passate

9 Esempo d stma emprca della curva d utltà S stm l valore d r per una funzone d utltà U(x) = a - b e -rx sapendo che l DM rtene β la CME d una lottera cu prem sono dstrbut normalmente con meda µ e devazone standard σ. Deve valere Alber decsonal Formalzzano le decson n condzon d rscho n base al crtero del valore (utltà) attesa (Ipotes: payoff esprmono l utltà del DM) Mettono n evdenza le conseguenze delle decson Utl per studare process decsonal a stad (sequenza d decson) da cu e rβ e rβ = + ( x µ ) 1 2 2σ 2πσ 2 2 rµ + r σ 2 = e 2πσ e e e + ( x ( µ rσ )) 2σ 2 rx dx dx 2( µ β ) r = 2 σ Element: nod d decsone: scelta tra alternatve nod evento: s verfca uno tra pù stat della natura nod termnal: fogle dell albero con assocat valor d guadagno (utltà) determnato dalla catena d decson ed event Alber decsonal Esemp punto d decsone A 1 A m p 1 event p n alternatve c m1... conseguenze... 3 Alber decsonal Esempo la dtta Acme vuole ntrodurre un nuovo prodotto non completamente testato sul mercato l prodotto se ntrodotto troppo n antcpo potrebbe non soddsfare clent perché presenta ancora dfett se Acme attende la concorrenza potrebbe precederla annuncando l propro prodotto rubandole fette d mercato la decsone s svluppa su T=3 perod (e.g., mes) sono stat stmant per t=1,...,t: r t proftto se Acme mmette l prodotto prma della concorrenza g t proftto se Acme mmette l prodotto nseme alla concorrenza h t proftto se Acme mmette l prodotto dopo la concorrenza supponamo che r t > g t > h t (anche se per t=1 potrebbe non valere) 36

10 Alber decsonal Esempo p t la probabltà (soggettva stmata) che la concorrenza annunc l prodotto sul mercato nel perodo t Acme ha decso d mmettere l prodotto comunque se la concorrenza annunca l propro mmssone non mmssone annunco p 1 1-p 1 non annunco p 1 1-p 1 g 1 r 1 h 1 37 Alber decsonal Esempo f 1 S calcola l EV e lo s assoca ad ogn nodo evento S calcola l massmo EV tra nod evento e lo s assoca al nodo decsone mm. non mm. EV mm EV non mm annunco p 1 1-p 1 non annunco p 1 1-p 1 g 1 r 1 h 1 EV mm =p 1 g 1 +(1-p 1 )r 1 EV non mm =p 1 h 1 f 1 =max [EV mm, EV non mm ] 38 Alber decsonal Esempo: T=3 perod e per t=3 s stma che la concorrenza annuncerà certamente EV mm annunco p 1 g 1 Alber decsonal Esempo S procede a rtroso dallo stado 3 (backward come per la P.D.) f 1 mm. 1-p 1 non annunco r 1 p 2 g 2 mm. p 3 g 3 EV 3 = p 3 g 3 EV n 3 =p 3 h 3 non mm. EV non mm p 1 1-p 1 h 1 f 2 non mm. mm. 1-p 2 p 2 r 2 h 2 mm. p 3 g 3 f 3 non mm. p 3 h 3 p 3 = 1 f 3 = max [EV 3, EVn 3 ]= g 3 1-p 2 f3 p 3 non mm. h

11 Alber decsonal Esempo Per t=2 Alber decsonal Esempo Per t=1 p 1 g 1 mm. p 2 1-p 2 g 2 r 2 EV 2 = p 2 g 2 + (1- p 2 )r 2 EV n 2 = p 2 h 2 + (1- p 2 )f 3 = p 2 h 2 + (1- p 2 )g 3 f 1 mm. 1-p 1 r 1 EV 1 = p 1 g 1 + (1- p 1 )r 1 EV n 2 = p 1 h 1 + (1- p 1 )f 2 f 2 non mm. p 2 h 2 f 2 = max [EV 2, EVn 2 ] non mm. p 1 1-p 1 h 1 f 1 = max [EV 1, EVn 1 ] 1-p 2 f3 f Alber decsonal Il valore atteso della perdta d opportuntà (Expected Opportunty Loss, EOL) Esempo: caso numerco Consdera la perdta rspetto l massmo guadagno possble f 3 h 1 =4 1 9 ( mm.) = max h 2 =7 1 8 ( non mm.) h 3 =8,4 8+,6 1= 92 ( mm.) f2 = max,4 7+,6 9 = 84 ( non mm.),2 +,8 6= 8 ( mm.) f1 = max,2 4+,8 92= 81,6 ( non mm.) g 1 = g 2 =8 g 3 =9 r 1 =6 r 2 =1 p 1 =,2 p 2 =,4 p 3 =1 L = V max V dove V max = max V EOL = EOL n = 1 * = p( S ) L mn EOL 43 44

12 Il valore atteso della perdta d opportuntà (Expected Opportunty Loss, EOL) Esempo V mm. non mm. ann. p=,4 g 1 = h 1 =4 non ann. 1-p=,6 r 1 =6 EV * = max [,4 +,6 6;,4 4] = 6 (mm.) L mm. non mm. ann. p=,4 1 non ann. 1-p=,6 6 EOL * = mn [;,4 1+,6 6] = (mm.) Il valore atteso della perdta d opportuntà (Expected Opportunty Loss, EOL) Due osservazon: Il crtero del massmo EV e del mnmo EOL fornscono sempre la medesma soluzone Nell esempo l problema decsonale era d semplce soluzone perché l alternatva mmettere era domnante! Nella DA le alternatve domnate possono essere escluse Defnzone A è domnata se esste una A k, k, tale che V V k e vale V <V k per almeno un 4 46 Esempo: la scelta se prendere o meno l ombrello Il valore atteso della nformazone perfetta (Expected Value of Perfect Informaton, EVPI) L nformazone perfetta è quella che permetta al DM d sceglere l alternatva pù convenente n funzone dello stato d natura che s verfca Normalmente una decsone vene presa a pror,.e., prma che accadano gl event che nfluenzeranno le concluson Essendo dsponble l nformazone perfetta è come se la decsone vensse presa a posteror,.e., a valle dell occorrenza degl event casual. pove (p=,4) ombrello non pove EV=,8 (p=,6) pove non ombrello non pove -2-1 Decsone con nformazone perfetta 7 Decsone senza nformazone perfetta EV PI =6,2 pove (p=,4) ombrello non ombrello ombrello non pove (p=,6) non ombrello Per stablre l valore dell nformazone perfetta è necessaro stablre a pror tutt gl event mutuamente esclusv che s possono realzzare n natura e che nfluenzerebbero la decsone. In questo caso pove/non pove. 48

13 Il valore atteso della nformazone perfetta (Expected Value of Perfect Informaton, EVPI) Il valore atteso della nformazone perfetta (Expected Value of Perfect Informaton, EVPI) Sfruttando l nformazone perfetta ottengo l massmo guadagno (utltà) possble Il valore atteso con l nformazone perfetta (EV PI, Expected Value wth Perfect Informaton) rspetto agl stat d natura S rsulta essere: EV PI = = 1 Quanto vale l nformazone perfetta (quanto al massmo sare dsposto a pagarla)? n p ( S ) V EVPI = EV PI max EV Quanto sarà dsposta a pagare l Acme una spa ndustrale che le vendesse l nformazone su cò che farà la concorrenza? f3 = 1 max f 2 =,4 max +,6 max = f 1 6 =,2 max +,8 max = 83, Nell esempo EVPI = 6,2 -,8 =,4 EVPI = EV EV PI = 83,6 81,6 = 2 49 Esempo: S consder l problema proposto dal prof. Beasley n e rportato nel lucdo seguente. In partcolare: S determn la decsone ottma n base all EV. S determn noltre la decsone ottma n presenza d nformazone perfetta e qund s calcol l valore EV PI. 1 Your company s consderng whether t should tender for two contracts (MS1 and MS2) on offer from a government department for the supply of certan components. The company has three optons: tender for MS1 only; or tender for MS2 only; or tender for both MS1 and MS2. If tenders are to be submtted the company wll ncur addtonal costs. These costs wll have to be entrely recouped from the contract prce. The rsk, of course, s that f a tender s unsuccessful the company wll have made a loss. The cost of tenderng for contract MS1 only s,. The component supply cost f the tender s successful would be 18,. The cost of tenderng for contract MS2 only s 14,. The component supply cost f the tender s successful would be 12,. The cost of tenderng for both contract MS1 and contract MS2 s,. The component supply cost f the tender s successful would be 24,. For each contract, possble tender prces have been determned. In addton, subectve assessments have been made of the probablty of gettng the contract wth a partcular tender prce as shown below. Note here that the company can only submt one tender and cannot, for example, submt two tenders (at dfferent prces) for the same contract. Opton Possble Probablty tender of gettng prces ( ) Contract MS1 only 13,.2 11,.8 MS2 only 7,.1 6,.8 6,.9 MS1 and MS2 19,. 14,.6 In the event that the company tenders for both MS1 and MS2 t wll ether wn both contracts (at the prce shown above) or no contract at all. 2

14 MS1 EV = 32,4 EV = 32,4 MS1 & 2 MS2 EV = -27,6 TP = 13 TP = 11 EV = 32,4 TP = 7,8 EV = 28,4 EV = 31,6 TP = 6,8 EV = 2,4 TP = 6 EV = -,3 EV = 31,6 EV = -46,7 TP = 19 TP = 14 EV = 2,4,2,8,8,1,1,2,9,,,9,6, Determnazone decsone ottma sulla base d probabltà soggettve. TP = Tender Prce EV = Expected Monetary Value 3 Pass da esegure per l calcolo a rtroso dell EV PI : S calcolano gl EV PI assocat alle decson d secondo lvello (le offerte da proporre avendo scelto d partecpare ad un tender specfco) Al prmo lvello s scegle l massmo degl EV PI d secondo lvello. 4 Pass da esegure per l calcolo d EVPI seconda decsone avendo scelto d partecpare al tender MS1: Defnzone della matrce d payoff: alternatve: prezz de tender TP = 13, TP = 11, TP = ; stat della natura (event mutuamente esclusv che nfluenzano le concluson della decsone): dsponbltà del clente ad accettare un TP,.e., dsponbltà ad accettare un TP=13, dsponbltà ad accettare un TP=11, ma non un TP=13, dsponbltà ad accettare solo TP <11. Ovvamente se l clente è dsposto ad accettare un dato TP s può offrre tale TP o un TP d valore mnore con la certezza d vncere l tender. Matrce de payoff TP = 13 TP = 11 TP = * clente accetta TP=13 o mnore clente accetta TP=11 o mnore, ma non TP= clente accetta solo TP<11, ma non TP=11 L alternatva TP= è domnata e qund non verrà pù consderata (né è rportata nell albero decsonale). In rosso le scelte ottme n caso d nformazone perfetta dsponble

15 Calcolo delle probabltà d realzzazone d uno degl stat della natura (event futur): Il clente accetta TP=13 (o mnore) con probabltà p 13 =,2, nfatt la probabltà a pror d vncere l tender offrendo un TP=13 appare, da dat del problema, essere uguale a,2 Il clente accetta solo TP<11, ma non TP=11 o maggor con probabltà p =,1, nfatt la probabltà a pror d perdere l tender offrendo un TP=11 appare essere uguale a,1 Il clente accetta TP=11 o mnore, ma non TP=13, con probabltà p 11 =,6. Da dat del problema s evnce nfatt che la probabltà a pror d vncere l tender offrendo un TP=11 appare essere uguale a,8. In tale stuazone però s deve anche comprendere l caso n cu l clente avrebbe accettato un TP=13, che però non gl è stato proposto. La probabltà è qund ottenuta come segue p 11 =,8,2 7 Calcolo delle probabltà d realzzazone d uno degl stat della natura (contnuazone) funzone d dstrbuzone della probabltà che l clente accett un offerta d valore x probabltà che l clente rfut un TP=11,1 probabltà che l clente rfut un TP=13, ma accett un TP=11, ,2 probabltà che l clente accett un TP=13 valore offerta NB: l area sottesa dalla curva tra 11 e nfnto (uguale a,8) ndca la probabltà che l clente accett un TP=11 8 Seconda decsone, avendo scelto d partecpare al tender MS1, n assenza d nformazone perfetta. EV = -27,6 TP = 13,2 62 EV = 32,4,8-47 MS1,8 TP = 11 EV = 32,4,1 - Seconda decsone, avendo scelto d partecpare al tender MS1, n presenza d nformazone perfetta.,2 EV p = 3,4,6 MS1,1 TP = TP = 11 TP = 13 - TP = TP = 13 - Anals a rtroso del nuovo albero: Se fosse noto che l clente è dsposto ad accettare un TP=13 certamente s proporrebbe tale valore per l TP Se fosse noto che l clente è dsposto ad accettare un TP=11, ma non un TP=13, certamente s proporrebbe l TP=11 Se fosse noto che l clente non è dsposto ad accettare nemmeno un TP=11 s perderebbero n ogn caso le K gà nvestte TP =

16 Calcolo del valore dell nformazone perfetta: quando s calcola l valore dell nformazone perfetta, non s conosce ancora l contenuto dell nformazone (ovvero quale stato d natura s realzzerà), però s suppone che al momento della decsone tale nformazone sarà dsponble e che qund sarà scelta l alternatva mglore. Nell esempo s osserva che: Con p 13 =,2, al momento della decsone, sarà noto che l clente sarà dsponble ad accettare un TP=13 e qund s offrrà un TP=13 Con p 11 =,6, al momento della decsone, sarà noto che l clente sarà dsponble ad accettare un TP=11, ma non un TP=13, e qund s offrrà un TP=11 Con p =,1, al momento della decsone, sarà noto che l clente non sarà dsponble ad accettare nemmeno un TP=11, e Con p 13 =,6, al momento della decsone, sarà noto che l clente sarà dsponble ad accettare un TP=11, ma non un TP=13, e qund s offrrà un TP=11 sapendo che s perderà comunque l tender 61 Successve rduzon dell albero ottenuto con l nformazone perfetta, supposto che la prma decsone sa d partecpare al tender MS1. MS1 MS1 3,4,2,1, MS1 EV = 36,3 EV p = 3,4 MS1 & 2 EV p = 36,3 MS2,2,1,1,,,6,6, TP = 13 TP = 11 TP = 11 TP = 7 TP = 6 TP = 6 TP = 6 TP = 19 Albero decsonale che s ottene applcando ragonament precedent a var tender, avendo gà scelto la seconda decsone ottma una volta nota l nformazone perfetta. Fno a questo momento s è supposto d potere accedere all nformazone perfetta solo dopo avere preso la decsone. C s è rvolt al consulente solo per decdere l offerta da compere. S può nvece supporre d accedere all nformazone perfetta anche prma d prendere la prma decsone. C s rvolge al consulente per decdere l tender a cu partecpare e l offerta da compere. S devono analzzare tutt gl stat d natura mutualmente esclusv che s possono realzzare e stablre per ognuno d ess la decsone ottma da compere e la probabltà che s realzz. EV p = 22,9,3, TP = 14 TP =

17 Stat d natura che s possono realzzare (decson conseguent). Il clente (la natura) può essere dsponble a: 1. accettare offerta 13 per MS1, accettare offerta 7 per MS2, accettare offerta 19 per MS1&2 (s scegle qund d partecpare al tender MS1&2 con offerta 19 proftto 111) 2. accettare offerta 13 per MS1, accettare offerta 7 per MS2, accettare offerta 14 ma non 19 per MS1&2 (s scegle qund d partecpare al tender MS1 con offerta 13 proftto 62) 3. accettare offerta 13 per MS1, accettare offerta 7 per MS2, non accettare nemmeno offerta 14 per MS1&2 (s scegle qund d partecpare al tender MS1 con offerta 13 proftto 62) 4. accettare offerta 13 per MS1, accettare offerta 6 ma non 7 per MS2, accettare offerta 19 per MS1&2 (s scegle qund d partecpare al tender MS1 con offerta 13 proftto 62) non accettare nemmeno offerta 11 per MS1, non accettare nemmeno offerta 6 per MS2, non accettare nemmeno offerta 14 per MS1&2 (s scegle qund d non partecpare ad alcun tender con proftto ) Non sempre è possble calcolare probabltà de dvers stat d natura realzzabl sulla base delle nformazon nzalmente dsponbl a meno d non fare potes che a volte possono rsultare dscutbl. S consderno ad esempo l seguent stat: dsponbltà del clente ad accettare offerta 13 per MS1, accettare offerta 7 per MS2, accettare offerta 19 per MS1&2. Se s rtengono le decson del clente ndpendent tra loro, la probabltà dello stato è p 1 =.2.1. =.1 dsponbltà del clente ad accettare offerta 13 per MS1, accettare offerta 7 per MS2, accettare offerta 14 ma non 19 per MS1&2. Se s rtengono le decson del clente ndpendent tra loro, la probabltà dello stato è p 2 = =.18. In questo caso questo l potes d ndpendenza delle decson è dscutble n quanto è strano che l clente sa dsposto a pagare 2 per due tender separat, ma non a pagare 19 per l tender MS1& Le probabltà de dvers stat dovrebbero essere valutate caso per caso n base alle nformazon sulla natura (ad esempo s può supporre che l clente sa razonale). In partcolare la probabltà d uno stato d natura caratterzzato dalla realzzazone d tre event, e.g., A, B e C, dovrebbe essere calcolato n base alle probabltà condzonate, come ad esempo P(ABC) = P(C)P(B C)P(A BC), non n base alla formula P(ABC) = P(C)P(B)P(A). In dat dsponbl e le potes sulla razonaltà del clente però non sono sempre suffcent a determnare, nemmeno utlzzando Bayes, le probabltà condzonate rcheste. Supposto d essere rusct a calcolare le probabltà de dvers stat e l valore della decsone ottma n ognuno degl stat s può po calcolare l valore EV p e qund EVPI. Il valore atteso della nformazone camponara (Expected Value of Sample Informaton, EVSI) L nformazone perfetta non è dsponble Se EVPI è non trascurable s può valutare l opportuntà d acqusre nformazone su qual alternatve sceglere Indagne d mercato (I): IE = l ndagne ha esto E S valuta (sulla base d analoghe ndagn passate) la probabltà che l nformazone acqusta suggersca una alternatva quando s verfca uno certo stato p(ie S ) 67 68

18 Esempo: la scelta se prendere o meno l ombrello Il valore atteso della nformazone camponara (contnua) Normalmente una decsone vene presa a pror,.e., prma che accadano gl event che nfluenzeranno le concluson Con l nformazone camponara la decsone avvene a valle d un ndagne camponara, da cu rsultat (casual) s possono prevedere con maggore precsone gl event (stat d natura) che accadranno. 69 pove (p=,4) ombrello non pove (p=,6) EV=,8 pove non ombrello non pove Decsone senza nformazone camponara Decsone con nformazone camponara EV SI prevson pogga prevson no pogga ombrello non ombrello ombrello non ombrello pove non pove pove non pove pove non pove pove non pove Le dffcoltà nella valutazone del EV SI consstono nel determnare: Le probabltà a pror P(IE ) che s verfch un determnato esto IE dall ndagne camponara Le probabltà condzonate P(S IE ) che accada l evento S,.e., che s realzz lo stato S, dato che l ndagne camponara ha dato esto IE,.e., P(S IE ) sono le probabltà degl stat della natura condzonate agl est dell ndagne (a posteror) Da dat storc è però facle dedurre le probabltà a pror degl stat d natura P(S ) e le probabltà a posteror P(IE S ) del realzzars d un esto IE dato che s verfca lo stato S Dall applcazone del teorema d Bayes è po possble dedurre le probabltà desderate Esempo: la scelta se prendere o meno l ombrello Probabltà a pror degl stat d natura P(S ): P(pove) =.4 P(non pove) =.6 Le probabltà a pror P(S ) possono, e.g., essere dedotte dal rapporto tra l numero d gornate povose e l numero delle gornate total del mese che s sono verfcate nello stesso perodo d osservazone negl ann precedent Probabltà condzonate P(IE S ): P(prevsone pogga pove) =.9 P(prevsone pogga non pove) =.2 P(prevsone no pogga pove) =.1 P(prevsone no pogga non pove) =.8 Le probabltà condzonate P(IE S ) possono anche esse dedurs faclmente, e.g., verfcando quante volte nel passato le prevson (est ndagne) erano state corrette 71 72

19 Esempo: la scelta se prendere o meno l ombrello Esempo: la scelta se prendere o meno l ombrello Applcando Bayes s ottene: Probabltà a pror degl est dell ndagne P(IE ) = Σ P(IE S ) P(S ): P(prevsone pogga) = =,48 P(prevsone no pogga) = =,2 Probabltà condzonate P(S IE ) = P(IE S ) P(S )/P(IE ) P(pove prevsone pogga) =.9.4 /.48 =.7 P(pove prevsone no pogga) =.1.4 /.2 =.8 P(non pove prevsone pogga) =.2.6 /.48 =.2 P(non pove prevsone no pogga) =.8.6 /.2 =.92 prevson pogga,.48 EV SI =4.2 prevson no pogga,.2 ombrello EV non pove,.2 SI =3.2 EV SI =.69 non ombrello ombrello non ombrello pove, EVSI = = 3.72 SIE = EVSI/EVPI = Il valore atteso della nformazone camponara (Expected Value of Sample Informaton, EVSI) Rassunto formale Il valore atteso della nformazone camponara (Expected Value of Sample Informaton, EVSI) S devono valutare EV SI (valore monetaro atteso con nformazone camponara) s valuta aggornando le probabltà a pror degl stat della natura n base agl est dell ndagne IE p(ie ) le prob. a pror degl est dell ndagne p(s IE h ) le prob. degl stat condzonate agl est dell ndagne (a posteror) EV SI = m = 1 p( IE ) EVSI EV SI = = 1 dove EV SI è l valore atteso della mglore decsone che s può prendere a valle dell esto IE e V è l valore della mglore decsone che s può n p( S IE ) V Probabltà Totale Teorema d Bayes p( IE ) = p( S m = 1 p( IE p( IE IE ) = S ) p( S ) S ) p( S ) p( IE ) prendere a valle dell esto IE e della realzzazone dello stato S 7 76

20 Il valore atteso della nformazone camponara (Expected Value of Sample Informaton, EVSI) Il valore atteso della nformazone camponara (Expected Value of Sample Informaton, EVSI) S ottene EV = = SI m = = 1 = 1 = 1 = 1 m = 1 = 1 p( IE ) n m p( IE ) p( IE n n p( IE S ) p( S p( S ) V IE ) V S ) p( S p( IE ) ) V = Il valore atteso dell nformazone camponara EVSI = EV SI - EV Effcenza dell nformazone camponara (Sample Informaton Effcency, SIE) SIE = EVSI/EVPI SIE Un eserczo Un eserczo Valutare 4 tp d nnovazone tecnologca d un prodotto a fronte d 3 possbl scenar futur della domanda, le cu probabltà a pror sono p bassa =,1 p meda =, p alta =,4. Valutare l opportuntà d esegure o meno un test sul possble scenaro d mercato avendo nformazon storche sulla probabltà degl est del test dat gl stat della natura Guadagn (utltà) Decson\Domanda A B Bassa 2 2 Meda 3 3 Alta 6 4 Test Mercato\Domanda Bassa p(t h /S ) Meda Alta C D Favorevole Invarato Sfavorevole

21 D.A. Decson n condzon d ncertezza D.A. Decson n condzon d ncertezza Crtero MAXIMIN Non sono dsponbl le nformazon sulla probabltà degl stat futur della natura Atteggamento pessmsta del DM: massmzza l payoff nel caso pù sfavorevole Crter decsonal f(v): f(v) = max mn V MAXIMIN MAXIMAX Hurwcz Laplace (equprobabltà) Problem: Scarso uso dell nformazone dsponble Mopa (ncapactà d valutare un compromesso) D.A. Decson n condzon d ncertezza D.A. Decson n condzon d ncertezza Crtero MAXIMAX Atteggamento ottmsta del DM: massmzza l payoff nel caso pù favorevole Crtero d Hurwcz Un compromesso tra MAXIMIN e MAXIMAX espresso da un parametro α (MAXIMAX) α 1 (MAXIMIN) f(v) = max max V f(v) = max (α mn V + (1- α) max V ) Problem: Gl stess del MAXIMIN 83 84

22 D.A. Decson n condzon d ncertezza D.A. Decson n condzon d ncertezza Crtero d Laplace (equprobabltà) S consderano equprobabl gl stat della natura e s scegle secondo l massmo valore atteso s pone s scegle p(s ) = 1/n f(v) = max p(s )V Esempo Il problema della selezone della tecnologa Guadagn (utltà) Decson\Domanda Bassa Meda Alta A B C D D è domnata da C!!! 8 86 D.A. Decson n condzon d ncertezza D.A. Decson n condzon d ncertezza Esempo Il problema della selezone della tecnologa (s scelga, ad esempo, α =.4 per algortmo d Hurwcz) Anals d senstvtà Break Even Pont Nel caso d 2 event s può analzzare l andamento della decsone n funzone della probabltà Ad esempo Dec.\Dom. A B C Guadagn (utltà) Bassa Meda Alta MAXIMIN MAXIMAX α= Equp Decson Stat della Natura S 1 (p) V 31 S 2 (1-p) A 1 V 11 V 12 A 2 V 21 V 22 A 3 V 32 A 4 V 41 V 42 EV(A ) = pv 1 + (1-p)V

23 D.A. Decson n condzon d ncertezza Anals d senstvtà Break Even Pont Grafcamente EV(A ) = pv 1 + (1-p)V 2 Break Even Pont V 22 V 12 V 42 A 2 A 1 A 4 V 41 V 11 V 21 V 32 V 31 Obettv Multpl 1 p 89 9 Obettv Multpl I problem real, soprattutto n presenza d pù decsor, presentano spesso crter d valutazone delle soluzon (obettv) multpl; spesso tal crter sono dscord non è qund possble agre n modo che possano essere tutt soddsfatt al meglo; dvers approcc sono possbl per superare tale dffcoltà: combnazone pesata degl obettv, approcco lesscografco (o dsguntvo) approcco conguntvo, approcco della marca deale. Esempo d rfermento S consder l seguente problema d programmazone lneare con due obettv max z = x 1 + 6x 2 +3x 3 max w = 1x 2 2x 1 + 4x 2 + x 3 1 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 23 x 1 + 3x 2 + x 3 18 x la soluzone determnata dovrà comunque essere Pareto ottma

24 Esempo d rfermento Se s ottmzzano separatamente due obettv con l smplesso s ottene max z = x 1 + 6x 2 +3x 3 2x 1 + 4x 2 + x 3 1 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 23 z* = 38 w= x 1 + 3x 2 + x 3 18 x Combnazone pesata degl obettv Per ottenere un unca soluzone s può usare la combnazone pesata degl obettv quando è possble quantfcare (ad esempo monetzzando) l mportanza relatva de dvers obettv. E.g., s supponga che ottmzzare l obettvo z sa due volte pù mportante che ottmzzare w. S gunge a max w = 1x 2 2x 1 + 4x 2 + x 3 1 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 23 z= 22, w* = 37, x 1 + 3x 2 + x 3 18 x alle due soluzon corrspondono ovvamente dvers valor delle x e qund non può essere presa una decsone che soddsf entrambe gl obettv, bsogna gungere ad un compromesso e sceglere uno de punt della frontera d Pareto. 93 max 2(x 1 + 6x 2 +3x 3 ) + 1(1x 2 ) 2x 1 + 4x 2 + x 3 1 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 23 z* = 38 w= 11,66 x 1 + 3x 2 + x 3 18 x In questo caso z non è dmnuto rspetto all ottmo, ma n generale cò potrebbe avvenre. 94 Approcco lesscografco Per ottenere un unca soluzone s può usare l approcco lesscografco quando è possble stablre una precsa gerarcha d domnanze tra gl obettv. E.g., s supponga che ottmzzare l obettvo z sa pù mportante che ottmzzare w, se però c sono soluzon equvalent s scelgono quelle che ottmzzano w. S ottmzza qund prma rspetto a z e s ottene z* = 38, qund s mpone che tale condzone sa rspettata e s ottmzza rspetto a w, gungendo a max 1x 2 2x 1 + 4x 2 + x 3 1 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 23 z* = 38 w= 11,66 x 1 + 3x 2 + x 3 18 x 1 + 6x 2 +3x 3 = 38 x 9 Approcco conguntvo Per ottenere un unca soluzone s può usare l approcco conguntvo quando è possble stablre una sogla mnma d soddsfacmento che deve essere rspettata da tutt gl obettv. In pratca tutt gl obettv vengono trasformat n vncol. E.g., s supponga che sa z che w debbano valere almeno 2. S può po ottmzzare rspetto ad uno qualunque o ad una combnazone degl obettv, gungendo, e.g., a max x 1 + 6x 2 +3x 3 2x 1 + 4x 2 + x 3 1 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 23 z = 3 w= 2 x 1 + 3x 2 + x 3 18 x 1 + 6x 2 +3x x 2 2 x In questo caso obettv sono dventat vncol, col rlassamento lagrangano vncol dventano obettv. 96

25 Approcco della marca deale Obettv Multpl: esempo grafco I Per ottenere un unca soluzone s può usare l approcco della marca deale quando è possble stablre valor deal da cu c s vuole allontanare l meno possble. E.g., valor ottm per l problema sono z*= 38 che w*= 37,. S può qund mnmzzare una norma gungendo a mn 38 (x 1 + 6x 2 +3x 3 ) + 37, 1x 2 2x 1 + 4x 2 + x 3 1 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 23 z = 26,6 w= 3,6 x 1 + 3x 2 + x 3 18 x S consder l seguente problema max z = x 1 + 3x 2 max w = 3x 1 + x 2 -x 1 + x 2 4 x 1 + x 2 8 2x 1 + x 2 12 x 1 x 4 (2,6), soluzone ottma per z (,2), soluzone ottma per w Se la norma scelta è quella 1, l approcco equvale a quello della combnazone pesata degl obettv. Se la norma è nfnto s gunge all approcco lesscografco. D solto s usa l quadrato della norma 2 ( rsultat ndcat sono rfert a tale caso) Obettv Multpl: esempo grafco I Obettv Multpl: esempo grafco II 4 faccette (2,6) - (4,4) e (4,4) - (,2), soluzon pareto ottme combnazone conca (o, come n questo caso, convesso) delle funzon obettvo max a( x 1 + 3x 2 ) + b(3x 1 + x 2 ) e.g., con a, b, a + b = 1 4 soluzone ottma per 1/2 a 1 soluzone ottma per 1/6 a 1/2 soluzone ottma per a 1/6 S consder l seguente problema max z = x 1 + x 2 max w = 3x 1 + x 2 -x 1 + x 2 4 x 1 + x 2 8 2x 1 + x 2 12 x 1 x 4 faccetta (2,6) - (4,4), soluzon ottme per z, z* = 8 (,2), soluzone ottma per w, w* =

26 Obettv Multpl: esempo grafco II Obettv Multpl: esempo grafco II faccetta (2,6) - (4,4), soluzon ottme per z 4 faccetta (4,4) - (,2), soluzon pareto ottme (4,4), soluzone lesscografca, consderando prma la funzone obettvo z (,2), soluzone lesscografca, consderando prma la funzone obettvo w (,2), soluzone ottma per funzone obettvo w Obettv Multpl: esempo grafco II nseme soluzon per cu z = 7. (4.,3), soluzone conguntva, mponendo che l valore dell obettvo z sa almeno 7. e massmzzando l obettvo w Esercz 1. Valutare per punt la propra funzone d utltà tra gl e 1 EUR. 2. S stm l valore d r per una funzone d utltà U(x) = a - b e -rx sapendo che l DM rtene β la CME d una lottera cu prem sono dstrbut unformemente tra γ e δ. 3. I dat storc d una azenda ndcano che nel passato recente sono stat effettuat gl seguent nvestment rportat n tabella. Stmare la funzone d utltà del management azendale con una funzone esponenzale a-be -rx soluzone d dstanza quadratca mnma rspetto alla marca deale A A captale nvestto probabltà successo nvestmento valore fnale nvestmento se v è successo valore fnale se non v è successo 198, , , , ,9 12,

27 Esercz 3. Dato un captale d 1 EUR s possono possono effettuare due tp d nvestmento. Il prmo nvestmento ha una probabltà d successo d, e, nel caso cò accada, v sarà un rtorno d 22 EUR, altrment s perde tutto. Il secondo nvestmento rchede d spezzare l captale n due tranche da EUR. Entrambe le tranche, ma n modo ndpendente, sono nvestte n attvtà che hanno probabltà d successo d, e, nel caso cò accada, hanno un rtorno d 11 EUR, altrment hanno rtorno nullo. Supponendo d essere obblgat a sceglere uno de due tp d nvestmento ndcare quale s preferrebbe, nel caso n cu s sa avvers al rscho e nel caso n cu s sa propens al rscho. Alla luce de rsultat ottenut argomentare sul perché convene dversfcare l rscho nel caso s debba nvestre n attvtà n cu non s abba l controllo sulle probabltà d successo. Vceversa argomentare sul qual debbano essere le condzon che spngano una azenda a concentrars sul suo core busness o vceversa dversfcars. Nel secondo caso ndcare noltre quando all azenda convene dversfcars orzzontalmente e quando convene dversfcars vertcalmente. Presentare degl esemp numerc. 4. Svolgere gl esercz propost dal prof. Beasley alla pagna Per determnare la scelta ottma utlzzare EV, ROI e la funzone d utltà determnata nell eserczo 2. Commentare gl eventual rsultat dscord. 1

Lezione 10. L equilibrio del mercato finanziario: la struttura dei tassi d interesse

Lezione 10. L equilibrio del mercato finanziario: la struttura dei tassi d interesse Lezone 1. L equlbro del mercato fnanzaro: la struttura de tass d nteresse Ttol con scadenza dversa hanno prezz (e tass d nteresse) dfferent. Due ttol d durata dversa emess dallo stesso soggetto (stesso

Dettagli

Relazione funzionale e statistica tra due variabili Modello di regressione lineare semplice Stima puntuale dei coefficienti di regressione

Relazione funzionale e statistica tra due variabili Modello di regressione lineare semplice Stima puntuale dei coefficienti di regressione 1 La Regressone Lneare (Semplce) Relazone funzonale e statstca tra due varabl Modello d regressone lneare semplce Stma puntuale de coeffcent d regressone Decomposzone della varanza Coeffcente d determnazone

Dettagli

3. Esercitazioni di Teoria delle code

3. Esercitazioni di Teoria delle code 3. Eserctazon d Teora delle code Poltecnco d Torno Pagna d 33 Prevsone degl effett d una decsone S ndvduano due tpologe d problem: statc: l problema non vara nel breve perodo dnamc: l problema vara Come

Dettagli

LEZIONE 2 e 3. La teoria della selezione di portafoglio di Markowitz

LEZIONE 2 e 3. La teoria della selezione di portafoglio di Markowitz LEZIONE e 3 La teora della selezone d portafoglo d Markowtz Unverstà degl Stud d Bergamo Premessa Unverstà degl Stud d Bergamo Premessa () È puttosto frequente osservare come gl nvesttor tendano a non

Dettagli

I SINDACATI E LA CONTRATTAZIONE COLLETTIVA. Il ruolo economico del sindacato in concorrenza imperfetta, in cui:

I SINDACATI E LA CONTRATTAZIONE COLLETTIVA. Il ruolo economico del sindacato in concorrenza imperfetta, in cui: I IDACATI E LA COTRATTAZIOE COLLETTIVA Il ruolo economco del sndacato n concorrenza mperfetta, n cu: a) le mprese fssano prezz de ben n contest d concorrenza monopolstca (con extra-proftt); b) lavorator

Dettagli

LA COMPATIBILITA tra due misure:

LA COMPATIBILITA tra due misure: LA COMPATIBILITA tra due msure: 0.4 Due msure, supposte affette da error casual, s dcono tra loro compatbl quando la loro dfferenza può essere rcondotta ad una pura fluttuazone statstca attorno al valore

Dettagli

Capitolo 7. La «sintesi neoclassica» e il modello IS-LM. 2. La curva IS

Capitolo 7. La «sintesi neoclassica» e il modello IS-LM. 2. La curva IS Captolo 7 1. Il modello IS-LM La «sntes neoclassca» e l modello IS-LM Defnzone: ndvdua tutte le combnazon d reddto e saggo d nteresse per le qual l mercato de ben (curva IS) e l mercato della moneta (curva

Dettagli

Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Progetto: Metodo di soluzione basato su generazione di colonne

Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Progetto: Metodo di soluzione basato su generazione di colonne Metod e Modell per l Ottmzzazone Combnatora Progetto: Metodo d soluzone basato su generazone d colonne Lug De Govann Vene presentato un modello alternatvo per l problema della turnazone delle farmace che

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità alcolo delle Probabltà Quanto è possble un esto? La verosmglanza d un esto è quantfcata da un numero compreso tra 0 e. n partcolare, 0 ndca che l esto non s verfca e ndca che l esto s verfca senza dubbo.

Dettagli

Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili. Modelli per la Logistica: Single Flow One Level Model Multi Flow Two Level Model

Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili. Modelli per la Logistica: Single Flow One Level Model Multi Flow Two Level Model Rcerca Operatva e Logstca Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentl Modell per la Logstca: Sngle Flow One Level Model Mult Flow Two Level Model Modell d localzzazone nel dscreto Modell a Prodotto Sngolo e a Un

Dettagli

NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI CONFRONTO DI PIU MEDIE IL METODO DI ANALISI DELLA VARIANZA

NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI CONFRONTO DI PIU MEDIE IL METODO DI ANALISI DELLA VARIANZA NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI CONFRONTO DI PIU MEDIE IL METODO DI ANALISI DELLA VARIANZA IL PROBLEMA Supponamo d voler studare l effetto d 4 dverse dete su un campone casuale d 4

Dettagli

Ministero della Salute D.G. della programmazione sanitaria --- GLI ACC - L ANALISI DELLA VARIABILITÀ METODOLOGIA

Ministero della Salute D.G. della programmazione sanitaria --- GLI ACC - L ANALISI DELLA VARIABILITÀ METODOLOGIA Mnstero della Salute D.G. della programmazone santara --- GLI ACC - L ANALISI DELLA VARIABILITÀ METODOLOGIA La valutazone del coeffcente d varabltà dell mpatto economco consente d ndvduare gl ACC e DRG

Dettagli

Il modello markoviano per la rappresentazione del Sistema Bonus Malus. Prof. Cerchiara Rocco Roberto. Materiale e Riferimenti

Il modello markoviano per la rappresentazione del Sistema Bonus Malus. Prof. Cerchiara Rocco Roberto. Materiale e Riferimenti Il modello marovano per la rappresentazone del Sstema Bonus Malus rof. Cercara Rocco Roberto Materale e Rferment. Lucd dstrbut n aula. Lemare 995 (pag.6- e pag. 74-78 3. Galatoto G. 4 (tt del VI Congresso

Dettagli

Capitolo 3 Covarianza, correlazione, bestfit lineari e non lineari

Capitolo 3 Covarianza, correlazione, bestfit lineari e non lineari Captolo 3 Covaranza, correlazone, bestft lnear e non lnear ) Covaranza e correlazone Ad un problema s assoca spesso pù d una varable quanttatva (es.: d una persona possamo determnare peso e altezza, oppure

Dettagli

La verifica delle ipotesi

La verifica delle ipotesi La verfca delle potes In molte crcostanze l rcercatore s trova a dover decdere quale, tra le dverse stuazon possbl rferbl alla popolazone, è quella meglo sostenuta dalle evdenze emprche. Ipotes statstca:

Dettagli

Trigger di Schmitt. e +V t

Trigger di Schmitt. e +V t CORSO DI LABORATORIO DI OTTICA ED ELETTRONICA Scopo dell esperenza è valutare l ampezza dell steres d un trgger d Schmtt al varare della frequenza e dell ampezza del segnale d ngresso e confrontarla con

Dettagli

VA TIR - TA - TAEG Introduzione

VA TIR - TA - TAEG Introduzione VA TIR - TA - TAEG Introduzone La presente trattazone s pone come obettvo d analzzare due prncpal crter d scelta degl nvestment e fnanzament per valutare la convenenza tra due o pù operazon fnanzare. S

Dettagli

A. AUMENTO DELLA SPESA PUBBLICA FINANZIATO ESCLUSIVAMENTE TRAMITE INDEBITAMENTO

A. AUMENTO DELLA SPESA PUBBLICA FINANZIATO ESCLUSIVAMENTE TRAMITE INDEBITAMENTO 4. SCHMI ALTRNATIVI DI FINANZIAMNTO DLLA SPSA PUBBLICA. Se l Governo decde d aumentare la Spesa Pubblca G (o Trasferment TR), allora deve anche reperre fond necessar per fnanzare questa sua maggore spesa.

Dettagli

Variabili statistiche - Sommario

Variabili statistiche - Sommario Varabl statstche - Sommaro Defnzon prelmnar Statstca descrttva Msure della tendenza centrale e della dspersone d un campone Introduzone La varable statstca rappresenta rsultat d un anals effettuata su

Dettagli

CAPITOLO 3 Incertezza di misura Pagina 26

CAPITOLO 3 Incertezza di misura Pagina 26 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 6 CAPITOLO 3 INCERTEZZA DI MISURA Le operazon d msurazone sono tutte nevtablmente affette da ncertezza e coè da un grado d ndetermnazone con l quale l processo d msurazone

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 5 REGRESSIONE LINEARE

STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 5 REGRESSIONE LINEARE Matematca e statstca: da dat a modell alle scelte www.dma.unge/pls_statstca Responsabl scentfc M.P. Rogantn e E. Sasso (Dpartmento d Matematca Unverstà d Genova) STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. REGRESSIONE

Dettagli

Studio grafico-analitico di una funzioni reale in una variabile reale

Studio grafico-analitico di una funzioni reale in una variabile reale Studo grafco-analtco d una funzon reale n una varable reale f : R R a = f ( ) n Sequenza de pass In pratca 1 Stablre l tpo d funzone da studare es. f ( ) Determnare l domno D (o campo d esstenza) della

Dettagli

Strutture deformabili torsionalmente: analisi in FaTA-E

Strutture deformabili torsionalmente: analisi in FaTA-E Strutture deformabl torsonalmente: anals n FaTA-E Il comportamento dsspatvo deale è negatvamente nfluenzato nel caso d strutture deformabl torsonalmente. Nelle Norme Tecnche cò vene consderato rducendo

Dettagli

Dipartimento di Economia Aziendale e Studi Giusprivatistici. Università degli Studi di Bari Aldo Moro. Corso di Macroeconomia 2014

Dipartimento di Economia Aziendale e Studi Giusprivatistici. Università degli Studi di Bari Aldo Moro. Corso di Macroeconomia 2014 Dpartmento d Economa Azendale e Stud Gusprvatstc Unverstà degl Stud d Bar Aldo Moro Corso d Macroeconoma 2014 1.Consderate l seguente grafco: LM Partà de tass d nteresse LM B A IS IS Y E E E Immagnate

Dettagli

Scelta dell Ubicazione. di un Impianto Industriale. Corso di Progettazione Impianti Industriali Prof. Sergio Cavalieri

Scelta dell Ubicazione. di un Impianto Industriale. Corso di Progettazione Impianti Industriali Prof. Sergio Cavalieri Scelta dell Ubcazone d un Impanto Industrale Corso d Progettazone Impant Industral Prof. Sergo Cavaler I fattor ubcazonal Cost d Caratterstche del Mercato Costruzone Energe Manodopera Trasport Matere Prme

Dettagli

Concetti principale della lezione precedente

Concetti principale della lezione precedente Corso d Statstca medca e applcata 6 a Lezone Dott.ssa Donatella Cocca Concett prncpale della lezone precedente I concett prncpal che sono stat presentat sono: I fenomen probablstc RR OR ROC-curve Varabl

Dettagli

Macchine. 5 Esercitazione 5

Macchine. 5 Esercitazione 5 ESERCITAZIONE 5 Lavoro nterno d una turbomacchna. Il lavoro nterno massco d una turbomacchna può essere determnato not trangol d veloctà che s realzzano all'ngresso e all'uscta della macchna stessa. Infatt

Dettagli

31/03/2012. Collusione (Cabral cap.8 PRN capp. 13-14) Il modello standard. Collusione nel modello di Bertrand. Collusione nel modello di Bertrand

31/03/2012. Collusione (Cabral cap.8 PRN capp. 13-14) Il modello standard. Collusione nel modello di Bertrand. Collusione nel modello di Bertrand Collusone (Cabral cap.8 PRN capp. 13-14) Accord tact o esplct per aumentare l potere d mercato e pratcare prezz pù elevat rspetto all equlbro non cooperatvo corrspondente Esste un vantaggo dalla collusone

Dettagli

PROCEDURA INFORMATIZZATA PER LA COMPENSAZIONE DELLE RETI DI LIVELLAZIONE. (Metodo delle Osservazioni Indirette) - 1 -

PROCEDURA INFORMATIZZATA PER LA COMPENSAZIONE DELLE RETI DI LIVELLAZIONE. (Metodo delle Osservazioni Indirette) - 1 - PROCEDURA INFORMATIZZATA PER LA COMPENSAZIONE DELLE RETI DI LIVELLAZIONE (Metodo delle Osservazon Indrette) - - SPECIFICHE DI CALCOLO Procedura software per la compensazone d una rete d lvellazone collegata

Dettagli

La contabilità analitica nelle aziende agrarie

La contabilità analitica nelle aziende agrarie 2 La contabltà analtca nelle azende agrare Estmo rurale ed element d contabltà (analtca) S. Menghn Corso d Laurea n Scenze e tecnologe agrare Percorso Economa ed Estmo Contabltà generale e cont. ndustrale

Dettagli

Analisi di mercurio in matrici solide mediante spettrometria di assorbimento atomico a vapori freddi

Analisi di mercurio in matrici solide mediante spettrometria di assorbimento atomico a vapori freddi ESEMPIO N. Anals d mercuro n matrc solde medante spettrometra d assorbmento atomco a vapor fredd 0 Introduzone La determnazone del mercuro n matrc solde è effettuata medante trattamento termco del campone

Dettagli

Tutti gli strumenti vanno tarati

Tutti gli strumenti vanno tarati L'INCERTEZZA DI MISURA Anta Calcatell I.N.RI.M S eseguono e producono msure per prendere delle decson sulla base del rsultato ottenuto, come per esempo se bloccare l traffco n funzone d msure d lvello

Dettagli

Esercitazioni del corso di Relazioni tra variabili. Giancarlo Manzi Facoltà di Sociologia Università degli Studi di Milano-Bicocca

Esercitazioni del corso di Relazioni tra variabili. Giancarlo Manzi Facoltà di Sociologia Università degli Studi di Milano-Bicocca Eserctazon del corso d Relazon tra varabl Gancarlo Manz Facoltà d Socologa Unverstà degl Stud d Mlano-Bcocca e-mal: gancarlo.manz@statstca.unmb.t Terza eserctazone Mlano, 8 febbrao 7 SOMMARIO TERZA ESERCITAZIONE

Dettagli

Norma UNI CEI ENV 13005: Guida all'espressione dell'incertezza di misura

Norma UNI CEI ENV 13005: Guida all'espressione dell'incertezza di misura orma UI CEI EV 3005: Guda all'espressone dell'ncertezza d msura L obettvo d una msurazone è quello d determnare l valore del msurando, n altre parole della grandezza da msurare. In generale, però, l rsultato

Dettagli

Newsletter "Lean Production" Autore: Dott. Silvio Marzo

Newsletter Lean Production Autore: Dott. Silvio Marzo Il concetto d "Produzone Snella" (Lean Producton) s sta rapdamente mponendo come uno degl strument pù modern ed effcac per garantre alle azende la flessbltà e la compettvtà che l moderno mercato rchede.

Dettagli

Analisi dei flussi 182

Analisi dei flussi 182 Programmazone e Controllo Anals de fluss Clent SERVIZIO Uscta Quanto al massmo produce l mo sstema produttvo? Quanto al massmo produce la ma macchna? Anals de fluss 82 Programmazone e Controllo Teora delle

Dettagli

4.6 Dualità in Programmazione Lineare

4.6 Dualità in Programmazione Lineare 4.6 Dualtà n Programmazone Lneare Ad ogn PL n forma d mn (max) s assoca un PL n forma d max (mn) Spaz e funzon obettvo dvers ma n genere stesso valore ottmo! Esempo: l valore massmo d un flusso ammssble

Dettagli

* * * Nota inerente il calcolo della concentrazione rappresentativa della sorgente. Aprile 2006 RL/SUO-TEC 166/2006 1

* * * Nota inerente il calcolo della concentrazione rappresentativa della sorgente. Aprile 2006 RL/SUO-TEC 166/2006 1 APAT Agenza per la Protezone dell Ambente e per Servz Tecnc Dpartmento Dfesa del Suolo / Servzo Geologco D Itala Servzo Tecnologe del sto e St Contamnat * * * Nota nerente l calcolo della concentrazone

Dettagli

Relazioni tra variabili: Correlazione e regressione lineare

Relazioni tra variabili: Correlazione e regressione lineare Dott. Raffaele Casa - Dpartmento d Produzone Vegetale Modulo d Metodologa Spermentale Febbrao 003 Relazon tra varabl: Correlazone e regressone lneare Anals d relazon tra varabl 6 Produzone d granella (kg

Dettagli

Economie di scala, concorrenza imperfetta e commercio internazionale

Economie di scala, concorrenza imperfetta e commercio internazionale Sanna-Randacco Lezone n. 14 Econome d scala, concorrenza mperfetta e commerco nternazonale Non v è vantaggo comparato (e qund non v è commerco nter-ndustrale). S vuole dmostrare che la struttura d mercato

Dettagli

La taratura degli strumenti di misura

La taratura degli strumenti di misura La taratura degl strument d msura L mportanza dell operazone d taratura nasce dall esgenza d rendere l rsultato d una msura rferble a campon nazonal od nternazonal del msurando n questone affnché pù msure

Dettagli

EH SmartView. Una SmartView sui rischi e sulle opportunità. Servizio di monitoraggio dell assicurazione del credito. www.eulerhermes.

EH SmartView. Una SmartView sui rischi e sulle opportunità. Servizio di monitoraggio dell assicurazione del credito. www.eulerhermes. EH SmartVew Servz Onlne d Euler Hermes Una SmartVew su rsch e sulle opportuntà Servzo d montoraggo dell asscurazone del credto www.eulerhermes.t Cos è EH SmartVew? EH SmartVew è l servzo d Euler Hermes

Dettagli

Indicatori di rendimento per i titoli obbligazionari

Indicatori di rendimento per i titoli obbligazionari Indcator d rendmento per ttol obblgazonar LA VALUTAZIONE DEGLI INVESTIMENTI A TASSO FISSO Per valutare la convenenza d uno strumento fnanzaro è necessaro precsare: /4 Le specfche esgenze d un nvesttore

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA CON EXCEL

STATISTICA DESCRITTIVA CON EXCEL STATISTICA DESCRITTIVA CON EXCEL Corso d CPS - II parte: Statstca Laurea n Informatca Sstem e Ret 2004-2005 1 Obettv della lezone Introduzone all uso d EXCEL Statstca descrttva Utlzzo dello strumento:

Dettagli

La retroazione negli amplificatori

La retroazione negli amplificatori La retroazone negl amplfcator P etroazonare un amplfcatore () sgnfca sottrarre (o sommare) al segnale d ngresso (S ) l segnale d retroazone (S r ) ottenuto dal segnale d uscta (S u ) medante un quadrpolo

Dettagli

Introduzione al Machine Learning

Introduzione al Machine Learning Introduzone al Machne Learnng Note dal corso d Machne Learnng Corso d Laurea Magstrale n Informatca aa 2010-2011 Prof Gorgo Gambos Unverstà degl Stud d Roma Tor Vergata 2 Queste note dervano da una selezone

Dettagli

Calcolo della caduta di tensione con il metodo vettoriale

Calcolo della caduta di tensione con il metodo vettoriale Calcolo della caduta d tensone con l metodo vettorale Esempo d rete squlbrata ed effett del neutro nel calcolo. In Ampère le cadute d tensone sono calcolate vettoralmente. Per ogn utenza s calcola la caduta

Dettagli

CAPITOLO IV CENNI SULLE MACCHINE SEQUENZIALI

CAPITOLO IV CENNI SULLE MACCHINE SEQUENZIALI Cenn sulle macchne seuenzal CAPITOLO IV CENNI SULLE MACCHINE SEQUENZIALI 4.) La macchna seuenzale. Una macchna seuenzale o macchna a stat fnt M e' un automatsmo deale a n ngress e m uscte defnto da: )

Dettagli

Statistica e calcolo delle Probabilità. Allievi INF

Statistica e calcolo delle Probabilità. Allievi INF Statstca e calcolo delle Probabltà. Allev INF Proff. L. Ladell e G. Posta 06.09.10 I drtt d autore sono rservat. Ogn sfruttamento commercale non autorzzato sarà perseguto. Cognome e Nome: Matrcola: Docente:

Dettagli

2 Modello IS-LM. 2.1 Gli e etti della politica monetaria

2 Modello IS-LM. 2.1 Gli e etti della politica monetaria 2 Modello IS-LM 2. Gl e ett della poltca monetara S consderun modello IS-LM senzastatocon seguent datc = 0:8, I = 00( ), L d = 0:5 500, M s = 00 e P =. ) S calcolno valor d equlbro del reddto e del tasso

Dettagli

Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica finanziaria aa 2012-2013 lezione 13: 24 aprile 2013

Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica finanziaria aa 2012-2013 lezione 13: 24 aprile 2013 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca fnanzara aa 2012-2013 lezone 13: 24 aprle 2013 professor Danele Rtell www.unbo.t/docent/danele.rtell 1/23? reammortamento uò accadere che, dopo l erogazone

Dettagli

Programmazione e Controllo della Produzione. Analisi dei flussi

Programmazione e Controllo della Produzione. Analisi dei flussi Programmazone e Controllo della Produzone Anals de fluss Clent SERVIZIO Uscta Quanto al massmo produce l mo sstema produttvo? Quanto al massmo produce la ma macchna? Lo rsolvo con la smulazone? Sarebbe

Dettagli

Regressione Multipla e Regressione Logistica: concetti introduttivi ed esempi

Regressione Multipla e Regressione Logistica: concetti introduttivi ed esempi Regressone Multpla e Regressone Logstca: concett ntroduttv ed esemp I Edzone ottobre 014 Vncenzo Paolo Senese vncenzopaolo.senese@unna.t Indce Note prelmnar alla I edzone 1 Regressone semplce e multpla

Dettagli

Indici di misurazione del potere di mercato

Indici di misurazione del potere di mercato Indc d msurazone del potere d mercato Metod tradzonal: tass d rendmento, margn e q d Tobn Indc d concentrazone Metod presuntv d Ganmara Martn Introduzone Le teore de mercat concorrenzal e non concorrenzal

Dettagli

Università degli Studi di Urbino Facoltà di Economia

Università degli Studi di Urbino Facoltà di Economia Unverstà degl Stud d Urbno Facoltà d Economa Lezon d Statstca Descrttva svolte durante la prma parte del corso d corso d Statstca / Statstca I A.A. 004/05 a cura d: F. Bartolucc Lez. 8/0/04 Statstca descrttva

Dettagli

GLI ERRORI SPERIMENTALI NELLE MISURE DI LABORATORIO

GLI ERRORI SPERIMENTALI NELLE MISURE DI LABORATORIO GLI ERRORI SPERIMETALI ELLE MISURE DI LABORATORIO MISURA DI UA GRADEZZA FISICA S defnsce grandezza fsca una propretà de corp sulla quale possa essere eseguta un operazone d msura. Msurare una grandezza

Dettagli

Risoluzione quesiti I esonero 2011

Risoluzione quesiti I esonero 2011 Rsoluzone quest I esonero 011 1) Compto 1 Q3 Un azenda a a dsposzone due progett d nvestmento tra d loro alternatv. Il prmo prevede l pagamento d un mporto par a 100 all epoca 0 e fluss par a 60 all epoca

Dettagli

Condensatori e resistenze

Condensatori e resistenze Condensator e resstenze Lucano attaa Versone del 22 febbrao 2007 Indce In questa nota presento uno schema replogatvo relatvo a condensator e alle resstenze, con partcolare rguardo a collegament n sere

Dettagli

* PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE *

* PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE * * PROBABILITÀ - SCHEDA N. LE VARIABILI ALEATORIE *. Le varabl aleatore Nella scheda precedente abbamo defnto lo spazo camponaro come la totaltà degl est possbl d un espermento casuale; abbamo vsto che

Dettagli

Corso AFFIDABILITÀ DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE. Prof. Dario Amodio d.amodio@univpm.it. Ing. Gianluca Chiappini g.chiappini@univpm.

Corso AFFIDABILITÀ DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE. Prof. Dario Amodio d.amodio@univpm.it. Ing. Gianluca Chiappini g.chiappini@univpm. Corso AFFIDABILITÀ DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE Prof. Daro Amodo d.amodo@unvpm.t Ing. Ganluca Chappn g.chappn@unvpm.t http://www.dpmec.unvpm.t/costruzone/home.htm (Ddattca/Dspense) Testo d rfermento: Stefano

Dettagli

Esercitazioni del corso: STATISTICA

Esercitazioni del corso: STATISTICA A. A. 0-0 Eserctazon del corso: STATISTICA Sommaro Eserctazone : Moda Medana Meda Artmetca Varabltà: Varanza, Devazone Standard, Coefcente d Varazone ESERCIZIO : UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO BICOCCA

Dettagli

Moduli su un dominio a ideali principali Maurizio Cornalba versione 15/5/2013

Moduli su un dominio a ideali principali Maurizio Cornalba versione 15/5/2013 Modul su un domno a deal prncpal Maurzo Cornalba versone 15/5/2013 Sa A un anello commutatvo con 1. Indchamo con A k l modulo somma dretta d k cope d A. Un A-modulo fntamente generato M s dce lbero se

Dettagli

L AUTORITÀ PER L ENERGIA ELETTRICA E IL GAS

L AUTORITÀ PER L ENERGIA ELETTRICA E IL GAS Delberazone 20 ottobre 2004 Approvazone delle condzon general d accesso e d erogazone del servzo d rgassfcazone d gnl predsposte dalla socetà Gnl Itala Spa (delberazone n. 184/04) L AUTORITÀ PER L ENERGIA

Dettagli

Analisi e confronto tra metodi di regolarizzazione diretti per la risoluzione di problemi discreti mal-posti

Analisi e confronto tra metodi di regolarizzazione diretti per la risoluzione di problemi discreti mal-posti UNIVERSIA DEGLI SUDI DI CAGLIARI Facoltà d Ingegnera Elettronca Corso d Calcolo Numerco 1 A.A. 00/003 Anals e confronto tra metod d regolarzzazone drett per la rsoluzone d prolem dscret mal-post Docente:

Dettagli

Verifica termoigrometrica delle pareti

Verifica termoigrometrica delle pareti Unverstà Medterranea d Reggo Calabra Facoltà d Archtettura Corso d Tecnca del Controllo Ambentale A.A. 2009-200 Verfca termogrometrca delle paret Prof. Marna Mstretta ANALISI IGROTERMICA DEGLI ELEMENTI

Dettagli

Università degli Studi di Cassino, Anno accademico 2004-2005 Corso di Statistica 2, Prof. M. Furno

Università degli Studi di Cassino, Anno accademico 2004-2005 Corso di Statistica 2, Prof. M. Furno Unverstà degl Stud d Cassno, Anno accademco 004-005 Corso d Statstca, Pro. M. Furno Eserctazone del 5//005 dott. Claudo Conversano Eserczo Ad un certo tavolo d un casnò s goca lancando un dado. Il goco

Dettagli

MODELLISTICA DI SISTEMI DINAMICI

MODELLISTICA DI SISTEMI DINAMICI CONTROLLI AUTOMATICI Ingegnera Gestonale http://www.automazone.ngre.unmore.t/pages/cors/controllautomatcgestonale.htm MODELLISTICA DI SISTEMI DINAMICI Ing. Federca Gross Tel. 059 2056333 e-mal: federca.gross@unmore.t

Dettagli

SU UNA CLASSE DI EQUAZIONI CONSERVATIVE ED IPERBOLICHE COMPLETAMENTE ECCEZIONALI E COMPATIBILI CON UNA LEGGE DI CONSERVAZIONE SUPPLEMENTARE

SU UNA CLASSE DI EQUAZIONI CONSERVATIVE ED IPERBOLICHE COMPLETAMENTE ECCEZIONALI E COMPATIBILI CON UNA LEGGE DI CONSERVAZIONE SUPPLEMENTARE SU UNA CLASSE DI EQUAZIONI CONSERVATIVE ED IPERBOLICHE COMPLETAMENTE ECCEZIONALI E COMPATIBILI CON UNA LEGGE DI CONSERVAZIONE SUPPLEMENTARE GIOVANNI CRUPI, ANDREA DONATO SUMMARY. We characterze a set of

Dettagli

6.1. Moody s KMV Credit Portfolio Manager

6.1. Moody s KMV Credit Portfolio Manager 6.. Moody s MV Credt Portfolo Manager 6... La struttura del modello L mpanto d Moody s MV (MMV) è costtuto dal modello d Merton e da un approcco d tpo fattorale per la stma delle correlazon. Attualmente,

Dettagli

ESERCIZIO 4.1 Si consideri una popolazione consistente delle quattro misurazioni 0, 3, 12 e 20 descritta dalla seguente distribuzione di probabilità:

ESERCIZIO 4.1 Si consideri una popolazione consistente delle quattro misurazioni 0, 3, 12 e 20 descritta dalla seguente distribuzione di probabilità: ESERCIZIO. S consder una popolazone consstente delle quattro msurazon,, e descrtta dalla seguente dstrbuzone d probabltà: X P(X) ¼ ¼ ¼ ¼ S estrae casualmente usando uno schema d camponamento senza rpetzone

Dettagli

{ 1, 2,..., n} Elementi di teoria dei giochi. Giovanni Di Bartolomeo Università degli Studi di Teramo

{ 1, 2,..., n} Elementi di teoria dei giochi. Giovanni Di Bartolomeo Università degli Studi di Teramo Element d teora de goch Govann D Bartolomeo Unverstà degl Stud d Teramo 1. Descrzone d un goco Un generco goco, Γ, che s svolge n un unco perodo, può essere descrtto da una Γ= NSP,,. Ess sono: trpla d

Dettagli

MACROECONOMIA A.A. 2014/2015

MACROECONOMIA A.A. 2014/2015 MACROECONOMIA A.A. 2014/2015 ESERCITAZIONE 2 MERCATO MONETARIO E MODELLO /LM ESERCIZIO 1 A) Un economa sta attraversando un perodo d profonda crs economca. Le banche decdono d aumentare la quota d depost

Dettagli

1. Una panoramica sui metodi valutativi

1. Una panoramica sui metodi valutativi . Una panoramca su metod valutatv La dottrna azendalstca rconosce l esstenza d var metod att a determnare l valore del captale economco d un mpresa. In partcolare, è possble ndvduare tre macro-tpologe

Dettagli

Laboratorio 2B A.A. 2012/2013. Elaborazione Dati. Lab 2B CdL Fisica

Laboratorio 2B A.A. 2012/2013. Elaborazione Dati. Lab 2B CdL Fisica Laboratoro B A.A. 01/013 Elaborazone Dat Lab B CdL Fsca Lab B CdL Fsca Elaborazone dat spermental Prncpo della massma verosmglanza Quando eseguamo una sere d msure relatve ad una data grandezza fsca, quanto

Dettagli

Adattamento di una relazione funzionale ai dati sperimentali

Adattamento di una relazione funzionale ai dati sperimentali Adattamento d una relazone 1 funzonale a dat spermental Sno ad ora abbamo vsto come può essere stmato, con un certo lvello d confdenza, l valore vero d una grandezza fsca (dretta o dervata) con l suo ntervallo

Dettagli

Apprendimento Automatico e IR: introduzione al Machine Learning

Apprendimento Automatico e IR: introduzione al Machine Learning Apprendmento Automatco e IR: ntroduzone al Machne Learnng MGRI a.a. 2007/8 A. Moschtt, R. Basl Dpartmento d Informatca Sstem e produzone Unverstà d Roma Tor Vergata mal: {moschtt,basl}@nfo.unroma2.t 1

Dettagli

Modelli di base per la politica economica

Modelli di base per la politica economica Marcella Mulno Modell d base per la poltca economca Corso d Poltca economca a.a. 22-23 Captolo 2 Modello - e poltche scal e monetare In questo captolo rchamamo brevemente l modello macroeconomco a prezz

Dettagli

Economia del Settore Pubblico 97. Economia del Settore Pubblico 99. Quale indice di diseguaglianza usare? il rapporto interdecilico PROBLEMA:

Economia del Settore Pubblico 97. Economia del Settore Pubblico 99. Quale indice di diseguaglianza usare? il rapporto interdecilico PROBLEMA: Economa del Settore Pubblco Laura Vc laura.vc@unbo.t www.dse.unbo.t/lvc/edsp_.htm LEZIONE 4 Rmn, 9 aprle 008 Economa del Settore Pubblco 96 I prncpal ndc d dseguaglanza: ndc d entropa generalzzata Isprata

Dettagli

Dai circuiti ai grafi

Dai circuiti ai grafi Da crcut a graf Il grafo è una schematzzazone grafca semplfcata che rappresenta le propretà d nterconnessone del crcuto ad esso assocato Il grafo è costtuto da un nseme d nod e d lat Se lat sono orentat

Dettagli

UNA RASSEGNA SUI METODI DI STIMA DEL VALUE

UNA RASSEGNA SUI METODI DI STIMA DEL VALUE UNA RASSEGNA SUI METODI DI STIMA DEL VALUE at RISK (VaR) Chara Pederzol - Costanza Torrcell Dpartmento d Economa Poltca - Unverstà degl Stud d Modena e Reggo Emla Marzo 999 INDICE Introduzone. Il concetto

Dettagli

Capitolo 6 Risultati pag. 468. a) Osmannoro. b) Case Passerini c) Ponte di Maccione

Capitolo 6 Risultati pag. 468. a) Osmannoro. b) Case Passerini c) Ponte di Maccione Captolo 6 Rsultat pag. 468 a) Osmannoro b) Case Passern c) Ponte d Maccone Fgura 6.189. Confronto termovalorzzatore-sorgent dffuse per l PM 10. Il contrbuto del termovalorzzatore alle concentrazon d PM

Dettagli

Hansard OnLine. Unit Fund Centre Guida

Hansard OnLine. Unit Fund Centre Guida Hansard OnLne Unt Fund Centre Guda Sommaro Pagna Introduzone al Unt Fund Centre (UFC) 3 Uso de fltr per la selezone de fond 4-5 Lavorare con rsultat del fltro 6 Lavorare con rsultat del fltro - Prezz 7

Dettagli

Modelli decisionali su grafi - Problemi di Localizzazione

Modelli decisionali su grafi - Problemi di Localizzazione Modell decsonal su graf - Problem d Localzzazone Massmo Paolucc (paolucc@dst.unge.t) DIST Unverstà d Genova Locaton Problems: modell ed applcazon Decson a medo e lungo termne (panfcazone) Caratterstche

Dettagli

LE CARTE DI CONTROLLO

LE CARTE DI CONTROLLO ITIS OMAR Dpartento d Meccanca LE CARTE DI CONTROLLO Carte d Controllo Le carte d controllo rappresentano uno degl struent pù portant per l controllo statstco d qualtà. La carta d controllo è corredata

Dettagli

TITOLO: L INCERTEZZA DI TARATURA DELLE MACCHINE PROVA MATERIALI (MPM)

TITOLO: L INCERTEZZA DI TARATURA DELLE MACCHINE PROVA MATERIALI (MPM) Identfcazone: SIT/Tec-012/05 Revsone: 0 Data 2005-06-06 Pagna 1 d 7 Annotazon: Il presente documento fornsce comment e lnee guda sull applcazone della ISO 7500-1 COPIA CONTROLLATA N CONSEGNATA A: COPIA

Dettagli

FORMAZIONE ALPHAITALIA

FORMAZIONE ALPHAITALIA ALPHAITALIA PAG. 1 DI 13 FORMAZIONE ALPHAITALIA IL SISTEMA DI GESTIONE PER LA QUALITA Quadro ntroduttvo ALPHAITALIA PAG. 2 DI 13 1. DEFINIZIONI QUALITA Grado n cu un nseme d caratterstche ntrnseche soddsfa

Dettagli

METODI BAYESIANI PER IL CONTROLLO STATISTICO DI QUALITA

METODI BAYESIANI PER IL CONTROLLO STATISTICO DI QUALITA Unverstà degl Stud d Bresca Poltecnco d Mlano Unverstà degl Stud d Pava Unverstà degl Stud d Lecce Dottorato d Rcerca n TECNOLOGIE E SISTEMI DI LAVORAZIONE XII CICLO METODI BAYESIANI PER IL CONTROLLO STATISTICO

Dettagli

MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE GLM

MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE GLM MODELLI STOCASTICI DELLA CLASSE GLM S possono consderare GLM con dstrbuzone specfcata o modell con quas-verosmglanza, quest ultm sono modell d tpo semparametrco. Illustramo l loro uso come: strumento d

Dettagli

Calibrazione. Lo strumento idealizzato

Calibrazione. Lo strumento idealizzato Calbrazone Come possamo fdarc d uno strumento? Abbamo bsogno d dentfcare l suo funzonamento n condzon controllate. L dentfcazone deve essere razonalmente organzzata e condvsa n termn procedural: s tratta

Dettagli

Gestione della produzione e della supply chain Logistica distributiva. Paolo Detti Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università di Siena

Gestione della produzione e della supply chain Logistica distributiva. Paolo Detti Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università di Siena Gestone della produzone e della supply chan Logstca dstrbutva Paolo Dett Dpartmento d Ingegnera dell Informazone Unverstà d Sena Struttura delle ret logstche Sstem produttv multstado Struttura logstca

Dettagli

Modelli di variabili casuali

Modelli di variabili casuali Modell d varabl casual Un modello d v.c. è una funzone f() che assoca ad ogn valore d una v.c. X la corrspondente probabltà. Obettvo: calcolo della probabltà per tutt valor che X può assumere Per le v.c.

Dettagli

Controllo e scheduling delle operazioni. Paolo Detti Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università di Siena

Controllo e scheduling delle operazioni. Paolo Detti Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università di Siena Controllo e schedulng delle operazon Paolo Dett Dpartmento d Ingegnera dell Informazone Unverstà d Sena Organzzazone della produzone PRODOTTO che cosa ch ORGANIZZAZIONE PROCESSO come FLUSSO DI PRODUZIONE

Dettagli

Simulazione seconda prova Tema assegnato all esame di stato per l'abilitazione alla professione di geometra, 2006

Simulazione seconda prova Tema assegnato all esame di stato per l'abilitazione alla professione di geometra, 2006 Smulazone seconda prova Tema assegnato all esame d stato per l'abltazone alla professone d geometra, 006 roposte per lo svolgmento pubblcate sul ollettno SIFET (Socetà Italana d Fotogrammetra e Topografa)

Dettagli

Fotogrammetria. O centro di presa. fig.1 Geometria della presa fotogrammetrica

Fotogrammetria. O centro di presa. fig.1 Geometria della presa fotogrammetrica Fotogrammetra Scopo della fotogrammetra è la determnazone delle poszon d punt nello spazo fsco a partre dalla msura delle poszon de punt corrspondent su un mmagne fotografca. Ovvamente, affnché questo

Dettagli

Ottimizzazione nella gestione dei progetti Capitolo 6 Project Scheduling con vincoli sulle risorse CARLO MANNINO

Ottimizzazione nella gestione dei progetti Capitolo 6 Project Scheduling con vincoli sulle risorse CARLO MANNINO Ottmzzazone nella gtone de progett Captolo 6 Project Schedulng con vncol sulle rsorse CARLO MANNINO Unverstà d Roma La Sapenza Dpartmento d Informatca e Sstemstca 1 Rsorse Ogn attvtà rchede rsorse per

Dettagli

Bonus Cap Certificates con sottostante Allianz SE, AXA SA, Assicurazioni Generali S.p.A.

Bonus Cap Certificates con sottostante Allianz SE, AXA SA, Assicurazioni Generali S.p.A. Bonus Cap Certfcates con sottostante Allanz SE, AXA SA, Asscurazon General S.p.A. Dal 7 febbrao fno al 1 marzo solo su ISIN: DE000HV8AKJ8 Sottostante: Allanz SE, AXA SA, Asscurazon General S.p.A. Scadenza:

Dettagli

Il diagramma PSICROMETRICO

Il diagramma PSICROMETRICO Il dagramma PSICROMETRICO I dagramm pscrometrc vengono molto utlzzat nel dmensonamento degl mpant d condzonamento dell ara, n quanto consentono d determnare n modo facle e rapdo le grandezze d stato dell

Dettagli

Fondamenti di Visione Artificiale (Seconda Parte) Corso di Robotica Prof.ssa Giuseppina Gini Anno Acc.. 2006/2007

Fondamenti di Visione Artificiale (Seconda Parte) Corso di Robotica Prof.ssa Giuseppina Gini Anno Acc.. 2006/2007 Fondament d Vsone Artfcale (Seconda Parte PhD. Ing. Mchele Folgherater Corso d Robotca Prof.ssa Guseppna Gn Anno Acc.. 006/007 Caso Bdmensonale el caso bdmensonale, per ndvduare punt d contorno degl oggett

Dettagli

Corso di laurea in Economia marittima e dei trasporti

Corso di laurea in Economia marittima e dei trasporti Unverstà degl stud d Genova Corso d laurea n Economa marttma e de trasport Il problema del cammno mnmo n ret multobettvo Relatrce: Anna Scomachen Canddato: Slvo Vlla Dedcato a: Coloro che n me Hanno sempre

Dettagli

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE STATALE CARLO GEMMELLARO CATANIA PROGRAMMAZIONE DIDATTICA ECONOMIA AZIENDALE A.S.: 2015/2016 Prof Pnzzotto Dana classe 5 b afm Obtv educatv OBTV ddattc trasversal Acqusre

Dettagli