Teoria delle Decisioni

Transcript

1 La teora delle decson Teora delle Decson L oggetto della Decson Theory è la decsone ntesa come scelta tra alternatve Esemp: se ntrodurre o meno d un nuovo prodotto, se rnnovare un mpanto oppure aprrne uno nuovo, se effettuare o meno un nvestmento, d quanto rfornrs per soddsfare una domanda d prodotto,... 3/1/ Decson dagl est non determnstc Le conseguenze d una decsone non sono certe Cas dvers da quell affrontat con metod d ottmzzazone (funzone obettvo = msura certa della prestazone) 1 2 La teora delle decson Un semplce esempo The newsvendor model: Un vendtore d gornal deve decdere d quanto rfornrs Acqusta gornal a 4 e l vende a 7 Non conosce a pror quale sarà la domanda d gornal Se s rfornsce n eccesso perde l nvestmento (4 per nvenduto) Se s rfornsce n dfetto perde potenzal clent (stma per clente) Se ad esempo lvell d domanda fossero d=,1,2,3 Decsone Lvello della domanda La teora delle decson Fas dell anals decsonale (Decson Analyss, DA) Indvduazone delle alternatve A, =1,...,m (mutuamente esclusve) Indvduazone degl event futur (stat della natura) S, =1,...,n (esaustv e mutuamente esclusv) S = S S S = ; Calcolo (stma) degl est della scelta ne dvers stat della natura (payoff) V, =1,...,m; =1,...,n Matrce de Payoff A 1 S 1 V V... A n... V m S n V 1n V mn 4

2 Fas dell anals decsonale Valutazone delle alternatve La teora delle decson La teora delle decson certezza rscho ncertezza Tre class d decson Decson n condzon d certezza lo stato futuro della natura (est della decsone) sono cert Decson n condzon d rscho lo stato futuro della natura è noto n probabltà Decson n condzon d ncertezza non s conosce nulla crca lo stato futuro della natura ProdMx c c var. aleatore p(c ) Imperfezone dell nformazone Inaffdabltà de modell (nsoddsfazone delle soluzon) c {c 1, c 2, c 3 } Sono tre modell artfcal (nella realtà non s verfcano quas ma) S cerca d modellare le stuazon d nformazone mperfetta o parzale Condzon d rscho la probabltà fornsce una msura del rscho d una decson normalmente è una probabltà soggettva (stma) 6 La teora delle decson La teora delle decson Nella realtà fattor soggettv (emotv, avversone al rscho, valutazon non quanttatve) gocano un ruolo fondamentale La teora delle decson fornsce un supporto metodologco per confrontare alternatve decsonal I metod assumono un comportamento razonale del decsore (Decson Maker, DM): Un DM è razonale se scegle l alternatva che gudca la mglore Assunzon della DA: l DM è n grado d quantfcare suo gudz su possbl stat futur della natura (probabltà soggettve) l DM è n grado d specfcare le sue preferenze crca la desderabltà delle alternatve (teora dell utltà) l DM (consstentemente rspetto alle probabltà soggettve e alla propra utltà) scegle l alternatva che massmzza l utltà attesa Decson strutturate e non strutturate Strutturate Certezza Rpettvtà Operatve Obettvo sngolo Procedure dsponbl DM sempre razonal Non strutturate Incertezza Unctà Strategche Obettv multpl contrastant Non esstono procedure DM spesso non razonal Ruolo della DA fornre strument metodologc che autano DM a prendere decson razonal, ossa consstent con loro gudz d preferenza 7 8

3 La teora delle decson Teora delle decson vs Teora de goch S suppongono specfcate le probabltà (soggettve) degl stat futur della natura S basano sulla massmzzazone del valore atteso Nella Game Theory s potzza la presenza d pù DM che operano n competzone la decsone del DM è presa n presenza d enttà ntellgent che agscono n opposzone (tendono a determnare uno stato futuro sfavorevole per l DM) e possono subre a loro volta conseguenze (negatve) n seguto alla decsone del DM Alternatve A, =1,...,m Stat delle natura S, =1,...,n Probabltà d occorrenza degl stat p(s ) Matrce de payoff V (n m) V =[V,=1,...,m =1,...,n] Nella Decson Analyss non esste un enttà che opera n opposzone ma un enttà, la natura, che determna lo stato futuro restando ndfferente rspetto alle decson del DM (l oppostore è la natura che non agsce n modo malevolo) Valore monetaro atteso dell alternatva EV = p(s )V Valore monetaro atteso massmo (EV) EV = max EV A* = { A : = arg max EV } 9 1 Il crtero del massmo EV non è generalmente accettable Esempo 1: decdere un nvestmento Il crtero del massmo EV non è generalmente accettable Esempo 2: una dversa opportuntà d un nvestmento per DM 1 rcavo 1. p=, 8 Investmento d 2. 1-p=, -2 rcavo EV = 3. rcavo 23. p=, 18. Investmento d. 1-p=, - rcavo EV = 6. Guadagno atteso = EV = 3. Due dvers decsor: DM 1 : una perdta >. corrsponde alla bancarotta non nveste DM 2 : dspone d un surplus d captale nveste La decsone dpende dalla dversa propensone del DM a rschare Guadagno atteso = EV = 6. Anche se l EV è molto nferore DM 1 questa volta accetta d nvestre! 11 12

4 Il crtero del massmo EV non è generalmente accettable Perché l crtero del massmo valore atteso monetaro non funzona? S basa sull potes che la stuazone decsonale s possa rpetere un numero suffcente grande d volte: se Z, =1,..n sono le realzzazon d una varable aleatora Z con meda E[Z] e varanza σ 2... la meda della sequenza camponara tende a E[Z] per n dato che la varanza della sequenza σ 2 / n La decsone è presa consderando l utltà attesa L utltà è una msura (cardnale) della preferenza d un DM n presenza d rscho Tene conto de payoff delle alternatve ma anche della dversa avversone o propensone al rscho del DM La funzone d utltà, U(.), fornsce un valore numerco che è legato al valore ntrnseco della decsone per un DM U(.) esprme una msura soggettva: se A > B (A è preferta a B) U(A) > U(B) U(A) è una msura proporzonale alla preferenza del DM per A Il crtero s basa sulla legge de grand numer ma la decsone reale è unca e non può essere rpetuta è determnata fssando l orgne (zero) e la scala de valor d utltà Costruzone della funzone d utltà (l espermento d Von Neumann- Morgenstern) Esempo: A 1 :nvestmento es. 1, A 2 :nvestmento es. 2. La lottera standard (standard lottery) S(p) p=, 8. U(X E ) =1 Scelta p X E U(X E ) EU(A 1 ) = 1-p =, -2. U(X D )= 1-p X D U(X D ) X E è la conseguenza pù desderable (utltà massma) X D è la conseguenza meno desderable (utltà mnma) Data un alternatva A, U(A) s costrusce chedendo al DM d specfcare per quale lvello d p rsulta ndfferente sceglere A o partecpare alla lottera S(p) Scelta EU(A 2 ) = 8 p=, 1-p =, 18. U(X 1 ) =9 -. U(X 2 ) =7 U(A) = EV(S(p)) = pu(x E )+(1-p)U(X D ) 1 16

5 Determnazone dell utltà delle alternatve: n questo caso, l utltà è normalzzata a 1. Altre scelte possono essere adottate, ved n seguto la CME. S nza fssando l utltà delle conseguenze ultme delle vare decson, s procede qund all ndetro determnando l utltà delle vare alternatve: alla conseguenza pù desderable X E è mposta utltà 1; alla conseguenza meno desderable X D è mposta utltà ; alla conseguenza X 1 è mposta utltà 9,.e., l decsore rnuncerebbe a suo 18. EUR solo per partecpare ad una lottera n cu la probabltà d vttora d 8. EUR è 9% e la probabltà d perdere 2. EUR è %; Comment (cont.): alla conseguenza X 2 è mposta utltà 7,.e., l decsore puttosto che perdere con certezza. EUR partecperebbe ad una lottera n cu la probabltà d vttora d 8. EUR è 7% e la probabltà d perdere 2. EUR è l 2%. S not che l DM prefersce perdere con certezza. EUR per probabltà d perdta superore al 2%; data l utltà delle sue possbl conseguenze, l utltà (attesa) dell alternatva A 1 (ved lucd successv) è =.U(X E )+.U(X D ); n modo analogo, l utltà (attesa) dell alternatva A 2 è 8 =.U(X 1 )+.U(X 2 ). (contnua) Esempo: Calcolo utltà A 2. p=, A Scelta 2 1-p =, 18. U(X 1 ) =9 -. U(X 2 ) =7 calcolando la probabltà totale che s verfch 8. e 2. s ottene, l albero seguente. Data la defnzone d utltà alla Von Neumann-Morgenstern, due alber sono equvalent. p=,9 8. U(X 1 ) =9 p=, 1-p =, -2. A Scelta 2 p=, p =, U(X 2 ) =7 1-p =,2-2. Scelta A 2 p=,8 1-p =, per l DM sceglere l alternatva A 2 equvale a sottopors ad una lottera n cu v sa la probabltà p=,8 d vncere 2.EUR e la probabltà 1-p=,1 d perdere 2.EUR. L utltà d A 2 corrsponde qund a,8 ovvero al valore atteso ottenendo medando le utltà d X 1 e X 2. Questo rsultato è vero n generale come s può banalmente provare, mponendo le utltà e le probabltà come de parametr. 19 2

6 Costruzone della funzone d utltà: la CME (Certezza Monetara Equvalente) funzone d utltà X D CME A X E La CME è l massmo valore che l DM è dsposto a pagare per una lottera con probabltà p, ossa con EV par ad A L utltà della CME è uguale alla utltà della lottera 1 p U(CME ) = p U(X E ) + (1-p )U(X D ) retta del valore atteso EV =p X E +(1-p )X D premo d rscho (rsk premum) > n presenza d avversone al rscho 21 Costruzone della funzone d utltà: la CME (Certezza Monetara Equvalente) La CME è anche la mnma somma a cu l DM è dsposto a cedere l drtto a partecpare alla lottera S(p ) Esempo: lottera con prem A e B V U Se p=, EV=p+2(1-p)=21 CME=21 A 1 p B 2 1-p 1, Costruzone della funzone d utltà: L avversone al rscho La curva d utltà ndca l avversone o propensone al rscho del DM DM avverso al rscho DM propenso al rscho (concava) (convessa) Scelta della struttura della funzone d utltà Propretà local d U(x) Per studare le propretà local della funzone utltà s suppone d avere un captale x e d partecpare ad una lottera l cu rsultato è l valore stocastco D defnto da possbl prem d d d, ognuno con probabltà p e dove d è un valore nfntesmo. Sa EV=E{D} =, mentre ovvamente sa var{d} >. L andamento della curva per un DM può varare nel tempo La curva è non decrescente (l utltà cresce con l rtorno) Com è la curva nel caso d ndfferenza al rscho? 23 La certezza monetara equvalente d questa stuazone CME(x+D) è vcno a x (concderebbe con x, se d=) e dpende da var{d}. In potes d avversone al rscho, CME(x+D) dmnusce all aumentare d var{d}. 24

7 Calcolo d CME(x+D) U(CME(x +D)) = Σ U(x+d )p Σ (U(x)+ U (x) d + ½U (x) d 2 ) p = da cu CME(x +D) = U(x)Σ p + U (x)σ d p + ½ U (x)σ d 2 p = U(x) + ½ U (x) var{d} = U -1 (U(x) + ½ U (x) var{d}) x + ½ (U (x) var{d}) / U (x) = x - ½ r(x) var{d} Nella prma equazone s sono approssmat n valor d U(.) con l suo svluppo n sere d Taylor fno al secondo grado n quanto la somma delle component d prmo grado è uguale a. Nella seconda equazone s sono approssmat n valor d U -1 (.) con l suo svluppo n sere d Taylor, tenendo presente che la dervata d una funzone nversa è uguale all nverso della dervata della funzone dretta. La funzone r(x) è detta Pratt-Arrow measure of [absolute] rsk averson. Se l DM è avverso al rscho r(x), n quanto U (x) e U (x). 2 Propretà global d U(x) Dalla soluzone dell equazone dfferenzale U (x) +r(x)u (x) = U(x mn ) = U(x max ) = 1 s ottene la funzone d utltà U(x) desderata. Al varare d r(x) s ottengono funzon d utltà dverse. 26 r(x) = r = costante U(x) = a - b e -rx è ragonevole rtenere che l DM abba la stessa r per lottere dverse se queste convolgono valor paragonabl. r(x) costante mplca che l avversone al rscho del DM non dpende dalla dsponbltà del captale, ma solo dalla varabltà de possbl rsultat della lottera. Equvalentemente: Il DM decde se partecpare a una lottera solo n base alle probabltà de var prem e a loro valor relatv. Il DM rtene che CME d due lottere, cu prem corrspondent hanno le stesse probabltà e hanno valor che dfferscono per una costante Q, a loro volta dfferscono per la stessa costante Q. Esempo, se l DM rtene che vale la pena partecpare ad una lottera con costo 1 dove v è l % d probabltà d rcavare e l % d probabltà d rcavare 2, allo stesso modo rterrà che vale la pena partecpare ad una lottera con costo 1 dove v è l % d probabltà d rcavare 9 e l % d probabltà d rcavare 11. S not che non vale lo stesso ragonamento per valor n proporzone, e.g., costo 1, prem e r(x) decrescente n x r(x) = 1/(x + c) U(x) = a + b log(x + c) r(x) = (1 - α)/(x + c) con <α < 1 U(x) = a + b(1/α)(x+c) α r(x) decrescente n x mplca che l avversone al rscho del DM dmnusce con la maggore dsponbltà del captale. Equvalentemente Il DM dventa meno sensble a possbl varazon del propro captale fnale. Il DM è tanto meno dsponble a pagare un premo d rscho per evtare tal varazon tanto pù pccole sono le varazon rspetto al captale. Esempo, l DM potrebbe rtenere che non vale la pena partecpare ad una lottera con costo 1 dove v è l % d probabltà d rcavare e l % d probabltà d rcavare 2, ma che valga la pena partecpare ad una lottera con costo 1 dove v è l % d probabltà d rcavare 9 e l % d probabltà d rcavare

8 Esempo d stma emprca della curva d utltà Il management della ACME, che s vuole mantenere coerente con le decson A, B, C e D, prese nel passato, deve decdere se accettare l nvestmento E. A B C D E Investmento rchesto Rcavo atteso n caso d successo Probabltà a pror d successo 6% 7% 8% 6% 7% Investmento effettuato o rfutato effettuato rfutato effettuato rfutato da decdere Nell potes che l denaro se non nvestto produca guadagno nullo s può affermare che A B C D Valore monetaro Stma U() 6% 7% 8% 6% Correttezza stma sovrastma sottostma sovrastma sottostma Valore con utltà Valore con utltà 1 Se l denaro potesse essere nvestto anche n altro modo nella colonna valore monetaro s dovrebbe nserre l guadagno prodotto dall nvestmento alternatvo Nell potes ragonevole che s possa usare una r(x) = r per tutt gl nvestment deve valere che Investmento A: U().6U(1) +.4 U(-1) a - b e -r.6(a - b e -1r ) +.4(a - b e 1r ) e -r.6 e -1r +.4 e 1r (*) rsolvendo numercamente la dsequazone (*) s ottene che per ogn r.4, dove.4 è l valore massmo d r per cu la (*) è vera, l utltà d è mnore dell utltà della lottera corrspondente e che qund l nvestmento A vene eseguto. Investmento B: U().7U(1) +.3 U(-1) e -r.7 e -1r +.3 e 1r (**) rsolvendo numercamente la dsequazone (**) s ottene che per ogn r.3, dove.3 è l valore mnmo d r per cu la (**) è vera, l utltà d è maggore dell utltà della lottera corrspondente e che qund l nvestmento B non vene eseguto Investmento C: U().6U(18) +.4 U(-12) e -r.8 e -18r +.1 e 12r r.13 Investmento D: U().6U(4) +.4 U(-3) e -r.7 e -4r +.3 e 3r r.33 Da rsultat ottenut per dvers nvestment s deduce che.3 r.4 Investmento E: s calcola U()=.7U(6) +.2 U(-9) per r, ottenendo r=,9 da cu s deduce che per.3 r.4 s ha U().7U(6) +.2 U(-9). La scelta d effettuare l nvestmento E sarebbe qund coerente con le decson passate

9 Esempo d stma emprca della curva d utltà S stm l valore d r per una funzone d utltà U(x) = a - b e -rx sapendo che l DM rtene β la CME d una lottera cu prem sono dstrbut normalmente con meda µ e devazone standard σ. Deve valere Alber decsonal Formalzzano le decson n condzon d rscho n base al crtero del valore (utltà) attesa (Ipotes: payoff esprmono l utltà del DM) Mettono n evdenza le conseguenze delle decson Utl per studare process decsonal a stad (sequenza d decson) da cu e rβ e rβ = + ( x µ ) 1 2 2σ 2πσ 2 2 rµ + r σ 2 = e 2πσ e e e + ( x ( µ rσ )) 2σ 2 rx dx dx 2( µ β ) r = 2 σ Element: nod d decsone: scelta tra alternatve nod evento: s verfca uno tra pù stat della natura nod termnal: fogle dell albero con assocat valor d guadagno (utltà) determnato dalla catena d decson ed event Alber decsonal Esemp punto d decsone A 1 A m p 1 event p n alternatve c m1... conseguenze... 3 Alber decsonal Esempo la dtta Acme vuole ntrodurre un nuovo prodotto non completamente testato sul mercato l prodotto se ntrodotto troppo n antcpo potrebbe non soddsfare clent perché presenta ancora dfett se Acme attende la concorrenza potrebbe precederla annuncando l propro prodotto rubandole fette d mercato la decsone s svluppa su T=3 perod (e.g., mes) sono stat stmant per t=1,...,t: r t proftto se Acme mmette l prodotto prma della concorrenza g t proftto se Acme mmette l prodotto nseme alla concorrenza h t proftto se Acme mmette l prodotto dopo la concorrenza supponamo che r t > g t > h t (anche se per t=1 potrebbe non valere) 36

10 Alber decsonal Esempo p t la probabltà (soggettva stmata) che la concorrenza annunc l prodotto sul mercato nel perodo t Acme ha decso d mmettere l prodotto comunque se la concorrenza annunca l propro mmssone non mmssone annunco p 1 1-p 1 non annunco p 1 1-p 1 g 1 r 1 h 1 37 Alber decsonal Esempo f 1 S calcola l EV e lo s assoca ad ogn nodo evento S calcola l massmo EV tra nod evento e lo s assoca al nodo decsone mm. non mm. EV mm EV non mm annunco p 1 1-p 1 non annunco p 1 1-p 1 g 1 r 1 h 1 EV mm =p 1 g 1 +(1-p 1 )r 1 EV non mm =p 1 h 1 f 1 =max [EV mm, EV non mm ] 38 Alber decsonal Esempo: T=3 perod e per t=3 s stma che la concorrenza annuncerà certamente EV mm annunco p 1 g 1 Alber decsonal Esempo S procede a rtroso dallo stado 3 (backward come per la P.D.) f 1 mm. 1-p 1 non annunco r 1 p 2 g 2 mm. p 3 g 3 EV 3 = p 3 g 3 EV n 3 =p 3 h 3 non mm. EV non mm p 1 1-p 1 h 1 f 2 non mm. mm. 1-p 2 p 2 r 2 h 2 mm. p 3 g 3 f 3 non mm. p 3 h 3 p 3 = 1 f 3 = max [EV 3, EVn 3 ]= g 3 1-p 2 f3 p 3 non mm. h

11 Alber decsonal Esempo Per t=2 Alber decsonal Esempo Per t=1 p 1 g 1 mm. p 2 1-p 2 g 2 r 2 EV 2 = p 2 g 2 + (1- p 2 )r 2 EV n 2 = p 2 h 2 + (1- p 2 )f 3 = p 2 h 2 + (1- p 2 )g 3 f 1 mm. 1-p 1 r 1 EV 1 = p 1 g 1 + (1- p 1 )r 1 EV n 2 = p 1 h 1 + (1- p 1 )f 2 f 2 non mm. p 2 h 2 f 2 = max [EV 2, EVn 2 ] non mm. p 1 1-p 1 h 1 f 1 = max [EV 1, EVn 1 ] 1-p 2 f3 f Alber decsonal Il valore atteso della perdta d opportuntà (Expected Opportunty Loss, EOL) Esempo: caso numerco Consdera la perdta rspetto l massmo guadagno possble f 3 h 1 =4 1 9 ( mm.) = max h 2 =7 1 8 ( non mm.) h 3 =8,4 8+,6 1= 92 ( mm.) f2 = max,4 7+,6 9 = 84 ( non mm.),2 +,8 6= 8 ( mm.) f1 = max,2 4+,8 92= 81,6 ( non mm.) g 1 = g 2 =8 g 3 =9 r 1 =6 r 2 =1 p 1 =,2 p 2 =,4 p 3 =1 L = V max V dove V max = max V EOL = EOL n = 1 * = p( S ) L mn EOL 43 44

12 Il valore atteso della perdta d opportuntà (Expected Opportunty Loss, EOL) Esempo V mm. non mm. ann. p=,4 g 1 = h 1 =4 non ann. 1-p=,6 r 1 =6 EV * = max [,4 +,6 6;,4 4] = 6 (mm.) L mm. non mm. ann. p=,4 1 non ann. 1-p=,6 6 EOL * = mn [;,4 1+,6 6] = (mm.) Il valore atteso della perdta d opportuntà (Expected Opportunty Loss, EOL) Due osservazon: Il crtero del massmo EV e del mnmo EOL fornscono sempre la medesma soluzone Nell esempo l problema decsonale era d semplce soluzone perché l alternatva mmettere era domnante! Nella DA le alternatve domnate possono essere escluse Defnzone A è domnata se esste una A k, k, tale che V V k e vale V <V k per almeno un 4 46 Esempo: la scelta se prendere o meno l ombrello Il valore atteso della nformazone perfetta (Expected Value of Perfect Informaton, EVPI) L nformazone perfetta è quella che permetta al DM d sceglere l alternatva pù convenente n funzone dello stato d natura che s verfca Normalmente una decsone vene presa a pror,.e., prma che accadano gl event che nfluenzeranno le concluson Essendo dsponble l nformazone perfetta è come se la decsone vensse presa a posteror,.e., a valle dell occorrenza degl event casual. pove (p=,4) ombrello non pove EV=,8 (p=,6) pove non ombrello non pove -2-1 Decsone con nformazone perfetta 7 Decsone senza nformazone perfetta EV PI =6,2 pove (p=,4) ombrello non ombrello ombrello non pove (p=,6) non ombrello Per stablre l valore dell nformazone perfetta è necessaro stablre a pror tutt gl event mutuamente esclusv che s possono realzzare n natura e che nfluenzerebbero la decsone. In questo caso pove/non pove. 48

13 Il valore atteso della nformazone perfetta (Expected Value of Perfect Informaton, EVPI) Il valore atteso della nformazone perfetta (Expected Value of Perfect Informaton, EVPI) Sfruttando l nformazone perfetta ottengo l massmo guadagno (utltà) possble Il valore atteso con l nformazone perfetta (EV PI, Expected Value wth Perfect Informaton) rspetto agl stat d natura S rsulta essere: EV PI = = 1 Quanto vale l nformazone perfetta (quanto al massmo sare dsposto a pagarla)? n p ( S ) V EVPI = EV PI max EV Quanto sarà dsposta a pagare l Acme una spa ndustrale che le vendesse l nformazone su cò che farà la concorrenza? f3 = 1 max f 2 =,4 max +,6 max = f 1 6 =,2 max +,8 max = 83, Nell esempo EVPI = 6,2 -,8 =,4 EVPI = EV EV PI = 83,6 81,6 = 2 49 Esempo: S consder l problema proposto dal prof. Beasley n e rportato nel lucdo seguente. In partcolare: S determn la decsone ottma n base all EV. S determn noltre la decsone ottma n presenza d nformazone perfetta e qund s calcol l valore EV PI. 1 Your company s consderng whether t should tender for two contracts (MS1 and MS2) on offer from a government department for the supply of certan components. The company has three optons: tender for MS1 only; or tender for MS2 only; or tender for both MS1 and MS2. If tenders are to be submtted the company wll ncur addtonal costs. These costs wll have to be entrely recouped from the contract prce. The rsk, of course, s that f a tender s unsuccessful the company wll have made a loss. The cost of tenderng for contract MS1 only s,. The component supply cost f the tender s successful would be 18,. The cost of tenderng for contract MS2 only s 14,. The component supply cost f the tender s successful would be 12,. The cost of tenderng for both contract MS1 and contract MS2 s,. The component supply cost f the tender s successful would be 24,. For each contract, possble tender prces have been determned. In addton, subectve assessments have been made of the probablty of gettng the contract wth a partcular tender prce as shown below. Note here that the company can only submt one tender and cannot, for example, submt two tenders (at dfferent prces) for the same contract. Opton Possble Probablty tender of gettng prces ( ) Contract MS1 only 13,.2 11,.8 MS2 only 7,.1 6,.8 6,.9 MS1 and MS2 19,. 14,.6 In the event that the company tenders for both MS1 and MS2 t wll ether wn both contracts (at the prce shown above) or no contract at all. 2

14 MS1 EV = 32,4 EV = 32,4 MS1 & 2 MS2 EV = -27,6 TP = 13 TP = 11 EV = 32,4 TP = 7,8 EV = 28,4 EV = 31,6 TP = 6,8 EV = 2,4 TP = 6 EV = -,3 EV = 31,6 EV = -46,7 TP = 19 TP = 14 EV = 2,4,2,8,8,1,1,2,9,,,9,6, Determnazone decsone ottma sulla base d probabltà soggettve. TP = Tender Prce EV = Expected Monetary Value 3 Pass da esegure per l calcolo a rtroso dell EV PI : S calcolano gl EV PI assocat alle decson d secondo lvello (le offerte da proporre avendo scelto d partecpare ad un tender specfco) Al prmo lvello s scegle l massmo degl EV PI d secondo lvello. 4 Pass da esegure per l calcolo d EVPI seconda decsone avendo scelto d partecpare al tender MS1: Defnzone della matrce d payoff: alternatve: prezz de tender TP = 13, TP = 11, TP = ; stat della natura (event mutuamente esclusv che nfluenzano le concluson della decsone): dsponbltà del clente ad accettare un TP,.e., dsponbltà ad accettare un TP=13, dsponbltà ad accettare un TP=11, ma non un TP=13, dsponbltà ad accettare solo TP <11. Ovvamente se l clente è dsposto ad accettare un dato TP s può offrre tale TP o un TP d valore mnore con la certezza d vncere l tender. Matrce de payoff TP = 13 TP = 11 TP = * clente accetta TP=13 o mnore clente accetta TP=11 o mnore, ma non TP= clente accetta solo TP<11, ma non TP=11 L alternatva TP= è domnata e qund non verrà pù consderata (né è rportata nell albero decsonale). In rosso le scelte ottme n caso d nformazone perfetta dsponble

15 Calcolo delle probabltà d realzzazone d uno degl stat della natura (event futur): Il clente accetta TP=13 (o mnore) con probabltà p 13 =,2, nfatt la probabltà a pror d vncere l tender offrendo un TP=13 appare, da dat del problema, essere uguale a,2 Il clente accetta solo TP<11, ma non TP=11 o maggor con probabltà p =,1, nfatt la probabltà a pror d perdere l tender offrendo un TP=11 appare essere uguale a,1 Il clente accetta TP=11 o mnore, ma non TP=13, con probabltà p 11 =,6. Da dat del problema s evnce nfatt che la probabltà a pror d vncere l tender offrendo un TP=11 appare essere uguale a,8. In tale stuazone però s deve anche comprendere l caso n cu l clente avrebbe accettato un TP=13, che però non gl è stato proposto. La probabltà è qund ottenuta come segue p 11 =,8,2 7 Calcolo delle probabltà d realzzazone d uno degl stat della natura (contnuazone) funzone d dstrbuzone della probabltà che l clente accett un offerta d valore x probabltà che l clente rfut un TP=11,1 probabltà che l clente rfut un TP=13, ma accett un TP=11, ,2 probabltà che l clente accett un TP=13 valore offerta NB: l area sottesa dalla curva tra 11 e nfnto (uguale a,8) ndca la probabltà che l clente accett un TP=11 8 Seconda decsone, avendo scelto d partecpare al tender MS1, n assenza d nformazone perfetta. EV = -27,6 TP = 13,2 62 EV = 32,4,8-47 MS1,8 TP = 11 EV = 32,4,1 - Seconda decsone, avendo scelto d partecpare al tender MS1, n presenza d nformazone perfetta.,2 EV p = 3,4,6 MS1,1 TP = TP = 11 TP = 13 - TP = TP = 13 - Anals a rtroso del nuovo albero: Se fosse noto che l clente è dsposto ad accettare un TP=13 certamente s proporrebbe tale valore per l TP Se fosse noto che l clente è dsposto ad accettare un TP=11, ma non un TP=13, certamente s proporrebbe l TP=11 Se fosse noto che l clente non è dsposto ad accettare nemmeno un TP=11 s perderebbero n ogn caso le K gà nvestte TP =

16 Calcolo del valore dell nformazone perfetta: quando s calcola l valore dell nformazone perfetta, non s conosce ancora l contenuto dell nformazone (ovvero quale stato d natura s realzzerà), però s suppone che al momento della decsone tale nformazone sarà dsponble e che qund sarà scelta l alternatva mglore. Nell esempo s osserva che: Con p 13 =,2, al momento della decsone, sarà noto che l clente sarà dsponble ad accettare un TP=13 e qund s offrrà un TP=13 Con p 11 =,6, al momento della decsone, sarà noto che l clente sarà dsponble ad accettare un TP=11, ma non un TP=13, e qund s offrrà un TP=11 Con p =,1, al momento della decsone, sarà noto che l clente non sarà dsponble ad accettare nemmeno un TP=11, e Con p 13 =,6, al momento della decsone, sarà noto che l clente sarà dsponble ad accettare un TP=11, ma non un TP=13, e qund s offrrà un TP=11 sapendo che s perderà comunque l tender 61 Successve rduzon dell albero ottenuto con l nformazone perfetta, supposto che la prma decsone sa d partecpare al tender MS1. MS1 MS1 3,4,2,1, MS1 EV = 36,3 EV p = 3,4 MS1 & 2 EV p = 36,3 MS2,2,1,1,,,6,6, TP = 13 TP = 11 TP = 11 TP = 7 TP = 6 TP = 6 TP = 6 TP = 19 Albero decsonale che s ottene applcando ragonament precedent a var tender, avendo gà scelto la seconda decsone ottma una volta nota l nformazone perfetta. Fno a questo momento s è supposto d potere accedere all nformazone perfetta solo dopo avere preso la decsone. C s è rvolt al consulente solo per decdere l offerta da compere. S può nvece supporre d accedere all nformazone perfetta anche prma d prendere la prma decsone. C s rvolge al consulente per decdere l tender a cu partecpare e l offerta da compere. S devono analzzare tutt gl stat d natura mutualmente esclusv che s possono realzzare e stablre per ognuno d ess la decsone ottma da compere e la probabltà che s realzz. EV p = 22,9,3, TP = 14 TP =

17 Stat d natura che s possono realzzare (decson conseguent). Il clente (la natura) può essere dsponble a: 1. accettare offerta 13 per MS1, accettare offerta 7 per MS2, accettare offerta 19 per MS1&2 (s scegle qund d partecpare al tender MS1&2 con offerta 19 proftto 111) 2. accettare offerta 13 per MS1, accettare offerta 7 per MS2, accettare offerta 14 ma non 19 per MS1&2 (s scegle qund d partecpare al tender MS1 con offerta 13 proftto 62) 3. accettare offerta 13 per MS1, accettare offerta 7 per MS2, non accettare nemmeno offerta 14 per MS1&2 (s scegle qund d partecpare al tender MS1 con offerta 13 proftto 62) 4. accettare offerta 13 per MS1, accettare offerta 6 ma non 7 per MS2, accettare offerta 19 per MS1&2 (s scegle qund d partecpare al tender MS1 con offerta 13 proftto 62) non accettare nemmeno offerta 11 per MS1, non accettare nemmeno offerta 6 per MS2, non accettare nemmeno offerta 14 per MS1&2 (s scegle qund d non partecpare ad alcun tender con proftto ) Non sempre è possble calcolare probabltà de dvers stat d natura realzzabl sulla base delle nformazon nzalmente dsponbl a meno d non fare potes che a volte possono rsultare dscutbl. S consderno ad esempo l seguent stat: dsponbltà del clente ad accettare offerta 13 per MS1, accettare offerta 7 per MS2, accettare offerta 19 per MS1&2. Se s rtengono le decson del clente ndpendent tra loro, la probabltà dello stato è p 1 =.2.1. =.1 dsponbltà del clente ad accettare offerta 13 per MS1, accettare offerta 7 per MS2, accettare offerta 14 ma non 19 per MS1&2. Se s rtengono le decson del clente ndpendent tra loro, la probabltà dello stato è p 2 = =.18. In questo caso questo l potes d ndpendenza delle decson è dscutble n quanto è strano che l clente sa dsposto a pagare 2 per due tender separat, ma non a pagare 19 per l tender MS1& Le probabltà de dvers stat dovrebbero essere valutate caso per caso n base alle nformazon sulla natura (ad esempo s può supporre che l clente sa razonale). In partcolare la probabltà d uno stato d natura caratterzzato dalla realzzazone d tre event, e.g., A, B e C, dovrebbe essere calcolato n base alle probabltà condzonate, come ad esempo P(ABC) = P(C)P(B C)P(A BC), non n base alla formula P(ABC) = P(C)P(B)P(A). In dat dsponbl e le potes sulla razonaltà del clente però non sono sempre suffcent a determnare, nemmeno utlzzando Bayes, le probabltà condzonate rcheste. Supposto d essere rusct a calcolare le probabltà de dvers stat e l valore della decsone ottma n ognuno degl stat s può po calcolare l valore EV p e qund EVPI. Il valore atteso della nformazone camponara (Expected Value of Sample Informaton, EVSI) L nformazone perfetta non è dsponble Se EVPI è non trascurable s può valutare l opportuntà d acqusre nformazone su qual alternatve sceglere Indagne d mercato (I): IE = l ndagne ha esto E S valuta (sulla base d analoghe ndagn passate) la probabltà che l nformazone acqusta suggersca una alternatva quando s verfca uno certo stato p(ie S ) 67 68

18 Esempo: la scelta se prendere o meno l ombrello Il valore atteso della nformazone camponara (contnua) Normalmente una decsone vene presa a pror,.e., prma che accadano gl event che nfluenzeranno le concluson Con l nformazone camponara la decsone avvene a valle d un ndagne camponara, da cu rsultat (casual) s possono prevedere con maggore precsone gl event (stat d natura) che accadranno. 69 pove (p=,4) ombrello non pove (p=,6) EV=,8 pove non ombrello non pove Decsone senza nformazone camponara Decsone con nformazone camponara EV SI prevson pogga prevson no pogga ombrello non ombrello ombrello non ombrello pove non pove pove non pove pove non pove pove non pove Le dffcoltà nella valutazone del EV SI consstono nel determnare: Le probabltà a pror P(IE ) che s verfch un determnato esto IE dall ndagne camponara Le probabltà condzonate P(S IE ) che accada l evento S,.e., che s realzz lo stato S, dato che l ndagne camponara ha dato esto IE,.e., P(S IE ) sono le probabltà degl stat della natura condzonate agl est dell ndagne (a posteror) Da dat storc è però facle dedurre le probabltà a pror degl stat d natura P(S ) e le probabltà a posteror P(IE S ) del realzzars d un esto IE dato che s verfca lo stato S Dall applcazone del teorema d Bayes è po possble dedurre le probabltà desderate Esempo: la scelta se prendere o meno l ombrello Probabltà a pror degl stat d natura P(S ): P(pove) =.4 P(non pove) =.6 Le probabltà a pror P(S ) possono, e.g., essere dedotte dal rapporto tra l numero d gornate povose e l numero delle gornate total del mese che s sono verfcate nello stesso perodo d osservazone negl ann precedent Probabltà condzonate P(IE S ): P(prevsone pogga pove) =.9 P(prevsone pogga non pove) =.2 P(prevsone no pogga pove) =.1 P(prevsone no pogga non pove) =.8 Le probabltà condzonate P(IE S ) possono anche esse dedurs faclmente, e.g., verfcando quante volte nel passato le prevson (est ndagne) erano state corrette 71 72

19 Esempo: la scelta se prendere o meno l ombrello Esempo: la scelta se prendere o meno l ombrello Applcando Bayes s ottene: Probabltà a pror degl est dell ndagne P(IE ) = Σ P(IE S ) P(S ): P(prevsone pogga) = =,48 P(prevsone no pogga) = =,2 Probabltà condzonate P(S IE ) = P(IE S ) P(S )/P(IE ) P(pove prevsone pogga) =.9.4 /.48 =.7 P(pove prevsone no pogga) =.1.4 /.2 =.8 P(non pove prevsone pogga) =.2.6 /.48 =.2 P(non pove prevsone no pogga) =.8.6 /.2 =.92 prevson pogga,.48 EV SI =4.2 prevson no pogga,.2 ombrello EV non pove,.2 SI =3.2 EV SI =.69 non ombrello ombrello non ombrello pove, EVSI = = 3.72 SIE = EVSI/EVPI = Il valore atteso della nformazone camponara (Expected Value of Sample Informaton, EVSI) Rassunto formale Il valore atteso della nformazone camponara (Expected Value of Sample Informaton, EVSI) S devono valutare EV SI (valore monetaro atteso con nformazone camponara) s valuta aggornando le probabltà a pror degl stat della natura n base agl est dell ndagne IE p(ie ) le prob. a pror degl est dell ndagne p(s IE h ) le prob. degl stat condzonate agl est dell ndagne (a posteror) EV SI = m = 1 p( IE ) EVSI EV SI = = 1 dove EV SI è l valore atteso della mglore decsone che s può prendere a valle dell esto IE e V è l valore della mglore decsone che s può n p( S IE ) V Probabltà Totale Teorema d Bayes p( IE ) = p( S m = 1 p( IE p( IE IE ) = S ) p( S ) S ) p( S ) p( IE ) prendere a valle dell esto IE e della realzzazone dello stato S 7 76

20 Il valore atteso della nformazone camponara (Expected Value of Sample Informaton, EVSI) Il valore atteso della nformazone camponara (Expected Value of Sample Informaton, EVSI) S ottene EV = = SI m = = 1 = 1 = 1 = 1 m = 1 = 1 p( IE ) n m p( IE ) p( IE n n p( IE S ) p( S p( S ) V IE ) V S ) p( S p( IE ) ) V = Il valore atteso dell nformazone camponara EVSI = EV SI - EV Effcenza dell nformazone camponara (Sample Informaton Effcency, SIE) SIE = EVSI/EVPI SIE Un eserczo Un eserczo Valutare 4 tp d nnovazone tecnologca d un prodotto a fronte d 3 possbl scenar futur della domanda, le cu probabltà a pror sono p bassa =,1 p meda =, p alta =,4. Valutare l opportuntà d esegure o meno un test sul possble scenaro d mercato avendo nformazon storche sulla probabltà degl est del test dat gl stat della natura Guadagn (utltà) Decson\Domanda A B Bassa 2 2 Meda 3 3 Alta 6 4 Test Mercato\Domanda Bassa p(t h /S ) Meda Alta C D Favorevole Invarato Sfavorevole

21 D.A. Decson n condzon d ncertezza D.A. Decson n condzon d ncertezza Crtero MAXIMIN Non sono dsponbl le nformazon sulla probabltà degl stat futur della natura Atteggamento pessmsta del DM: massmzza l payoff nel caso pù sfavorevole Crter decsonal f(v): f(v) = max mn V MAXIMIN MAXIMAX Hurwcz Laplace (equprobabltà) Problem: Scarso uso dell nformazone dsponble Mopa (ncapactà d valutare un compromesso) D.A. Decson n condzon d ncertezza D.A. Decson n condzon d ncertezza Crtero MAXIMAX Atteggamento ottmsta del DM: massmzza l payoff nel caso pù favorevole Crtero d Hurwcz Un compromesso tra MAXIMIN e MAXIMAX espresso da un parametro α (MAXIMAX) α 1 (MAXIMIN) f(v) = max max V f(v) = max (α mn V + (1- α) max V ) Problem: Gl stess del MAXIMIN 83 84

22 D.A. Decson n condzon d ncertezza D.A. Decson n condzon d ncertezza Crtero d Laplace (equprobabltà) S consderano equprobabl gl stat della natura e s scegle secondo l massmo valore atteso s pone s scegle p(s ) = 1/n f(v) = max p(s )V Esempo Il problema della selezone della tecnologa Guadagn (utltà) Decson\Domanda Bassa Meda Alta A B C D D è domnata da C!!! 8 86 D.A. Decson n condzon d ncertezza D.A. Decson n condzon d ncertezza Esempo Il problema della selezone della tecnologa (s scelga, ad esempo, α =.4 per algortmo d Hurwcz) Anals d senstvtà Break Even Pont Nel caso d 2 event s può analzzare l andamento della decsone n funzone della probabltà Ad esempo Dec.\Dom. A B C Guadagn (utltà) Bassa Meda Alta MAXIMIN MAXIMAX α= Equp Decson Stat della Natura S 1 (p) V 31 S 2 (1-p) A 1 V 11 V 12 A 2 V 21 V 22 A 3 V 32 A 4 V 41 V 42 EV(A ) = pv 1 + (1-p)V

23 D.A. Decson n condzon d ncertezza Anals d senstvtà Break Even Pont Grafcamente EV(A ) = pv 1 + (1-p)V 2 Break Even Pont V 22 V 12 V 42 A 2 A 1 A 4 V 41 V 11 V 21 V 32 V 31 Obettv Multpl 1 p 89 9 Obettv Multpl I problem real, soprattutto n presenza d pù decsor, presentano spesso crter d valutazone delle soluzon (obettv) multpl; spesso tal crter sono dscord non è qund possble agre n modo che possano essere tutt soddsfatt al meglo; dvers approcc sono possbl per superare tale dffcoltà: combnazone pesata degl obettv, approcco lesscografco (o dsguntvo) approcco conguntvo, approcco della marca deale. Esempo d rfermento S consder l seguente problema d programmazone lneare con due obettv max z = x 1 + 6x 2 +3x 3 max w = 1x 2 2x 1 + 4x 2 + x 3 1 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 23 x 1 + 3x 2 + x 3 18 x la soluzone determnata dovrà comunque essere Pareto ottma

24 Esempo d rfermento Se s ottmzzano separatamente due obettv con l smplesso s ottene max z = x 1 + 6x 2 +3x 3 2x 1 + 4x 2 + x 3 1 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 23 z* = 38 w= x 1 + 3x 2 + x 3 18 x Combnazone pesata degl obettv Per ottenere un unca soluzone s può usare la combnazone pesata degl obettv quando è possble quantfcare (ad esempo monetzzando) l mportanza relatva de dvers obettv. E.g., s supponga che ottmzzare l obettvo z sa due volte pù mportante che ottmzzare w. S gunge a max w = 1x 2 2x 1 + 4x 2 + x 3 1 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 23 z= 22, w* = 37, x 1 + 3x 2 + x 3 18 x alle due soluzon corrspondono ovvamente dvers valor delle x e qund non può essere presa una decsone che soddsf entrambe gl obettv, bsogna gungere ad un compromesso e sceglere uno de punt della frontera d Pareto. 93 max 2(x 1 + 6x 2 +3x 3 ) + 1(1x 2 ) 2x 1 + 4x 2 + x 3 1 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 23 z* = 38 w= 11,66 x 1 + 3x 2 + x 3 18 x In questo caso z non è dmnuto rspetto all ottmo, ma n generale cò potrebbe avvenre. 94 Approcco lesscografco Per ottenere un unca soluzone s può usare l approcco lesscografco quando è possble stablre una precsa gerarcha d domnanze tra gl obettv. E.g., s supponga che ottmzzare l obettvo z sa pù mportante che ottmzzare w, se però c sono soluzon equvalent s scelgono quelle che ottmzzano w. S ottmzza qund prma rspetto a z e s ottene z* = 38, qund s mpone che tale condzone sa rspettata e s ottmzza rspetto a w, gungendo a max 1x 2 2x 1 + 4x 2 + x 3 1 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 23 z* = 38 w= 11,66 x 1 + 3x 2 + x 3 18 x 1 + 6x 2 +3x 3 = 38 x 9 Approcco conguntvo Per ottenere un unca soluzone s può usare l approcco conguntvo quando è possble stablre una sogla mnma d soddsfacmento che deve essere rspettata da tutt gl obettv. In pratca tutt gl obettv vengono trasformat n vncol. E.g., s supponga che sa z che w debbano valere almeno 2. S può po ottmzzare rspetto ad uno qualunque o ad una combnazone degl obettv, gungendo, e.g., a max x 1 + 6x 2 +3x 3 2x 1 + 4x 2 + x 3 1 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 23 z = 3 w= 2 x 1 + 3x 2 + x 3 18 x 1 + 6x 2 +3x x 2 2 x In questo caso obettv sono dventat vncol, col rlassamento lagrangano vncol dventano obettv. 96

25 Approcco della marca deale Obettv Multpl: esempo grafco I Per ottenere un unca soluzone s può usare l approcco della marca deale quando è possble stablre valor deal da cu c s vuole allontanare l meno possble. E.g., valor ottm per l problema sono z*= 38 che w*= 37,. S può qund mnmzzare una norma gungendo a mn 38 (x 1 + 6x 2 +3x 3 ) + 37, 1x 2 2x 1 + 4x 2 + x 3 1 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 23 z = 26,6 w= 3,6 x 1 + 3x 2 + x 3 18 x S consder l seguente problema max z = x 1 + 3x 2 max w = 3x 1 + x 2 -x 1 + x 2 4 x 1 + x 2 8 2x 1 + x 2 12 x 1 x 4 (2,6), soluzone ottma per z (,2), soluzone ottma per w Se la norma scelta è quella 1, l approcco equvale a quello della combnazone pesata degl obettv. Se la norma è nfnto s gunge all approcco lesscografco. D solto s usa l quadrato della norma 2 ( rsultat ndcat sono rfert a tale caso) Obettv Multpl: esempo grafco I Obettv Multpl: esempo grafco II 4 faccette (2,6) - (4,4) e (4,4) - (,2), soluzon pareto ottme combnazone conca (o, come n questo caso, convesso) delle funzon obettvo max a( x 1 + 3x 2 ) + b(3x 1 + x 2 ) e.g., con a, b, a + b = 1 4 soluzone ottma per 1/2 a 1 soluzone ottma per 1/6 a 1/2 soluzone ottma per a 1/6 S consder l seguente problema max z = x 1 + x 2 max w = 3x 1 + x 2 -x 1 + x 2 4 x 1 + x 2 8 2x 1 + x 2 12 x 1 x 4 faccetta (2,6) - (4,4), soluzon ottme per z, z* = 8 (,2), soluzone ottma per w, w* =

26 Obettv Multpl: esempo grafco II Obettv Multpl: esempo grafco II faccetta (2,6) - (4,4), soluzon ottme per z 4 faccetta (4,4) - (,2), soluzon pareto ottme (4,4), soluzone lesscografca, consderando prma la funzone obettvo z (,2), soluzone lesscografca, consderando prma la funzone obettvo w (,2), soluzone ottma per funzone obettvo w Obettv Multpl: esempo grafco II nseme soluzon per cu z = 7. (4.,3), soluzone conguntva, mponendo che l valore dell obettvo z sa almeno 7. e massmzzando l obettvo w Esercz 1. Valutare per punt la propra funzone d utltà tra gl e 1 EUR. 2. S stm l valore d r per una funzone d utltà U(x) = a - b e -rx sapendo che l DM rtene β la CME d una lottera cu prem sono dstrbut unformemente tra γ e δ. 3. I dat storc d una azenda ndcano che nel passato recente sono stat effettuat gl seguent nvestment rportat n tabella. Stmare la funzone d utltà del management azendale con una funzone esponenzale a-be -rx soluzone d dstanza quadratca mnma rspetto alla marca deale A A captale nvestto probabltà successo nvestmento valore fnale nvestmento se v è successo valore fnale se non v è successo 198, , , , ,9 12,

27 Esercz 3. Dato un captale d 1 EUR s possono possono effettuare due tp d nvestmento. Il prmo nvestmento ha una probabltà d successo d, e, nel caso cò accada, v sarà un rtorno d 22 EUR, altrment s perde tutto. Il secondo nvestmento rchede d spezzare l captale n due tranche da EUR. Entrambe le tranche, ma n modo ndpendente, sono nvestte n attvtà che hanno probabltà d successo d, e, nel caso cò accada, hanno un rtorno d 11 EUR, altrment hanno rtorno nullo. Supponendo d essere obblgat a sceglere uno de due tp d nvestmento ndcare quale s preferrebbe, nel caso n cu s sa avvers al rscho e nel caso n cu s sa propens al rscho. Alla luce de rsultat ottenut argomentare sul perché convene dversfcare l rscho nel caso s debba nvestre n attvtà n cu non s abba l controllo sulle probabltà d successo. Vceversa argomentare sul qual debbano essere le condzon che spngano una azenda a concentrars sul suo core busness o vceversa dversfcars. Nel secondo caso ndcare noltre quando all azenda convene dversfcars orzzontalmente e quando convene dversfcars vertcalmente. Presentare degl esemp numerc. 4. Svolgere gl esercz propost dal prof. Beasley alla pagna Per determnare la scelta ottma utlzzare EV, ROI e la funzone d utltà determnata nell eserczo 2. Commentare gl eventual rsultat dscord. 1