UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA ANALISI STATISTICA DELLE VOTAZIONI PRESIDENZIALI AMERICANE IN FLORIDA NEL 2000

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTA DI SCIENZE STATISTICHE CORSO DI LAUREA IN STATISTICA, ECONOMIA E FINANZA RELAZIONE FINALE ANALISI STATISTICA DELLE VOTAZIONI PRESIDENZIALI AMERICANE IN FLORIDA NEL 2000 RELATORE: PROF. ALESSANDRA SALVAN LAUREANDO: MARIO VALERIN ANNO ACCADEMICO

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3 Indce 1. Introduzone 1 2. Le elezon presdenzal n Florda nel Il voto a Buchanan nella contea d Palm Beach Msvotes, undervotes e overvotes Prm ragonament Una valutazone statstca del voto a Palm Beach Possbl modell Trasformazon della varable rsposta Scelta de regressor Test d eteroschedastctà Altre dagnostche d adattamento del modello Test della normaltà de dat Approfondment Prevedere l voto d Palm Beach Concluson 37 Rngrazament 39 Bblografa 40

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5 Captolo 1 INTRODUZIONE In questa relazone s espongono e sntetzzano alcun contrbut recent della letteratura statstca volt ad analzzare rsultat delle elezon presdenzal del 2000 negl Stat Unt. In partcolare, c s é concentrat su rsultat della Florda e della contea d Palm Beach. Le prncpal font utlzzate sono seguent artcol appars sul volume 17 del 2002 della rvsta Statstcal Scence : Casella e Gll (2002), Agrest e Presnell (2002), Smth (2002). Le dscplne toccate sono molto dverse tra loro: le scenze poltche e la statstca. S é scelta la votazone della Florda n partcolare perché, oltre al clamore susctato, ha generato un consderevole nteresse essendo relatva ad uno stato abbastanza equamente dvso tra le due maggor fazon poltche, repubblcan e democratc, ed anche suffcentemente grande da nfluenzare n modo sgnfcatvo le elezon nazonal. Le elezon presdenzal amercane prevedono dverso peso a dvers stat nell ambto dell elezone fnale. Infatt, l partcolare meccansmo elettorale amercano prevede che cascuno stato dsponga d un numero stablto d vot elettoral che corrspondono ad un numero d rappresentant, chamat elettor presdenzal, da nvare a Washngton per l elezone formale del presdente.

6 2 I vot elettoral d uno stato vengono attrbut per ntero al canddato che ottene, n quello stato, la maggoranza relatva. Questo comporta la vanfcazone de suffrag ottenut dagl altr canddat che non hanno la possbltà d sommarl a vot ottenut n altr stat. S pens che nel 2000 n Florda Al Gore perse vot degl elettor presdenzal d quello stato per sole 537 preferenze, mentre a lvello nazonale ottenne globalmente oltre mezzo mlone d vot n pù del suo rvale Bush. Partcolare attenzone ha attrato la stuazone nsolta della contea d Palm Beach ne confront del canddato conservatore d estrema destra Pat Buchanan. In tale regone vvono nfatt persone d classe medo alta con nclnazon lberal e qund l alto consenso rcevuto dal canddato suddetto ha sollevato molt dubb e perplesstà. D altro canto, rcerche pù datate (Aldrch, Nem, Rabnowtz e Rohde, 1982) danno rsalto alle caratterstche d complesstà, confusone ed ncertezza che hanno sempre contraddstnto le poltche elettoral amercane. Prova ne sono le schede relatve alle votazon del 1996 per l elmnazone degl aut statal, dove lo scopo della tornata elettorale non era scrtto charamente da nessuna parte, provocando, naturalmente, estrema confusone negl elettor. Lo studo statstco é uno strumento partcolarmente approprato ed attraente rspetto alla dscplna delle scenze poltche che qu non cureremo. Infatt, l comportamento dell elettore é uno de poch aspett dell uomo che s può realmente osservare e msurare concretamente. C sono nfatt sa la componente sstematca, rgorosa, dettata da determnat schem, sa quella stocastca, squstamente probablstca, e sono così ben mscelate da essere dstnte con dffcoltà. Le scenze statstche c vengono n auto offrendo strument teorc per gestre problem tpc dervant da uno studo su elezon ed

7 3 elettor: error d rlevazone, dat mancant, eteroschedastctà, forme non parametrche ecc. Da non dmentcare, nfne, che le prevson fornte da modell statstc possono sempre essere verfcate n quanto c sarà sempre, s spera, una votazone futura. Nel captolo 2 sono stat descrtt prm dat rguardant l argomento n dscussone, mentre nel captolo successvo sono consderate le prme valutazon dal punto d vsta statstco degl stess. Nel captolo 4 sono stat pres n consderazone modell statstc applcabl a queste rlevazon elettoral, qund nel successvo sono stat effettuat de ragonament predttv rguardo l voto d Palm Beach. Infne, a conclusone d questa relazone sono state tratte delle consderazon fnal n merto a questo fatto che ha fatto dscutere l mondo contemporaneo.

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9 5 Captolo 2 LE ELEZIONI PRESIDENZIALI IN FLORIDA NEL Il voto a Buchanan nella contea d Palm Beach Come gà accennato precedentemente, a causa del meccansmo d assegnazone de vot ad ogn canddato, stato per stato e non a lvello nazonale, George Walker Bush, graze a sol 537 vot n pù nello stato della Florda é ruscto ad ottenere tutt vot degl elettor presdenzal d quello stato che sono ben 25, su un totale d 538, ottenendo qund la vttora su Al Gore per sol 4 vot (271 a 267). L attenzone d tutta l opnone pubblca, non solo amercana, s rvolse al controverso conteggo effettuato nella contea d Palm Beach n partcolare, ma anche n altre contee dello stato della Florda. Il dato sorprendente, e scuramente fuor da ogn modello d regressone statstca, é l alto favore elettorale ottenuto dal canddato del Reform Party, Pat Buchanan, rspetto a tutte le altre contee dello stesso stato, ma anche rspetto al canddato dello stesso partto alle precedent elezon del 1996 (Ross Perot, ex-ibm amco d Thomas Watson Jr. fglo del fondatore della stessa IBM). Cò é evdenzato dal grafco d Fgura 2.1:

10 6 Fg. 2.1: Vot total, contea per contea, de canddat del Reform party, Buchanan nel 2000 e Perot nel 1996 Grafco a p.437 d Statstcal Scence vol.17 (2002) 2.2 Msvotes, undervotes e overvotes Oltre alla osservazone anomala, come vene classfcata n statstca descrttva, meda amercan s concentrarono anche sul fenomeno dell undervote, schede banche senza nessuna preferenza, nelle contee che avevano usato un determnato tpo d scheda elettorale (punchcard ballot, coé una scheda elettorale da perforare). Tale scheda é rportata fedelmente n Fgura 2.2:

11 7 Fgura 2.2: Scheda elettorale uffcale usata nella contea d PalmBeach Tratta da Meno rsalto, nvece, é stato dato al fenomeno opposto, overvote, ovvero schede con pù d una preferenza, consderate comunque nulle, che n realtà potrebbe essere molto pù sgnfcatvo. Andando nel dettaglo de numer, s nota che la contea d Palm Beach (che adottava la butterfly-ballot della Fgura 2.2) ha assegnato 3407 preferenze a Buchanan, coé crca 3 volte e mezza la pù alta preferenza ottenuta n un altra contea senza quel tpo d scheda (crca 1000 vot a Pnellas, che ha all ncrca lo stesso numero d elettor, s veda la tabella 3.2).

12 8 Fgura 2.3: Vot a Buchanan, contea per contea, nella Florda Da Per gustfcare tale rsultato parecch rcercator hanno cercato d applcare de modell statstc per studare se vot a Buchanan fossero maggor d quell attes n base a dat delle precedent elezon, varabl demografche ed altre relatve a partt poltc (cfr. Cap. 4). Balza mmedatamente all occho, analzzando la Fgura 2.1, che un modello d regressone lneare normale classco non é applcable. Smth (2002) ha consderato delle trasformazon de dat. In

13 9 alternatva, s possono analzzare dat relatv a vot, a lvello contea, come una rsposta bnomale usando de modell d regressone logstca, noltre l modello bnomale può essere adattato usando l metodo d quas-verosmglanza o modell mst come l betabnomale (Agrest e Presnell, 2002). Usando qualsas modello ragonevole l messaggo sembra rmanere l medesmo: l voto d Buchanan nella contea d Palm Beach é altamente anomalo. S cerca ora d capre qual possano essere state le cause d questa anomala. Da un punto d vsta squstamente poltco possamo dre che, un probable elettore d Gore potrebbe aver forato l buco n 4 perché é alla fne della lnea sotto la quale appare la dctura Democratc e qund dare l voto erroneamente a Buchanan: é propro quello che l anals statstca de dat ha ndcato (cfr. Agrest e Presnell, 2002 e Inoltre, essendo l secondo buco forable, e poché l nome d Gore appare come secondo nella scheda (colonna d snstra), molt hanno scuramente pensato d votare l canddato de democratc bucando l foro n 4. Se leggamo le struzon della scheda elettorale, s evnce che s vota per canddat, al plurale; Presdente e vce : allora pù d una scelta, qund pù d un foro. Sotto c é scrtto vota per l gruppo : allora anche qu pù d una preferenza. Qund, probabl elettor d Gore possono aver forato buch n 5 e 6 (Gore ed l vce Leberman), altr l n 4 (Partto Democratco, l gruppo) e l n 5 (l presdente assocato a quel gruppo). Anche gl elettor d Bush nella medesma contea possono aver assegnato un doppo voto per Bush ed l suo vce Cheney (corrspondono nfatt a for n 3 e 4).

14 10 Ecco qund perché l n 4 (Buchanan) é rsultato così votato. S spega noltre un fenomeno così rlevante d overvote, coé d preferenze doppe, nfatt for pù perforat sono stat nell ordne: 4/5, 5/6 ed nfne 3/4. Un altro fenomeno osservato é l seguente. Se sono stat dat vot a Buchanan erroneamente (perché nserto tra Bush e Gore), anche ch seguva Gore (Davd McReynolds, socalsta) ha avuto molt vot (302 solo a Palm Beach), la metà de 622 ottenut n tutto lo stato (ben 67 contee). Nel caso del canddato socalsta, l modello d regressone adottato ndcava un valore atteso d crca l 10% d quello n realtà ottenuto (Adams, 2001). Analzzando ulterormente l fenomeno dell overvote, s nota che le schede con pù d una preferenza sono state ben (a Palm Beach), l 4,2% de votant contro le sole 3073 relatvamente alle schede standard (non butterfly, non multcolonne e non multpagne) del Del totale d schede overvote, ben (80%) rportavano la preferenza per Gore, 8689 per Buchanan, 4567 per McReynolds e solo 3571 per Bush. Inoltre, a sostegno d quanto detto prma, 5330 schede rportavano Buchanan e Gore (buch n 4 e 5) e 2908 Gore e McReynolds (buch n 5 e 6). E evdente che questo alto fenomeno d overvote é costato molt vot vald soprattutto a Gore, molt meno a Bush. Il fenomeno dell undervote (schede banche) é stato mpugnato da legal d Gore per chedere l rconteggo delle schede, n quanto nelle contee con lettore ottco tale fenomeno n meda era lo 0,3% (trascurable), mentre nelle contee con le punch-card l 1,5% (n partcolare a Palm Beach 2,2%), ma la Corte Suprema ha negato tale possbltà. S spega qund la possble causa dell alto rscontro elettorale rcevuto da Pat Buchanan nella contea d Palm Beach, ma come ma

15 11 c é stato un così alto overvote? E questo non solo n quella contea, ma anche n quella d Duval (7,5% : schede) e Gadsden (11,6%). La rsposta sembra stare nella complesstà delle schede: - nella contea d Duval canddat erano n una scheda elettorale composta da 2 pagne; ne dstrett a predomnanza afro-amercana d questa contea pù del 20%delle schede sono state scartate, qund non conteggate. - la contea d Gadsden é quella con la pù alta concentrazone d afroamercan d tutta la Florda (New York Tmes, 18/11/2000). In ultma anals, l Mam Herald (11 maggo, 2001) ha rvsto overvotes e undervotes della Florda. Gore era segnato su schede e Bush su Solo sul 3% d queste schede la volontà dell elettore era chara, perché aveva scrtto l nome del canddato prescelto anche n basso a destra della scheda dove s leggeva d scrvere l canddato wrte-n canddate, ma con un vantaggo del prmo rspetto al secondo d 682 vot, maggore de famos 537. Come accennato precedentemente, meda amercan, ed anche legal d Gore, dettero pù mportanza all undervote, ma l overvote era crca due volte l prmo. In aggunta, nelle 18 contee della Florda che usarono le due colonne, fu addrttura 5 volte maggore rspetto alle contee dove c era la scheda elettorale con una sola colonna. Il notevole ncremento dell overvote per le schede d tpo multcolonna é avallato anche dal grafco d Fgura 2.4, sempre relatvo alla complesstà della scheda elettorale.

16 12 Fgura 2.4: Percentuale d overvote su 65 contee, non sono state consderate Unon e Martn Grafco a p.439 d Statstcal Scence vol.17 (2002) E noltre consderato l meccansmo d conteggo: sa la tecnologa pù avanzata, con l lettore ottco, che quella con la perforazone delle schede. Optcal e Votomatc, perforazone manuale, hanno rlevato la stessa percentuale relatva d overvote, facendo qund propendere l opnone pubblca per un desgn sbaglato della scheda elettorale come causa d tale fenomeno. Ad ogn modo, da qualunque punto d vsta s analzz l argomento, rsulta evdente che, a causa d vot assegnat erroneamente ad un altro canddato per colpa d:

17 13 - schede butterfly ballot - schede multcolonna - schede multpagne - confusone degl elettor - mancanza d attenzone degl elettor stess, Al Gore sa rmasto danneggato d parecch suffrag e l ordne d grandezza va dalle mglaa alle decne d mglaa d vot.

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19 15 Captolo 3 PRIMI RAGIONAMENTI 3.1 Una valutazone statstca del voto a Palm Beach Fnora s é parlato della dfferenza veramente mnma (poco pù d 500 vot) che ha permesso al canddato de repubblcan d battere l avversaro de democratc. Un ulterore fatto notevole é che l numero d vot annullat, n tutto lo stato della Florda, s é avvcnato a 6 mlon. D questa cfra, oltre 400 mla (relatv a tutt e 10 canddat) non sono stat valdat nella sola contea d Palm Beach, che é la seconda pù popolosa d tutto lo stato, dopo quella d Mam-Dade. Come é stato dscusso nel paragrafo 2.2, l desgn della scheda elettorale, la butterfly-ballot, ha confuso molt elettor, qual, volendo votare Gore, hanno erroneamente bucato l foro relatvo a Pat Buchanan, portando l punteggo d questo canddato ad oltre 3400, vot quando una stma del valore atteso su tutto lo stato era al massmo d S nota mmedatamente che 2000 vot d scarto avrebbero dato a Gore la vttora nello stato della Florda e qund anche la Casa Banca. Molt artcol d que gorn attestarono che la prevsone del rsultato d Buchanan n quella contea fosse molto mnore de 1300 vot. Cò

20 16 teneva anche conto del fatto che l canddato democratco rportò l 62% de vot total della contea. D conseguenza, l canddato dell estrema destra non poteva aver guadagnato così tante preferenze. Consderazon come questa rbadrono la convnzone dell opnone pubblca che l vnctore dello stato della Florda fosse Gore e non Bush, ma sollevarono anche dubb sulla corretta applcazone de metod d regressone statstca a rsultat d un elezone poltca. L obbettvo d questo e de prossm captol é presentare l anals dettaglata d regressone condotta n Smth (2002). La varable rsposta é rappresentata da vot al canddato del Reform Party su tutte le 67 contee della Florda. Le varabl esplcatve sono sa vot per gl altr canddat sa le varabl demografche. L anals effettuata da Smth (2002) pone partcolare attenzone a problem d eteroschedastctà (varanza della varable rsposta non costante), che rsulta nevtable confrontando contee con grande dspartà d popolostà (da Lafayette e Lberty con meno d 7 mla votant a Mam-Dade con pù d 2 mlon). Per rmedare a cò l autore ha applcato vare trasformazon de dat. Altre problematche consderate sono la selezone delle varabl, la sovradspersone n un anals bnomale o d Posson e svarate forme dagnostche e test d adattamento. Il modello stmato sulla base de dat relatv alle 66 contee della Florda, esclusa Palm Beach, é stato po utlzzato per prevedere l rsultato del canddato conservatore d quella contea. Tutt rsultat ndcano una stma o ntervallo d confdenza ben al d sotto del dato osservato, avallando qund l potes che l dscusso 3407 sa un enorme valore anomalo. C s concentrerà ora sull aspetto statstco della questone. L anals d seguto presentata é un esempo d come possono essere applcate le moderne tecnche d regressone statstca ad un fatto reale d grande nteresse pubblco.

21 17 I dat usat da Smth (2002) sono rsultat elettoral dramat dalla Florda Dvson of Electons e dat demografc provenent dallo U.S. Census Bureau. D seguto, sono rportate le tabelle 3.1 e 3.2 con dat, contea per contea, de 10 canddat a presdente degl Stat Unt nello stato della Florda. Tal dat sono stat prm ad essere res pubblc, qund possono dfferre d poco da quell certfcat defntvamente, ma dopo l completamento dello studo d Smth (2002). D tutt canddat ne sono stat consderat solo la metà: Harrs, Hageln, McReynolds, Phllps e Moorehead tutt nseme costtuscono meno dello 0.1% de vot, qund rsultano assolutamente trascurabl.

22 18 Tabella 3.1: Dat votazon per contea, parte I Tabella a p.444 d Statstcal Scence vol.17 (2002) I dat demografc delle tabelle 3.3 e 3.4 ncludono le seguent varabl: Pop popolazone della contea nel 1997 Wh percentuale d banch nel 1996 Bla percentuale d ner nel 1996

23 19 Hsp percentuale d spanc nel 1996 (banch+ner+spanc>100 perché gl spanc ncludono altre razze) > 65 percentuale d popolazone d età maggore o uguale a 65 ann (calcolata dalla popolazone d tale età nel 1996 dvsa la totale del 1997) HS percentuale d popolazone con lvello d struzone Hgh School (1990) Coll percentuale d popolazone con lvello d struzone College (1990) Inc reddto pro-capte (1994) Tabella 3.2: Dat votazon per contea, parte II Tabella a p.445 d Statstcal Scence vol.17 (2002)

24 20 Analzzando la Fgura 3.1, che mette a confronto la percentuale de vot a Buchanan con 12 varabl esplcatve, notamo le prme correlazon: 1. aumentando la popolazone, Pop, l voto a Buchanan decresce (correlazone fortemente negatva), cfr. Fg. 3.1(a) 2. al crescere della popolazone spanca, Hsp, l voto decresce (correlazone fortemente negatva), cfr. Fg. 3.1(d) 3. correlazone negatva con le varabl > 65 e HS, cfr. Fg. 3.1(e), (f) 4. correlazone negatva pù accentuata con la varable Coll e con l aumentare del reddto procapte, cfr. Fg. 3.1(g), (h) 5. correlazone negatva con vot a Gore ed al canddato de verd Nader, cfr. Fg. 3.1(j), (l) 6. correlazone postva nvece con vot a Bush, cfr. Fg. 3.1() Nulla nvece s può dre rguardo ad potetche correlazon tra l voto a Buchanan e la percentuale della popolazone banca o nera (Wh e Bla). Non é chara nemmeno la relazone con vot al canddato de lberal. Chara nvece sembra la poszone, ndcata n ogn grafco da una x, della contea d Palm Beach all nterno dello stato: un osservazone decsamente anomala almeno n 2/3 de grafc rportat.

25 21 Fgura 3.1: Percentuale de vot a Buchanan rspetto a 12 varabl esplcatve, Palm Beach é ndcata con una x. Grafc a p.448 d Statstcal Scence vol.17 (2002)

26 22 Tabella 3.3: Dat demografc per contea, parte I Tabella a p.446 d Statstcal Scence vol.17 (2002)

27 23 Tabella 3.4: Dat demografc per contea, parte II Tabella a p.447 d Statstcal Scence vol.17 (2002)

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29 25 Captolo 4 POSSIBILI MODELLI 4.1 Trasformazon della varable rsposta La prncpale dffcoltà tecnca d adattamento d un modello d regressone a dat dsponbl é la grande varabltà della numerostà della popolazone delle vare contee. Sa N l numero totale de vot vald e y l numero delle preferenze a Buchanan per la contea -esma, = 1,...,67. Se s assume per y un modello bnomale con ndce N e probabltà d successo p, s ha: (4.1) Var y ) = N p (1 p ) ( dove p é la proporzone attesa de suffrag elettoral a Buchanan nella contea -esma. Dal momento che le stme d p s aggrano attorno a (cfr. p.445 d Statstcal Scence vol.17, 2002) la (4.1) dventa: (4.2) Var( y ) N p Inoltre, dato che p é molto pccolo ed N molto grande, la dstrbuzone bnomale può essere approssmata da una Posson per la quale la (4.2) é esatta.

30 26 D conseguenza qualsas tentatvo d fare un anals della regressone con l metodo de mnm quadrat s scontra con l eteroschedastctà de dat, non soddsfacendo, qund, una delle potes base per poter applcare lo stesso metodo de mnm quadrat. Un modo per tentare d rsolvere l problema é trasformare la varable rsposta n modo da consderare un modello della forma: (4.3) h( y ) = x j β j + ε j dove h é la funzone d trasformazone, { x j, 1 n, 1 j p } sono regressor, o varabl esplcatve e gl { ε } sono gl error casual. Una possble trasformazone é h ( y ) = y che approssmatvamente stablzza la varanza d una varable casuale d Posson. Un altra possbltà potrebbe essere la trasformazone logartmca, come applcata n vare altre anals effettuate da altr rcercator, ma questa trasformazone non stablzza la varanza, qund s rmane con l problema dell eteroschedastctà. S possono però fondere entrambe le trasformazon suddette nella famgla d trasformazon d Box e Cox (1964): (4.4) h ( y ) = C λ y λ λ 1 dove C λ é una costante scalare e λ può essere un qualsas numero reale. Per λ > 0 s ha la trasformazone logartmca. Ne prm pass dell anals sono state usate tre possbl varabl rsposta: y, y, e log( y / N ).

31 Scelta de regressor (o varabl esplcatve) Dopo aver applcato le trasformazon del paragrafo precedente, l anals della regressone contnua rcercando qual varabl esplcatve sono sgnfcatve da un punto d vsta statstco (e reale): - da grafc della Fg. 3.1 del captolo precedente s può evncere che alcun regressor sono pù sgnfcatv se espress n scala logartmca, qund non sono state consderate le loro verson lnear, - noltre é stata trascurata anche la proporzone de vot a Gore, n quanto tale varable é fortemente correlata alla proporzone de vot a Bush (la somma d queste due quanttà s avvcna spesso al 100% de vot vald). Ecco la tabella con la lsta completa d tutte le varabl esplcatve consderate: Varabl esplcatve lpop wht lblac lhsp o65 hsed coll nco pbush pbrow pnade Defnzon Log della popolazone totale Proporzone d banch Log della proporzone d ner Log della proporzone d spanc Proporzone d pop. sopra 65 ann Proporzone d pop. Hgh School Proporzone d pop. College Reddto pro-capte Proporzone d vot per Bush Proporzone d vot per Browne Proporzone d vot per Nader Tabella 4.1: Varabl esplcatve

32 28 S rcorda che l osservazone d Palm Beach, evdenzata come anomala nel captolo precedente, é stata omessa da tutte le anals per la scelta de regressor. La scelta delle varabl esplcatve può essere fatta usando qualsas tecnca utlzzata per la regressone multpla. I crter usat da Smth n questa anals sono l Cp d Mallows (1973) e la selezone backward. Le varabl scelte tramte quest due metod sono elencate nella seguente tabella 4.2: Varable Metodo d rsposta selezone Varabl selezonate y Cp lpop, wht, lhsp, o65, hsed, coll, pbush,pnade y Backward lpop, wht, lhsp, o65, hsed, pbush,pnade y Cp wht, lhsp, o65, hsed, nco, pbrow y log( y / log( y / Backward wht, lhsp, o65, hsed, nco, pbrow N ) Cp lpop, lhsp, hsed, nco, pbush N ) Backward lhsp, hsed, nco, pbush Tabella 4.2: Varabl esplcatve selezonate tramte metod Cp d Mallows e backward S nota subto che la trasformazone della varable rsposta y tramte la radce quadrata produce gl stess regressor con due dvers metod. Cò non s verfca con le altre due trasformazon. In aggunta, la somma de quadrat de resdu per tre modell selezonat dal metodo Cp d Mallows sono:

33 con 57 grad d lbertà per la varable rsposta y (s rcorda che grad d lbertà sono dat dal n d contee consderate, 66, meno gl 8 regressor scelt dal metodo applcato e la costante, 66-9=57) con 59 grad d lbertà per la trasformazone della varable rsposta, y (dalla tabella 6 vedamo che regressor corrspondent sono 6 pù la costante, 66-7=59) con 60 grad d lbertà per la trasformazone della varable rsposta, log( y / N ) (sempre dalla tabella precedente estraamo 5 regressor pù la costante, 66-6=60) queste osservazon fanno charamente propendere per l modello che ha come varable rsposta la trasformazone tramte radce quadrata de vot a Buchanan ( y ). S nota noltre che la trasformazone logartmca é comunque mglore della varable rsposta usata drettamente. 4.3 Test d eteroschedastctà Dopo aver determnato l modello pù approprato, ora possamo effettuare de test dagnostc per valutare la presenza o meno d eteroschedastctà ne resdu del modello adottato. Supponamo che l modello della forma (4.3) sa ben adattato a dat e dopo aver calcolato la stma resdu: βˆ j de parametr β j possamo rcavare

34 30 (4.5) e = h( y ) xj βˆ j, 1 n j Ora possamo consderare dagramm d dspersone de valor assolut de resdu rspetto alle possbl trasformazon d y osservando se la varabltà de resdu aumenta o dmnusce nel grafco, ndcando qund la presenza d eteroschedastctà ne resdu stess. Fgura 4.1: Grafc relatv alle radc quadrate de valor assolut de resdu rspetto alle tre dverse varabl rsposta Fgure a p.450 d Statstcal Scence vol.17 (2002) Nel grafco (a) della Fgura 4.1 c é la radce quadrata de valor assolut de resdu della regressone basata sulla varable rsposta dretta, y, e balza subto all occho che resdu tendono a crescere all aumentare del totale de vot, qund é presente eteroschedastctà. Nella parte (b) della medesma fgura la radce quadrata de valor assolut de resdu é relatva alla regressone della prma trasformazone della varable rsposta, y. Qu traspare una dscreta costanza de resdu all aumentare de vot total, samo qund n presenza d omoschedastctà.

35 31 Nell ultma parte della fgura la varabltà della radce quadrata de valor assolut de resdu, rsultant stavolta dalla regressone della varable rsposta log( y / N ), é ancor pù evdente rspetto al prmo grafco, qund é chara la presenza d eteroschedastctà. Per avvalorare l potes d omoschedastctà della trasformazone y sono stat fatt altr grafc rspetto ad altre varabl e s é arrvat sempre alla medesma conclusone. 4.4 Altre dagnostche d adattamento del modello In questo paragrafo s vuole valutare l nfluenza del dato rferto alla contea d Palm Beach, rspetto al modello d regressone scelto. Innanztutto consderamo due dagnostche partcolar: - resdu standardzzat - DFFITS (s veda ad esempo Belsley, Kuh e Welsch, 1980). Per quanto rguarda prm la defnzone é: (4.6) d * = h( y ) s ( ) j x ˆ β j j( ) ˆ dove β j ( ) é la stma de coeffcent β j e s () é la stma dello scarto quadratco medo σ, basato su tutte le osservazon tolta la -esma. Mentre valor DFFITS sono dat da una standardzzazone delle dfferenze yˆ ˆ y( ), con y ˆ ( ) par al valore prevsto dal modello stmato senza l -esma osservazone. Per valutare realmente se l numero d vot a Buchanan nella contea d Palm Beach sa un osservazone nfluente o anomala l modello d regressone prescelto, quello con la radce quadrata della varable

36 32 rsposta, y, é stato radattato ncludendo anche la rlevazone corrspondente a quella contea ed usando regressor corrspondent a tale varable rsposta (cfr. tabella 4.2). I valor de resdu standardzzat e DFFITS sono rportat n Fgura 4.2, secondo la tecnca suggerta da Atknson (1985): Fgura 4.2: Valor attes ed osservat de resdu standardzzat e DFFITS Fgure a p.452 d Statstcal Scence vol.17 (2002) Ne grafc, vengono noltre rportate le bande d smulazone (cfr. Atknson, 1985). In entramb cas c é un osservazone notevolmente anomala che corrsponde a Palm Beach. Questa é la prma chara evdenza n questo studo che la contea n esame é davvero estremamente ncoerente con l resto de dat. Ma l dato osservato a Palm Beach era l unco anomalo? Dalla Fgura 4.2 s nota che c sono altr valor, specalmente nella parte (b), al d fuor de confn d smulazone. Non sembra tuttava charo se sano anomal o semplcemente dstort dalla presenza d

37 33 Palm Beach, qund s é rpetuta l ntera anals per rcavare resdu standardzzat e DFFITS toglendo l osservazone, ora certamente defnta anomala, d Palm Beach. I rsultat della nuova anals sono dsegnat n Fgura 4.3, nessun valore rsulta esterno all ntervallo d smulazone: Fgura 4.3: Come la fgura 4.2 omettendo l dato d Palm Beach Fgure a p.453 d Statstcal Scence vol.17 (2002) 4.5 Test della normaltà de dat Un altro mportante aspetto da consderare quando s adatta un modello d regressone lneare normale rguarda la normaltà de dat. Da grafc del paragrafo precedente s evnce (cfr. Fgura 4.2a) che dat non sembrano assolutamente approssmabl con una normale, nfatt l anomala d Palm Beach sconvolge l andamento della curva; d altro canto, nella Fgura 4.3(a) senza la contea n questone, le potes d normaltà sembrano soddsfatte.

38 34 Comunque, tal dscrepanze rchedono de test formal d normaltà: - la statstca d Looney e Gulledge (1985), smle al pù conoscuto test d Shapro-Wlk - la statstca d Kolmogorov-Smrnov - la statstca d Cramér-von Mses - la statstca d Anderson-Darlng (cfr. D Agostno e Stephens, 1986) Smth (2002) ha rportato rsultat basat sempre su resdu standardzzat della Fgura 4.2(a) usando 1000 smulazon ed ottenendo seguent lvell d sgnfcatvtà osservat relatv a quattro test suddett: che portano a rfutare l potes nulla d normaltà de dat n tutt test effettuat. Per contro gl stess test esegut su dat della Fgura 4.3(a), senza Palm Beach, hanno dato tutt e quattro lvell d sgnfcatvtà osservat superor a 0.3 portando ad accettare l potes nulla d normaltà de dat. I medesm test sono stat applcat anche al modello dove la varable rsposta era log( y / N ) con rsultat analogh, coé rfuto dell potes nulla con l dato d Palm Beach ncluso ed potes nulla accettata se tale dato vene escluso. Tale rsultato non s rpeteva con la varable rsposta dretta, y, nfatt l potes nulla vene rfutata anche se l dato d Palm Beach vene escluso. Questo charamente rafforza la convnzone che, mentre due modell basat su log( y / y e N ) danno un adattamento accettable ad una dstrbuzone normale, quello con la varable rsposta y non lo é affatto.

39 35 Captolo 5 APPROFONDIMENTI 5.1 Prevedere l voto d Palm Beach Rtornamo ora allo scopo precpuo dell anals e coé la prevsone del voto d Palm Beach da un modello d regressone lneare dove sono stat consderate solo le osservazon delle altre 66 contee, e non l dato relatvo alla contea d Palm Beach stessa. Vst precedent rsultat, lo studo d Smth s é focalzzato su modell relatv alle due trasformazon della varable rsposta, log( y / y e N ) ed ha consderato corrspondent modell d selezone delle varabl esplcatve, Cp d Mallows e la selezone backward, come mostrato nella tabella 4.2. La seguente tabella 5.1 evdenza rsultat ottenut, sa n termn d stma puntuale che d ntervallo d prevsone al 95%. Varable Metodo d Prevsone Intervallo d rsposta selezone puntuale prevsone y Cp o Backward 371 (219,534) log( y / N ) Cp 363 (180,735) log( y / N ) Backward 371 (182,758) Tabella 5.1: Stme ed ntervall d prevsone con tre verson d modell lnear

40 36 Da quest rsultat s nota charamente che le stme puntual per le tre verson de modell consderat sono decsamente vcne ed anche gl ntervall d prevsone sono suffcentemente coerent per sostenere l potes che l voto d Buchanan nella contea d Palm Beach, che s rammenta essere stato d 3407 untà, sa stato oltremodo anomalo rspetto alle prevson basate su un qualsas modello d regressone ragonevole. E mpressonante osservare che anche l estremo superore dell ntervallo pù ampo é meno del 25% del dato osservato.

41 37 Captolo 6 CONCLUSIONI Smth (2002) rporta che anals precedent a quella da lu effettuata, relatve a dat delle elezon n Florda, s sono basate su modell d regressone avent come varabl rsposta y e log( y / N ). La propensone d parecch rcercator era verso la varable logartmca, mentre altr, addrttura, attestavano la medesma effcaca de due modell usat rspetto all effetto Palm Beach. L ndagne d Smth (2002) nvece conferma che le anals effettuate usando y come varable rsposta fallscono per: - mancanza d omoschedastctà - mpossbltà d approssmazone con una dstrbuzone normale. Rspetto agl altr stud esegut su modell con la trasformazone della varable rsposta log( y / N ) l ndagne d Smth ha rlevato una sgnfcatva eteroschedastctà. L anals basata sulla trasformazone y sembra soddsfacente sotto tutt punt d vsta. In tutt cas, l rsultato elettorale d Palm Beach é un dato veramente fuor da ogn gustfcazone statstca. La rcerca d Smth (2002) accerta n manera chara e conclusva che l voto del canddato d estrema destra, Pat Buchanan, nella contea d Palm Beach non può essere spegato come una normale varazone statstca e la ragonevole dstorsone del voto n quello stato é almeno d 2500 vot.

42 38 Per concludere, s vuol far notare che, nonostante tant sforz effettuat da molt statstc per trovare un modello per rendere plausble l rsultato elettorale ottenuto da Pat Buchanan a Palm Beach nessuno c é ruscto. Questo charamente lasca molt dubb rguardo l affdabltà delle votazon stesse, ma soprattutto sul modo d dsegnare una scheda elettorale. Meno mportante é sembrata la modaltà del conteggo de vot alla quale era stato dato molto rsalto nell mmedatezza dell evento. Tornando all aspetto statstco della questone, appare evdente che, per trovare un modello statstco che s adattasse a dat l unco modo ragonevole per farlo era quello d escludere l voto d Palm Beach. Tale consderazone porta a concludere che c sono state realmente delle stuazon anomale non gustfcabl statstcamente e che, come accennato nel prmo captolo, le scenze statstche mettono a dsposzone de rcercator ed analst degl ottm strument per studare cas real altrment mpossbl da studare.

43 39 Rngrazament Il prmo pensero e rngrazamento pù grande va a ma mogle Patrza, senza l suo auto morale ma anche materale soprattutto nell organzzazone de moment d studo non sare ma arrvato a questo momento. I me fgl Luca e Gorgo, n partcolar modo n quest ultm mes, l ho sentt molto vcn e m hanno autato sopportandom quando ero nervoso a causa dello studo. Rcordo noltre tutt collegh ed amc d IBM che hanno ascoltato pazentemente tutte le me store su esam e professor. Un altro pensero partcolare va agl amc d Banca Antonveneta che m hanno sopportato, ma anche supportato soprattutto nella stesura d questo elaborato. Alla memora d ma madre che m ha sempre spnto a studare ed a mo padre che quando ho rpreso l unverstà m ha fnalmente capto. Infne vorre rngrazare docent che ho ncontrato n quest tre ann, perché graze ad alcun d loro m sono appassonato alla statstca, l prof. Masarotto, ed noltre alla professoressa Salvan che con grande dsponbltà m ha autato n quest ultma fatca.

44 40 BIBLIOGRAFIA ADAMS, G. (2001). Votng rregulartes n Palm Beach, Florda. Chance 14(1) AGRESTI, A. e PRESNELL, B. (2002). Msvotes, Undervotes and Overvotes: The 2000 Presdental Electon n Florda. Statstcal Scence 17(4) ALDRICH, J. H., NIEMI, R.G., RABINOWITZ, G. e RODHE, D. W. (1982). The measurement of publc opnon about publc polcy: A report on some new ssue queston formats. Amercan Journal of Poltcal Scence ATKINSON, A. C. (1985). Plots, Transformatons and Regresson. Oxford Unv. Press. BELSLEY, D., KUH, E. e WELSCH, R. E. (1980). Regresson Dagnostcs. Wley, New York. Scence. Statstcal Scence 17(4) BOX, G.E.P. e COX, D.R. (1964). An analyss of transformatons (wth dscusson). J.Roy. Statst. Soc. Ser. B CASELLA, G. e GILL, J. (2002). Votng, Electons and Statstcal Scence. Statstcal Scence 17(4) D AGOSTINO, R. B. e STEPHENS, M. A., eds. (1986). Goodness- Of-Ft Technques. Dekker, New York. LOONEY, S. W. E GULLEDGE, T. R. (1985). Use of correlaton Coeffcent wth normal probablty plots. Amer. Statst MALLOWS, C. L. (1973). Some comments on Cp. Technometrcs SMITH, R. L. (2002). A Statstcal Assessment of Buchanan s Vote n Palm Beach County. Statstcal Scence 17(4)

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