Selezione di un portafoglio di titoli in presenza di rischio. Testo

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1 Selezione di un portafoglio di titoli in presenza di rischio Testo E ormai pratica comune per gli operatori finanziari usare modelli e metodi basati sulla programmazione non lineare come guida nella gestione di portafogli di titoli. Un buon investimento è caratterizzato da due obiettivi contrastanti: massimizzazione del ritorno atteso (guadagno) e minimizzazione del rischio. Nel problema di selezione di un portafoglio di titoli bisogna decidere come assegnare un dato capitale a n investimenti che rendono bene a lungo termine e che compensano vicendevolmente le fluttuazioni a breve termine. L approccio proposto da Markowitz nel 1952 permette di determinare un portafoglio che bilancia il guadagno atteso e il rischio associato agli investimenti. Si suppone che un capitale B possa essere investito in n titoli di cui le percentuali di guadagno sono n variabili aleatorie r i, con i = 1,..., n. (a) Come si possono misurare il ritorno atteso e il rischio di un portafoglio dal punto di vista statistico? (b) Formulare un modello di PNL per risolvere il problema di selezione di un portafoglio in cui si minimizza il rischio soggetto ad un vincolo sul guadagno atteso. (c) Siano n = 4 titoli con le percentuali di guadagno atteso annuo e la matrice di varianza-covarianze: Q = r = (0.05, 0.1, 0.15, 0.3) Il budget è di B = euro e vorremmo arrivare a guadagnare una percentuale p = 10% di B durante l anno (tali dati sono riportati nel file markowitz data.m). Di che tipo di problema si tratta, il problema è convesso? (d) Proporre un metodo di ottimizzazione vincolata per la soluzione del problema, e descriverlo brevemente.. (e) Risolvere il precedente problema tramite Matlab o GNU Octave. numericamente stabile? Il metodo è (f) Come si deve modificare il modello se per attivare ogni investimento di tipo i è richiesta una quantità minima di denaro d i euro e se per limitare i costi fissi di transazione non possono essere effettuati più di k investimenti con 1 k < n? La formulazione così ottenuta è ancora convessa? Il metodo proposto è ancora valido? Giustificare la risposta in caso affermativo, e suggerire un metodo alternativo altrimenti. Documento preparato da L. Liberti, K. Dhyani, S. Coniglio e A. Ceselli 1

2 Selezione di un portafoglio di titoli in presenza di rischio Soluzione (a) Sia x = (x 1,..., x n ) il vettore delle variabili decisionali, in cui x i rappresenta la quantità di denaro investita nell i-esimo titolo. Se r i corrisponde al valore atteso della percentuale di guadagno dell i-esimo titolo, il valore atteso del ritorno z = n i=1 r ix i del portafoglio x è chiaramente e la sua varianza z = E[z] = r i x i i=1 σ 2 = E[(z z) 2 ] = E[( (r i r i )x i ) 2 ] = i=1 j=1 i=1 E[(r i r i )(r j r j )x i x j ]. Indicando con Q = E{(r 1 r 1 ) 2 }... E{(r 1 r 1 )(r n r n )}..... E{(r n r n )(r n r n )}... E{(r n r n ) 2 } la matrice di varianza-covarianza, abbiamo σ 2 = x t Qx. Il ritorno atteso del portafoglio x è quindi r t x e il rischio associato è dato da x t Qx. (b) Si tratta di minimizzare la varianza totale del portafoglio, soggetto ai seguenti vincoli: (1) il guadagno atteso del portafoglio non deve essere inferiore ad una quantità prefissata pb e (2) la quantità di denaro investito non deve eccede il budget disponibile. Il vincolo (1) si formula con r t x pb, e il vincolo (2) con ex B, dove e = (1,..., 1). Il modello è quindi: min x x t Qx r t x pb e t x B x 0. (c) Il problema ha una funzione obiettivo quadratica e vincoli lineari: é pertanto un problema di Programmazione Quadratica. Poiché gli autovalori di Q sono ( , , , ), la forma quadratica è definita positiva, e quindi strettamente convessa. Il problema è dunque convesso. Documento preparato da L. Liberti, K. Dhyani, S. Coniglio e A. Ceselli 2

3 (d) Dato che il problema è convesso, le condizioni KKT sono necessarie e sufficienti all ottimalità. È pertanto possibile tentare di risolvere il sistema che esse determinano direttamente. La Lagrangiana per questo problema è: L(x, µ, λ) = x t Qx + µ 1 (pb r t x) + µ 2 (e t x B) λ t x, dove l ultimo termine λx si riferisce alle condizioni di non-negatività di x, espresse come x 0. Le condizioni KKT sono quindi: 2Qx µ 1 r + µ 2 e = λ µ 1 (pb r t x) = 0 µ 2 (e t x B) = 0 λx = 0 r t x pb e t x B λ, µ 0. Dato che Matlab/Octave dispongono di un metodo (fsolve) per risolvere sistemi di equazioni nonlineari, ma non disequazioni, per il momento rilassiamo i vincoli di ammissibilità primale e duale. Se i valori per i moltiplicatori di Lagrange sono nonnegativi nella soluzione del sistema e i vincoli primali risultano soddisfatti, allora i valori per le variabili risolvono il problema. Si noti che il sistema sopra descritto è nonlineare. (e) Codifichiamo il sistema nel file Matlab kkt system.m: % kkt v = (x, mu1, mu2, lambda) function y = kkt_system(v) m = length(v); % variabili x, moltiplicatori mu1, mu2 e lambda n = (m - 2) / 2; % numero variabili x y = zeros(m, 1); e = ones(1,n); x = v(1:n); mu1 = v(n+1:n+1); mu2 = v(n+2:n+2); lambda = v(n+3:m); y(1 : n) = 2*Q*x - mu1 * r + mu2 * e - lambda; y(n + 1) = mu1 * (p*b - r*x); y(n + 2) = mu2 * (e*x - B); y(n + 3: n) = lambda * x; %end Cerchiamo una soluzione del sistema nonlineare con la funzione fsolve. Creiamo una soluzione iniziale x 0 settando ogni investimento a 2500 euro. In questo modo, per complementarietá, λ 0 = 0 e µ 2 = 0. Come punto iniziale µ 1 scegliamo arbitrariamente il valore Per ottenere la soluzione al sistema KKT si esegue il comando seguente. Si noti che lo script contiene anche la verifica d ammissibilitá primale. Documento preparato da L. Liberti, K. Dhyani, S. Coniglio e A. Ceselli 3

4 initial = [ ] ; y = fsolve(@kkt_system,initial) x = y(1:4); sprintf( Obj function value: %f, x *Q*x) sprintf( LHS of constraint 1 is: %f (>= RHS %f), r*x, p*b) sprintf( LHS of constraint 2 is: %f (<= RHS %f), sum(x),b) La soluzione ottenuta é: y = 1.0e+03 * Obj function value: LHS of constraint 1 is: (>= RHS ) LHS of constraint 2 is: (<= RHS ) Come osservabile dal codice, tutti i vincoli primali e duali sono soddisfatti. Abbiamo quantomenento trovato una soluzione ammissibile. Siamo certi del fatto che sia anche ottima? La risposta a questa domanda é putroppo negativa: il metodo si é arrestato in uno degli zeri del sistema nonlineare, ma é ben possibile che ve ne siano altri, corrispondenti a soluzioni di costo minore. A tale scopo, modifichiamo il codice con l aggiunta di multi-start, come segue: min = 1e300; for i = 1:10 initial = rand(10,1)*10000; y = fsolve(@kkt_system,initial); x = y(1:4); Documento preparato da L. Liberti, K. Dhyani, S. Coniglio e A. Ceselli 4

5 if min > x *Q*x min = x *Q*x; best_x = x; end end x=best_x sprintf( Obj function value: %f, x *Q*x) sprintf( LHS of constraint 1 is: %f (>= RHS %f), r*x, p*b) sprintf( LHS of constraint 2 is: %f (<= RHS %f), sum(x),b) Per brevitá evitiamo di appesantire il documento riportando output esaustivi. E altresí facile notare come, lanciando lo script piú volte, la soluzione che si ottiene sia continuamente differente: alcune volte é ammissibile, altre volte inammissibile, ed in entrambi i casi il valore della funzione obiettivo é mutevole. Chiaramente potremmo risolvere il sistema per un grande numero di iterazioni, tenendo traccia della miglior soluzione trovata solo se questa risulta ammissibile. Non avremmo comunque un metodo né robusto né furbo. Una via senz altro migliore per risolvere il problema é la seguente. Matlab dispone di un metodo di risoluzione di programmi quadratici piuttosto efficiente: quadprog. Lo script qp.m che segue invoca il metodo indicato: e = ones(1,4); A = [- r; e]; b = [ - p * B; B ]; lb = [ ] ; ub = [ ] ; x0 = [ ] ; [x,fval] = quadprog(2*q,zeros(4,1), A,b, [], [], lb,ub,x0) sprintf( Obj function value: %f, x *Q*x) sprintf( LHS of constraint 1 is: %f (>= RHS %f), r*x, p*b) sprintf( LHS of constraint 2 is: %f (<= RHS %f), sum(x),b) da cui si ottiene la soluzione seguente: Optimization terminated. x = 1.0e+03 * fval = e+06 Documento preparato da L. Liberti, K. Dhyani, S. Coniglio e A. Ceselli 5

6 Obj function value: LHS of constraint 1 is: (>= RHS ) LHS of constraint 2 is: (<= RHS ) (e) Si introducono n variabili binarie y = (y 1,..., y 4 ) dove y i = 1 se l investimento i viene fatto, e 0 altrimenti. Si aggiungono i vincoli: x i By i i = 1,..., n x i d i y i i = 1,..., n. In questo modo, il primo vincolo assicura che se l investimento non viene effettuato, la quantità di denaro investita è zero. Se l investimento viene effettuato il secondo vincolo assicura che la quantità di denaro investita sia almeno pari a d. Il vincolo sul numero massimo di investimenti che possono essere effettuati è semplicemente: y i k. i=1 Il problema modificato non è chiaramente convesso a causa dei vincoli di interezza y {0, 1} n e il metodo utilizzato per risolvere il problema in (a) non è più direttamente applicabile. Una possibilità consiste nel risolvere il rilassamento continuo del problema in esame, ma non vi sono garianzie di integralità. In linea teorica si potrebbe utilizzare un metodo di ricerca di punto di sella per la funzione Lagrangiana (ma questi metodi sono solitamente di difficile applicazione). Comunemente viene utilizzato un metodo Branch-and-Bound dove ad ogni nodo viene risolto un problema nonlineare convesso dato dal rilassamento continuo. Documento preparato da L. Liberti, K. Dhyani, S. Coniglio e A. Ceselli 6