2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio Φ di coniche di equazione. determinando in particolare le sue coniche spezzate ed i suoi punti base.

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1 DPARTMENTO D MATEMATCA E NFORMATCA Corso di Laurea in ngegneria Telematica Prova scritta di Elementi di Algebra e Geometria assegnata il 18/7/02 È assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni f(0, 1, 1) = ( 2, 1, 1) f(2, 1, 1) = (0, 1, 1) f(2, 1, 2) = (h + 1, h, h + 1) 1) Studiare f al variare di h determinando in cascun caso mf e Kerf. 2) Dopo aver controllato che (1, 1, 1) è autovettore di f verificare che f è semplice per ogni valore di h. Nel caso h = 1 determinare una base di autovettori. 3) Determinare, al variare di h, il sottoinsieme verificando che esso non è un sottospazio. f 1 (0, 1, 1) = {v R 3 f(v) = (0, 1, 1)} È assegnato nello spazio un sist. di rif. cat. ort. O. x, y, z.u. 1) Sono assegnati il piano α : x y + z = 0 e la retta r : x y = y z = 0. Determinare la generica retta s incidente con r ed ortogonale ad α. Tra le rette s determinare quelle che hanno distanza 1 dall origine. 2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio Φ di coniche di equazione x 2 + (h 1)y 2 4x + (2 h)y + 3 = 0 determinando in particolare le sue coniche spezzate ed i suoi punti base. 3) Detta c la circonferenza di Φ (che ha equazioni z = x 2 + y 2 4x + 3 = 0) determinare il cilindro che ha vertice di coordinate (1, 1, 1, 0) e come direttrice la circonferenza c.

2 DPARTMENTO D MATEMATCA Corso di Laurea in ngegneria Civile Prova scritta di Geometria assegnata il 25/6/02 È assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 tale che: (1, 1, 2) Ker f (1, 1, 1) V 1 f(1, 1, 0) = (2, 2h, 2) dove V 1 indica l autospazio associato all autovalore 1 ed h è un parametro reale. 1) Studiare l endomorfismo f al variare di h, determinando in ciascun caso m f e Ker f. 2) Discutere la semplicità di f al variare di h; nei casi in cui ciò è possibile determinare una base di autovettori. 3) Determinare, al variare di h, il sottoinsieme f 1 (1, 1, 1) = {x R 3 f(x) = (1, 1, 1)} È assegnato nello spazio un sist. di rif. cat. ort. O. x, y, z.u. 1) Sono assegnati il piano α : x + y z = 0 e la retta r : x + y = y + z = 0. Determinare la generica retta s incidente con r ed ortogonale ad α. Tra le rette s determinare quelle che hanno distanza 1 dall origine. 2) Studiare sul piano coordinato z = 0 il fascio φ di coniche di equazione (1 + 2h)x 2 2hxy + y 2 2hx + 2hy 1 = 0 determinando in particolare le coniche spezzate ed i punti base di φ. 3) Detta c la circonferenza di φ trovare l equazione del cono che ha vertice V (0, 0, 2) e c per direttrice.

3 DPARTMENTO D MATEMATCA E NFORMATCA Corso di laurea in ngegneria Gestionale Prova scritta di Geometria assegnata il 26/06/02 1-Durata della prova: due ore. 2-Non si può uscire dall aula prima di aver consegnato definitivamente il compito. 4-Usare solo la carta fornita dal Dipartimento. 1. Studiare, al variare di k R, l applicazione lineare f : R 3 R 3 f(x, y, z) = (2x + ky + z, kx + y + 2z, x z) determinando in ogni caso una base di Ker f e di m f. 2. Studiare la semplicità di f nei casi in cui Ker f non è nullo. Quando f è semplice diagonalizzare la matrice A = M(f) associata ad f rispetto alle basi canoniche. 3. Determinare, al variare di k, il sottospazio V R 3 tale che f(v ) = W = L(1, k, 0). Sia fissato nello spazio { un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O x y z.u. x y + z = 0 Dati: la retta r :, il piano π : x + 2y z + 1 = 0, e il punto P (1, 2, 1). x 2y + 3z = 0 Determinare: 1. L equazione del piano π passante per P e parallelo a π. 2. Le equazioni della retta passante per P parallela ad r. 3. Le equazioni della retta passante per P e perpendicolare a π. x = 1 t 4. Detta s la retta di equazioni y = 1 + t, le equazioni della retta per P complanare ad z = 2t r e ad s. 5. l luogo Q descritto dalle rette passanti per l origine O che formano con r un angolo di π/3. 6. l tipo di coniche che si ottengono secando Q con i piani z = 0 e z = 1.

4 DPARTMENTO D MATEMATCA E NFORMATCA Corsi di laurea in ngegneria Civile e Gestionale Prova scritta di Geometria assegnata il 10/07/02 Durata della prova: tre ore. Non si può uscire dall aula prima di aver consegnato il compito. Usare solo la carta fornita dal Dipartimento, riconsegnandola tutta. È assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 associato alla matrice M(f) = a h h h h 2 con h parametro reale 1) Studiare f al variare di h, determinando in ciascun caso m f e Ker f. 2) Calcolare, al variare di h, il sottoinsieme T = {v R 3 f(v) = (1, 1, 1)} R 3 b Determinare il generico endomorfismo g : R 3 R 3 tale che g(1, 1, 1) = (0, 1, 1) g(0, 1, 1) = (1, 1, 1) dim m g = 2 e verificare che gli endomorfismi trovati sono tutti semplici. Determinare una base di autovettori. È assegnato nello { spazio un sist. di rif. cart. ort. O. x, y, z.u. x 1 = 0 1) Data la retta r : determinare la retta s simmetrica di r rispetto ad O. y z 1 = 0 Verificare che r ed s sono complanari e determinare il piano che le contiene. Calcolare l angolo rs. 2) Studiare il fascio φ di coniche del piano z = 0 di equazione x 2 + hy 2 2x + hy = 0 determinando in particolare i punti base e le coniche spezzate di φ. 3) Detta Γ l iperbole equilatera di φ determinare il cilindro che ha Γ come direttrice e vertice V (1, 0, 1, 0).

5 DPARTMENTO D MATEMATCA E NFORMATCA Corsi di laurea in ngegneria Civile e Gestionale Prova scritta di Geometria assegnata il 11/09/02 Durata della prova: tre ore. Non si può uscire dall aula prima di aver consegnato il compito. Usare solo la carta fornita dal Dipartimento, riconsegnandola tutta. È assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni f(2, 2, 1) = (0, 0, 1) f(1, 2, 1) = ( 1, h 1, h) f(1, 2, 2) = (1, h + 1, h + 1) 1) Determinare la matrice M(f) associata ad f rispetto alla base canonica. 2) Studiare f al variare di h, determinando in ciascun caso m f e Ker f. 3) Verificare che f è semplice e che esiste una base di autovettori indipendente da h. 4) Determinare, al variare di h, il sottoinsieme f 1 (e 3 ) = {v R 3 f(v) = e 3 } 1) sono date le rette { { y = 0 x z = 0 r : z = 0, s : y 1 = 0 Dopo aver verificato che queste rette sono sghembe si consideri il punto generico R r e si determini la retta t passante per R ortogonale ed incidente ad s. Determinare la quadrica Q luogo delle rette t al variare di R su r. Precisare la natura di Q 2) Determinare e studiare, sul piano z = 0, il fascio Φ di coniche che ha i punti base O (0, 0), A (1, 1), B (2, 0), C (3, 1). 3) Determinare il cilindro che ha vertice (1, 0, 1, 0) e per direttrice l iperbole equilatera di Φ.

6 DPARTMENTO D MATEMATCA E NFORMATCA Corso di Laurea in ngegneria Telematica Prova scritta di Elementi di Algebra e Geometria assegnata il 19/9/02 Sono assegnati il sottospazio V = {(x, x, z)} R 3 e l endomorfismo f : R 3 R 3 associato alla matrice M(f) = h 1 h 1 1 h h ) Studiare f al variare di h, determinando in ciascun caso m f e Ker f. 2) Verificare che per ogni v V si ha f(v) V. 3) Discutere la semplicità di f al variare di h. 4) Nel caso h = 1 determinare il sottoinsieme f 1 (1, 1, 1) = {v V f(v) = (1, 1, 1)}. 1) Sono date le rette r : { x z = 0 y 1 = 0, s : { x + z = 0 y + 1 = 0 Dopo aver verificato che esse sono sghembe si determini la generica retta t complanare con r, con s e con l asse x. Trovare la quadrica luogo delle rette t. 2) Determinare e studiare il fascio Φ di coniche avente i punti base O (0, 0), A ( 1, 1), B (1, 0), C (2, 1). Detta p l unica parabola di Φ si chiede di rappresentarla, dopo averne determinato il vertice, il fuoco, la direttrice. 3) Determinare il cilindro avente vertice nel punto (0, 1, 1, 0) e per direttrice p.

7 DPARTMENTO D MATEMATCA E NFORMATCA Classe ngegneria ndustriale (G Pa) Prova scritta di Elementi di Algebra e Geometria assegnata il 12/12/02 A È assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni con k parametro reale. f(1, 2, 1) = (1, 2, 1) f(1, 2, 2) = (1 k, 2 k, 2 k) f(0, 1, 0) = (k, k + 1, k) 1) Studiare l endomorfismo f al variare di k determinando in ciascun caso mf e Kerf. 2) Determinare la matrice M(f) associata ad f rispetto alla base canonica. 3) Verificare che f è semplice per ogni valore di k e determinare una base di autovettori indipendente dal parametro. 4) Nel caso k = 1 verificare che mf Kerf = R 3. 5) Per quale valore di k risulta (1, 0, 1) / mf? 1a) Determinare la generica retta r che passa per il punto P (1, 1, 0) e forma con l asse z un angolo di π 3. 1b) Determinare il luogo descritto dalla retta r e verificare che questo luogo è un cono C con vertice in P. 1c) Studiare la conica che si ottiene secando C col piano z = 1. 2) Studiare il fascio Φ di coniche del piano z = 0 di equazione Φ : (1 + h)x 2 + y 2 hy 1 h = 0 determinandone in particolare i punti base e le coniche spezzate. Determinare il vertice, il fuoco e l asse di simmetria della parabola di Φ.

8 DPARTMENTO D MATEMATCA E NFORMATCA Classe ngegneria ndustriale (G Pa) Prova scritta di Elementi di Algebra e Geometria assegnata il 12/12/02 B È assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni f(1, 2, 1) = (1, 2, 1) f(1, 2, 2) = (h, h + 1, h + 1) f(0, 1, 0) = (1 h, 2 h, 1 h) 1) Studiare l endomorfismo f al variare di h determinando in ciascun caso mf e Kerf. 2) Determinare la matrice M(f) associata ad f rispetto alla base canonica. 3) Verificare che f è semplice per ogni valore di h e determinare una base di autovettori indipendente dal parametro. 4) Nel caso h = 0 verificare che mf Kerf = R 3. 5) Per quale valore di h risulta (1, 0, 1) / mf? 1a) Determinare la generica retta r che passa per il punto P (1, 0, 1) e forma con l asse y un angolo di π 3. 1b) Determinare il luogo descritto dalla retta r e verificare che questo luogo è un cono C con vertice in P. 1c) Studiare la conica che si ottiene secando C col piano y = 1. 2) Studiare il fascio Φ di coniche del piano z = 0 di equazione Φ : kx 2 + y 2 (k 1)y k = 0 determinandone in particolare i punti base e le coniche spezzate. Determinare il vertice, il fuoco e l asse di simmetria della parabola di Φ.

9 DPARTMENTO D MATEMATCA E NFORMATCA Corso di laurea in ngegneria Civile Prova scritta di Geometria assegnata il 19/12/02 Durata della prova: tre ore. Non si può uscire dall aula prima di aver consegnato il compito. Usare solo la carta fornita dal Dipartimento, riconsegnandola tutta. È assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 associato alla matrice M(f) = h 0 0 2h 1 1 h 2h h 1 1) Studiare f al variare di h determinando in ciascun caso mf e Kerf. 2) Determinare i valori di h per cui (0, 2, 3) mf. Nel caso h = 0 determinare il sottoinsieme f 1 (0, 2, 3) = {v R 3 f(v) = (0, 2, 3)} 3) Verificare che f è semplice per ogni valore di h e determinare una base di autovettori indipendente dal parametro h. 4) Verificare che per ogni valore di h risulta mf Kerf = R 3. 1) Determinare la generica retta r parallela all asse z ed avente distanza 1 dall origine. Determinare la quadrica C luogo delle rette r, verificando che si tratta di un cilindro. Determinare il suo vertice. 2) Studiare il fascio Φ di coniche del piano z = 0 di equazione Φ : (λ + 1)x 2 + y 2 2(λ + 1)x + λy = 0 determinandone in particolare i punti base e le coniche spezzate. Dopo avere verificato che Φ contiene una sola parabola p, trovarne asse, vertice, fuoco. 3) Determinare il cono che ha p come direttrice e vertice (0, 0, 1).

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