Modelli dei Sistemi di Produzione Modelli e Algoritmi della Logistica

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1 Modelli dei Sistemi di Produzione Modelli e lgoritmi della Logistica 00- Scheduling: Macchina Singola CRLO MNNINO Saienza Università di Roma Diartimento di Informatica e Sistemistica

2 Il roblema /-/ w C Dati n ob,,n e una sola macchina ogni ob è quindi associata un unica oerazione. : temo di rocessamento (oerazione associata al) ob ssunzione > 0 er ogni w : eso del ob. w C : costo di comletamento del ob. s : istante d`inizio (variabile) del ob. I ob non ossono essere interrotti (no-reemtion) C = s + Problema : trovare uno scheduling s che minimizzi il temo di comletamento esato w C = w (s + ) Nella classificazione a tre indici: Problema /-/ w C

3 Formulazione disgiuntiva Job w Per comodità usiamo variabili C = s + min C + 5C + 9C + 6C 4 s.t. C C L =,, 4 (C C i ) (C i C i ) i, i, =,, 4 C L = 0, C R + =,, n Senza erdita di generalità si one C L = 0, che imlica C L Grafo disgiuntivo 9 9 9

4 Formulazione 0, Job w min C + 5C + 9C + 6C4 s.t. C > 6 C > 9 C > C4 > C - C + 00 x > 6 C - C - 00 x > -9 C - C + 00 x > 6 C - C - 00 x > -99 C - C x4 > 6 C4 - C - 00 x4 > -97 C - C + 00 x > 9 C - C - 00 x > -99 C - C x4 > 9 C4 - C - 00 x4 > -97 C - C x4 > C4 - C - 00 x4 > -97 binary x x x4 x x4 x4 end 9 6 File tio l, che uò essere letto dai rinciali solutori commerciali Variabili a sinistra, costanti a destra Il segno > denota il L Grafo disgiuntivo 9 9 9

5 Il roblema /-/ w C OSS: non conviene lasciare la macchina inattiva fra il comletamento di un ob e l`inizio del successivo In ogni soluzione ottima, un ob comincia quindi esattamente quando il recedente termina. Chiamiamo questa soluzione comatta. La sequenza (ermutazione),, n dei ob sulla macchina determina univocamente la soluzione comatta k- k n k k n Obs.: temo di comletamento del k-esimo ob C k r k r Problema /-/ w C : trovare la sequenza dei ob,, n che minimizza il temo di comletamento esato w C

6 La regola di Smith Regola di Smith: ordina er valori non crescenti del raorto w / Quindi, se,, n è una sequenza rodotta dalla regola di Smith: w w OSS. Se alcuni raorti coincidono, esistono iù sequenze che soddisfano la regola di Smith. w n n Th. 6. (Della regola di Smith) La soluzione comatta associata una sequenza,, n rodotta dalla regola di Smith è ottima er il roblema /-/ w C

7 Dimostrazione Regola di Smith Dimostrazione Teorema della regola di Smith Sia una sequenza ottima. Per assurdo suoniamo che non risetti la regola di Smith. Esistono quindi due ob adiacenti, e k, tale che k viene immediatamente doo in e si ha: w / < w k / k Consideriamo la sequenza ` ottenuta da invertendo e k t+ k ` k t t+ k t+ + k OBS. Tutti i temi di comletamento dei ob rimangono invariati tranne quelli del ob e del ob k.

8 Dimostrazione Regola di Smith ` i i t k Sia t il temo di comletamento del ob che recede in (e k in `) Siano C e C` i temi di comletamento in S e S`, risettivamente C` =t+ + k C`k =t+ k C =t+ C k =t+ + k Differenza di costo fra C e C: = wc wc = w (C` -C ) + w k (C`k -C k ) Sostituendo = w (t+ + k - t- ) + w k (t+ k t - - k ) = w ( k ) + w k (- ) t+ k t+ k C` C C`k C k t+ + k Da w / < w k / k w k < w k = w k - w k < 0 e non è ottima, contraddizione.

9 Esemio Job w w / = /, w / = 5/9, w / = 9, w 4 / 4 = Sequenza ottima: (, 4,, ) C = 9 C =, C =, C 4 = 4 w C = 8, w C =65, w C = 9, w 4 C 4 = 4 Costo totale = w C + w C + w C + w 4 C 4 = 6 OBS: il makesan 9 è uguale er ogni sequenza

10 Sequenze equivalenti Lemma. 6. (Sequenze Equivalenti) Se er ogni ob N, il suo eso w è uguale al suo temo di rocessamento, allora ogni sequenza è ottima Per ogni N, si ha w / =. Dal Teorema 6. (della regola di Smith) segue che ogni sequenza è ottima. Lemma. 6. (Valore della soluzione w = ) Se er ogni allora la soluzione ottima vale: f ( N) N N N si ha w = Per il Lemma 6. ogni sequenza è ottima: quindi anche = {,,,n} n n n- C = C = C n = + + n

11 Dimostrazione Lemma 6. Quindi lo schedule: r C r è ottimo e il suo valore f(n) è dato da ) ( ) ( ) ( ) ( n n N N r r N C w C N f i N N i i N n N,, Saendo che i N N i i N N f,, ) ( ) (,, N f i N N i i N N N

12 Poliedro degli schedule ammissibili Descriviamo l insieme S() R N degli scheduling ammissibili C. In altri termini C = (C,, C n ) T sequenza = {,, n} tale che C J C S() se e solo se esiste una C k,, n k k k C = (9,,,4) T S() 4 = {,4,,) 4 9 C = (0,0,,4) T S() = {,4,,)

13 Proiezione delle soluzioni Sia C = (C,, C n ) T R N uno schedule ammissibile, i.e. C S() Sia N un sottoinsieme di ob e sia S ( ) l insieme degli scheduling ammissibili er i soli ob in ( temi dei ob in ) llora la roiezione C di C nello sazio R soddisfa C S ( ) Esemio N = {,,,4}, = {,} C = (9,,,4) T S() = {,4,,)} 4 J C = (,) T = {,} 4 Naturalmente l ottimalità di C risetto a un sistema di esi w non imlica l ottimalità di C in S ( ) risetto w (C è in generale non comatta)

14 Vincoli validi Def. Sia dato un insieme di unti P R n, e siano a R n e b R. Il vincolo a T x b è detto valido er P se e solo se è soddisfatto da tutti i unti di P, ovvero se e solo se non esiste x P tale che a T x < b. P P Lemma. Sia dato un insieme di unti P R n, e sia a R n. Sia b = min{a T x: x P} llora a T x b è un vincolo valido er P. Infatti, se esistesse un unto x P tale che a T x < b si avrebbe min{a T x: x P} a T x < b contraddizione. 4

15 Prorietà degli schedule ammissibili Teorema. 6.4 () Sia N un sottoinsieme di ob e sia f ) ( llora il vincolo C f() è valido er S() Dim. Qual è il valore minimo che uò assumere la quantità? ) (, S C C ) ( * S C Sia C * la soluzione ottima del roblema ) ( : min S C C ) ( : min * S Q Q C ) ( ) ( : min f S Q Q dal Lemma 6. ) ( ) ( : min ) ( : min ) ( : f S Q Q S C C S C C C * roiezione di C nello sazio R

16 Esemio Esemio N = {,,,4}, = {,} J f() = ½ (+9) + ½ ( + 9 ) = 9 C f() 9C + C 9 C = (9,,,4) T S() C soddisfa il vincolo 9C + C = 9 + = 8 9

17 Il oliedro degli schedule ammissibili Per ogni N il vincolo C f() è valido er S() Chiamiamo S c () il oliedro degli scheduling comatti, e cioè l involucro convesso degli scheduling comatti associati a. Si uò far vedere che S c () coincide con S c (): C C f() N N C = f(n) R n Gli schedule comatti coincidono coi vertici Ext(S c ()) di S c ()

18 Esemio: vertici di S c () I vertici Ext(S c ()) di S c () corrisondono agli scheduling comatti. Esemio: C = (9,,,4) T S() = {,4,,)} J C = (7,7,,9) T S() = {,4,,)} Le combinazioni convesse aartengono al oliedro ma non corrisondono a schedule ammissibili Esemio: ½ C + ½ C = (,5,,.5)

19 Il roblema singola macchina Temo di comletamento esato con vincoli di recedenza

20 Il roblema /rec/ w C I questa arte affronteremo una generalizzazione del roblema singola macchina con temo di comletamento esato La generalizzazione revede la resenza di vincoli di recedenza fra ob Il roblema diviene in questo modo sostanzialmente iù difficile E imortante quindi oter disorre di buoni rilassamenti In linea di rinciio è ossibile usare la formulazione 0, associata al rogramma disgiuntivo corrisondente Tuttavia la resenza della big M rende questa formulazione molto debole Introduciamo quindi una tecnica generale er costruire rilassamenti nota come Rilassamento Lagrangiano

21 Il roblema /rec/ w C Dati n ob,,n e una sola macchina : temo di rocessamento (oerazione associata al) ob w : eso del ob. w C : costo di comletamento del ob. I ob non ossono essere interrotti (no-reemtion) C = s + lcuni ob osso iniziare solo doo il comletamento di altri: C C i + er ogni i Problema : trovare uno scheduling comatto C che minimizzi il temo di comletamento esato w C e soddisfi tutti i vincoli di recedenza Nella classificazione a tre indici: Problema /rec/ w C

22 Esemio Job w Grafo disgiuntivo C C + C 4 C + C 4 C +

23 Formulazione 0, Job w min C + 5C + 9C + 6C4 s.t. C > 6 C > 9 C > C4 > C - C + 00 x > 6 C - C - 00 x >= -9 binary x x x4 end C - C + 00 x > 9 C - C - 00 x > -99 C - C x4 > C4 - C - 00 x4 > -97 C - C > C4 - C > C4 - C > 6 9 Sol Ottima C = 6, C = 6, C = 7, C4 = 9. Valore: Grafo disgiuntivo x =x =x 4 =x =x 4 =x 4 = 9 9

24 Comlessità roblema /rec/ w C Il roblema /rec/ w C è in genere difficile comutazionalmente. Per alcune classi di vincoli aggiuntivi il roblema uò essere risolto efficientemente In articolare, se il grafo associato ai vincoli aggiuntivi è serie-arallelo (ad esemio, un cammino o un insieme di cammini assanti er nodi distinti). Si ossono usare tecniche di soluzione tio Branch&Bound Per alicare queste tecniche occorre definire un rilassamento Di seguito illustreremo una tecnica di rilassamento molto studiata, nota col nome di Rilassamento Lagrangiano.

25 Esemio min C + 5C + 9C + 6C 4 C - C u = C 4 - C u = C 4 - C u = C Ext(S c ()) min C + 5C + 9C + 6C 4 + ( - C + C ) + ( C 4 + C ) + ( C 4 + C ) C Ext(S c ()) + min 5C + 7C + 7C + C 4 C Ext(S c ()) Problema residuo risolvibile con il Greedy. J w' w / 5/6 7/ Valore z RL (u) = z RL ((,,) T ) = + 0 = < 69(valore ottimo P(Q) )

26 Teorema del Rilassamento Lagrangiano P(Q): z Q = min x {c T x: x b, x Q }, con Q R n e matrice m n RL(u): z RL (u) = min x {c T x + u T (b- x), x Q}, con u 0 Teorema 6.5 (del rilassamento lagrangiano) Per ogni RL(u) è un rilassamento di P(Q) e si ha z RL (u) z Q u m R Dim. La regione ammissibile Q di RL(u) è ottenuta rimuovendo vincoli da quella di P(Q): R ={x: x b, x Q} R Q x ammissibile er P(Q) x b b- x 0 u 0, b- x 0 u T (b- x ) 0 c T x + u T (b- x ) c T x (er ogni x R, la f.o.di RL(u) è della f.o. di P(Q) ) RL(u) è un rilassamento di P(Q) e z RL (u) z Q

27 Esemio min C + 5C + 9C + 6C 4 C - C u = C 4 - C u = C 4 - C u = C Ext(S c ()) min C + 5C + 9C + 6C 4 + ( - C + C ) + ( C 4 + C ) + ( C 4 + C ) C Ext(S c ()) 6+ min 5C + 8C + 8C + C 4 C Ext(S c ()) J w' w' / 5/6 8/9 8 / Valore z RL (u) = z RL ((,,) T ) = 6+ 0 = 8 < 69 (valore ottimo P(Q) ) OSS z RL ((,,) T ) = 8 > z RL ((,,) T )

28 Duale Lagrangiano Il valore z RL (u) =min x {c T x + u T (b- x), x Q}, u 0 varia con u Per ottenere il miglior lower bound ossibile, siamo interessati al massimo di z RL (u) al variare di u Il roblema DL: z RL =max u {z RL (u) } è detto Duale Lagrangiano. Quindi DL: max u min x {c T x + u T (b- x), x Q, u 0} DL è un robrema di rogrammazione non lineare e uò con varie tecniche (es. il metodo del subgradiente) essere risolto Di seguito mostreremo un aroccio basato sul metodo del simlesso dinamico.

29 Risolvere il duale lagrangiano DL: max u min x { c T x + u T (b- x), x Q, u 0} ssunzione : Q = {x,, x r } è un insieme finito Q} uò essere risolto er enumerazione trovando il minimo delle seguenti quantità Per fissato u = u il roblema min x {c T x + u T (b- x), x v (u ) = c T x + u T (b- x ) v (u ) = c T x + u T (b- x ) v r (u ) = c T x r + u T (b- x r ) OSS: min {v (u ),, v r (u )} = max {v: v v (u ),, v v r (u ), v R} DL uò essere riscritto come max u 0 max v {v: v v (u),, v v r (u), v R}

30 Risolvere il duale lagrangiano Quindi DL = max u min x {c T x + u T (b- x), x Q, u 0} diventa DLv max u max v v = max u,v v v c T x + u T (b- x ) v c T x + u T (b- x ) v c T x r + u T (b- x r ) v R, u R m + Le variabili di DLv sono v R e u R m Ogni vincolo corrisonde a un unto di Q Se Q è grande si uò (si deve!) alicare il metodo del simlesso dinamico. Comonente essenziale: oracolo di searazione.

31 Oracolo di Searazione Riga i Descrizione imlicita di: x ^ R n a i Oracolo di Searazione x^ P ={x R n : x<b} ^x P ^x P a ^ i x > b i vincolo violato b x^ < b i x^ P Oracolo di searazione: algoritmo che, dato un oliedro P ={x R n : x<b} e un unto x * R n stabilisce se x * P oure restituisce un vincolo della descrizione di P violato da x *

32 Oracolo di searazione er DLv Oracolo di Searazione: Data una soluzione (v *, u * ) di DLv trova un vincolo tale che v * > c T x t + (u * ) T (b- x t ) (vincolo violato) o dimostra che tale vincolo non esiste. I vincoli corrisondono ai unti di Q Oracolo di Searazione Trova x t Q che minimizza c T x t + (u * ) T (b- x t ) Se c T x t + u *T (b- x t ) < v * v u T (b- x t ) vincolo violato c x t ltrimenti c T x + u *T (b- x) v * er ogni x Q e non esiste un vincolo violato

33 Oracolo di searazione er /rec/ w C (u * ) T b + min c T x - u *T x x Q Nel caso del roblema /rec/ w C, doo aver rilassato i vincoli di recedenza C b, il roblema residuo è un roblema/-/ w C. Le soluzioni del rilassamento (insieme Q) sono quindi schedule comatti, corrisondenti ai vertici di S c () Il roblema di searazione er (v * u * ) diventa quindi u *T b + min w T C - u *T C C Ext(S c ()) Il roblema qua sora uò essere risolto con la regola di Smith.

34 Metodo del Simlesso Dinamico Risolve un roblema di Programmazione Lineare: max c T x : x P ={x R n : x b, c T x k} ssunzione: roblema non illimitato Due ingredienti: max c T x x b, c T x k x ^ R n Oracolo di Searazione di P Metodo del Simlesso ^x P ^x P ^ a i x > b i x * soluzione ottima roblema illimitato nessuna soluzione (P =

35 Definizione del roblema core D 0 d 0 b D=D 0 ; d=d 0 max c T x x Q = Dx<d, (P Q) c T x k Nuova D e nuovo d D d a T i b i ggiunta del vincolo violato Metodo del Q= Simlesso x * ottima (in Q) Oracolo di Searazione di P x * P a it x>b i x * P P= x * ottima

36 Esemio min C + 5C + 9C + 6C 4 C - C C 4 - C C 4 - C C Ext(S c ()) J w Risolviamo il duale lagrangiano alicando il simlesso dinamico Il roblema core iniziale è costruito a artire da vincoli corrisondenti a un sottoinsieme di schedule comatti. Senza erdita di generalità, ossiamo aggiungere al roblema (e al rimo roblema core) in vincolo v k con k oortuno, in modo da rendere non illimitati i roblemi nella successione. Essendo il valore finale di v un lower bound sul valore ottimo del roblema originario, k uò essere scelto come il valore di una soluzione ammissibile er il roblema originario.

37 Esemio min C + 5C + 9C + 6C 4 C - C C 4 - C C 4 - C C Ext(S c ()) J w La sequenza = {,, 4, } è ammissibile. C( ) = (5,9,9,8) T w T C = = 54 Possiamo orre nel duale lagrangiano v 54

38 Esemio Duale Lagrangiano max v v 54 v R, u R + J w Sol ottima: v * = 54, u * = (0,0,0) Oracolo di searazione u * b + min (w (u * ) T ) C C Ext(S c ()) 0+ min C + 5C + 9C + 6C 4 x Ext(S c ()) = (, 4,, ) C = (9,,, 4) J w w / / 5/9 9 Regola di Smith wc = 6

39 Esemio Duale Lagrangiano max v v 54 v R, u R + J w Sol ottima: v * = 54, u * = (0,0,0) C = (9,,, 4) Test w T C + (u * ) T (b- C ) < v * 6 < 54 Si aggiunge al duale lagrangiano il vincolo v u T (b- C ) w C w C = 6 C = (-8, -5, -9) b - C = (9, 8, ) v - 9u 8u u b

40 Esemio Duale Lagrangiano max v v 54 v - 9u 8u u 6 v R, u R + J w Sol ottima: v * = 54, u * = (.5,0,0) Oracolo di searazione (u * ) T b + min (w - (u * ) T ) C x Ext(S c ()),5+ min,5c + 5C -,5C + 6C 4 x Ext(S c ()) = (,4,, ) C = (6, 8, 9, 9) J w,5 5 -,5 6 w /, 5/9 -,5 Regola di Smith wc = 7

41 Esemio Duale Lagrangiano max v v 54 v - 9u 8u u 6 v R, u R + J w Sol ottima: v * = 54, u * = (.5,0,0) C = (6, 8, 9, 9) Test w T C + (u * ) T (b- C ) < v * Se violato da (v * u * ), si aggiunge al core il vincolo v u T (b- C ) w C w C = C = (,, -9) 0 0 b - C = (-, 0, ) 0 0 v - u + u 7 Il vincolo non è violato da (v * u * ), v * valore soluzione ottima del duale lagrangiano b