Modelli dei Sistemi di Produzione Modelli e Algoritmi della Logistica

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Modelli dei Sistemi di Produzione Modelli e Algoritmi della Logistica 2010-11"

Transcript

1 Modelli dei Sistemi di Produzione Modelli e lgoritmi della Logistica 00- Scheduling: Macchina Singola CRLO MNNINO Saienza Università di Roma Diartimento di Informatica e Sistemistica

2 Il roblema /-/ w C Dati n ob,,n e una sola macchina ogni ob è quindi associata un unica oerazione. : temo di rocessamento (oerazione associata al) ob ssunzione > 0 er ogni w : eso del ob. w C : costo di comletamento del ob. s : istante d`inizio (variabile) del ob. I ob non ossono essere interrotti (no-reemtion) C = s + Problema : trovare uno scheduling s che minimizzi il temo di comletamento esato w C = w (s + ) Nella classificazione a tre indici: Problema /-/ w C

3 Formulazione disgiuntiva Job w Per comodità usiamo variabili C = s + min C + 5C + 9C + 6C 4 s.t. C C L =,, 4 (C C i ) (C i C i ) i, i, =,, 4 C L = 0, C R + =,, n Senza erdita di generalità si one C L = 0, che imlica C L Grafo disgiuntivo 9 9 9

4 Formulazione 0, Job w min C + 5C + 9C + 6C4 s.t. C > 6 C > 9 C > C4 > C - C + 00 x > 6 C - C - 00 x > -9 C - C + 00 x > 6 C - C - 00 x > -99 C - C x4 > 6 C4 - C - 00 x4 > -97 C - C + 00 x > 9 C - C - 00 x > -99 C - C x4 > 9 C4 - C - 00 x4 > -97 C - C x4 > C4 - C - 00 x4 > -97 binary x x x4 x x4 x4 end 9 6 File tio l, che uò essere letto dai rinciali solutori commerciali Variabili a sinistra, costanti a destra Il segno > denota il L Grafo disgiuntivo 9 9 9

5 Il roblema /-/ w C OSS: non conviene lasciare la macchina inattiva fra il comletamento di un ob e l`inizio del successivo In ogni soluzione ottima, un ob comincia quindi esattamente quando il recedente termina. Chiamiamo questa soluzione comatta. La sequenza (ermutazione),, n dei ob sulla macchina determina univocamente la soluzione comatta k- k n k k n Obs.: temo di comletamento del k-esimo ob C k r k r Problema /-/ w C : trovare la sequenza dei ob,, n che minimizza il temo di comletamento esato w C

6 La regola di Smith Regola di Smith: ordina er valori non crescenti del raorto w / Quindi, se,, n è una sequenza rodotta dalla regola di Smith: w w OSS. Se alcuni raorti coincidono, esistono iù sequenze che soddisfano la regola di Smith. w n n Th. 6. (Della regola di Smith) La soluzione comatta associata una sequenza,, n rodotta dalla regola di Smith è ottima er il roblema /-/ w C

7 Dimostrazione Regola di Smith Dimostrazione Teorema della regola di Smith Sia una sequenza ottima. Per assurdo suoniamo che non risetti la regola di Smith. Esistono quindi due ob adiacenti, e k, tale che k viene immediatamente doo in e si ha: w / < w k / k Consideriamo la sequenza ` ottenuta da invertendo e k t+ k ` k t t+ k t+ + k OBS. Tutti i temi di comletamento dei ob rimangono invariati tranne quelli del ob e del ob k.

8 Dimostrazione Regola di Smith ` i i t k Sia t il temo di comletamento del ob che recede in (e k in `) Siano C e C` i temi di comletamento in S e S`, risettivamente C` =t+ + k C`k =t+ k C =t+ C k =t+ + k Differenza di costo fra C e C: = wc wc = w (C` -C ) + w k (C`k -C k ) Sostituendo = w (t+ + k - t- ) + w k (t+ k t - - k ) = w ( k ) + w k (- ) t+ k t+ k C` C C`k C k t+ + k Da w / < w k / k w k < w k = w k - w k < 0 e non è ottima, contraddizione.

9 Esemio Job w w / = /, w / = 5/9, w / = 9, w 4 / 4 = Sequenza ottima: (, 4,, ) C = 9 C =, C =, C 4 = 4 w C = 8, w C =65, w C = 9, w 4 C 4 = 4 Costo totale = w C + w C + w C + w 4 C 4 = 6 OBS: il makesan 9 è uguale er ogni sequenza

10 Sequenze equivalenti Lemma. 6. (Sequenze Equivalenti) Se er ogni ob N, il suo eso w è uguale al suo temo di rocessamento, allora ogni sequenza è ottima Per ogni N, si ha w / =. Dal Teorema 6. (della regola di Smith) segue che ogni sequenza è ottima. Lemma. 6. (Valore della soluzione w = ) Se er ogni allora la soluzione ottima vale: f ( N) N N N si ha w = Per il Lemma 6. ogni sequenza è ottima: quindi anche = {,,,n} n n n- C = C = C n = + + n

11 Dimostrazione Lemma 6. Quindi lo schedule: r C r è ottimo e il suo valore f(n) è dato da ) ( ) ( ) ( ) ( n n N N r r N C w C N f i N N i i N n N,, Saendo che i N N i i N N f,, ) ( ) (,, N f i N N i i N N N

12 Poliedro degli schedule ammissibili Descriviamo l insieme S() R N degli scheduling ammissibili C. In altri termini C = (C,, C n ) T sequenza = {,, n} tale che C J C S() se e solo se esiste una C k,, n k k k C = (9,,,4) T S() 4 = {,4,,) 4 9 C = (0,0,,4) T S() = {,4,,)

13 Proiezione delle soluzioni Sia C = (C,, C n ) T R N uno schedule ammissibile, i.e. C S() Sia N un sottoinsieme di ob e sia S ( ) l insieme degli scheduling ammissibili er i soli ob in ( temi dei ob in ) llora la roiezione C di C nello sazio R soddisfa C S ( ) Esemio N = {,,,4}, = {,} C = (9,,,4) T S() = {,4,,)} 4 J C = (,) T = {,} 4 Naturalmente l ottimalità di C risetto a un sistema di esi w non imlica l ottimalità di C in S ( ) risetto w (C è in generale non comatta)

14 Vincoli validi Def. Sia dato un insieme di unti P R n, e siano a R n e b R. Il vincolo a T x b è detto valido er P se e solo se è soddisfatto da tutti i unti di P, ovvero se e solo se non esiste x P tale che a T x < b. P P Lemma. Sia dato un insieme di unti P R n, e sia a R n. Sia b = min{a T x: x P} llora a T x b è un vincolo valido er P. Infatti, se esistesse un unto x P tale che a T x < b si avrebbe min{a T x: x P} a T x < b contraddizione. 4

15 Prorietà degli schedule ammissibili Teorema. 6.4 () Sia N un sottoinsieme di ob e sia f ) ( llora il vincolo C f() è valido er S() Dim. Qual è il valore minimo che uò assumere la quantità? ) (, S C C ) ( * S C Sia C * la soluzione ottima del roblema ) ( : min S C C ) ( : min * S Q Q C ) ( ) ( : min f S Q Q dal Lemma 6. ) ( ) ( : min ) ( : min ) ( : f S Q Q S C C S C C C * roiezione di C nello sazio R

16 Esemio Esemio N = {,,,4}, = {,} J f() = ½ (+9) + ½ ( + 9 ) = 9 C f() 9C + C 9 C = (9,,,4) T S() C soddisfa il vincolo 9C + C = 9 + = 8 9

17 Il oliedro degli schedule ammissibili Per ogni N il vincolo C f() è valido er S() Chiamiamo S c () il oliedro degli scheduling comatti, e cioè l involucro convesso degli scheduling comatti associati a. Si uò far vedere che S c () coincide con S c (): C C f() N N C = f(n) R n Gli schedule comatti coincidono coi vertici Ext(S c ()) di S c ()

18 Esemio: vertici di S c () I vertici Ext(S c ()) di S c () corrisondono agli scheduling comatti. Esemio: C = (9,,,4) T S() = {,4,,)} J C = (7,7,,9) T S() = {,4,,)} Le combinazioni convesse aartengono al oliedro ma non corrisondono a schedule ammissibili Esemio: ½ C + ½ C = (,5,,.5)

19 Il roblema singola macchina Temo di comletamento esato con vincoli di recedenza

20 Il roblema /rec/ w C I questa arte affronteremo una generalizzazione del roblema singola macchina con temo di comletamento esato La generalizzazione revede la resenza di vincoli di recedenza fra ob Il roblema diviene in questo modo sostanzialmente iù difficile E imortante quindi oter disorre di buoni rilassamenti In linea di rinciio è ossibile usare la formulazione 0, associata al rogramma disgiuntivo corrisondente Tuttavia la resenza della big M rende questa formulazione molto debole Introduciamo quindi una tecnica generale er costruire rilassamenti nota come Rilassamento Lagrangiano

21 Il roblema /rec/ w C Dati n ob,,n e una sola macchina : temo di rocessamento (oerazione associata al) ob w : eso del ob. w C : costo di comletamento del ob. I ob non ossono essere interrotti (no-reemtion) C = s + lcuni ob osso iniziare solo doo il comletamento di altri: C C i + er ogni i Problema : trovare uno scheduling comatto C che minimizzi il temo di comletamento esato w C e soddisfi tutti i vincoli di recedenza Nella classificazione a tre indici: Problema /rec/ w C

22 Esemio Job w Grafo disgiuntivo C C + C 4 C + C 4 C +

23 Formulazione 0, Job w min C + 5C + 9C + 6C4 s.t. C > 6 C > 9 C > C4 > C - C + 00 x > 6 C - C - 00 x >= -9 binary x x x4 end C - C + 00 x > 9 C - C - 00 x > -99 C - C x4 > C4 - C - 00 x4 > -97 C - C > C4 - C > C4 - C > 6 9 Sol Ottima C = 6, C = 6, C = 7, C4 = 9. Valore: Grafo disgiuntivo x =x =x 4 =x =x 4 =x 4 = 9 9

24 Comlessità roblema /rec/ w C Il roblema /rec/ w C è in genere difficile comutazionalmente. Per alcune classi di vincoli aggiuntivi il roblema uò essere risolto efficientemente In articolare, se il grafo associato ai vincoli aggiuntivi è serie-arallelo (ad esemio, un cammino o un insieme di cammini assanti er nodi distinti). Si ossono usare tecniche di soluzione tio Branch&Bound Per alicare queste tecniche occorre definire un rilassamento Di seguito illustreremo una tecnica di rilassamento molto studiata, nota col nome di Rilassamento Lagrangiano.

25 Esemio min C + 5C + 9C + 6C 4 C - C u = C 4 - C u = C 4 - C u = C Ext(S c ()) min C + 5C + 9C + 6C 4 + ( - C + C ) + ( C 4 + C ) + ( C 4 + C ) C Ext(S c ()) + min 5C + 7C + 7C + C 4 C Ext(S c ()) Problema residuo risolvibile con il Greedy. J w' w / 5/6 7/ Valore z RL (u) = z RL ((,,) T ) = + 0 = < 69(valore ottimo P(Q) )

26 Teorema del Rilassamento Lagrangiano P(Q): z Q = min x {c T x: x b, x Q }, con Q R n e matrice m n RL(u): z RL (u) = min x {c T x + u T (b- x), x Q}, con u 0 Teorema 6.5 (del rilassamento lagrangiano) Per ogni RL(u) è un rilassamento di P(Q) e si ha z RL (u) z Q u m R Dim. La regione ammissibile Q di RL(u) è ottenuta rimuovendo vincoli da quella di P(Q): R ={x: x b, x Q} R Q x ammissibile er P(Q) x b b- x 0 u 0, b- x 0 u T (b- x ) 0 c T x + u T (b- x ) c T x (er ogni x R, la f.o.di RL(u) è della f.o. di P(Q) ) RL(u) è un rilassamento di P(Q) e z RL (u) z Q

27 Esemio min C + 5C + 9C + 6C 4 C - C u = C 4 - C u = C 4 - C u = C Ext(S c ()) min C + 5C + 9C + 6C 4 + ( - C + C ) + ( C 4 + C ) + ( C 4 + C ) C Ext(S c ()) 6+ min 5C + 8C + 8C + C 4 C Ext(S c ()) J w' w' / 5/6 8/9 8 / Valore z RL (u) = z RL ((,,) T ) = 6+ 0 = 8 < 69 (valore ottimo P(Q) ) OSS z RL ((,,) T ) = 8 > z RL ((,,) T )

28 Duale Lagrangiano Il valore z RL (u) =min x {c T x + u T (b- x), x Q}, u 0 varia con u Per ottenere il miglior lower bound ossibile, siamo interessati al massimo di z RL (u) al variare di u Il roblema DL: z RL =max u {z RL (u) } è detto Duale Lagrangiano. Quindi DL: max u min x {c T x + u T (b- x), x Q, u 0} DL è un robrema di rogrammazione non lineare e uò con varie tecniche (es. il metodo del subgradiente) essere risolto Di seguito mostreremo un aroccio basato sul metodo del simlesso dinamico.

29 Risolvere il duale lagrangiano DL: max u min x { c T x + u T (b- x), x Q, u 0} ssunzione : Q = {x,, x r } è un insieme finito Q} uò essere risolto er enumerazione trovando il minimo delle seguenti quantità Per fissato u = u il roblema min x {c T x + u T (b- x), x v (u ) = c T x + u T (b- x ) v (u ) = c T x + u T (b- x ) v r (u ) = c T x r + u T (b- x r ) OSS: min {v (u ),, v r (u )} = max {v: v v (u ),, v v r (u ), v R} DL uò essere riscritto come max u 0 max v {v: v v (u),, v v r (u), v R}

30 Risolvere il duale lagrangiano Quindi DL = max u min x {c T x + u T (b- x), x Q, u 0} diventa DLv max u max v v = max u,v v v c T x + u T (b- x ) v c T x + u T (b- x ) v c T x r + u T (b- x r ) v R, u R m + Le variabili di DLv sono v R e u R m Ogni vincolo corrisonde a un unto di Q Se Q è grande si uò (si deve!) alicare il metodo del simlesso dinamico. Comonente essenziale: oracolo di searazione.

31 Oracolo di Searazione Riga i Descrizione imlicita di: x ^ R n a i Oracolo di Searazione x^ P ={x R n : x<b} ^x P ^x P a ^ i x > b i vincolo violato b x^ < b i x^ P Oracolo di searazione: algoritmo che, dato un oliedro P ={x R n : x<b} e un unto x * R n stabilisce se x * P oure restituisce un vincolo della descrizione di P violato da x *

32 Oracolo di searazione er DLv Oracolo di Searazione: Data una soluzione (v *, u * ) di DLv trova un vincolo tale che v * > c T x t + (u * ) T (b- x t ) (vincolo violato) o dimostra che tale vincolo non esiste. I vincoli corrisondono ai unti di Q Oracolo di Searazione Trova x t Q che minimizza c T x t + (u * ) T (b- x t ) Se c T x t + u *T (b- x t ) < v * v u T (b- x t ) vincolo violato c x t ltrimenti c T x + u *T (b- x) v * er ogni x Q e non esiste un vincolo violato

33 Oracolo di searazione er /rec/ w C (u * ) T b + min c T x - u *T x x Q Nel caso del roblema /rec/ w C, doo aver rilassato i vincoli di recedenza C b, il roblema residuo è un roblema/-/ w C. Le soluzioni del rilassamento (insieme Q) sono quindi schedule comatti, corrisondenti ai vertici di S c () Il roblema di searazione er (v * u * ) diventa quindi u *T b + min w T C - u *T C C Ext(S c ()) Il roblema qua sora uò essere risolto con la regola di Smith.

34 Metodo del Simlesso Dinamico Risolve un roblema di Programmazione Lineare: max c T x : x P ={x R n : x b, c T x k} ssunzione: roblema non illimitato Due ingredienti: max c T x x b, c T x k x ^ R n Oracolo di Searazione di P Metodo del Simlesso ^x P ^x P ^ a i x > b i x * soluzione ottima roblema illimitato nessuna soluzione (P =

35 Definizione del roblema core D 0 d 0 b D=D 0 ; d=d 0 max c T x x Q = Dx<d, (P Q) c T x k Nuova D e nuovo d D d a T i b i ggiunta del vincolo violato Metodo del Q= Simlesso x * ottima (in Q) Oracolo di Searazione di P x * P a it x>b i x * P P= x * ottima

36 Esemio min C + 5C + 9C + 6C 4 C - C C 4 - C C 4 - C C Ext(S c ()) J w Risolviamo il duale lagrangiano alicando il simlesso dinamico Il roblema core iniziale è costruito a artire da vincoli corrisondenti a un sottoinsieme di schedule comatti. Senza erdita di generalità, ossiamo aggiungere al roblema (e al rimo roblema core) in vincolo v k con k oortuno, in modo da rendere non illimitati i roblemi nella successione. Essendo il valore finale di v un lower bound sul valore ottimo del roblema originario, k uò essere scelto come il valore di una soluzione ammissibile er il roblema originario.

37 Esemio min C + 5C + 9C + 6C 4 C - C C 4 - C C 4 - C C Ext(S c ()) J w La sequenza = {,, 4, } è ammissibile. C( ) = (5,9,9,8) T w T C = = 54 Possiamo orre nel duale lagrangiano v 54

38 Esemio Duale Lagrangiano max v v 54 v R, u R + J w Sol ottima: v * = 54, u * = (0,0,0) Oracolo di searazione u * b + min (w (u * ) T ) C C Ext(S c ()) 0+ min C + 5C + 9C + 6C 4 x Ext(S c ()) = (, 4,, ) C = (9,,, 4) J w w / / 5/9 9 Regola di Smith wc = 6

39 Esemio Duale Lagrangiano max v v 54 v R, u R + J w Sol ottima: v * = 54, u * = (0,0,0) C = (9,,, 4) Test w T C + (u * ) T (b- C ) < v * 6 < 54 Si aggiunge al duale lagrangiano il vincolo v u T (b- C ) w C w C = 6 C = (-8, -5, -9) b - C = (9, 8, ) v - 9u 8u u b

40 Esemio Duale Lagrangiano max v v 54 v - 9u 8u u 6 v R, u R + J w Sol ottima: v * = 54, u * = (.5,0,0) Oracolo di searazione (u * ) T b + min (w - (u * ) T ) C x Ext(S c ()),5+ min,5c + 5C -,5C + 6C 4 x Ext(S c ()) = (,4,, ) C = (6, 8, 9, 9) J w,5 5 -,5 6 w /, 5/9 -,5 Regola di Smith wc = 7

41 Esemio Duale Lagrangiano max v v 54 v - 9u 8u u 6 v R, u R + J w Sol ottima: v * = 54, u * = (.5,0,0) C = (6, 8, 9, 9) Test w T C + (u * ) T (b- C ) < v * Se violato da (v * u * ), si aggiunge al core il vincolo v u T (b- C ) w C w C = C = (,, -9) 0 0 b - C = (-, 0, ) 0 0 v - u + u 7 Il vincolo non è violato da (v * u * ), v * valore soluzione ottima del duale lagrangiano b

Sapienza Università di Roma - Dipartimento di Ingegneria Informatica, Automatica e Gestionale

Sapienza Università di Roma - Dipartimento di Ingegneria Informatica, Automatica e Gestionale Saienza Università di Roma - Diartimento di Ingegneria Informatica, Automatica e Gestionale Scheduling Renato Bruni bruni@dis.uniroma.it Il materiale resentato è derivato da quello dei roff. A. Sassano

Dettagli

NUMERI RAZIONALI E REALI

NUMERI RAZIONALI E REALI NUMERI RAZIONALI E REALI CARLANGELO LIVERANI. Numeri Razionali Tutti sanno che i numeri razionali sono numeri del tio q con N e q N. Purtuttavia molte frazioni ossono corrisondere allo stesso numero, er

Dettagli

CBM a.s. 2012/2013 PROBLEMA DELL UTILE DEL CONSUMATORE CON IL VINCOLO DEL BILANCIO

CBM a.s. 2012/2013 PROBLEMA DELL UTILE DEL CONSUMATORE CON IL VINCOLO DEL BILANCIO CM a.s. /3 PROLEMA DELL TILE DEL CONSMATORE CON IL VINCOLO DEL ILANCIO Il consumatore è colui che acquista beni er destinarli al rorio consumo. Linsieme dei beni che il consumatore acquista rende il nome

Dettagli

Ottimizzazione nella gestione dei progetti Capitolo 4: la gestione dei costi (Programmazione multimodale): formulazioni

Ottimizzazione nella gestione dei progetti Capitolo 4: la gestione dei costi (Programmazione multimodale): formulazioni Ottimizzazione nella gestione dei progetti Capitolo 4: la gestione dei costi (Programmazione multimodale): formulazioni CARLO MANNINO Università di Roma La Sapienza Dipartimento di Informatica e Sistemistica

Dettagli

Logistica (mn) 6 CFU Appello del 22 Luglio 2010

Logistica (mn) 6 CFU Appello del 22 Luglio 2010 Logistica (mn) 6 CFU Aello del Luglio 010 NOME: COGNOME: MATR: Avvertenze ed istruzioni: Il comito dura ore e quindici. Non è ermesso lasciare l'aula senza consegnare il comito o ritirarsi. Se dovessero

Dettagli

Risposta: 2009 2010 Quantità Prezzo ( ) Quantità Prezzo ( ) Automobili 8.000 15.000 6.500 14.500 Biciclette 80.000 195,52 94.

Risposta: 2009 2010 Quantità Prezzo ( ) Quantità Prezzo ( ) Automobili 8.000 15.000 6.500 14.500 Biciclette 80.000 195,52 94. 1. Domanda Si consideri un sistema economico che roduce solo due beni: automobili e biciclette. È noto che nel 009 sono state rodotte 8.000 automobili che sono state venduto al rezzo di 15.000 e 80.000

Dettagli

Ricerca Operativa A.A. 2007/2008. 10. Dualità in Programmazione Lineare

Ricerca Operativa A.A. 2007/2008. 10. Dualità in Programmazione Lineare Ricerca Operativa A.A. 2007/2008 10. Dualità in Programmazione Lineare Luigi De Giovanni - Ricerca Operativa - 10. Dualità in Programmazione Lineare 10.1 Soluzione di un problema di PL: punti di vista

Dettagli

4. Reti correttrici e regolatori industriali. 4.1 Regolatori industriali. 4.1.1 Regolatore ad azione proporzionale P

4. Reti correttrici e regolatori industriali. 4.1 Regolatori industriali. 4.1.1 Regolatore ad azione proporzionale P 4. Reti correttrici e regolatori industriali Un sistema di controllo ad anello chiuso deve soddisfare le secifiche assegnate nel dominio della frequenza e quelle assegnate nel dominio del temo. Queste

Dettagli

Approcci esatti per il job shop

Approcci esatti per il job shop Approcci esatti per il job shop Riferimenti lezione: Carlier, J. (1982) The one-machine sequencing problem, European Journal of Operational Research, Vol. 11, No. 1, pp. 42-47 Carlier, J. & Pinson, E.

Dettagli

Ricerca Operativa 2. Introduzione al metodo del Simplesso

Ricerca Operativa 2. Introduzione al metodo del Simplesso Ricerca Operativa 2. Introduzione al metodo del Simplesso Luigi De Giovanni Giacomo Zambelli 1 Problemi di programmazione lineare Un problema di ottimizzazione vincolata è definito dalla massimizzazione

Dettagli

Sono casi particolari di MCF : SPT (cammini minimi) non vi sono vincoli di capacità superiore (solo x ij > 0) (i, j) A : c ij, costo di percorrenza

Sono casi particolari di MCF : SPT (cammini minimi) non vi sono vincoli di capacità superiore (solo x ij > 0) (i, j) A : c ij, costo di percorrenza Il problema di flusso di costo minimo (MCF) Dati : grafo orientato G = ( N, A ) i N, deficit del nodo i : b i (i, j) A u ij, capacità superiore (max quantità di flusso che può transitare) c ij, costo di

Dettagli

Il Metodo Branch and Bound

Il Metodo Branch and Bound Il Laura Galli Dipartimento di Informatica Largo B. Pontecorvo 3, 56127 Pisa laura.galli@unipi.it http://www.di.unipi.it/~galli 4 Novembre 2014 Ricerca Operativa 2 Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale

Dettagli

Esercizi di Ricerca Operativa I

Esercizi di Ricerca Operativa I Esercizi di Ricerca Operativa I Dario Bauso, Raffaele Pesenti May 10, 2006 Domande Programmazione lineare intera 1. Gli algoritmi per la programmazione lineare continua possono essere usati per la soluzione

Dettagli

Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Il problema del flusso di costo minimo

Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Il problema del flusso di costo minimo Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Il problema del flusso di costo minimo L. De Giovanni G. Zambelli 1 Problema del flusso a costo minimo Il problema del flusso a costo minimo é definito

Dettagli

L Q = 1. e nel ciclo di Carnot questo rendimento assume valore massimo pari a : η =

L Q = 1. e nel ciclo di Carnot questo rendimento assume valore massimo pari a : η = CICLI ERMODINAMICI DIREI: Maccine termice Le maccine ce anno come scoo uello di trasformare ciclicamente in lavoro il calore disonibile da una sorgente termica sono dette maccine termice o motrici e il

Dettagli

Sessione live #2 Settimana dal 24 al 30 marzo. Statistica Descrittiva (II): Analisi congiunta, Regressione lineare Quantili.

Sessione live #2 Settimana dal 24 al 30 marzo. Statistica Descrittiva (II): Analisi congiunta, Regressione lineare Quantili. Sessione lie # Settimana dal 4 al 30 marzo Statistica Descrittia (II): Analisi congiunta, Regressione lineare Quantili Lezioni CD: 3 4-5 Analisi congiunta Da un camione di 40 studenti sono stati rileati

Dettagli

1. Classificazione delle risorse

1. Classificazione delle risorse 1. Classificazione delle risorse Classificazione delle risorse in base alla disponibilità. - Risorse rinnovabili Sono risorse utilizzate per l esecuzione di una attività per tutta la sua durata, ma sono

Dettagli

IL TEOREMA DI PITAGORA

IL TEOREMA DI PITAGORA GEOMETRIA IL TEOREMA DI PITAGORA E LE SUE APPLICAZIONI PREREQUISITI l conoscere le rorietaá delle quattro oerazioni ed oerare con esse l conoscere il significato ed oerare con otenze ed estrazioni di radici

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 Controlli Digitali Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica CONTROLLORI PID Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it Introduzione regolatore Proorzionale, Integrale, Derivativo PID regolatori

Dettagli

Ricerca Operativa Esercizi risolti sulle condizioni di complementarietà primale-duale. L. De Giovanni, V. Dal Sasso

Ricerca Operativa Esercizi risolti sulle condizioni di complementarietà primale-duale. L. De Giovanni, V. Dal Sasso Ricerca Operativa Esercizi risolti sulle condizioni di complementarietà primale-duale L. De Giovanni, V. Dal Sasso 1 Esercizio 1. Dato il problema min 2x 1 x 2 s.t. x 1 + 2x 2 7 2x 1 x 2 6 3x 1 + 2x 2

Dettagli

Portata Q - è il volume di liquido mosso dalla pompa nell'unità di tempo; l'unità di misura della portata è m 3 /sec (l/s; m 3 /h).

Portata Q - è il volume di liquido mosso dalla pompa nell'unità di tempo; l'unità di misura della portata è m 3 /sec (l/s; m 3 /h). OME ER FLUIDI ALIMENARI Definizione Sono macchine oeratrici oeranti su fluidi incomrimibili in grado di trasformare l energia meccanica disonibile all albero di un motore in energia meccanica del fluido

Dettagli

1. Considerazioni generali

1. Considerazioni generali 1. Considerazioni generali Modelli di shop scheduling In molti ambienti produttivi l esecuzione di un job richiede l esecuzione non simultanea di un certo numero di operazioni su macchine dedicate. Ogni

Dettagli

Ripasso di microeconomia ECONOMIA E FINANZA PUBBLICA. Teoria del consumatore. Lezione n. 1. Teoria del consumatore. Le preferenze.

Ripasso di microeconomia ECONOMIA E FINANZA PUBBLICA. Teoria del consumatore. Lezione n. 1. Teoria del consumatore. Le preferenze. Università degli Studi di erugia Corso di Laurea Magistrale in Scienze della olitica e dell'mministrazione Lezione n. Riasso di microeconomia CONOMI FINNZ ULIC nza Caruso Le referenze Come i consumatori

Dettagli

Esercizi SINTESI E RIEPILOGO. Parole chiave. Formule e proprietà importanti. Tema B. In più: esercizi interattivi

Esercizi SINTESI E RIEPILOGO. Parole chiave. Formule e proprietà importanti. Tema B. In più: esercizi interattivi Unità Esercizi In iù: esercizi interattivi Tema B SINTESI E RIEPILG Parole chiave Ascissa. 17 Asse delle ascisse. 17 Asse delle ordinate. 17 Asse. 17 Asse. 17 Coefficiente angolare. 10 Coordinata. 17 Distanza

Dettagli

Ancora sulla II parte dell articolo ALCUNE REGOLARITA DAI NUMERI PRIMI di Guido Carolla 1

Ancora sulla II parte dell articolo ALCUNE REGOLARITA DAI NUMERI PRIMI di Guido Carolla 1 Ancora sulla II arte dell articolo ALCUNE REGOLARITA DAI NUMERI PRIMI di Guido Carolla 1 1. Un osservazione sulle somme contratte e sul software del massimo ga Facendo seguito a quanto l autore ha iniziato

Dettagli

6. CAMPO MAGNETICO ROTANTE.

6. CAMPO MAGNETICO ROTANTE. 6 CAMPO MAGNETICO ROTANTE Il camo magnetico monofase Il funzionamento delle macchine elettriche rotanti alimentate in corrente alternata si basa sul rinciio del camo magnetico rotante: il suo studio viene

Dettagli

1 Il campo elettrico. 1.1 Azione a distanza

1 Il campo elettrico. 1.1 Azione a distanza 1 Il camo elettrico 1.1 Azione a distanza L idea di interazione fra cori è stata semre associata all idea di un contatto: la ossibilità che un oggetto otesse esercitare un azione in una regione di sazio

Dettagli

TSP con eliminazione di sottocicli

TSP con eliminazione di sottocicli TSP con eliminazione di sottocicli Un commesso viaggiatore deve visitare 7 clienti in modo da minimizzare la distanza percorsa. Le distanze (in Km) tra ognuno dei clienti sono come segue: 7-8 9 7 9-8 79

Dettagli

0 A B I C O L M P E Q R F G D H N *

0 A B I C O L M P E Q R F G D H N * UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Modelli di Sistemi di Produzione I scritti d'esame appelli 2004/05 e 2005/06 Esercizio 1 job 3: I (M 1, 3) L (M 2, 4) M (M 3, 11)

Dettagli

Ricerca Operativa Dualità e programmazione lineare

Ricerca Operativa Dualità e programmazione lineare Ricerca Operativa Dualità e programmazione lineare L. De Giovanni AVVERTENZA: le note presentate di seguito non hanno alcuna pretesa di completezza, né hanno lo scopo di sostituirsi alle spiegazioni del

Dettagli

TSP con eliminazione di sottocicli

TSP con eliminazione di sottocicli TSP con eliminazione di sottocicli Un commesso viaggiatore deve visitare 7 clienti in modo da minimizzare la distanza percorsa. Le distanze (in Km) tra ognuno dei clienti sono come segue: 3 5 7-8 9 57

Dettagli

Una proposizione è una affermazione di cui si possa stabilire con certezza il valore di verità

Una proposizione è una affermazione di cui si possa stabilire con certezza il valore di verità Logica 1. Le roosizioni 1.1 Cosa studia la logica? La logica studia le forme del ragionamento. Si occua cioè di stabilire delle regole che ermettano di assare da un'affermazione vera ad un'altra affermazione

Dettagli

Parte 3: Gestione dei progetti, Shop scheduling

Parte 3: Gestione dei progetti, Shop scheduling Parte : Gestione dei progetti, Shop scheduling Rappresentazione reticolare di un progetto Insieme di attività {,...,n} p i durata (nota e deterministica dell attività i) relazione di precedenza fra attività:

Dettagli

Dispensa n.1 Esercitazioni di Analisi Mat. 1

Dispensa n.1 Esercitazioni di Analisi Mat. 1 Disensa n.1 Esercitazioni di Analisi Mat. 1 (a cura di L. Pisani) C.d.L. in Matematica Università degli Studi di Bari a.a. 2003/04 i Indice Notazioni iii 1 Princii di sostituzione 1 1.1 Funzioni equivalenti

Dettagli

PROVA FINALE V. AULETTA G. PERSIANO ALGORITMI II - -MAGIS INFO

PROVA FINALE V. AULETTA G. PERSIANO ALGORITMI II - -MAGIS INFO PROVA FINALE V. AULETTA G. PERSIANO ALGORITMI II - -MAGIS INFO 1. Load Balancing Un istanza del problema del load balancing consiste di una sequenza p 1,..., p n di interi positivi (pesi dei job) e un

Dettagli

E chiaro allora che, rappresentando l evento impossibile e quello certo le due situazioni limite, per un qualunque evento si avrà:

E chiaro allora che, rappresentando l evento impossibile e quello certo le due situazioni limite, per un qualunque evento si avrà: CORSO ELEMENTARE SULLA PROBABILITA Eserimento aleatorio: ogni fenomeno del mondo reale il cui svolgimento è accomagnato da un certo grado di incertezza. rova (tentativo) singola esecuzione di un ben determinato

Dettagli

b i 1,1,1 1,1,1 0,1,2 0,3,4

b i 1,1,1 1,1,1 0,1,2 0,3,4 V o Appello // RICERCA OPERATIVA - Corso A (a.a. 9/) Nome Cognome: Corso di Laurea: L C6 LS LM Matricola: ) Si consideri il problema di flusso di costo minimo in figura. Si verifichi se il flusso ammissibile

Dettagli

CUTPOINTS BRIDGES BLOCKS BLOCK GRAPHS - CUTPOINT GRAPHS

CUTPOINTS BRIDGES BLOCKS BLOCK GRAPHS - CUTPOINT GRAPHS CUTPOINTS BRIDGES BLOCKS BLOCK GRAPHS - CUTPOINT GRAPHS INTRODUZIONE Per conoscere la struttura di un grafo connesso è importante individuare nel grafo la distribuzione di certi punti detti cutpoints (punti

Dettagli

Formulazioni PLI di problemi di decisione. 1 Introduzione: La formulazione dei problemi di ottimizzazione combinatoria

Formulazioni PLI di problemi di decisione. 1 Introduzione: La formulazione dei problemi di ottimizzazione combinatoria Formulazioni PLI di problemi di decisione Dispensa per il modulo di Analisi e Ottimizzazione dei Processi di Produzione Università di Roma Tor Vergata a cura di Andrea Pacifici, Claudio Cavalletti, Daniela

Dettagli

- Trovare soluzione ottima primale ( con il simplesso o algoritmo analogo)

- Trovare soluzione ottima primale ( con il simplesso o algoritmo analogo) Se si ha un problema lineare e' possibile risolverlo in piu' modi (equivalenti ) - Trovare soluzione ottima primale ( con il simplesso o algoritmo analogo) - Trovare soluzione ottima duale (con il simplesso

Dettagli

ALGORITMO DEL SIMPLESSO

ALGORITMO DEL SIMPLESSO ALGORITMO DEL SIMPLESSO ESERCITAZIONI DI RICERCA OPERATIVA 1 ESERCIZIO 1. Risolvere il seguente programma lineare (a) con il metodo del simplesso e (b) con il metodo grafico. (1) min x 1 x () (3) (4) (5)

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA TOR VERGATA FACOLTÀ DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DEI MODELLI E DEI SISTEMI TESI DI LAUREA

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA TOR VERGATA FACOLTÀ DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DEI MODELLI E DEI SISTEMI TESI DI LAUREA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA TOR VERGATA FACOLTÀ DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DEI MODELLI E DEI SISTEMI TESI DI LAUREA Sistemi Ibridi: stabilità e alicazioni al controllo Relatore: Francesco

Dettagli

5 LAVORO ED ENERGIA. 5.1 Lavoro di una forza

5 LAVORO ED ENERGIA. 5.1 Lavoro di una forza 5 LAVR ED ENERGIA La valutazione dell equazione del moto di una articella a artire dalla forza agente su di essa risulta articolarmente semlice qualora la forza è costante; in tal caso è ossibile stabilire

Dettagli

L equilibrio chimico

L equilibrio chimico Equilibrio chimico L equilibrio chimico Ogni reazione, in un sistema chiuso, evolve sontaneamente ad uno stato di equilibrio Quando viene raggiunto lo stato di Equilibrio Chimico: le velocità della reazione

Dettagli

2 Formulazione dello shortest path come problema di flusso

2 Formulazione dello shortest path come problema di flusso Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2009/10 Lecture 20: 28 Maggio 2010 Cycle Monotonicity Docente: Vincenzo Auletta Note redatte da: Annibale Panichella Abstract In questa lezione

Dettagli

TRASFORMAZIONI LINEARI SUL PIANO

TRASFORMAZIONI LINEARI SUL PIANO TRASFORMAZIONI LINEARI SUL PIANO Sono trasformazioni lineari tutte le trasformazioni del tio: a b c d in forma matriciale: X A X B, cioè a c b d Dove a A c b d è la matrice della trasformazione. Se il

Dettagli

Schedulazione di attività in presenza di attività interrompibili

Schedulazione di attività in presenza di attività interrompibili Schedulazione di attività in presenza di attività interrompibili Maria Silvia Pini Resp. accademico: Prof.ssa Francesca Rossi Università di Padova Attività FSE DGR 1102/2010 La gestione dell informazione

Dettagli

Capitolo 3: Ottimizzazione Discreta. E. Amaldi DEIB, Politecnico di Milano

Capitolo 3: Ottimizzazione Discreta. E. Amaldi DEIB, Politecnico di Milano Capitolo 3: Ottimizzazione Discreta E. Amaldi DEIB, Politecnico di Milano 3.1 Modelli di PLI e PLMI Moltissimi problemi decisionali complessi possono essere formulati o approssimati come problemi di Programmazione

Dettagli

Introduzione Ordini parziali e Reticoli Punti fissi

Introduzione Ordini parziali e Reticoli Punti fissi Introduzione Ordini parziali e Reticoli Punti fissi By Giulia Costantini (819048) & Giuseppe Maggiore (819050) Table of Contents ORDINE PARZIALE... 3 Insieme parzialmente ordinato... 3 Diagramma di Hasse...

Dettagli

Trigonometria (tratto dal sito Compito in classe di Matematica di Gilberto Mao)

Trigonometria (tratto dal sito Compito in classe di Matematica di Gilberto Mao) Trigonometria (tratto dal sito Comito in classe di Matematica di Gilberto Mao) Teoria in sintesi Radiante: angolo al centro di una circonferenza che sottende un arco di lunghezza rettificata uguale al

Dettagli

I NUMERI INDICI. Numeri indici indici (misurano il livello di variabilità, concentrazione, dipendenza o interdipendenza, ecc.)

I NUMERI INDICI. Numeri indici indici (misurano il livello di variabilità, concentrazione, dipendenza o interdipendenza, ecc.) NUMER NDC Numeri indici indici (misurano il livello di variabilità, concentrazione, diendenza o interdiendenza, ecc.) si utilizzano er confrontare grandezze nel temo e nello sazio e sono dati dal raorto

Dettagli

Un puntatore è una variabile che contiene l indirizzo di una variabile. Una variabile di tipo puntatore è dichiarata tramite il costruttore di tipo *

Un puntatore è una variabile che contiene l indirizzo di una variabile. Una variabile di tipo puntatore è dichiarata tramite il costruttore di tipo * PUNTATORI Un untatore è una variabile che contiene l indirizzo di una variabile var. di tio "untatore a variabile di tio T" indir. di variab. variabile di tio T valore di tio T Una variabile di tio untatore

Dettagli

in forma matriciale: X = A X + B, cioè Se il det A = ad - bc è diverso da zero, la trasformazione è invertibile e quindi biunivoca; in tal caso la

in forma matriciale: X = A X + B, cioè Se il det A = ad - bc è diverso da zero, la trasformazione è invertibile e quindi biunivoca; in tal caso la TRASFORMAZIONI LINEARI SUL PIANO Sono trasformazioni lineari tutte le trasformazioni del tio: a b c d q in forma matriciale: X A X B, cioè a c b d q Dove a A c b d è la matrice della trasformazione. Se

Dettagli

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i DISTRIBUZIONE di PROBABILITA Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che uò assumere i valori: ; ;, n al verificarsi degli eventi incomatibili e comlementari: E ; E ;..;

Dettagli

Il caso delle reti sociali

Il caso delle reti sociali Il caso delle reti sociali Reti Small worlds Scale-free Reti e otere Mircofondamenti delle reti e redizione Reti di diendenza e formazione di coalizioni Piccoli mondi La teoria del mondo iccol: Stanley

Dettagli

APPLICAZIONI DELLA RICERCA OPERATIVA

APPLICAZIONI DELLA RICERCA OPERATIVA Università degli Studi della Calabria Laurea in Informatica A.A. 2004/2005 Appunti di supporto didattico al corso di APPLICAZIONI DELLA RICERCA OPERATIVA Indice 1 Introduzione alla teoria dello Scheduling

Dettagli

Ottimizzazione Multi Obiettivo

Ottimizzazione Multi Obiettivo Ottimizzazione Multi Obiettivo 1 Ottimizzazione Multi Obiettivo I problemi affrontati fino ad ora erano caratterizzati da una unica (e ben definita) funzione obiettivo. I problemi di ottimizzazione reali

Dettagli

Note di matematica per microeconomia

Note di matematica per microeconomia Note di matematica per microeconomia Luigi Balletta Funzioni di una variabile (richiami) Una funzione di variabile reale ha come insieme di partenza un sottoinsieme di R e come insieme di arrivo un sottoinsieme

Dettagli

Flusso a costo minimo e simplesso su reti

Flusso a costo minimo e simplesso su reti Flusso a costo minimo e simplesso su reti La particolare struttura di alcuni problemi di PL può essere talvolta utilizzata per la progettazione di tecniche risolutive molto più efficienti dell algoritmo

Dettagli

[4] che, nel caso piano, assume la seguente forma: T = [4 ] Denominate a x, a y e a z le componenti del vettore traslazione t ed indicando con

[4] che, nel caso piano, assume la seguente forma: T = [4 ] Denominate a x, a y e a z le componenti del vettore traslazione t ed indicando con L'LLINEMENTO DELLE SCNSIONI LSER SCNNER MEDINTE L'IMPLEMENTZIONE DI UN INSIEME RIDONDNTE DI SISTEMI RISOLUTIVI Massimo CHILLEMI, Luigi GICOBBE DISI Facoltà di Ingegneria Università di Messina, 0903977208,

Dettagli

190 LA DUALITÀ NELLA PROGRAMMAZIONE LINEARE 7.2 INTERPRETAZIONE DELLA DUALITÀ

190 LA DUALITÀ NELLA PROGRAMMAZIONE LINEARE 7.2 INTERPRETAZIONE DELLA DUALITÀ 190 LA DUALITÀ NELLA PROGRAMMAZIONE LINEARE 7.2 INTERPRETAZIONE DELLA DUALITÀ [Questo paragrafo non fa parte del programma di esame] Nei modelli reali le variabili (primali) possono rappresentare, ad esempio,

Dettagli

ESERCIZIO 1: Vincolo di bilancio lineare

ESERCIZIO 1: Vincolo di bilancio lineare Microeconomia rof. Barigozzi ESERCIZIO 1: Vincolo di bilancio lineare Si immagini un individuo che ha a disosizione un budget di 500 euro e deve decidere come allocare tale budget tra un bene, che ha un

Dettagli

SENSAZIONE SONORA. 18.1 L orecchio umano. 18.2 La sensazione sonora - Audiogramma normale

SENSAZIONE SONORA. 18.1 L orecchio umano. 18.2 La sensazione sonora - Audiogramma normale Corso di Imiati Tecnici a.a. 009/010 Docente: Prof. C. Isetti CAPITOLO 18 18.1 L orecchio umano La ercezione di suoni, come d altra arte già osservato al riguardo della luce, coinvolge sia asetti fisici

Dettagli

STABILITÀ DEI SISTEMI LINEARI

STABILITÀ DEI SISTEMI LINEARI STABILITÀ DEI SISTEMI LINEARI Quando un sistema fisico inizialmente in quiete viene sottoosto ad un ingresso di durata finita o di amiezza limitata, l uscita del sistema dovrebbe stabilizzarsi a un certo

Dettagli

SoftCare² Pro Touchless

SoftCare² Pro Touchless SoftCare² Pro Touchless l IMPIANTO COMBINATO SoftCare² Pro Touchless le massime restazioni di lavaggio touchless SoftCare² Pro Touchless Sono disonibili due varianti dell'imianto: semlice oure combinata

Dettagli

MATEMATICA DEL DISCRETO elementi di teoria dei grafi. anno acc. 2009/2010

MATEMATICA DEL DISCRETO elementi di teoria dei grafi. anno acc. 2009/2010 elementi di teoria dei grafi anno acc. 2009/2010 Grafi semplici Un grafo semplice G è una coppia ordinata (V(G), L(G)), ove V(G) è un insieme finito e non vuoto di elementi detti vertici o nodi di G, mentre

Dettagli

Esame di Ricerca Operativa - 20 settembre 2007 Facoltà di Architettura - Udine - CORREZIONE -

Esame di Ricerca Operativa - 20 settembre 2007 Facoltà di Architettura - Udine - CORREZIONE - Esame di Ricerca Operativa - settembre 7 Facoltà di rchitettura - Udine - CORREZIONE - Problema ( punti): Un azienda pubblicitaria deve svolgere un indagine di mercato per lanciare un nuovo prodotto. L

Dettagli

Valutazione dei consumi globali di energia e delle emissioni di un sistema

Valutazione dei consumi globali di energia e delle emissioni di un sistema ESERCITAZIONE 1 Valutazione dei consumi globali di energia e delle emissioni di un sistema Il sistema a cui faremo generalmente riferimento in questo corso sarà uno stabilimento di azienda manifatturiera,

Dettagli

CONCORRENZA PERFETTA E DINAMICA

CONCORRENZA PERFETTA E DINAMICA 1 CONCORRENZA PERFETTA E DINAMICA 1. La caratterizzazione dell'equilibrio di mercato Per caratterizzare un mercato di concorrenza erfetta consideriamo un certo numero di imrese che roducono e offrono tutte

Dettagli

Il trade-off Efficienza Equità. L ottimo paretiano e l ottimo sociale. Quale teoria della giustizia? ECONOMIA E FINANZA PUBBLICA

Il trade-off Efficienza Equità. L ottimo paretiano e l ottimo sociale. Quale teoria della giustizia? ECONOMIA E FINANZA PUBBLICA niversità degli Studi di erugia orso di Laurea Magistrale in Scienze della olitica e dell'mministrazione EONOMI E FINNZ LI Lezione n 7-8 Il trade-off Efficienza Equità L ottimo aretiano e l ottimo sociale

Dettagli

La FREQUENZA del suono

La FREQUENZA del suono ACUSTICA PSICOFISICA La FREQUENZA del suono Infra Audio Ultra... K Hz Frequenza L orecchio è sensibile solo a variazioni della ressione, intorno a quella media atmosferica, caratterizzate da oscillazioni

Dettagli

Dimensionamento dei lotti di produzione: il caso con variabilità nota

Dimensionamento dei lotti di produzione: il caso con variabilità nota Dimensionamento dei lotti di produzione: il caso con variabilità nota A. Agnetis In questi appunti studieremo alcuni modelli per il problema del lot sizing, vale a dire il problema di programmare la dimensione

Dettagli

Modelli di Sistemi di Produzione:

Modelli di Sistemi di Produzione: Modelli di Sistemi di Produzione: programma dettagliato - giugno 2007 1. Algoritmi Metaeuristici 1.1 Algoritmi costruttivi ed algoritmi di ricerca locale/metaeuristici 1.2 Algoritmo di ricerca locale 1.3

Dettagli

1. Sia dato un poliedro. Dire quali delle seguenti affermazioni sono corrette.

1. Sia dato un poliedro. Dire quali delle seguenti affermazioni sono corrette. . Sia dato un poliedro. (a) Un vettore x R n è un vertice di P se soddisfa alla seguenti condizioni: x P e comunque presi due punti distinti x, x 2 P tali che x x e x x 2 si ha x = ( β)x + βx 2 con β [0,

Dettagli

La dualità nella Programmazione Lineare

La dualità nella Programmazione Lineare Capitolo 5 La dualità nella Programmazione Lineare In questo capitolo verrà introdotto un concetto di fondamentale importanza sia per l analisi dei problemi di Programmazione Lineare, sia per lo sviluppo

Dettagli

Se x* e punto di minimo (locale) per la funzione nell insieme Ω, Ω = { x / g i (x) 0 i I, h j (x)= 0 j J } lo e anche per F(x) = f o (x) + c x x 2

Se x* e punto di minimo (locale) per la funzione nell insieme Ω, Ω = { x / g i (x) 0 i I, h j (x)= 0 j J } lo e anche per F(x) = f o (x) + c x x 2 NLP -OPT 1 CONDIZION DI OTTIMO [ Come ricavare le condizioni di ottimo. ] Si suppone x* sia punto di ottimo (minimo) per il problema min f o (x) con vincoli g i (x) 0 i I h j (x) = 0 j J la condizione

Dettagli

Ricerca Operativa. Claudio Arbib Universitàdi L Aquila. Problemi combinatorici (Gennaio 2006)

Ricerca Operativa. Claudio Arbib Universitàdi L Aquila. Problemi combinatorici (Gennaio 2006) Claudio Arbib Universitàdi L Aquila Ricerca Operativa Problemi combinatorici (Gennaio 2006) Sommario Problemi combinatorici Ottimizzazione combinatoria L algoritmo universale Il metodo greedy Problemi

Dettagli

I POLIEDRI GEOMETRIA 3 I PRISMI. richiami della teoria. COMPRENSIONE DELLA TEORIA 1 Completa la seguente definizione:

I POLIEDRI GEOMETRIA 3 I PRISMI. richiami della teoria. COMPRENSIONE DELLA TEORIA 1 Completa la seguente definizione: GEOMETRIA 3 I PRISMI richiami della teoria n Un oliedro eá la arte di sazio delimitata da oligoni osti su iani diversi in modo tale che ogni lato sia comune a due di essi; n la relazione di Eulero dice

Dettagli

VC-dimension: Esempio

VC-dimension: Esempio VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di. y b = 0 f() = 1 f() = 1 iperpiano 20? VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di? banale. Vediamo cosa succede con 2 punti: 21 VC-dimension: Esempio

Dettagli

MOSS (Mini One Stop Shop) Mini Sportello Unico

MOSS (Mini One Stop Shop) Mini Sportello Unico MOSS (Mini One Sto Sho) Mini Sortello Unico Oerazioni di e-commerce diretto Giovedì 13 novembre 2014 Gruo di lavoro oerazioni doganali e intracomunitarie Gruo di lavoro oerazioni doganali e intracomunitarie

Dettagli

Feature Selection per la Classificazione

Feature Selection per la Classificazione 1 1 Dipartimento di Informatica e Sistemistica Sapienza Università di Roma Corso di Algoritmi di Classificazione e Reti Neurali 20/11/2009, Roma Outline Feature Selection per problemi di Classificazione

Dettagli

CONOSCENZE. 5. le nozioni generali dei poliedri. 2. la relazione di Eulero 3. le nozioni generali dei prismi. e il calcolo dell'area

CONOSCENZE. 5. le nozioni generali dei poliedri. 2. la relazione di Eulero 3. le nozioni generali dei prismi. e il calcolo dell'area GEOMETRIA PREREQUISITI l l l l conoscere gli enti fondamentali della geometria iana e le loro rorietaá conoscere gli enti fondamentali nelle tre dimensioni conoscere le formule er il calcolo delle aree

Dettagli

N.B. La parte rilevante ai fini del corso di Metodologie Ecologiche è quella riquadrata.

N.B. La parte rilevante ai fini del corso di Metodologie Ecologiche è quella riquadrata. N.B. La arte rilevante ai fini del corso di Metodologie Ecologiche è quella riquadrata. Telerilevamento e modelli matematici Michele Scardi La biomassa fitolanctonica, generalmente esressa come concentrazione

Dettagli

Capitolo 4 GPS. Prof. MAURO CAPRIOLI. Capitolo 4 GPS

Capitolo 4 GPS. Prof. MAURO CAPRIOLI. Capitolo 4 GPS 89 ...89 1 - Introduzione...91 2 - Princiio di base del osizionamento GPS...92 3 - Organizzazione del sistema GPS...93 3.1 - La sezione saziale...93 3.2 - La sezione di controllo...95 3.3 - La sezione

Dettagli

Principi di Schedulazione in tempo reale

Principi di Schedulazione in tempo reale Principi di Schedulazione in tempo reale 1 Task in tempo reale Un task t i è una sequenza di processi in tempo reale τ ik ciascuno caratterizzato da q un tempo d arrivo r ik (r=release time, oppure a=arrival

Dettagli

Ricerca Operativa (Compito A) Appello del 18/06/2013 Andrea Scozzari

Ricerca Operativa (Compito A) Appello del 18/06/2013 Andrea Scozzari Ricerca Operativa (Compito A) Appello del 18/06/2013 Andrea Scozzari Esercizio n.1 Un azienda intende incrementare il proprio organico per ricoprire alcuni compiti scoperti. I dati relativi ai compiti

Dettagli

Università degli Studi di Milano / Bicocca Facoltà di Economia. Prova scritta del 12 luglio 2011 SOLUZIONI

Università degli Studi di Milano / Bicocca Facoltà di Economia. Prova scritta del 12 luglio 2011 SOLUZIONI Università degli Studi di Milano / Bicocca Facoltà di Economia MATEMATICA FINANZIARIA EcoCom A-Le / Li-Z Prova scritta del luglio SOLUZIONI Per gli studenti immatricolati entro il 7/8 (45cfu): L operazione

Dettagli

Esempi di modelli di programmazione lineare (intera) 2014

Esempi di modelli di programmazione lineare (intera) 2014 Esempi di modelli di programmazione lineare (intera) 2014 1) Combinando risorse Una ditta produce due tipi di prodotto, A e B, combinando e lavorando opportunamente tre risorse, R, S e T. In dettaglio:

Dettagli

CAPITOLO IX 9. - PROGRAMMAZIONE LINEARE INTERA

CAPITOLO IX 9. - PROGRAMMAZIONE LINEARE INTERA CAPITOLO IX 9. - PROGRAMMAZIONE LINEARE INTERA Molto spesso i risultati che si desidera ottenere come soluzione di un problema di programmazione lineare sono numeri interi, ad es. il numero di vagoni ferroviari

Dettagli

SIMULAZIONE ESAME di OTTIMIZZAZIONE Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale 2 o anno

SIMULAZIONE ESAME di OTTIMIZZAZIONE Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale 2 o anno SIMULAZIONE ESAME di OTTIMIZZAZIONE 28 novembre 2005 SIMULAZIONE ESAME di OTTIMIZZAZIONE Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale 2 o anno Cognome : XXXXXXXXXXXXXXXXX Nome : XXXXXXXXXXXXXX VALUTAZIONE

Dettagli

Prof. Ing. Michele Marra - Appunti delle Lezioni di Ricerca Operativa Sequenze CAPITOLO II

Prof. Ing. Michele Marra - Appunti delle Lezioni di Ricerca Operativa Sequenze CAPITOLO II CAPITOLO II 2. - PROBLEMI DI SEQUENZA I problemi di sequenza si presentano ogni qualvolta vi sono delle attività che richiedono delle risorse limitate ed indivisibili e bisogna definire l'ordine secondo

Dettagli

Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2009/10. Lecture 22: 1 Giugno 2010. Meccanismi Randomizzati

Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2009/10. Lecture 22: 1 Giugno 2010. Meccanismi Randomizzati Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica AA 2009/10 Lecture 22: 1 Giugno 2010 Meccanismi Randomizzati Docente Vincenzo Auletta Note redatte da: Davide Armidoro Abstract In questa lezione descriveremo

Dettagli

Regolazione degli impianti a vapore

Regolazione degli impianti a vapore Regolazione degli imianti a vaore Ing. A. Paolo Carlucci Nel rogetto di una centrale termoelettrica intervengono numerosi fattori: utilizzazione annua, ovvero quante ore all anno una centrale deve funzionare;

Dettagli

Problemi di localizzazione impianti

Problemi di localizzazione impianti Problemi di localizzazione impianti Laura Galli Dipartimento di Informatica Largo B. Pontecorvo 3, 56127 Pisa laura.galli@unipi.it http://www.di.unipi.it/~galli 2 Dicembre 2014 Ricerca Operativa 2 Laurea

Dettagli

Modelli di programmazione matematica Produzione Bin packing (Zaino) Trasporto Magazzino Assegnazione Commesso viaggiatore Scheduling Supply Chain

Modelli di programmazione matematica Produzione Bin packing (Zaino) Trasporto Magazzino Assegnazione Commesso viaggiatore Scheduling Supply Chain 1 PROGRAMMAZIONE LINEARE 1 1 Programmazione lineare 1.1 Modelli matematici Modelli di programmazione matematica Produzione Bin packing (Zaino) Trasporto Magazzino Assegnazione Commesso viaggiatore Scheduling

Dettagli

Ricerca Operativa e Logistica

Ricerca Operativa e Logistica Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili A.A. 2011/2012 Lezione 10: Variabili e vincoli logici Variabili logiche Spesso nei problemi reali che dobbiamo affrontare ci sono dei

Dettagli

Sommario della lezione

Sommario della lezione Università degli Studi di Salerno Corso di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 2014/15 p. 1/33 Sommario della lezione Ancora sui cammini minimi: Cammini minimi in grafi con archi di costo negativo Algoritmi

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

sorgente di lavoro meccanico operante in maniera ciclica internamente reversibile esternamente reversibile termostato T

sorgente di lavoro meccanico operante in maniera ciclica internamente reversibile esternamente reversibile termostato T CICLI MOORI Utilizzando un motore (sorgente di lavoro meccanico oerante in maniera ciclica) che evolve secondo il ciclo isotermo-adiabatico di Carnot in maniera internamente reversibile, scambiando calore

Dettagli

Appunti di Termodinamica

Appunti di Termodinamica ullio Paa unti di ermodinamica Per arofondire consultare il testo: Paa; Lezioni di Fisica-ermodinamica, edizioni Kaa, Roma 1 Sistemi e variabili termodinamiche Equazioni di stato 1 Introduzione La termodinamica

Dettagli