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1 ~~~~, Macchine in parallelo Consideriamo il problema P/ /F. Abbiamo cioè n job, disponibili per la lavorazione contemporaneamente ed abbiamo a disposizione, invece di una singola macchina, m macchine identiche in parallelo, quindi Pii = Pi dove con Pii indichiamo il tempo di lavorazione del pezzo i se lavorato dalla macchina j. Nel caso di m macchine in parallelo F = L..j=1 L..i=l,""m,""nj F... ') n dove nj è il numero di job assegnato alla macchina j e L:::i=1 nj = n. Ed inoltre L:::7;1 Fij = L:::7;1 Pij( nj - i + 1), questo perchè Fij = Plj Pij, dato che il flusso di Ji è dato dalla somma dei tempi di lavorazione di tutti i job che lo precedono sulla macchina j-esima (tempo di attesa del job Ji perchè la macchina sia libera). Abbiamo anche per questo problema un algoritmo che permette di trovare lo schedule che minimizza il flusso medio (se siamo nel caso in cui non è possibile interrompere la lavorazione di un job su una macchina per continuarla su un' altra, cioè in assenza di preemption): 26.

2 1) Ordiniamo i job in modo non decrescente rispetto ai tempi di lavorazione. 2) Assegnamo i job cosi ordinati alle singole macchine in modo da assegnare ogni volta il job alla macchina alla quale fino a quel momento sono stati assegnati job con un tempo globale di lavorazione minore rispetto alle altre. In pratica quello che viene fatto è assegnare i job in questo modo: m J[l] J[2] J[m] J[m+l] J[2m] Si ha cosi lo schedule ottimo Esempi notevoli Consideriamo ora il seguente problema: P2/pmtn/cmax cioè un problema con due macchine in parallelo, possibilità. di interruzione della lavorazione e con Cmax come criterio di ottimalità. (nel caso di una singola macchina Cmax è costante e non è perciò un criterio di ottimalità. valido). Per ciascuna macchina in parallelo il Make-span ( il tempo richiesto per completare la lavorazione di tutti i job) ottimo è ovviamente la somma dei tempi di lavorazione di tutti i job diviso m, numero di macchine (qui m = 2), se non esiste alcun job con tempo di lavorazione maggiore, cioè : M * = max { Li:l Pi,. max Pi }. m I=l,...,n Una tecnica elementare per la risoluzione del problema di Make-span ottimo, è stata fornita da.msjiaughton(!9~) nel caso di job indipendenti, con possibilità. di interruzione lavorando con due o più macchine in parallelo. Tale tecnica risolve cioè P2/pmtn/cmax ed il più generico P/pmtn/cmax.. Algoritmo di McNaughton 1. Scegliere un job e cominciare la lavorazione sulla prima macchina 27

3 2. Scegliere un qualsiasi job non ancora schedulato e schedularlo prima possibile sulla medesima macchina. Ripetere questo passo finchè la macchina non sia occupata per un tempo pari a M* (eventualmente interrompendo la lavorazione in corso) oppure fino ad esaurimento dei job 3. Sostituire la macchina con la sua successiva, azzerare il tempo e iterare il processo tornando al passo 2. La soluzione ottenuta è certamente la soluzione ottima dal momento che il tempo di lavorazione è equamente distribuito fra le varie macchine (ciascuna lavora lo stesso tempo }.tf*. n metodo però fornisce solo una delle possibili soluzioni, senza preoccuparsi del numero di interruzioni che si possono verificare, mentre una soluzione potrebbe risultare preferibile ad altre proprio per un minore numero di interruzioni. Più complessa è la risoluzione di problemi in cui non è prevista la possibilità. di interruzione. Si ottengono problemi ancora risolubili se aggiungiamo al problema P/ /cmax ~c~.t~!--completo) l'ipotesi di essere in presenza di vincoli di precedenz~ri "fi'mplill lavorazione unitarif P/~Pi = l/cmax è risolubile tramite l' algoritmo di Hu (1961) in tempo polinomiale (o(n)), si semplifica infatti la ricerca della soluzione ottima diminuendo il numero di soluzioni possibili. 1& stesse a:lg8fit,;:;-.e, medi8:~-.t" "~LLLplj,-j J.J.IOdtfiQe,.-IÌ.Q!~~ il ~f8è- J.em.a- ~ \t\ f ~ -\- o C $.'7 c P/tree,pi = l/cmax ~le relazioni di precedenza sono strutturate ad albero, i tempi di lavorazione sono tutti uguali e nessun job ha più di un diretto successore (in tree). Lo schema di Hu può essere usato anche ~U~..P:!4~)~vorazione non p/+'/.tt)t sono unitari purchè sia lecita_la interruziq!!~(tramite la quale interrompiamo la lavorazione dei job simulando tempi di lavorazione unitari). Se però non abbiamo neppure questa ipotesi allora l' algoritmo non garantisce l'ottimo. Tale algoritmo sfrutta una particolare tecnica per associare etichette ai vari job ed in base a tali etichette trova poi la soluzione ottima. In questo ultimo problema, ad esempio, ad ogni job viene assegnata come etichetta il tempo richiesto per lavorare i job che lo seguono nell' unico cammino che da lui arriva alla radice dell' albero che esprime le relazioni di precedenza fra job.. Algoritmo di H u 28

4 '" - :""-- ~- 7""- Fase di etichettamento fase a.) 1 1. Assegna.mo etichetta. O a. ciascun job terminale (senza. successori diret ti nell' albero che esprime le precedenze) 2. Per ciascun J j troviamo l'unico J k tale che j ~ k, ed assegna.mo al job J j etichetta. e j = ek + 1 Fase di sched uling fase b) 1. Se il numero di job senza. predecessori è $ m (numero di ma.cchine), schedulia.mo'questi job conìempora.nea.mente lascia.ndo ina.ttive le ma.cchine in più. Andia.mo a Se il numero di job senza. predecessori è ~ m (numero di ma.cchine), schedulia.mo gli m job con le etichette più grosse. 3. Eliminia.mo i job schedula.ti, tornia.mo a! finchè non sono - terminati i job da. schedula.re. '"- Esa.miniamo adesso il problema. in cui reinseriamo la. interruzione: P2/pmtn,prec/cmax cioè il problema. di pa.rtenza ma con l'inserimento di relazioni di precedenza fra job. Questo problema è risolubile in modo ottimo, in tempo polinomiale (c( n2») seguendo una strada che sfrutta. i risultati di McN aughton, _di Hu ed il fatto che, essendo possibile interrompere la làvorazione di un job, possiamo pensa.re di avere a. che fare con job con tempi di la.vorazione unitari.. Algoritmo di Muntz e Coffma.n Fase di etichettamento fase a) 1. Rimpiazzia.mo il job Jj con una catena. di job con tempi di lavorazione unita.ri ( j = 1,2,..., n ) 2. Assegnamo a ciascun job terminale nella. catena., l'etichetta O 3. Assegna.moaljob Jj l'etichetta. ;,,",,~~o~' ~o&~.~ L..' t' ej = max{ei t.c.j ~ i} + 1 Fase di sched uling fase b) 1. Poniamo k = O,e = max{ei} con i = 1,..., n 2. Creia.mo l'insieme Sk assegnando a. Sk i job tali che ej = e Se più di un job è assegnato a Sk vai a 4 altrimenti vai a 3 29

5 3. Consideriamo i job tali che ej = e-l. Se qualcuno di questi non ha predecessorin nessuna catena oppure li ha tutti assegnati agli insiemi 51,52,..., 5k-l, allora assegnamolo a 5k. A 4. Se e =, cominciamo lo schedule degli insiemi applicando <:1- la regola di McNaughton, altrimenti decrementiamo e di l, incrementiamo k di 1 e torniamo a ~--~'~..'-~~=-- i In pratica l' algoritmo suddivide i job in sottoinsiemi caratterizzati dal non avere alloro interno relazioni di precedenza tra i job stessi. Successivamente utilizza la regola di McNaughton per risolvere in ogni sottoinsieme il problema P2/pmtn/cmax' Sfortunatamente l' algoritmo fornisce la soluzione ottima più lo schedule solo nel ottimo. caso di problemi con due macchine, se m > 2 ~~~ f~iììisce- -- Si può, mantenendo le precedenze, sopprimere la possibilità. di interruzione inserendo un' altra ipotesi P2/prec,p= l/cmax ed anche in questo caso si possiede un algoritmo che determina in tempo polinomiale la soluzione. Anche solo aumentando il numero di macchine (P/prec,p = l/cmax) il problema diventa però NP-Completo. I problemi dove si sopprime la possibilità. di interruzione senza inserire nessuna ipotesi aggiuntiva cioè: P/ /cmax sono NP-Completi e, per risolverli, non abbiamo che processi euristici che non garantiscono il raggiungi mento del Make-span ottimo. Fra questi ricordiamo il metodo Longer Processing Time (L.P. T.) nel quale i job vengono ordinati secondo tempi di lavorazione non crescenti (ordinamento L.P. T.).. Tecnica euristica L.P. T. l. Ordinare i job secondo la tecnica L.P.T. 2. Schedulare i job assegnando ogni volta il job da schedulare alla macchina che ha il minore tempo di lavorazione già. assegnato. Per problemi con macchine in parallelo dove non sia permessa la interruzione, il valore del Make-span ottimo fornisce una limitazione inferiore 30

6 per M, valore ottenuto senza interruzione. il rapporto -li- può perciò essere preso come stima dell' efficienza dell' algoritmo. Cercare di minimizzare il valore di M è un problema risolubile tramite la programmazione intera: la funzione obiettivo è minm con i seguenti vincoli: n ~ O'v'j = 1,2,...,m M - LPiXij i=l ryv LXi. = 1 'v'i = 1,2,...,n.=1 dove Xii = 1 se l'i-esimo job è assegnato alla macchina j-esima xii = O altrimenti (il secondo vincolo indica che una soluzione accettabile assegnerà. il job i-esimo solo ad una macchina). il problema cosi formalizzato contiene m + n vincoli in nm + 1 variabili. 1.7 Problemi con più macchine I problemi di scheduling possono essere divisi a seconda del percorso che i job devono compiere attraverso le macchine presenti nel sistema: abbiamo perciò, come già. visto, problemi OPEN-SHOP, FLOW-SHOP, JOB-SHOP Problemi di tipo OPEN-SHOP Fra i problemi di questa classe solo quelli che prevedono Cmax come misura di ottimalità. sono risolubili in tempo polinomiale, gli altri risultano tutti NP-Completi (eccezion fatta per 0/ pmtn, Ti/ Lmax risolubile tramite un algoritmo di programmazione lineare). il problema 02//cmax e' risolubile in tempo polinomiale ( o( n)) con l' algoritmo di Gonzalez e Sahni (1976) e di conseguenza l'introduzione della possibilità. del preemption non porta diminuzione del tempo di esecuzione. Basta però variare di poco le ipotesi per ottenere problemi NP-Completi: per esempio aumentare il numero di macchine ottenendo 03//cmax, 31

7 inserire date di arrivo differenziate per i vari job 02/ri/Cmax, oppure inserire relazioni di precedenza fra job 02/tree/cmax. Essendo questi problemi NP-Completi, tale risulterà anche il più generico O//cmax' In generale l'introduzione della interruzione permette di risolvere problemi altrimenti non risolubili; risolubili sono infatti: O/pmtn/cmax, 02/pmtn,ri/Cmax, 03/pmtn,tree/cmax' Notevoli contributi in proposito sono dovuti a Gonzalez e Sahni (1976,1979). In ogni caso la soluzione ottenuta inserendo l'interruzione fornisce una limitazione inferiore della soluzione ottima Problemi di tipo FLOW-SHOP Nel caso di problemi con una sola macchina c' è corrispondenza biunivoca fra le possibili sequenze dei job e le possibili permutazioni di n indici. Per trovare la sequenza ottima basta perciò considerare tutte le n! permutazioni di n indici. Lo stesso discorso vale per ciascuna delle m macchine che in- (" tervengono in un generico problema flow-shop: per c!-~cuna macchina sono possibili n! combinazioni, quindi complessivamente-( n!)m possibili sequenze da esaminare.... ") Le seguenti proprietà permettono di scartare alcune possibilità: Proprietà 1: scelta una misura di performance regolare, è sufficiente considerare solo gli schedule in cui la stessa sequenza di job si presenta alle macchi ne l e 2 Proprietà 2: scelta come misura di performance il Make-span minimo, è sufficiente considerare soltanto gli schedule in cui la stessa sequenza di job si presenta alle macchine m-l ed m. 32

8 Uno schedule di permutazione è soltajlto uno schedule in cui la stessa sequenza di job si presenta su tutte le macchine, esso è perciò completamente caratterizzato dalla permutazione di indici che lo ha generato. Dalle due proprietà enunciate sopra discende che è sufficiente considerare schedule di permutazione nei seguenti due casi: 1. misura di performance regolare, m = 2 2. obiettivo min Make - span, m = 2 o m = 3 Minimizzare il Make-span in un problema Flow-shop con due sole macchine è noto come problema di Johnson e, tramite il suo algoritmo (1954) è risolubile in modo ottimo in tempo o( n log n). Tale algoritmo si basa sul seguente risultato: Teòrema 1.12 Per problemi F2//Cmax iljob Ji precede iljob Jj nella sequenza ottima se -" i. min{pii,pj2} :$ min{pi2,pji}, {-.1 dove Pir indica il tempo di lavornzione del job Ji sulla macchina r. Algoritmo di Johnson 1. trovare min{pii,pi2} (a) se tale minimo è associato alla macchina 1, porre il job associato nella prima posizione libera della lista. Andare a 2. (b) se tale minimo è associato alla macchina 2, poni il job associato nell' ultima posizione libera della lista. Andare a eliminare il job assegnato e tornare a 1. finchè tutte le posizioni della lista non sono piene La lista finale contiene quindi la permutazione ottima. Vediamone il funzionamento su di un semplice esempio: Abbiamo 7 job da lavorare su due macchine con i seguenti tempi di lavorazione ai (per i = 1,...,7) su MI e bi (per i = 1,...,7) su M2: job MI \7 M

9 Al primo passo si ha che a4 = 1 = min{6,2,4, 1,...,8, 1, 5,6} perciò j4 è il primojob da schedulare nell' ordinamento ottimo < j4,... >. Eliminiamo j4 e procedendo si ha che bs = 1 = min{6,2,4,7,...,3,1,5,6} ottenendo cosi la soluzione parziale <j4,...,js>. Si procede ora trovando che b1 = b3 = min{ 6,2,4,4,...,9,3,5, 6} dovendo cosi scegliere quale fra jl e j3 mettere in penultima posizione, notiamo quindi che non si ha unicità dello schedule ottimo. Proseguendo cosi' si trovano le due soluzioni ottime complete e < j4,j2,j6,j7,jl,j3,js > < j4,j2,j6,j7,j3,jl,js >.6 È possibile una generalizzazione di questo processo nel caso che le macchine siano tre; tale generalizzazione si basa sul seguente risultato: Teorema 1.13 Si ha che:. se min{pkl}?: max{pk2}' cioè se i tempi di lavorazione sulla macchina 1 sono sempre maggiori di quelli sulla macchina 2, allora il job Ji precede il job J j nello schedule ottimo se min{pil + Pi2,Pj2 + Pj3} $: min{pi2 + Pi3,Pjl + Pj2}. se min {Pk3}?: max {Pk2} allora il job J i precede il job J j nello schedule ottimo se min{pil + Pi2,Pj2 + Pj3} $: min{pi2 + Pi3,Pjl + Pj2} L' algoritmo che risolve il problema con tre macchine è sostanzialmente lo stesso di quello per due macchine dove il primo passo è però sostituito dalla ricerca del min {PiI + Pi2, Pi2 + Pi3} e poi procede esattamente allo stesso modo. Se non vale nessuna di queste proprietà di dominanza, il problema delle tre macchine è NP-completo. Può essere risolto in modo euristico spezzandolo in due sottoproblemi, cioè quelli legati alle prime due ed alle ultime due macchine. Se risolvendo separatamente questi due otteniamo la stessa soluzione ottima (nella parte comune), concatenandole otteniamo anche la soluzione ottima del problema di partenza. 34

10 1.7.3 Problemi di tipo JOB-SHOP L' algoritmo che permette la risoluzione di questo tipo di problemi è sempre quello di Johnson. Ad esempio il problema '\ J2/mj ~ 2/cmax è risolubile in tale modo in un tempo o(n.logn). Dividiamo i job in quattro classi a seconda del tipo di lavorazione della quale necessitano: Tipo A B C D lavoraz. su MI M2 MI 1-+ M2 M2 1-+ MI Si ordinano i job di tipo C e D secondo la regola di Johnson e si fanno lavorare alle due macchine i job nel seguente ordine: macchina MI macchina M2 In modo analogo (risultato dovuto a Hefetz e Adui, 1979) si può risolvere il problema J2/Pij = l/cmax. Se modifichiamo qualche condizione o aumentiamo il numero delle macchine otteniamo problemi NP-Completi, tali sono: J3/mj ~ 3/cmax J3/mj ~ 2/cmax ed ovviamente il più generico fra tutti J / /Cmax. n problema della lettura dei giornali affrontato in modo euristico pagine addietro si colloca in questa classe di problemi: ed è NP-completo. J4/ri/Cmax 35

11 Bibliography [1] K.R.Baker lntrodution to sequencing and scheduling John Wiley & sons, 1974 [2] R. W. Conway, W.L. Maxwell, L. W. Miller Theory oj scheduling Addison- Wesley Publishing Company, 1967 [3] E.G. Coffman, Jr. Computer and job-shop scheduling theory John Wiley & sons, 1976 [4] M.A.H. Dempster, J.K. Lenstra, A.H.G. Rinnoykan Deterministic and stochastic scheduling D. Reidel Publishing Company,

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