,""m,""nj F... n dove nj è il numero di job assegnato alla macchina j e L:::i=1 nj = n. Ed

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download ",""m,""nj F... n dove nj è il numero di job assegnato alla macchina j e L:::i=1 nj = n. Ed"

Transcript

1 ~~~~, Macchine in parallelo Consideriamo il problema P/ /F. Abbiamo cioè n job, disponibili per la lavorazione contemporaneamente ed abbiamo a disposizione, invece di una singola macchina, m macchine identiche in parallelo, quindi Pii = Pi dove con Pii indichiamo il tempo di lavorazione del pezzo i se lavorato dalla macchina j. Nel caso di m macchine in parallelo F = L..j=1 L..i=l,""m,""nj F... ') n dove nj è il numero di job assegnato alla macchina j e L:::i=1 nj = n. Ed inoltre L:::7;1 Fij = L:::7;1 Pij( nj - i + 1), questo perchè Fij = Plj Pij, dato che il flusso di Ji è dato dalla somma dei tempi di lavorazione di tutti i job che lo precedono sulla macchina j-esima (tempo di attesa del job Ji perchè la macchina sia libera). Abbiamo anche per questo problema un algoritmo che permette di trovare lo schedule che minimizza il flusso medio (se siamo nel caso in cui non è possibile interrompere la lavorazione di un job su una macchina per continuarla su un' altra, cioè in assenza di preemption): 26.

2 1) Ordiniamo i job in modo non decrescente rispetto ai tempi di lavorazione. 2) Assegnamo i job cosi ordinati alle singole macchine in modo da assegnare ogni volta il job alla macchina alla quale fino a quel momento sono stati assegnati job con un tempo globale di lavorazione minore rispetto alle altre. In pratica quello che viene fatto è assegnare i job in questo modo: m J[l] J[2] J[m] J[m+l] J[2m] Si ha cosi lo schedule ottimo Esempi notevoli Consideriamo ora il seguente problema: P2/pmtn/cmax cioè un problema con due macchine in parallelo, possibilità. di interruzione della lavorazione e con Cmax come criterio di ottimalità. (nel caso di una singola macchina Cmax è costante e non è perciò un criterio di ottimalità. valido). Per ciascuna macchina in parallelo il Make-span ( il tempo richiesto per completare la lavorazione di tutti i job) ottimo è ovviamente la somma dei tempi di lavorazione di tutti i job diviso m, numero di macchine (qui m = 2), se non esiste alcun job con tempo di lavorazione maggiore, cioè : M * = max { Li:l Pi,. max Pi }. m I=l,...,n Una tecnica elementare per la risoluzione del problema di Make-span ottimo, è stata fornita da.msjiaughton(!9~) nel caso di job indipendenti, con possibilità. di interruzione lavorando con due o più macchine in parallelo. Tale tecnica risolve cioè P2/pmtn/cmax ed il più generico P/pmtn/cmax.. Algoritmo di McNaughton 1. Scegliere un job e cominciare la lavorazione sulla prima macchina 27

3 2. Scegliere un qualsiasi job non ancora schedulato e schedularlo prima possibile sulla medesima macchina. Ripetere questo passo finchè la macchina non sia occupata per un tempo pari a M* (eventualmente interrompendo la lavorazione in corso) oppure fino ad esaurimento dei job 3. Sostituire la macchina con la sua successiva, azzerare il tempo e iterare il processo tornando al passo 2. La soluzione ottenuta è certamente la soluzione ottima dal momento che il tempo di lavorazione è equamente distribuito fra le varie macchine (ciascuna lavora lo stesso tempo }.tf*. n metodo però fornisce solo una delle possibili soluzioni, senza preoccuparsi del numero di interruzioni che si possono verificare, mentre una soluzione potrebbe risultare preferibile ad altre proprio per un minore numero di interruzioni. Più complessa è la risoluzione di problemi in cui non è prevista la possibilità. di interruzione. Si ottengono problemi ancora risolubili se aggiungiamo al problema P/ /cmax ~c~.t~!--completo) l'ipotesi di essere in presenza di vincoli di precedenz~ri "fi'mplill lavorazione unitarif P/~Pi = l/cmax è risolubile tramite l' algoritmo di Hu (1961) in tempo polinomiale (o(n)), si semplifica infatti la ricerca della soluzione ottima diminuendo il numero di soluzioni possibili. 1& stesse a:lg8fit,;:;-.e, medi8:~-.t" "~LLLplj,-j J.J.IOdtfiQe,.-IÌ.Q!~~ il ~f8è- J.em.a- ~ \t\ f ~ -\- o C $.'7 c P/tree,pi = l/cmax ~le relazioni di precedenza sono strutturate ad albero, i tempi di lavorazione sono tutti uguali e nessun job ha più di un diretto successore (in tree). Lo schema di Hu può essere usato anche ~U~..P:!4~)~vorazione non p/+'/.tt)t sono unitari purchè sia lecita_la interruziq!!~(tramite la quale interrompiamo la lavorazione dei job simulando tempi di lavorazione unitari). Se però non abbiamo neppure questa ipotesi allora l' algoritmo non garantisce l'ottimo. Tale algoritmo sfrutta una particolare tecnica per associare etichette ai vari job ed in base a tali etichette trova poi la soluzione ottima. In questo ultimo problema, ad esempio, ad ogni job viene assegnata come etichetta il tempo richiesto per lavorare i job che lo seguono nell' unico cammino che da lui arriva alla radice dell' albero che esprime le relazioni di precedenza fra job.. Algoritmo di H u 28

4 '" - :""-- ~- 7""- Fase di etichettamento fase a.) 1 1. Assegna.mo etichetta. O a. ciascun job terminale (senza. successori diret ti nell' albero che esprime le precedenze) 2. Per ciascun J j troviamo l'unico J k tale che j ~ k, ed assegna.mo al job J j etichetta. e j = ek + 1 Fase di sched uling fase b) 1. Se il numero di job senza. predecessori è $ m (numero di ma.cchine), schedulia.mo'questi job conìempora.nea.mente lascia.ndo ina.ttive le ma.cchine in più. Andia.mo a Se il numero di job senza. predecessori è ~ m (numero di ma.cchine), schedulia.mo gli m job con le etichette più grosse. 3. Eliminia.mo i job schedula.ti, tornia.mo a! finchè non sono - terminati i job da. schedula.re. '"- Esa.miniamo adesso il problema. in cui reinseriamo la. interruzione: P2/pmtn,prec/cmax cioè il problema. di pa.rtenza ma con l'inserimento di relazioni di precedenza fra job. Questo problema è risolubile in modo ottimo, in tempo polinomiale (c( n2») seguendo una strada che sfrutta. i risultati di McN aughton, _di Hu ed il fatto che, essendo possibile interrompere la làvorazione di un job, possiamo pensa.re di avere a. che fare con job con tempi di la.vorazione unitari.. Algoritmo di Muntz e Coffma.n Fase di etichettamento fase a) 1. Rimpiazzia.mo il job Jj con una catena. di job con tempi di lavorazione unita.ri ( j = 1,2,..., n ) 2. Assegnamo a ciascun job terminale nella. catena., l'etichetta O 3. Assegna.moaljob Jj l'etichetta. ;,,",,~~o~' ~o&~.~ L..' t' ej = max{ei t.c.j ~ i} + 1 Fase di sched uling fase b) 1. Poniamo k = O,e = max{ei} con i = 1,..., n 2. Creia.mo l'insieme Sk assegnando a. Sk i job tali che ej = e Se più di un job è assegnato a Sk vai a 4 altrimenti vai a 3 29

5 3. Consideriamo i job tali che ej = e-l. Se qualcuno di questi non ha predecessorin nessuna catena oppure li ha tutti assegnati agli insiemi 51,52,..., 5k-l, allora assegnamolo a 5k. A 4. Se e =, cominciamo lo schedule degli insiemi applicando <:1- la regola di McNaughton, altrimenti decrementiamo e di l, incrementiamo k di 1 e torniamo a ~--~'~..'-~~=-- i In pratica l' algoritmo suddivide i job in sottoinsiemi caratterizzati dal non avere alloro interno relazioni di precedenza tra i job stessi. Successivamente utilizza la regola di McNaughton per risolvere in ogni sottoinsieme il problema P2/pmtn/cmax' Sfortunatamente l' algoritmo fornisce la soluzione ottima più lo schedule solo nel ottimo. caso di problemi con due macchine, se m > 2 ~~~ f~iììisce- -- Si può, mantenendo le precedenze, sopprimere la possibilità. di interruzione inserendo un' altra ipotesi P2/prec,p= l/cmax ed anche in questo caso si possiede un algoritmo che determina in tempo polinomiale la soluzione. Anche solo aumentando il numero di macchine (P/prec,p = l/cmax) il problema diventa però NP-Completo. I problemi dove si sopprime la possibilità. di interruzione senza inserire nessuna ipotesi aggiuntiva cioè: P/ /cmax sono NP-Completi e, per risolverli, non abbiamo che processi euristici che non garantiscono il raggiungi mento del Make-span ottimo. Fra questi ricordiamo il metodo Longer Processing Time (L.P. T.) nel quale i job vengono ordinati secondo tempi di lavorazione non crescenti (ordinamento L.P. T.).. Tecnica euristica L.P. T. l. Ordinare i job secondo la tecnica L.P.T. 2. Schedulare i job assegnando ogni volta il job da schedulare alla macchina che ha il minore tempo di lavorazione già. assegnato. Per problemi con macchine in parallelo dove non sia permessa la interruzione, il valore del Make-span ottimo fornisce una limitazione inferiore 30

6 per M, valore ottenuto senza interruzione. il rapporto -li- può perciò essere preso come stima dell' efficienza dell' algoritmo. Cercare di minimizzare il valore di M è un problema risolubile tramite la programmazione intera: la funzione obiettivo è minm con i seguenti vincoli: n ~ O'v'j = 1,2,...,m M - LPiXij i=l ryv LXi. = 1 'v'i = 1,2,...,n.=1 dove Xii = 1 se l'i-esimo job è assegnato alla macchina j-esima xii = O altrimenti (il secondo vincolo indica che una soluzione accettabile assegnerà. il job i-esimo solo ad una macchina). il problema cosi formalizzato contiene m + n vincoli in nm + 1 variabili. 1.7 Problemi con più macchine I problemi di scheduling possono essere divisi a seconda del percorso che i job devono compiere attraverso le macchine presenti nel sistema: abbiamo perciò, come già. visto, problemi OPEN-SHOP, FLOW-SHOP, JOB-SHOP Problemi di tipo OPEN-SHOP Fra i problemi di questa classe solo quelli che prevedono Cmax come misura di ottimalità. sono risolubili in tempo polinomiale, gli altri risultano tutti NP-Completi (eccezion fatta per 0/ pmtn, Ti/ Lmax risolubile tramite un algoritmo di programmazione lineare). il problema 02//cmax e' risolubile in tempo polinomiale ( o( n)) con l' algoritmo di Gonzalez e Sahni (1976) e di conseguenza l'introduzione della possibilità. del preemption non porta diminuzione del tempo di esecuzione. Basta però variare di poco le ipotesi per ottenere problemi NP-Completi: per esempio aumentare il numero di macchine ottenendo 03//cmax, 31

7 inserire date di arrivo differenziate per i vari job 02/ri/Cmax, oppure inserire relazioni di precedenza fra job 02/tree/cmax. Essendo questi problemi NP-Completi, tale risulterà anche il più generico O//cmax' In generale l'introduzione della interruzione permette di risolvere problemi altrimenti non risolubili; risolubili sono infatti: O/pmtn/cmax, 02/pmtn,ri/Cmax, 03/pmtn,tree/cmax' Notevoli contributi in proposito sono dovuti a Gonzalez e Sahni (1976,1979). In ogni caso la soluzione ottenuta inserendo l'interruzione fornisce una limitazione inferiore della soluzione ottima Problemi di tipo FLOW-SHOP Nel caso di problemi con una sola macchina c' è corrispondenza biunivoca fra le possibili sequenze dei job e le possibili permutazioni di n indici. Per trovare la sequenza ottima basta perciò considerare tutte le n! permutazioni di n indici. Lo stesso discorso vale per ciascuna delle m macchine che in- (" tervengono in un generico problema flow-shop: per c!-~cuna macchina sono possibili n! combinazioni, quindi complessivamente-( n!)m possibili sequenze da esaminare.... ") Le seguenti proprietà permettono di scartare alcune possibilità: Proprietà 1: scelta una misura di performance regolare, è sufficiente considerare solo gli schedule in cui la stessa sequenza di job si presenta alle macchi ne l e 2 Proprietà 2: scelta come misura di performance il Make-span minimo, è sufficiente considerare soltanto gli schedule in cui la stessa sequenza di job si presenta alle macchine m-l ed m. 32

8 Uno schedule di permutazione è soltajlto uno schedule in cui la stessa sequenza di job si presenta su tutte le macchine, esso è perciò completamente caratterizzato dalla permutazione di indici che lo ha generato. Dalle due proprietà enunciate sopra discende che è sufficiente considerare schedule di permutazione nei seguenti due casi: 1. misura di performance regolare, m = 2 2. obiettivo min Make - span, m = 2 o m = 3 Minimizzare il Make-span in un problema Flow-shop con due sole macchine è noto come problema di Johnson e, tramite il suo algoritmo (1954) è risolubile in modo ottimo in tempo o( n log n). Tale algoritmo si basa sul seguente risultato: Teòrema 1.12 Per problemi F2//Cmax iljob Ji precede iljob Jj nella sequenza ottima se -" i. min{pii,pj2} :$ min{pi2,pji}, {-.1 dove Pir indica il tempo di lavornzione del job Ji sulla macchina r. Algoritmo di Johnson 1. trovare min{pii,pi2} (a) se tale minimo è associato alla macchina 1, porre il job associato nella prima posizione libera della lista. Andare a 2. (b) se tale minimo è associato alla macchina 2, poni il job associato nell' ultima posizione libera della lista. Andare a eliminare il job assegnato e tornare a 1. finchè tutte le posizioni della lista non sono piene La lista finale contiene quindi la permutazione ottima. Vediamone il funzionamento su di un semplice esempio: Abbiamo 7 job da lavorare su due macchine con i seguenti tempi di lavorazione ai (per i = 1,...,7) su MI e bi (per i = 1,...,7) su M2: job MI \7 M

9 Al primo passo si ha che a4 = 1 = min{6,2,4, 1,...,8, 1, 5,6} perciò j4 è il primojob da schedulare nell' ordinamento ottimo < j4,... >. Eliminiamo j4 e procedendo si ha che bs = 1 = min{6,2,4,7,...,3,1,5,6} ottenendo cosi la soluzione parziale <j4,...,js>. Si procede ora trovando che b1 = b3 = min{ 6,2,4,4,...,9,3,5, 6} dovendo cosi scegliere quale fra jl e j3 mettere in penultima posizione, notiamo quindi che non si ha unicità dello schedule ottimo. Proseguendo cosi' si trovano le due soluzioni ottime complete e < j4,j2,j6,j7,jl,j3,js > < j4,j2,j6,j7,j3,jl,js >.6 È possibile una generalizzazione di questo processo nel caso che le macchine siano tre; tale generalizzazione si basa sul seguente risultato: Teorema 1.13 Si ha che:. se min{pkl}?: max{pk2}' cioè se i tempi di lavorazione sulla macchina 1 sono sempre maggiori di quelli sulla macchina 2, allora il job Ji precede il job J j nello schedule ottimo se min{pil + Pi2,Pj2 + Pj3} $: min{pi2 + Pi3,Pjl + Pj2}. se min {Pk3}?: max {Pk2} allora il job J i precede il job J j nello schedule ottimo se min{pil + Pi2,Pj2 + Pj3} $: min{pi2 + Pi3,Pjl + Pj2} L' algoritmo che risolve il problema con tre macchine è sostanzialmente lo stesso di quello per due macchine dove il primo passo è però sostituito dalla ricerca del min {PiI + Pi2, Pi2 + Pi3} e poi procede esattamente allo stesso modo. Se non vale nessuna di queste proprietà di dominanza, il problema delle tre macchine è NP-completo. Può essere risolto in modo euristico spezzandolo in due sottoproblemi, cioè quelli legati alle prime due ed alle ultime due macchine. Se risolvendo separatamente questi due otteniamo la stessa soluzione ottima (nella parte comune), concatenandole otteniamo anche la soluzione ottima del problema di partenza. 34

10 1.7.3 Problemi di tipo JOB-SHOP L' algoritmo che permette la risoluzione di questo tipo di problemi è sempre quello di Johnson. Ad esempio il problema '\ J2/mj ~ 2/cmax è risolubile in tale modo in un tempo o(n.logn). Dividiamo i job in quattro classi a seconda del tipo di lavorazione della quale necessitano: Tipo A B C D lavoraz. su MI M2 MI 1-+ M2 M2 1-+ MI Si ordinano i job di tipo C e D secondo la regola di Johnson e si fanno lavorare alle due macchine i job nel seguente ordine: macchina MI macchina M2 In modo analogo (risultato dovuto a Hefetz e Adui, 1979) si può risolvere il problema J2/Pij = l/cmax. Se modifichiamo qualche condizione o aumentiamo il numero delle macchine otteniamo problemi NP-Completi, tali sono: J3/mj ~ 3/cmax J3/mj ~ 2/cmax ed ovviamente il più generico fra tutti J / /Cmax. n problema della lettura dei giornali affrontato in modo euristico pagine addietro si colloca in questa classe di problemi: ed è NP-completo. J4/ri/Cmax 35

11 Bibliography [1] K.R.Baker lntrodution to sequencing and scheduling John Wiley & sons, 1974 [2] R. W. Conway, W.L. Maxwell, L. W. Miller Theory oj scheduling Addison- Wesley Publishing Company, 1967 [3] E.G. Coffman, Jr. Computer and job-shop scheduling theory John Wiley & sons, 1976 [4] M.A.H. Dempster, J.K. Lenstra, A.H.G. Rinnoykan Deterministic and stochastic scheduling D. Reidel Publishing Company,

Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera

Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera L. De Giovanni AVVERTENZA: le note presentate di seguito non hanno alcuna pretesa di completezza, né hanno lo scopo di sostituirsi

Dettagli

Albero semantico. Albero che mette in corrispondenza ogni formula con tutte le sue possibili interpretazioni.

Albero semantico. Albero che mette in corrispondenza ogni formula con tutte le sue possibili interpretazioni. Albero semantico Albero che mette in corrispondenza ogni formula con tutte le sue possibili interpretazioni. A differenza dell albero sintattico (che analizza la formula da un punto di vista puramente

Dettagli

Esercizi per il corso di Algoritmi e Strutture Dati

Esercizi per il corso di Algoritmi e Strutture Dati 1 Esercizi per il corso di Algoritmi e Strutture Dati Esercizi sulla Tecnica Divide et Impera N.B. Tutti gli algoritmi vanno scritti in pseudocodice (non in Java, né in C++, etc. ). Di tutti gli algoritmi

Dettagli

Massimo Paolucci (paolucci@dist.unige.it) DIST Università di Genova. Metodi per supportare le decisioni relative alla gestione di progetti

Massimo Paolucci (paolucci@dist.unige.it) DIST Università di Genova. Metodi per supportare le decisioni relative alla gestione di progetti Project Management Massimo Paolucci (paolucci@dist.unige.it) DIST Università di Genova Project Management 2 Metodi per supportare le decisioni relative alla gestione di progetti esempi sono progetti nell

Dettagli

IL GIOCO DEL 15. OVVERO: 1000$ PER SPOSTARE DUE BLOCCHETTI

IL GIOCO DEL 15. OVVERO: 1000$ PER SPOSTARE DUE BLOCCHETTI IL GIOCO DEL. OVVERO: 000$ PER SPOSTARE DUE BLOCCHETTI EMANUELE DELUCCHI, GIOVANNI GAIFFI, LUDOVICO PERNAZZA Molti fra i lettori si saranno divertiti a giocare al gioco del, uno dei più celebri fra i giochi

Dettagli

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti 4. Insiemi numerici 4.1 Insiemi numerici Insieme dei numeri naturali = {0,1,,3,,} Insieme dei numeri interi relativi = {..., 3,, 1,0, + 1, +, + 3, } Insieme dei numeri razionali n 1 1 1 1 = : n, m \{0}

Dettagli

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI LUCIA GASTALDI 1. Metodi iterativi classici Sia A R n n una matrice non singolare e sia b R n. Consideriamo il sistema (1) Ax = b. Un metodo iterativo per la soluzione

Dettagli

IL PROBLEMA DELLO SHORTEST SPANNING TREE

IL PROBLEMA DELLO SHORTEST SPANNING TREE IL PROBLEMA DELLO SHORTEST SPANNING TREE n. 1 - Formulazione del problema Consideriamo il seguente problema: Abbiamo un certo numero di città a cui deve essere fornito un servizio, quale può essere l energia

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

AA 2006-07 LA RICORSIONE

AA 2006-07 LA RICORSIONE PROGRAMMAZIONE AA 2006-07 LA RICORSIONE AA 2006-07 Prof.ssa A. Lanza - DIB 1/18 LA RICORSIONE Il concetto di ricorsione nasce dalla matematica Una funzione matematica è definita ricorsivamente quando nella

Dettagli

DI D AGRA R MM M I M A BLOCC C H C I TEORI R A E D D E SERC R I C ZI 1 1

DI D AGRA R MM M I M A BLOCC C H C I TEORI R A E D D E SERC R I C ZI 1 1 DIAGRAMMI A BLOCCHI TEORIA ED ESERCIZI 1 1 Il linguaggio dei diagrammi a blocchi è un possibile formalismo per la descrizione di algoritmi Il diagramma a blocchi, o flowchart, è una rappresentazione grafica

Dettagli

Flusso a costo minimo e simplesso su reti

Flusso a costo minimo e simplesso su reti Flusso a costo minimo e simplesso su reti La particolare struttura di alcuni problemi di PL può essere talvolta utilizzata per la progettazione di tecniche risolutive molto più efficienti dell algoritmo

Dettagli

Seconda Prova di Ricerca Operativa. Cognome Nome Numero Matricola A 1/12 A 2/12

Seconda Prova di Ricerca Operativa. Cognome Nome Numero Matricola A 1/12 A 2/12 A / A / Seconda Prova di Ricerca Operativa Cognome Nome Numero Matricola Nota: LA RISOLUZIONE CORRETTA DEGLI ESERCIZI CONTRADDISTINTI DA UN ASTERISCO È CONDIZIONE NECESSARIA PER IL RAGGIUNGIMENTO DELLA

Dettagli

PROBLEMA DELLA RICERCA DI UN ELEMENTO IN UN ARRAY E ALGORITMI RISOLUTIVI

PROBLEMA DELLA RICERCA DI UN ELEMENTO IN UN ARRAY E ALGORITMI RISOLUTIVI PROBLEMA DELLA RICERCA DI UN ELEMENTO IN UN ARRAY E ALGORITMI RISOLUTIVI PROBLEMA DELLA RICERCA in termini generali: Dati in input un insieme S di elementi (numeri, caratteri, stringhe, ) e un elemento

Dettagli

Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello

Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello Maurizio Palesi Maurizio Palesi 1 Introduzione Obiettivo della sintesi logica: ottimizzazione delle cifre di merito area e prestazioni Prestazioni:

Dettagli

Appunti sulle disequazioni

Appunti sulle disequazioni Premessa Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) Appunti sulle disequazioni Questa breve trattazione non vuole costituire una guida completa ed esauriente sull argomento, ma vuole fornire

Dettagli

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Definizione 1. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite, in forma normale, è del tipo a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 + +

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

Esame di Ricerca Operativa del 18/12/12. Esercizio 1. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare:

Esame di Ricerca Operativa del 18/12/12. Esercizio 1. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: Esame di Ricerca Operativa del 8// (Cognome) (Nome) (Corso di laurea) Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x x x x x x x + x x x + x 8 x Base

Dettagli

Sistemi Operativi 1. Mattia Monga. a.a. 2008/09. Dip. di Informatica e Comunicazione Università degli Studi di Milano, Italia mattia.monga@unimi.

Sistemi Operativi 1. Mattia Monga. a.a. 2008/09. Dip. di Informatica e Comunicazione Università degli Studi di Milano, Italia mattia.monga@unimi. 1 Mattia Dip. di Informatica e Comunicazione Università degli Studi di Milano, Italia mattia.monga@unimi.it a.a. 2008/09 1 c 2009 M.. Creative Commons Attribuzione-Condividi allo stesso modo 2.5 Italia

Dettagli

Risposta: L area del triangolo è dove sono le misure di due lati e è l ampiezza dell angolo tra essi compreso ;

Risposta: L area del triangolo è dove sono le misure di due lati e è l ampiezza dell angolo tra essi compreso ; 1. Un triangolo ha area 3 e due lati che misurano 2 e 3. Qual è la misura del terzo lato? : L area del triangolo è dove sono le misure di due lati e è l ampiezza dell angolo tra essi compreso ; nel nostro

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE SISTEMI LINEARI QUADRATI:METODI ITERATIVI p./54 RICHIAMI di ALGEBRA LINEARE DEFINIZIONI A R n n simmetrica se A = A T ; A C

Dettagli

Middleware Laboratory. Dai sistemi concorrenti ai sistemi distribuiti

Middleware Laboratory. Dai sistemi concorrenti ai sistemi distribuiti Dai sistemi concorrenti ai sistemi distribuiti Problemi nei sistemi concorrenti e distribuiti I sistemi concorrenti e distribuiti hanno in comune l ovvio problema di coordinare le varie attività dei differenti

Dettagli

Il problema del massimo flusso. Preflow-push e augmenting path: un approccio unificante

Il problema del massimo flusso. Preflow-push e augmenting path: un approccio unificante Introduzione Il problema del massimo flusso. Preflow-push e augmenting path: un approccio unificante Il problema del massimo flusso è uno dei fondamentali problemi nell ottimizzazione su rete. Esso è presente

Dettagli

DAL PROBLEMA AL PROGRAMMA

DAL PROBLEMA AL PROGRAMMA 1. I PROBLEMI E LA LORO SOLUZIONE DAL PROBLEMA AL PROGRAMMA L'uomo, per affrontare gli innumerevoli problemi postigli dallo sviluppo della civiltà, si è avvalso della scienza e della tecnica, i cui destini

Dettagli

Esame di Ricerca Operativa del 20/12/13. Esercizio 1. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare:

Esame di Ricerca Operativa del 20/12/13. Esercizio 1. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: Esame di Ricerca Operativa del 0// (Cognome) (Nome) (Corso di laurea) Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x x x + x x +x x x x x x x 0 x x

Dettagli

5 Radici primitive dell unità e congruenze del tipo

5 Radici primitive dell unità e congruenze del tipo 5 Radici primitive dell unità e congruenze del tipo X m a (mod n ) Oggetto di questo paragrafo è lo studio della risolubilità di congruenze del tipo: X m a (mod n) con m, n, a Z ed m, n > 0. Per l effettiva

Dettagli

Gli uni e gli altri. Strategie in contesti di massa

Gli uni e gli altri. Strategie in contesti di massa Gli uni e gli altri. Strategie in contesti di massa Alessio Porretta Universita di Roma Tor Vergata Gli elementi tipici di un gioco: -un numero di agenti (o giocatori): 1,..., N -Un insieme di strategie

Dettagli

Dispense del Corso di Algoritmi e Strutture Dati

Dispense del Corso di Algoritmi e Strutture Dati Dispense del Corso di Algoritmi e Strutture Dati Marco Bernardo Edoardo Bontà Università degli Studi di Urbino Carlo Bo Facoltà di Scienze e Tecnologie Corso di Laurea in Informatica Applicata Versione

Dettagli

INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI

INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI Prima di riuscire a scrivere un programma, abbiamo bisogno di conoscere un metodo risolutivo, cioè un metodo che a partire dai dati di ingresso fornisce i risultati attesi.

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

RAPPRESENTAZIONE BINARIA DEI NUMERI. Andrea Bobbio Anno Accademico 1996-1997

RAPPRESENTAZIONE BINARIA DEI NUMERI. Andrea Bobbio Anno Accademico 1996-1997 1 RAPPRESENTAZIONE BINARIA DEI NUMERI Andrea Bobbio Anno Accademico 1996-1997 Numeri Binari 2 Sistemi di Numerazione Il valore di un numero può essere espresso con diverse rappresentazioni. non posizionali:

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

Prof. Caterina Rizzi Dipartimento di Ingegneria Industriale

Prof. Caterina Rizzi Dipartimento di Ingegneria Industriale RUOLO DELLA MODELLAZIONE GEOMETRICA E LIVELLI DI MODELLAZIONE PARTE 2 Prof. Caterina Rizzi... IN QUESTA LEZIONE Modelli 2D/3D Modelli 3D/3D Dimensione delle primitive di modellazione Dimensione dell oggettoy

Dettagli

4. Operazioni elementari per righe e colonne

4. Operazioni elementari per righe e colonne 4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:

Dettagli

Realizzazione di Politiche di Gestione delle Risorse: i Semafori Privati

Realizzazione di Politiche di Gestione delle Risorse: i Semafori Privati Realizzazione di Politiche di Gestione delle Risorse: i Semafori Privati Condizione di sincronizzazione Qualora si voglia realizzare una determinata politica di gestione delle risorse,la decisione se ad

Dettagli

Limiti e forme indeterminate

Limiti e forme indeterminate Limiti e forme indeterminate Edizioni H ALPHA LORENZO ROI c Edizioni H ALPHA. Ottobre 04. H L immagine frattale di copertina rappresenta un particolare dell insieme di Mandelbrot centrato nel punto.5378303507,

Dettagli

1 Definizione: lunghezza di una curva.

1 Definizione: lunghezza di una curva. Abstract Qui viene affrontato lo studio delle curve nel piano e nello spazio, con particolare interesse verso due invarianti: la curvatura e la torsione Il primo ci dice quanto la curva si allontana dall

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

Cenni su algoritmi, diagrammi di flusso, strutture di controllo

Cenni su algoritmi, diagrammi di flusso, strutture di controllo Cenni su algoritmi, diagrammi di flusso, strutture di controllo Algoritmo Spesso, nel nostro vivere quotidiano, ci troviamo nella necessità di risolvere problemi. La descrizione della successione di operazioni

Dettagli

RICORSIVITA. Vediamo come si programma la soluzione ricorsiva al problema precedente: Poniamo S 1 =1 S 2 =1+2 S 3 =1+2+3

RICORSIVITA. Vediamo come si programma la soluzione ricorsiva al problema precedente: Poniamo S 1 =1 S 2 =1+2 S 3 =1+2+3 RICORSIVITA 1. Cos è la ricorsività? La ricorsività è un metodo di soluzione dei problemi che consiste nell esprimere la soluzione relativa al caso n in funzione della soluzione relativa al caso n-1. La

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia

Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia La diversità tra gli agenti economici è alla base della nascita dell attività economica e, in generale, lo scambio di beni e servizi ha

Dettagli

Quando A e B coincidono una coppia ordinata é determinata anche dalla loro posizione.

Quando A e B coincidono una coppia ordinata é determinata anche dalla loro posizione. Grafi ed Alberi Pag. /26 Grafi ed Alberi In questo capitolo richiameremo i principali concetti di due ADT che ricorreranno puntualmente nel corso della nostra trattazione: i grafi e gli alberi. Naturale

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

Funzioni tra insiemi niti Numeri di Stirling e Bell. Davide Penazzi

Funzioni tra insiemi niti Numeri di Stirling e Bell. Davide Penazzi Funzioni tra insiemi niti Numeri di Stirling e Bell Davide Penazzi 2 Funzioni tra insiemi niti: i numeri di Stirling e Bell 1 Contare il numero delle funzioni tra insiemi 1.1 Denizioni e concetti preliminari

Dettagli

Esponenziali elogaritmi

Esponenziali elogaritmi Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.

Dettagli

Permutazione degli elementi di una lista

Permutazione degli elementi di una lista Permutazione degli elementi di una lista Luca Padovani padovani@sti.uniurb.it Sommario Prendiamo spunto da un esercizio non banale per fare alcune riflessioni su un approccio strutturato alla risoluzione

Dettagli

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione

Dettagli

Universita' di Ferrara Dipartimento di Matematica e Informatica. Algoritmi e Strutture Dati. Rappresentazione concreta di insiemi e Hash table

Universita' di Ferrara Dipartimento di Matematica e Informatica. Algoritmi e Strutture Dati. Rappresentazione concreta di insiemi e Hash table Universita' di Ferrara Dipartimento di Matematica e Informatica Algoritmi e Strutture Dati Rappresentazione concreta di insiemi e Hash table Copyright 2006-2015 by Claudio Salati. Lez. 9a 1 Rappresentazione

Dettagli

FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA

FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA DEFINIZIONE: Dato un numero reale a che sia a > 0 e a si definisce funzione esponenziale f(x) = a x la relazione che ad ogni valore di x associa uno e un solo

Dettagli

Equazioni non lineari

Equazioni non lineari Dipartimento di Matematica tel. 011 0907503 stefano.berrone@polito.it http://calvino.polito.it/~sberrone Laboratorio di modellazione e progettazione materiali Trovare il valore x R tale che f (x) = 0,

Dettagli

Gli algoritmi. Gli algoritmi. Analisi e programmazione

Gli algoritmi. Gli algoritmi. Analisi e programmazione Gli algoritmi Analisi e programmazione Gli algoritmi Proprietà ed esempi Costanti e variabili, assegnazione, istruzioni, proposizioni e predicati Vettori e matrici I diagrammi a blocchi Analisi strutturata

Dettagli

Ricerca non informata in uno spazio di stati

Ricerca non informata in uno spazio di stati Università di Bergamo Facoltà di Ingegneria Intelligenza Artificiale Paolo Salvaneschi A5_2 V2.4 Ricerca non informata in uno spazio di stati Il contenuto del documento è liberamente utilizzabile dagli

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

Esempi di algoritmi. Lezione III

Esempi di algoritmi. Lezione III Esempi di algoritmi Lezione III Scopo della lezione Implementare da zero algoritmi di media complessità. Verificare la correttezza di un algoritmo eseguendolo a mano. Imparare a valutare le prestazioni

Dettagli

CALCOLO COMBINATORIO

CALCOLO COMBINATORIO CALCOLO COMBINATORIO 1 Modi di formare gruppi di k oggetti presi da n dati 11 disposizioni semplici, permutazioni Dati n oggetti distinti a 1,, a n si chiamano disposizioni semplici di questi oggetti,

Dettagli

Alberto Montresor Università di Trento

Alberto Montresor Università di Trento !! Algoritmi e Strutture Dati! Capitolo 1 - Greedy!!! Alberto Montresor Università di Trento!! This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License. To view a copy

Dettagli

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc.

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. Classi Numeriche 1 1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. In questo breve capitolo richiamiamo le definizioni delle classi numeriche fondamentali, già note al lettore,

Dettagli

Tipologie di pianificatori. Pianificazione. Partial Order Planning. E compiti diversi. Pianificazione gerarchica. Approcci integrati

Tipologie di pianificatori. Pianificazione. Partial Order Planning. E compiti diversi. Pianificazione gerarchica. Approcci integrati Tipologie di pianificatori Pianificazione Intelligenza Artificiale e Agenti II modulo Pianificazione a ordinamento parziale (POP) (HTN) pianificazione logica (SatPlan) Pianificazione come ricerca su grafi

Dettagli

Alberi binari. Ilaria Castelli castelli@dii.unisi.it A.A. 2009/2010. Università degli Studi di Siena Dipartimento di Ingegneria dell Informazione

Alberi binari. Ilaria Castelli castelli@dii.unisi.it A.A. 2009/2010. Università degli Studi di Siena Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Alberi binari Ilaria Castelli castelli@dii.unisi.it Università degli Studi di Siena Dipartimento di Ingegneria dell Informazione A.A. 2009/2010 I. Castelli Alberi binari, A.A. 2009/2010 1/20 Alberi binari

Dettagli

Modelli di Sistemi di Produzione

Modelli di Sistemi di Produzione Modelli di Sistemi di Produzione 2 Indice 1 I sistemi di produzione 1 1.1 Generalità............................. 1 1.2 I principi dei sistemi manifatturieri............... 4 1.3 Descrizione dei principali

Dettagli

VC-dimension: Esempio

VC-dimension: Esempio VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di. y b = 0 f() = 1 f() = 1 iperpiano 20? VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di? banale. Vediamo cosa succede con 2 punti: 21 VC-dimension: Esempio

Dettagli

In base alla formula di torneo adottata i tornei possono pertanto prevedere lo svolgimento di una o più partite.

In base alla formula di torneo adottata i tornei possono pertanto prevedere lo svolgimento di una o più partite. Formule di gioco La successione di mani necessarie per l eliminazione del penultimo giocatore o per la determinazione dei giocatori che accedono ad un turno successivo costituisce una partita. In base

Dettagli

Sistemi di supporto alle decisioni Ing. Valerio Lacagnina

Sistemi di supporto alle decisioni Ing. Valerio Lacagnina Cosa è il DSS L elevato sviluppo dei personal computer, delle reti di calcolatori, dei sistemi database di grandi dimensioni, e la forte espansione di modelli basati sui calcolatori rappresentano gli sviluppi

Dettagli

Stefano Bonetti Framework per la valutazione progressiva di interrogazioni di localizzazione

Stefano Bonetti Framework per la valutazione progressiva di interrogazioni di localizzazione Analisi del dominio: i sistemi per la localizzazione Definizione e implementazione del framework e risultati sperimentali e sviluppi futuri Tecniche di localizzazione Triangolazione Analisi della scena

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. 10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi

Dettagli

I NUMERI DECIMALI. che cosa sono, come si rappresentano

I NUMERI DECIMALI. che cosa sono, come si rappresentano I NUMERI DECIMALI che cosa sono, come si rappresentano NUMERI NATURALI per contare bastano i numeri naturali N i numeri naturali cominciano con il numero uno e vanno avanti con la regola del +1 fino all

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

Alla pagina successiva trovate la tabella

Alla pagina successiva trovate la tabella Tabella di riepilogo per le scomposizioni Come si usa la tabella di riepilogo per le scomposizioni Premetto che, secondo me, questa tabella e' una delle pochissime cose che in matematica bisognerebbe "studiare

Dettagli

Fondamenti dell Informatica Ricorsione e Iterazione Simona Ronchi Della Rocca (dal testo: Kfoury, Moll and Arbib, cap.5.2)

Fondamenti dell Informatica Ricorsione e Iterazione Simona Ronchi Della Rocca (dal testo: Kfoury, Moll and Arbib, cap.5.2) Fondamenti dell Informatica Ricorsione e Iterazione Simona Ronchi Della Rocca (dal testo: Kfoury, Moll and Arbib, cap.5.2) Definiamo innanzitutto una relazione d ordine tra le funzioni. Siano φ e ψ funzioni

Dettagli

Problema n. 1: CURVA NORD

Problema n. 1: CURVA NORD Problema n. 1: CURVA NORD Sei il responsabile della gestione del settore Curva Nord dell impianto sportivo della tua città e devi organizzare tutti i servizi relativi all ingresso e all uscita degli spettatori,

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Funzioni di base. Manualino OE6. Outlook Express 6

Funzioni di base. Manualino OE6. Outlook Express 6 Manualino OE6 Microsoft Outlook Express 6 Outlook Express 6 è un programma, incluso nel browser di Microsoft Internet Explorer, che ci permette di inviare e ricevere messaggi di posta elettronica. È gratuito,

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento:

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento: Capitolo 3 Serie 3. Definizione Sia { } una successione di numeri reali. Ci proponiamo di dare significato, quando possibile, alla somma a + a 2 +... + +... di tutti i termini della successione. Questa

Dettagli

if t>=0 x=1; else x=0; end fornisce, nella variabile x, il valore della funzione gradino a tempi continui, calcolata in t.

if t>=0 x=1; else x=0; end fornisce, nella variabile x, il valore della funzione gradino a tempi continui, calcolata in t. Il programma MATLAB In queste pagine si introduce in maniera molto breve il programma di simulazione MAT- LAB (una abbreviazione di MATrix LABoratory). Introduzione MATLAB è un programma interattivo di

Dettagli

Minimo sottografo ricoprente. Minimo sottografo ricoprente. Minimo albero ricoprente. Minimo albero ricoprente

Minimo sottografo ricoprente. Minimo sottografo ricoprente. Minimo albero ricoprente. Minimo albero ricoprente Minimo sottografo ricoprente Minimo sottografo ricoprente Dato un grafo connesso G = (V, E) con costi positivi sugli archi c e, un minimo sottografo ricoprente è un insieme di archi E E tale che: G = (V,

Dettagli

Rapida Introduzione all uso del Matlab Ottobre 2002

Rapida Introduzione all uso del Matlab Ottobre 2002 Rapida Introduzione all uso del Matlab Ottobre 2002 Tutti i tipi di dato utilizzati dal Matlab sono in forma di array. I vettori sono array monodimensionali, e così possono essere viste le serie temporali,

Dettagli

Programmazione Non Lineare Ottimizzazione vincolata

Programmazione Non Lineare Ottimizzazione vincolata DINFO-Università di Palermo Programmazione Non Lineare Ottimizzazione vincolata D. Bauso, R. Pesenti Dipartimento di Ingegneria Informatica Università di Palermo DINFO-Università di Palermo 1 Sommario

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

Capitolo 10 Costi. Robert H. Frank Microeconomia - 5 a Edizione Copyright 2010 - The McGraw-Hill Companies, srl

Capitolo 10 Costi. Robert H. Frank Microeconomia - 5 a Edizione Copyright 2010 - The McGraw-Hill Companies, srl Capitolo 10 Costi COSTI Per poter realizzare la produzione l impresa sostiene dei costi Si tratta di scegliere la combinazione ottimale dei fattori produttivi per l impresa È bene ricordare che la categoria

Dettagli

Calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Calcolo combinatorio Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica

Dettagli

Le funzioni reali di variabile reale

Le funzioni reali di variabile reale Prof. Michele Giugliano (Gennaio 2002) Le funzioni reali di variabile reale ) Complementi di teoria degli insiemi. A) Estremi di un insieme numerico X. Dato un insieme X R, si chiama maggiorante di X un

Dettagli

Esempi di problemi di 1 grado risolti Esercizio 1 Problema: Trovare un numero che sommato ai suoi 3/2 dia 50

Esempi di problemi di 1 grado risolti Esercizio 1 Problema: Trovare un numero che sommato ai suoi 3/2 dia 50 http://einmatman1c.blog.excite.it/permalink/54003 Esempi di problemi di 1 grado risolti Esercizio 1 Trovare un numero che sommato ai suoi 3/2 dia 50 Trovare un numero e' la prima frase e significa che

Dettagli

Dall italiano alla logica proposizionale

Dall italiano alla logica proposizionale Rappresentare l italiano in LP Dall italiano alla logica proposizionale Sandro Zucchi 2009-10 In questa lezione, vediamo come fare uso del linguaggio LP per rappresentare frasi dell italiano. Questo ci

Dettagli

Se x* e punto di minimo (locale) per la funzione nell insieme Ω, Ω = { x / g i (x) 0 i I, h j (x)= 0 j J } lo e anche per F(x) = f o (x) + c x x 2

Se x* e punto di minimo (locale) per la funzione nell insieme Ω, Ω = { x / g i (x) 0 i I, h j (x)= 0 j J } lo e anche per F(x) = f o (x) + c x x 2 NLP -OPT 1 CONDIZION DI OTTIMO [ Come ricavare le condizioni di ottimo. ] Si suppone x* sia punto di ottimo (minimo) per il problema min f o (x) con vincoli g i (x) 0 i I h j (x) = 0 j J la condizione

Dettagli

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni Rosa Maria Mininni a.a. 2014-2015 1 Introduzione ai modelli binomiali La valutazione degli strumenti finanziari derivati e, in particolare, la valutazione

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

+ / operatori di confronto (espressioni logiche/predicati) / + 5 3 9 = > < Pseudo codice. Pseudo codice

+ / operatori di confronto (espressioni logiche/predicati) / + 5 3 9 = > < Pseudo codice. Pseudo codice Pseudo codice Pseudo codice Paolo Bison Fondamenti di Informatica A.A. 2006/07 Università di Padova linguaggio testuale mix di linguaggio naturale ed elementi linguistici con sintassi ben definita e semantica

Dettagli

Elementi di Statistica

Elementi di Statistica Elementi di Statistica Contenuti Contenuti di Statistica nel corso di Data Base Elementi di statistica descrittiva: media, moda, mediana, indici di dispersione Introduzione alle variabili casuali e alle

Dettagli

Calcolo differenziale Test di autovalutazione

Calcolo differenziale Test di autovalutazione Test di autovalutazione 1. Sia f : R R iniettiva, derivabile e tale che f(1) = 3, f (1) = 2, f (3) = 5. Allora (a) (f 1 ) (3) = 1 5 (b) (f 1 ) (3) = 1 2 (c) (f 1 ) (1) = 1 2 (d) (f 1 ) (1) = 1 3 2. Sia

Dettagli

UTILIZZO DEI METODI MULTICRITERI O MULTIOBIETTIVI NELL OFFERTA ECONOMICAMENTE PIÙ VANTAGGIOSA. Filippo Romano 1

UTILIZZO DEI METODI MULTICRITERI O MULTIOBIETTIVI NELL OFFERTA ECONOMICAMENTE PIÙ VANTAGGIOSA. Filippo Romano 1 UTILIZZO DEI METODI MULTICRITERI O MULTIOBIETTIVI NELL OFFERTA ECONOMICAMENTE PIÙ VANTAGGIOSA Filippo Romano 1 1. Introduzione 2. Analisi Multicriteri o Multiobiettivi 2.1 Formule per l attribuzione del

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può

Dettagli

Ing. Alessandro Pochì

Ing. Alessandro Pochì Lo studio di unzione Ing. Alessandro Pochì Appunti di analisi Matematica per la Classe VD (a.s. 011/01) Schema generale per lo studio di una unzione Premessa Per Studio unzione si intende, generalmente,

Dettagli

QUADERNI DI DIDATTICA

QUADERNI DI DIDATTICA Department of Applied Mathematics, University of Venice QUADERNI DI DIDATTICA Tatiana Bassetto, Marco Corazza, Riccardo Gusso, Martina Nardon Esercizi sulle funzioni di più variabili reali con applicazioni

Dettagli

Boot Camp Guida all installazione e alla configurazione

Boot Camp Guida all installazione e alla configurazione Boot Camp Guida all installazione e alla configurazione Indice 4 Introduzione 5 Cosa ti occorre 6 Panoramica dell installazione 6 Passo 1: verifica la presenza di aggiornamenti. 6 Passo 2: apri Assistente

Dettagli