CAPITOLO 7 SORGENTI DEL CAMPO MAGNETICO LEGGE DI AMPERE PROPRIETÀ MAGNETICHE DELLA MATERIA

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1 CAPITOLO 7 SORGENTI DEL CAMPO MAGNETICO LEGGE DI AMPERE PROPRIETÀ MAGNETICHE DELLA MATERIA

2 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Campo magnetico prodotto da una corrente Si consideri un tratto infinitesimo ds = ds u t di conduttore filiforme percorso da una corrente i. ds u r r P db i Il campo magnetico prodotto in un punto P distante r dall elemento dal filo: db = k m i ds u r r 2 = k m i ds r 2 u t u r PRIMA LEGGE ELEMENTARE DI LAPLACE Dove k m rappresenta una costante che dipende dal mezzo materiale in cui ci si trova e dal sistema di unità di misura

3 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Campo magnetico prodotto da una corrente Nel caso ci si trovi nel vuoto, si utilizza una nuova costante, ovvero la PERMEABILITÀ MAGNETICA μ 0 = 4 π k m Costante che dipende dal mezzo materiale in cui si sperimenta Nel sistema internazionale e nel vuoto: μ H m k m = 10 7 T m A = 10 7 H m [Nuova unità di misura: 1 H = 1 Henry]

4 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Campo magnetico prodotto da una corrente Si può quindi riscrivere la prima legge elementare di Laplace come: db = μ 0 4π i ds r 2 u t u r Campo magnetico diretto secondo la regola della mano destra Nel caso di un circuito chiuso i B = μ 0i 4π ds u r r 2 LEGGE DI AMPÈRE LAPLACE B Fornisce il legame tra campo magnetico e corrente che lo genera, nel caso di un circuito conduttore filiforme, la cui sezione è tale da poter ritenere costanti tutti i parametri implicati.

5 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Campo magnetico di una carica in moto Sostituendo nella prima legge elementare di Laplace l espressione dell intensità di corrente i con la densità di corrente j = n q v si ottiene db = μ 0 q v u r 4π r 2 n dτ n dτ: numero di cariche contenute nel volume e che producono il campo Campo magnetico prodotto da una singola carica in movimento: db = μ 0 4π q v u r r 2 Una carica elettrica genera un campo elettrico Una carica elettrica in moto genera anche un campo magnetico Valida finchè v è trascurabile rispetto alla velocità c della luce nel vuoto, ovvero per v c 2 1

6 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Filo rettilineo e legge di Biot-Savart Si consideri un filo conduttore rettilineo di lunghezza 2a, percorso da corrente continua i e si valuti il campo magnetico db prodotto da un elemento di filo ds in un punto P posto sull asse mediano e distante R dal filo: db = μ 0i 4π ds u r r 2 db = μ 0i 4π ds senθ r 2 ds θ R u r r db θ ds r s 2a R O P P θ 1 r i

7 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Filo rettilineo e legge di Biot-Savart Campo magnetico prodotto a distanza R da un tratto di filo di lunghezza a μ 0 i a B = u 2π R R 2 + a 2 φ i = 0 u φ : Versore tangente alla circonferenza Campo magnetico prodotto a distanza R da un filo indefinito LEGGE DI BIOT-SAVART B = μ 0 i 2π R u φ = μ 0 i 2π R u t u n u t : Versore parallelo al filo e concorde alla corrente u n : Versore normale al filo diretto verso il punto P Campo magnetico risulta inversamente proporzionale alla distanza dal filo: B 1/R Le linee di campo sono circonferenze concentriche, «concatenate» alla corrente i

8 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Spira circolare Si consideri una spira conduttrice circolare di raggio R, percorsa da corrente continua i. Campo magnetico B prodotto in un punto P posto sull asse della spira e distante x dal suo centro O B x = μ 0 i R 2 2 r 3 u n = μ 0 i R 2 2 x 2 + R 2 3/2 u n ds R u r i db O u n r x P x

9 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Spira circolare Per x = 0: Campo massimo al centro della spira Per x : Per x R: B max = μ 0 i 2 R u n B 0 B = μ 0 4π 2 m r 3 p θ + r u r E r E θ E Analogia con il DIPOLO ELETTRICO B r Nei punti al di fuori dell asse: B = μ 0 m 4π r 3 2 cosθ u r + senθ u θ LINEE DI CAMPO ELETTRICO LINEE DI CAMPO MAGNETICO m θ r u r B θ B x i +

10 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Solenoide rettilineo Si consideri un solenoide rettilineo costituito da un filo conduttore avvolto a forma di elica cilindrica di piccolo passo, di lunghezza d, raggio R e numero totale di spire N, percorso da una corrente i continua. Inoltre n = N/d. Campo magnetico prodotto in un punto P sull asse di un solenoide B x = μ 0 n i 2 d + 2x d + 2x 2 + 4R 2 + d 2x d 2x 2 + 4R 2 i i dx r φ x R x x 0 d X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

11 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Solenoide rettilineo Campo sull asse centrale del solenoide x = 0 (campo massimo) B 0 = μ 0 n i d d 2 + 4R 2 Campo sull asse centrale di un solenoide con d R: B = μ 0 n i

12 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 7.1 Due lunghi fili posti a distanza d = 50 cm sono percorsi da correnti di uguale intensità i = 15 A, dirette in verso opposto. 1. Calcolare il campo magnetico risultante nel punto P, equidistante dai fili (R = 40 cm), in modulo, direzione e verso. X

13 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Azioni elettrodinamiche tra fili percorsi da corrente Forza tra due circuiti indefiniti percorsi da corrente df 1,2 = i 2 ds 2 db 1 = μ 0 i 1 i 2 4π ds 2 ds 1 u r,1 r 2 df 2,1 = μ 0 i 1 i 2 4π ds 1 ds 2 u r,2 r 2 db 2 ds 1 df 1,2 u r,1 i 1 r ds 2 u r,2 df 2,1 i 2 db 1

14 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Azioni elettrodinamiche tra fili percorsi da corrente Nel caso di due fili rettilinei paralleli di lunghezza indefinita, percorsi dalle B 2 i 1 i 2 correnti i 1 e i 2, la forza per unità di lunghezza è data da F F F 1,2 = F 2,1 = μ 0 i 1 i 2 2π r r Correnti CONCORDI forza ATTRATTIVA B 1 Correnti DISCORDI forza REPULSIVA i 1 i 2 DEFINIZIONE DI 1 AMPÈRE Intensità di corrente che circola in due fili paralleli distanti r = 1 m e che da luogo F r F ad una forza F = μ 0 2π = N per metro di conduttore B 2 B 1

15 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Legge di Ampère Si consideri un filo rettilineo indefinito percorso dalla corrente i, che produce un campo magnetico B, e le cui linee di campo siano delle circonferenze concentriche con il filo stesso. Il prodotto scalare tra il campo e un generico elemento ds di un tratto di linea di campo è dato da: i B B ds = μ 0i 2π dθ r dθ ds

16 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Legge di Ampère Per un tratto finito di circonferenza: C DB ds = μ 0i CB 2π θ e ds = μ 0i D 2π θ i θ D Nei casi di integrali lungo una linea chiusa: 1. La linea concatena la corrente 1 C B ds = μ 0 i 2. La linea non concatena la corrente i C 1 B ds = 0 2 i θ C 2

17 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Legge di Ampère LEGGE DI AMPÈRE B ds = μ 0 i Il campo magnetico B è dovuto a TUTTE le correnti i n concatenate i = n i n : somma algebrica delle correnti concatenate Dato che la circuitazione di B è diversa da zero Il campo magnetico NON è conservativo i 1 i 3 ds θ B i 2

18 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Forma locale della legge di Ampère Si applichi il TEOREMA DI STOKES B ds = Σ B u n dσ Σ: qualsiasi superficie che si appoggia sulla linea di integrazione Ricordando che per la corrente vale i = Σ j u n dσ Applicando la legge di Ampère, risulta che B = μ 0 j Relazione tra il rotore del campo magnetico e la densità di corrente Forma LOCALE della legge di Ampère

19 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 7.2 Ricavare il campo magnetico prodotto da un FILO RETTILINEO INDEFINITO di raggio R e percorso da una corrente di intensità i, in funzione della distanza r dall asse del filo, applicando la legge di Ampère. i R r

20 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 7.3 Ricavare il campo magnetico prodotto da un SOLENOIDE RETTILINEO INDEFINITO, applicando la legge di Ampère. B B C h A D

21 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 7.4 Ricavare il campo magnetico prodotto da un SOLENOIDE TOROIDALE percorso da corrente i e costituito da N spire avvolte attorno ad una superficie a forma di ciambella, applicando la legge di Ampère. r i B

22 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 7.5 In un cilindro conduttore cavo di raggi interni a = 2 cm e raggio esterno b = 4 cm scorre una corrente uscente rispetto il piano della figura con densità di corrente non uniforme secondo la legge j = c r 2 con c = A/m Quanto vale B in un punto distante d = 3 cm dal centro? a d b

23 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Proprietà magnetiche della materia (cenni) Si consideri un solenoide indefinito come strumento per studiare il comportamento della materia in presenza di campi magnetici. Si definisca il vettore: H = B 0 μ 0 B 0 = μ 0 n i è il valore del campo magnetico nel solenoide VUOTO Vettori B e H sono paralleli Si riempia completamente il solenoide con un materiale indefinito omogeneo e si misuri il campo magnetico B risultante all interno del materiale stesso. Si osserva che B è parallelo a B 0 e che B B 0 = κ m B = κ m B 0 = μ 0 κ m n i = μ n i Per ciascun materiale si possono definire: PERMEABILITÀ MAGNETICA RELATIVA: κ m PERMEABILITÀ MAGNETICA ASSOLUTA: μ = μ 0 κ m

24 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Proprietà magnetiche della materia (cenni) LEGAME di B con le correnti di conduzione (H = n i) e con le proprietà magnetiche del mezzo (μ): B = μ 0 κ m H = μ H Variazione del campo magnetico dovuta alla presenza del mezzo B m = B B 0 = κ m 1 B 0 = χ m B 0 = μ 0 χ m H Def. SUSCETTIVITÀ MAGENTICA χ m = κ m 1 Variazione relativa del campo magnetico dovuta al materiale χ m = B B 0 B 0

25 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Proprietà magnetiche della materia (cenni) Legge di Ampère-Laplace B = μ i 4π ds u r r 2 Legge di Ampère B ds = μ i Descrizione completa del campo magnetico esistente in un mezzo indefinito omogeneo in cui è immerso un circuito percorso da corrente «Omogeno» densità e permeabilità magnetica relativa sono costanti nel mezzo

26 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Proprietà magnetiche della materia (cenni) Si definisca il VETTORE MAGNETIZZAZIONE Il campo magnetico complessivo M = χ m H = κ m 1 H B = B 0 + B m = μ 0 H + M Nel caso del solenoide: B = μ 0 n i + μ 0 χ m n i χ m n i: correnti di origine atomica dette AMPERIANE χ m B n i χ m n i B n i x xx x x xx x x x xx x x xx x x

27 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Proprietà magnetiche della materia (cenni) Riepilogando: B 0 : Campo magnetico dovuto alle correnti di conduzione B m : Campo magnetico in presenza di un mezzo materiale indefinito Diamagnetismo: Correnti amperiane circolano in verso opposto a quelle di conduzione. Effetti magnetici si oppongono. [Oro, piombo, rame, etc] Paramagnetismo: Correnti amperiane equiverse a quelle di conduzione. Effetti magnetici si sommano. [Alluminio, platino, sodio, etc] Ferromagnetismo: Ciclo di isteresi [Ferro, cobalto, nichel] Unità di misura di H e M: A/m Ricordiamo che κ m e χ m sono adimensionali

28 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Legge di Gauss per il campo magnetico Linee di campo di B si richiudono sempre Per qualunque superficie chiusa: flusso entrante = flusso uscente B u n B B u n dσ = 0 u n LEGGE DI GAUSS PER IL CAMPO MAGNETICO Forma locale della legge di Gauss: B = 0 La divergenza del campo magnetico è sempre nulla Campo «solenoidale» Non esistenza dei monopoli magnetici

29 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Equazioni generali della magnetostatica Legge di Ampère in forma generale B ds = μ 0 i + i m Sia le correnti di magnetizzazione che quelle di conduzione sono sorgenti del campo magnetico (se sono concatenate dalla linea chiusa) Questa può essere riscritta come H ds = i Legge di Ampère per il vettore H Insieme alla legge di Gauss, queste leggi costituiscono le LEGGI FONDAMENTALI DELLA MAGNETOSTATICA

30 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 7.6 Un solenoide toroidale è riempito di un materiale avente permeabilità magnetica relativa κ m. 1. Calcolare i campi B, H, ed M nel suo interno. r i B