ESERCIZI SVOLTI DI TEORIA DEI GIOCHI ED ECONOMIA INDUSTRIALE. Svolgimento A M B A 50,50 0,100 0,100 M 100,0 50,50 0,100 B 100,0 100,0 50,50

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1 ESERCIZI SVOLTI DI TEORIA DEI GIOCHI ED ECONOMIA INDUSTRIALE Eserizio Due irese onorrenti fissno siultneente il rezzo di vendit del ene oogeneo d loro rodotto I ossiili rezzi sono A lto, M edio, B sso L ires he fisserà il rezzo iù sso onquisterà l intero erto, ottenendo il rofitto ssio di 00 In so di rità le irese si dividono il erto equente Rresent il gioo in for strtegi e in for triile, quindi deterin l equilirio di Nsh in strtegie ure e iste Inoltre stilisi se esiste un strtegi strettente doinnte For strtegi G { S } i u i ; S { A M B} i,, i ;, i u i ( i, j ) 00 se i < j ; u i ( i, j ) 50 se i j ; u i ( i, j ) 0 se i > j Mtrie del gioo Equilirio di Nsh Svolgiento G \ G A M B A 50,50 0,00 0,00 M 00,0 50,50 0,00 B 00,0 00,0 50,50 - L unio equilirio di Nsh in strtegie ure è dto dll oinzione ( B) B, ; entre le irese rtino il rezzo iù sso ottenendo età del erto - L equilirio di Nsh in strtegie iste (se esiste) si deterin risolvendo i seguenti sistei: 50q A 00q A 50qM 50 A 00 A 50 M G 50q A 00q A 00qM 50qB G 50 A 00 A 00 M 50 B q A qm qb A M B Strtegie strettente dointe Non esiste un strtegi strettente doinnte; inftti er ogni giotore i vle l relzione u i ( B, j ) ui ( i, j ) on i B L disuguglinz è strett solo se i A, ioè l strtegi A è strettente doint dll strtegi B L strtegi M è invee deolente doint d B

2 Eserizio ε In un onoolio l funzione di dond h elstiità ostnte: q D( ) dove ε > è l elstiità dell dond Il osto rginle è ostnte e ugule Deterin il enessere totle in onorrenz erfett e in onoolio, quindi lol l erdit se di enessere Svolgiento Indihio on W il enessere totle in onorrenz erfett; questo è dto dll so tr ε surlus del onsutore e del rofitto: W x dx ( ) ε In onorrenz erfett ε ε ; quindi l integrle divent W x dx ε Il enessere in so di onoolio si lol utilizzndo l stess forul di rtenz, onsiderndo il rezzo di onoolio ε ε Quindi W ( ) x dx ε ε ε ε ε ε ε Un volt risolto questo integrle ottenio W W ε ε ε Eserizio 3 (onoolio on vviento Tirole g 7) Si onsideri un onoolist he rodu un singolo ene venduto in due eriodi onseutivi Nel eriodo l dond è q D ( ) e il osto di roduzione è C ( q ) ; nel eriodo l dond è q D (, ) e il osto di roduzione è C ( q ) Esiste un effetto di vviento nell isur in ui un sso rezzo inizile fi uentre si l dond del eriodo si quell del eriodo : D / < 0 Deterinre l esressione del rofitto del onoolist e le ondizioni del rio ordine Inoltre deterinre l indie di Lerner nei due eriodi Svolgiento L esressione del rofitto è l seguente: ( D ( )) [ D (, ) C ( D ( ))] π ( δ Le ondizioni del rio ordine sono D ) C, π / D D C D δ D δc D 0 π / D D C D 0 Dll ri ondizione ottenio [ C ] C δd ε D entre dll seond si h C ε Nel rio eriodo il onoolist fiss un rezzo inferiore quello he norlente vree fissto; lo si ise dl ftto he l indie di Lerner è inferiore l reiroo dell elstiità Con

3 questo oortento il onoolist vuole uentre l dond del seondo eriodo, dto l effetto di vviento Seguendo lo stesso rgoento, nel seondo eriodo il onoolist rti il rezzo ieno di onoolio Eserizio 4 (onoolio e lerning y doing Tirole g 9) Si onsideri un onoolist he rodu un singolo ene su due eriodi Nel rio eriodo l dond è q D ( ) e il osto di roduzione è C ( q ) ; nel eriodo l dond è q ( ) D e il osto di roduzione è C ( q, q ) on C / q < 0 Stio dunque iotizzndo he un ggiore roduzione inizile ridu in seguito il osto di roduzione ioè he l rti erfezioni Deterinre l esressione del rofitto, le ondizioni del rio ordine e l indie di Lerner in ogni eriodo Svolgiento π D ( ) C D δ D C D D Esressione del rofitto: ( ( )) [ ( ) ( ( ) ( ))] Condizioni del rio ordine:, π / D D C D δc D 0 π / D D C D 0 Dll ri ondizione ottenio C δc ε δc dove < 0 ; entre dll seond ondizione ottenio C ε Quindi il onoolist nel rio eriodo ione un rezzo inferiore quello di onoolio; quest oliti gli erette di vendere di iù, il he f uentre l roduzione e l eserienz Eserizio 5 (L ondizione di Dorfn-Steiner) In un onoolio l dond è q D(, s) dove on s sono indite le sese di uliità; l funzione di osto è C (q) Deterin l esressione del rofitto, le ondizioni del rio ordine e l ondizione di Dorfn-Steiner Svolgiento Il rofitto di onoolio uò essere sritto oe π (, s) D(, s) C D(, s) Le ondizioni del rio ordine er l ssiizzzione risetto e d s sono D(, s) D ( ), s C ( D(, s) ) D (, s) D (, s) C s ( D(, s) ) Ds (, s) Che ossono essere risritte nel seguente odo D ( ) (, s) C D (, s) ( C ) Ds (, s) ( ) s

4 Dividendo i eri dell ri equzione er e oltilindo i eri dell seond equzione er q / s ottenio ( C ) ε q ( C ) s ε s Dividendo tr loro i eri delle due equzioni si ottiene l ondizione di Dorf-Steiner s ε s : q ε il rorto uliità/vendite ottile er il onoolist è ugule l rorto delle elstiità dell dond risetto ll uliità e l rezzo Eserizio 6 Diostrte he se l dond è del tio Co-Douglss, q α s β, dove α e β sono ositivi, il rorto uliità/vendite è ostnte (in rtiolre, ostrre he esso non diende dll struttur dei osti) Svolgiento α βs Dto he ε s α s s β Allor q α β β s β e ε α α α s β s β α Eserizio 7 (quisti rietuti e ritorsione del onsutore) Un onsutore ed un onoolist sono i giotori del seguente gioo, rietuto due volte: G /G s s 0 ;,5 0; n 0;- 0;0 Il onoolist uò segliere un qulità lt (s) o un ss (s0); il onsutore deve deidere se orre () o no (n) Stilisi se esiste un equilirio di Nsh refetto nei sottogiohi he grntis l onsutore he il ene quistto nel rio eriodo si di lt qulità Svolgiento Il gioo h due equiliri di Nsh in strtegie ure; reisente (, s 0) e (, s 0) n Per il onoolist rodurre ss qulità è un strtegi strettente doinnte; tuttvi il ftto he esistno due equiliri di Nsh, erette l onsutore di unire il onoolist qulor questi fornis nel rio eriodo un ene di ss qulità Il onsutore uò roettere l onoolist di orre il ene nhe nel seondo eriodo se quello quistto nel rio eriodo è di lt qulità; in so ontrrio rinuni ll quisto nel seondo eriodo Quindi uno dei ossiili equiliri refetti nei sottogiohi è forto dlle seguenti strtegie:

5 -giore l equilirio di Nsh (, s 0) (, s ) ; -giore l equilirio di Nsh (, s 0) un oinzione di strtegie divers d (, s ) nel seondo eriodo se nel rio eriodo si è gioto n nel seondo eriodo se nel rio eriodo si è gioto (Prov he quest strtegi è un equilirio dell intero gioo rietuto e di ogni sottogioo ioè diostr he è un equilirio erfetto nei sottogiohi) Eserizio 8 Svilu nlitiente l ssiizzzione del rofitto nel so di onoolio Indihio on ( y) l dond invers (rezzo) e on ( y) risolvere il seguente role: x ( y) y ( y) { y Condizione del rio ordine: ( y) ( y) y ( y) Condizione del seondo ordine: ( y) ( y) y ( y) ( y) < 0 Assuio he l ondizione del seondo ordine si sere soddisftt Dll ondizione del rio ordine ottenio ( ) ( y) y y ( y) y ( y) ( y) y Sio he ( ) ( ) dove ( y) y y ε y L ondizione di ottio finle è dunque ( y) ε ( y) rginle devono essere uguli il osto; quindi si trtt di ε è l elstiità dell dond l rezzo ( y) ; ioè, rivo rginle e osto Eserizio 9 Si onsideri l seguente funzione di dond: y A Il osto totle è dto d y Diostr he l elstiità dell dond l rezzo è ostnte e deterin il rezzo di equilirio del onoolist y ε quindi ε A y A on oortune selifizioni si ottiene ε ioè l elstiità è ostnte Per trovre il rezzo di equilirio del onoolist sterà utilizzre l ondizione di ottio trovt nell eserizio reedente Avreo quindi ( y) dove è il osto rginle D quest ondizione ottenio he ( y) Il rezzo è sueriore l osto rginle C è un rk-u ostnte sul osto rginle he diende dll elstiità dell dond Chirente deve essere he > 0 ltrienti il rezzo sree negtivo D

6 quest ulti disuguglinz ottenio he >, ioè l elstiità dell dond, nel unto di ottio, deve essere ggiore di Eserizio 0 Dll ondizione di otti in onoolio si ottiene l seguente relzione: Coent utilizzndo nhe i grfii ε Sio he in onoolio il rezzo è sueriore l osto rginle L relzione indit nell eserizio indi he il rezzo srà tnto iù grnde del osto rginle qunto iù l dond è rigid (elstiità ss) Questo ftto uò essere ostrto grfiente onsiderndo ri un dond olto elsti e oi, rità di osti, un dond rigid y y Il grfio di destr ostr un dond iù rigid risetto quell riortt nel grfio di sinistr; è evidente oe l distnz tr rezzo e osto rginle si iù grnde nel seondo so (NB: ll ese oorre reisre il signifito di tutte le urve resenti nel grfio!!) Eserizio Si onsiderino le seguenti stie dell elstiità dell dond l rezzo reltivente erto delle sigrette e del etrolio (gli utori di queste stie sono inditi di seguito er il erto del etrolio io tre stie differenti) erto delle sigrette Beker (99) d ε 0, 7 ε 0, 8 ; erto del etrolio () M Avoy (98) - ε 0, 9 () Griffin (979) - d ε 0, 7 ε 0, 85

7 (3) Mrquez (984) - ε 0, 5 Coent le stie e stilisi se, oe è ritenuto d olti, i erti esinti ossono essere onsiderti onoolistii Svolgiento In se lle stie si uò fferre he l dond reltiv i due erti si resent nelsti (elstiità ss); quindi un uento del rezzo di un ert erentule oorterà un riduzione dell quntità dondt di un erentule inferiore Quest situzione non è ssolutente rionduiile erti onoolistii ; io inftti verifito negli eserizi reedenti he i onoolisti effettuno le loro selte (rezzo e quntità) lungo il trtto elstio dell urv di dond Nel trtto nelstio, inftti, i rivi rginli sono negtivi er ui il onoolist trov onveniente ridurre l roduzione fino he il rivo rginle è leno nullo Eserizio (onoolio e eni durevoli) Un individuo è l unio ossessore di 80 unità di un ene durevole (eseio: 80 lotti di terreno he ffino su un ost olto rinot) Lui vuole ssiizzre i rori rofitti vendendo i lotti I osti di vendit sono nulli L dond invers di lotti è P$ q ) Deterin l quntità di lotti he l individuo deve vendere er ssiizzre i rofitti; ) Sieg erhé il onoolist non riusirà vendere l rezzo di onoolio Svolgiento I osti sono nulli, er ui i rofitti oinidono on i rivi: R T q 0000q Derivndo i rivi (rofitti) ottenio R T q he uguglit zero i erette di ottenere l quntità di lotti d vendere er ssiizzre il rofitto: q Il rezzo di vendit srà er ognuno dei 50 lotti venduti Tuttvi ll individuo ringono nor 30 lotti he se venduti otreero fruttre ulteriori rivi (ioè ulteriori rofitti) Purtroo hi er disosto gre h già orto il rorio lotto Ringono gli quirenti disosti gre ifre inferiori A questo unto, se il onoolist vuole vendere tutti i lotti risti otrà frlo se rtiherà un rezzo di onorrenz Questo rezzo è quello he onsentiree di ulire il erto, ioè di vendere tutto; er trovrlo st sostituire 80 nell funzione di dond Tle rezzo di onorrenz è quindi A questo unto, erò, si one un role: i rii quirenti he hnno gto $ er un lotto sono dei soggetti rzionli, e quindi ossono ntiire l oss del onoolist; er questo otivo non etternno i di gre $ se snno he suessivente il rezzo senderà Quindi il onoolist non vendere nessun lotto l rezzo di $ L unio rezzo he gli eretterà di vendere i lotti srà quello di onorrenz, ioè $ l lotto In definitiv ossio rissuere qunto detto nell seguente roosizione (tle roosizione si deve l reio noel Ronld Cose) : Con eni durevoli il rezzo di erto è Per onludere sree oortuno ostrre l equilirio del onoolist, evidenzindo i trtti elstii e nelstii dell dond in questo eserizio non viene resentto questo grfio erhé è stto iù volte ffrontto durnte il orso di istituzioni di eonoi Per hi vesse rolei si onsigli di ndre rivedere il onoolio sul testo di Groflo

8 indiendente dl nuero di venditori resenti nel erto Un onoolist uò vendere un ene durevole solo l rezzo di onorrenz erfett Grfiente: q Eserizio 3 Rresent grfiente un situzione di onoolio nturle e sieg le rtteristihe di quest rtiolre for di erto Svolgiento L riti he viene oss l onoolio è he in quest for di erto si rodue oo d un rezzo iù lto di quello di onorrenz erfett Per eliinre questo role le utorità otreero iorre un rezzo ugule l osto rginle (oe in onorrenz erfett), grntendo osì un livello effiiente di roduzione A questo unto, erò, il onoolist otree oinire d vere erdite onsistenti qulor il rezzo di onorrenz iosto non gli onsent di orire i rori osti edi L situzione è rresentt nel seguente grfio: D MC AC AC AC q AC q C q Il grfio rresent l lssi situzione di onoolio nturle; si uò inftti vedere he iorre un rezzo di onorrenz erfett singeree il onoolist d vere erdite ri ll re trtteggit In rti l struttur dei osti non erette l relizzzione di onorrenz erfett dto he questo rovoheree il flliento del onoolist us dell uulo di erdite Il erto è er su ntur (er questo si die onoolio nturle) gestiile d un unio oertore (onoolist) Quest situzione si verifi in quei erti in ui ll ires è rihiesto un notevole investiento fisso (osto fisso) l qule seguono osti rginli ontenuti; er ui il onoolist uò godere di notevoli eonoie di sl (rov siegre erhé) Con forti eonoie di sl, il unto inio del osto edio si troverà

9 destr dell urv di dond (oe evidenzito nel grfio); questo si ggiunge il ftto he l intersezione tr rezzo e osto rginle si verifi sotto il osto edio, er ui il rezzo di onorrenz è inferiore l osto edio stesso (vedi il grfio) Dto he un rezzo di onorrenz erfett non è sosteniile, l uni soluzione è quell di grntire l onoolist leno il reuero dei osti ; questo è ossiile se si ione un rezzo AC ugule l osto edio Eserizio 4 Bsndoti sul onetto di sl ini effiiente, sieg sotto quli ondizioni un erto tenderà l onoolio iuttosto he ll onorrenz Svolgiento L sl ini effiiente è il livello di outut he iniizz il osto edio, reltivente lle diensioni dell dond Possio diostrre grfiente he se l sl ini effiiente è iuttosto ss risetto ll dond, llor il erto tenderà d essere di onorrenz Se invee non è un signifitiv differenz tr dond e sl ini effiiente, il erto tenderà d essere di onoolio D D q q D q q D È evidente di grfii he nel rio so l struttur dei osti lsi szio olte ltre irese he ossono rodurre e vendere un quntità ri ll rte di dond non oert dll ires riortt nel grfio Dto il rezzo he oinide on il osto edio inio, l quntità rodott dll singol ires è q (sl ini effiiente); l dond è di olto sueriore ( q D ) Quest ggiore dond srà soddisftt d ltre irese Questo rio erto tende ll onorrenz Nel seondo grfio, invee, non è szio er ltre irese; dt l struttur dei osti l ires rresentt nel grfio ore qusi tutt l dond (l differenz tr q e q D è iol) Questo seondo erto tende l onoolio Eserizio 5 Si onsideri un onoolist he suddivide l rori lientel in due grui (disriinzione di terzo grdo) Suonio he i già rodotto un quntità Q Il onoolist vuole vendere il rodotto i due grui (erti) in odo d ssiizzre i rofitti Le funzioni di dond dei due grui sono P D ( Q ) e P ( D Q ) Deterin l ondizione di ottio

10 Sio he Q Q Q L ires vuole ssiizzre i rivi totli (non onsiderio i osti erhé io suosto he l quntità si stt già rodott; quindi i osti sono irreuerili) R QD ( Q ) QD ( Q ) dt l ondizione Q Q Q Dto il vinolo, ossio risrivere i rivi totli oe segue: R QD ( Q ) ( Q Q ) D ( Q Q ) A questo unto i rivi sono selieente un funzione di Q Derivndo tle funzione risetto Q e uguglindo zero ottenio l seguente ondizione del rio ordine: R Q D D ( Q ) ( Q Q ) D ( Q ) 0 D Dto he Q Q Q e D D Q ( Q ) Q D ( ) D Q ; ossio srivere I rii due terini del lto sinistro rresentno i rivi rginli nel rio erto; i due terini di destr rresentno i rivi rginli del seondo erto Possio onludere he un ires ssiizz i rivi totli (vendendo un quntità fiss di rodotto) uguglindo i rivi rginli nei due erti Eserizio 6 Se il onoolist ollo l quntità fiss Q In odo tle d uguglire tr loro i rivi rginli, qule erto vrà il rezzo iù sso? Sio he in onoolio il rivo rginle è dto d P ; ε Con riferiento i due erti ossio srivere P P ε ε P εε ε D tle uguglinz ottenio l seguente ondizione: P εε ε Se ε > ε llor il nuertore è iù grnde del denointore e quindi P > P Prtiente, il onoolist rti un rezzo iù lto nel erto rtterizzto d un inore elstiità dell dond l rezzo (non dientire he l elstiità è negtiv) Cos suede se le due elstiità sono uguli? Eserizio 7 Si onsideri un onoolist he suddivide l rori lientel in due grui (disriinzione di terzo grdo) Il onoolist deve deidere qunto rodurre e qunto vendere nei due erti in odo d ssiizzre i rofitti Le funzioni di dond dei due grui sono P D ( Q ) e P ( D Q )

11 Π D Q Q D ; il vinolo è dto d Q Q Q Sostituendo il vinolo nell funzione dei rofitti e derivndo risetto lle due quntità ottenio le seguenti ondizioni: Π D C ( ) ( Q) D Q Q 0 Srivio l funzione dei rofitti: ( ) ( Q ) Q C( Q) Π D ( Q ) Q D ( Q) C 0 Sio he ; quindi le due ondizioni del rio ordine diventno MR MR ( Q ) D ( Q ) ( Q ) D ( Q ) ( Q) D C Q D C Q ( Q) I rivi rginli nei due erti uguglino il osto rginle Quindi vle nhe l ondizione MR MR In rti il onoolist rodue fino he i rivi rginli nei due erti sono onteorneente uguli tr loro e l osto rginle Eserizio 8 Un onoolist h diviso i suoi lienti in due grui L dond del rio gruo è 00 q entre l dond del seondo gruo è 00 5q Il osto è dto d C Q Qunto rodurrà il onoolist? Coe suddividerà le quntità tr i due grui? Che rezzo rtiherà? Il role del onoolist è x { q, q ( q ) q ( 00 5q ) q ( Q) Π 00 st Q q q Risolvilo seguendo lo she dell eserizio reedente (risultto: q 4,5; q 9,8; 5; 5) Eserizio 9 Disriinzione ttrverso rezzi non lineri - si ved l eserizio svolto sul Tirole g59

12 Eserizio 0 Con riferiento l grfio di g 50 del Tirole (disriinzione dei rezzi) diostr he nel unto C l quntità quistt di onsutori di tio θ è quell soilente ottile (ioè quell he si otterree on un rezzo onorrenzile ( ) q ) NB: V ( q) Nel unto C l rett di isorofitto è tngente ll urv di indifferenz; quindi le due funzioni hnno l stess endenz L urv di isorofitto è dt d T q π entre quell di indifferenz d T θ V ( q ) U L endenz dell isorofitto è entre quell dell urv di indifferenz è θ ( q ) Uguglindo le due endenze (derivte rie) θ ( q ) si ottiene q he è l dond dei onsutori di tio θ qundo il θ rezzo è ugule l osto rginle, rorio oe in onorrenz erfett Eserizio Diostr he nell relzione vertile tr un onoolist (ires onte) e un dettglinte (ires vlle) he oer in onorrenz erfett, non si gener il fenoeno dell doi rginlizzzione; D( ) Bsterà diostrre he il rofitto del siste vertile è lo stesso si he si relizzi integrzione vertile si nel so in ui ognuno ssiizzi i rori rofitti individulente (ssenz di integrzione vertile) iv Profitti on integrzione vertile: Π x [( )( ) ]; d tle ssiizzzione si ottiene il rezzo finle selto nel so di integrzione vertile ; quindi iv ( ) Π 4 Profitti senz integrzione vertile: il rivenditore vlle oer in onorrenz erfett, quindi rtiherà un rezz ri l osto rginle; il suo osto rginle è rresentto dl rezzo del rodotto interedio venduto dl onoolist Quindi il rezzo finle è dto d w dove w è il rezzo rtito dl onoolist er l vendit dei rori rodotti l rivenditore Il rezzo w è il risultto dell ssiizzzione dei rofitti del onoolist x d ui si ottiene w Coe io detto, questo è [( )( )] ni Π w nhe il rezzo finle, dto he w w : on o senz integrzione vertile, il rezzo finle è lo stesso Anhe il rofitto totle non i: inftti il rivenditore h rofitto ri zero (dto he oer in onorrenz erfett) entre il onoolist ottiene ( ) ni Π rorio oe nel so di integrzione vertile 4

13 Eserizio (Tirole g 305) Per inorggire un ggiore sforzo roozionle e ottenere un rofitto integrto vertilente, il roduttore uò deidere di rtire un rezzo ll ingrosso ri l osto w e un tss fiss di frnhising A Diostr quest fferzione rginle ( ) Nel so di integrzione vertile il role di ssiizzzione è il seguente: x [ Φ( s) ] D(, s) {,s Derivndo risetto llo sforzo roozionle ottenio l seguente ondizione del rio ordine: Φ () s D(, s) [ Φ( s) ] D (, s) Senz integrzione vertile e on tss di frnhising ( w ), l ires vlle ssiizz l seguente funzione di rofitto: x [ Φ( s) ] D(, s) A {,s Derivndo risetto llo sforzo roozionle si rggiunge lo stesso risultto dell integrzione vertile (l ondizione del rio ordine è l stess); quindi frnhising e integrzione vertile roduono lo stesso risultto in terini di sforzo roozionle NB : A Π dove on Π è indito il rofitto he l ires vlle ottiene on un rezzo ll ingrosso ri l osto rginle (quindi se A Π, i rofitto he ringono doo ver gto l tss di frnhising sono ri zero) Eserizio 3(Tirole g 305) Con riferiento ll eserizio reedente, diostr he il rezzo iosto non rodue uno sforzo roozionle effiiente (oe quello ottenuto on l integrzione vertile) Con integrzione vertile l ondizione er l otteniento dello sforzo roozionle ottio è Φ int () s D(, s) [ Φ( s) ] D (, s) dll qule è ossiile ottenere lo sforzo roozionle ottio s > 0 Diversente, se il roduttore ionesse un rezzo di vendit (si l dettglio he ll ingrosso riord he è il rezzo he si vree on integrzione vertile) il rivenditore si troveree ssiizzre l seguente funzione del rofitto: [ Φ s ] D, s x ( ) ( ) s Non è neessrio risolvere l ssiizzzione; inftti si uò osservre he on il rezzo iosto l ires vlle ottiene erdite ri Φ ( s) D(, s) se deidesse di eseritre uno sforzo roozionle ositivo; quindi è er lei ottile non relizzre nessuno sforzo roozionle, ioè s 0

14 Eserizio 4 (Tirole g 305 l soluzione è riortt nel liro) Diostr he l quntità iost è suffiiente rodurre i risultti di un integrzione vertile Eserizio 5 Rresent in for estes il seguente gioo e deterin gli equiliri G / G A,, B 0,0 3, C, 0,0 Eserizio 6 Rresent in for estes il seguente gioo e deterin gli equiliri G / G A 8,8 8,8 (B,C), 0,0 (B,D) 0,0 0, Eserizio 7 Deterin gli equiliri del seguente gioo, e definisi nlitiente gli eleenti he oongono il gioo: 0,0,,0 A t B 0, 0,, Nt, 0,9, 0,0,0 A t B 0,0

15 Eserizio 8 Consider il seguente gioo: A t, 0,0 B 0,0, Il retro t ssue vlore on roilità 0, e vlore 0 on roilità 0,8 doo ver hirito di he tio di gioo si trtt, deterin l equilirio Deidi tu qule giotore h inforzione olet Eserizio 9 Si onsideri un duoolio l Bertrnd on i seguenti rezzi > ; ) deterin l soluzione; ) indi on D ( ) l funzione di dond e deterin i rofitti di ogni ires Eserizio 30 Chirisi se i rezzi Bertrnd > rresentno un equilirio di Nsh del duoolio l Eserizio 3 Si onsideri un duoolio l Bertrnd on < ; deterinre i rezzi di equilirio e i rofitti delle due irese Eserizio 3 (Bertrnd on rodotti differenziti) Risolvere il duoolio l Bertrnd on rodotti differenziti riortto g 3 del testo Teori dei giohi Gions - Svilure tutti i ssggi lgerii e hirire le differenze on il duolio l Bertrnd on rodotti oogenei Eserizio 33 (Cournot e Bertrnd) Svolgere gli eserizi g 57 del testo Teori dei giohi Gions - Eserizio 33 (Bertrnd on osti rginli resenti - d Tirole, g 368) Si onsideri un duoolio l Bertrnd on osti rginli resenti e identii er le due irese Mostrre he il rezzo onorrenzile C on le irese he si dividono in rti uguli l quntità di onorrenz (ogni ires rodue q, er un quntità totle ri q ), non è un equilirio del gioo (oe invee vviene nel duoolio di Bertrnd on osti rginli ostnti), e he d ogni ires onviene rtire un rezzo iù lto Indire on D ( ) l dond glole e on C[ D( ) q ] l funzione di osto dell ires (lo stesso vle er l ires ) Mtetiente, il rofitto di un ires er il rezzo il rezzo di onorrenz e rodue q è [ D( ) q ] C( D( ) q ), qundo l ltr ires fiss L derivt di questo rofitto risetto, lolt nel unto, è D ( ) q D ( ) C D( ) q D ( ; onsiderndo he D ( ) q e ( ) )

16 ( D( ) q ) 0 C (riord he in onorrenz rezzo e osto rginle sono uguli) tle derivt divent ri q, ioè l derivt nel unto è ositiv Questo signifi he se uento il rezzo i rofitti uentno; è ioè onveniente segliere un rezzo sueriore quello di onorrenz Quindi in orrisondenz del rezzo onorrenzile, il rofitto è lolente resente risetto l rorio rezzo [luni di voi otreero oiettre he un uento del rezzo singeree l ires he lo rti fuori dl erto Tuttvi questo non vviene; l intuizione eonoi sottostnte questo risultto è olto selie Nel unto di equilirio onorrenzile, isun ires è sull rori urv di offert, he orrisonde l osto rginle (he, riord, è resente), quindi un non uò fornire iù di q se l ltr uent il rezzo nel duoolio l Bertrnd trdizionle,invee, se un ires uent il rezzo, si vedrà soffire tutti i lienti dll ltr ires he è in grdo di orire tutt l dond dto he l funzione dei osti rginli (ioè l su offert) è itt] Eserizio 34 (d Tirole g 379) Ci sono tre irese identihe nel settore industrile: l dond è Q q q Il osto rginle è zero q3 Q dove ) si loli l equilirio di Cournot; ) Si diostri he se due delle irese si fondono (trsforndo il settore in un duoolio), il rofitto di queste irese diinuise Siegte erhé Eserizio 35 (d Tirole g 380) Si onsideri un duoolio he rodue un rodotto oogeneo L ires rodue un unità di rodotto on un unità di lvoro e un unità di teri ri L ires rodue un unità del rodotto on due unità di lvoro e un unità di teri ri I osti unitri del lvoro e delle terie rie sono w e r L dond è q q Si loli l equilirio di Cournot (NB: l uni diffioltà st nel deterinre l forul del osto totle) Eserizio 36 - Svolgere i ssggi lgerii dell eserizio g 67 sezione del Gions (si trtt del duoolio di Stkelerg); - Svolgere i ssggi lgerii dell eserizio g 48 sezione del Gions (si trtt di un duoolio l Cournot on inforzione sietri (gioo yesino) Eserizio 37 (oligoolio l Cournot on n irese) Deterin le quntità di equilirio in un oligoolio ll Cournot on n irese tutte uguli L quntità totle è dt d Q q q q n ; L dond invers è ( Q) Q Diostr he se il nuero delle irese uent ll infinito, l quntità rodott onverge quell he si rodue in onorrenz erfett Svolgiento Π q Q q Il rofitto dell generi ires ont ( i ) ( ) i qi l equzione del rofitto divent Π ( qi ) ( q q qn ) qi qi ; risritt in for estes Derivio l funzione del rofitto risetto ll quntità q i : Π ( q qi qn ) 0 q i

17 Risrivio l derivt in for ott, isolndo l vriile deisionle : n q j j i q i Sioe le quntità sono tutte uguli (dto he le irese sono tutte identihe) ttenio ( n ) qi qi e quindi q i ( n ) n L quntità totle è dt d Q n È interessnte onfrontre l quntità totle di oligoolio on quell di onoolio e di onorrenz erfett In onoolio l quntità rodott dll ires è dt d q (st risolvere il role del onoolist sndosi sull dond invers roost nell eserizio) L quntità in onorrenz erfett è dt d q (st orre l dond invers ugule l osto rginle) Si not suito he se il nuero delle irese oligoolistihe tende d uentre, l quntità totle di oligoolio tende ll quntità di onorrenz erfett (he è ggiore): inftti n li Chirente si not nhe he l quntità di onoolio è inferiore quell di n n oligoolio Eserizio 38 Deterin l indie di Lerner er un generi ires in un oligoolio l Cournot (suggeriento: rti dll forul del rofitto e fi l derivt; quindi rriv on i ssggi lgerii d ottenere l indie di Lerner) Eserizio 38 (Conentrzione di erto e ollusione Tirole, g 48) Si onsideri un settore nel qule n irese roduono eni oogenei d un osto rginle ugule e ostnte, e si gurdi l risultto di ollusione olet, in ui tutte le irese fissno il rezzo di onoolio e si dividono i rofitti in odo equo Svolgiento Il rofitto er eriodo e er ires è Π n, un funzione deresente di n un nuero grnde di irese ridue il rofitto er ires e di onseguenz il osto dell unizione er ver ridotto i rezzi (ioè er ver devito) In terini lgerii l ondizione er vere ooerzione è t Π δ t0 n Π Π Che divent Π ; d quest esressione ottenio he δ n δ n Il fttore di sonto deve suerre n erhé l ollusione si sosteniile: in questo senso, l onentrzione del erto filit l ollusione tit

18 Eserizio 39 (Ritrdi di inforzione e ollusione Tirole, g 49 ) L ini di unizione oer solo se quest rriv oo doo l riduzione di rezzo Suonio he l devizione srà soert dll rivle solo doo due eriodi Deterin l ondizione er vere ooerzione Suoni he in so di ooerzione le irese si dividno in rti uguli i rofitti di onoolio Svolgiento In terini lgerii l ondizione er vere ooerzione è t 0 t Π δ Π δ ( ) D ui ottenio l ondizione ert: δ Quindi l ondizione è iù rigid di quell del odello lssio δ, oihé In questo senso nhe i ritrdi di inforzione ossono usre l fine dell ollusione Eserizio 40 (irese venti onttti in iù erti Tirole, g 434) Se le irese oerno in iù erti è iù file he si verifihi ollusione Inftti un guerr dei rezzi stent in un erto si trsetteree en resto gli ltri erti, on un lifizione delle erdite Diostr quest fferzione svolgendo il seguente eserizio: si iotizzino due erti identii e indiendenti, nei quli entre le irese oerino, e nei quli le irese sono titente ordte sull srtizione equ dei rofitti di onoolio Iotizz nhe he il erto oeri in ogni eriodo, entre il erto ogni due eriodi Svolgiento In terini lgerii l ondizione er vere ooerzione in entri i erti è 3 Π 4 6 ( δ δ δ ) ( δ δ δ ) Π Π D ui ottenio 4δ δ 0 ioè ( δ 0,593) L ide di se di un siile risultto è he l erdit di ollusione sul erto uò essere tnto grnde d dissudere le devizioni non solo sul erto nhe sul Tieni onto he sul erto l inentivo devire è olto iù forte di qunto non si sul erto (se non sei onvinto/ lol il δ sertente sul rio e sul seondo erto) Eserizio 4 (irese venti onttti in iù erti e on ritrdi di inforzione Tirole, g 435) Si onsiderino due irese he intergisono in due erti identii e indiendenti I erti sono diversi nell isur in ui sul erto il rezzo di un ires l teo t è osservto l teo t, entre sul erto divent noto solo l teo t Dunque, nhe se entri i erti oerno in ogni eriodo, il erto h ritrdi di inforzione iù lunghi ) ostrte he, in ssenz di onttti su entri i erti, l ollusione sul erto sree sosteniile se e solo se δ 0, 7; (è oe nell eserizio 39) ) diostrte he, qundo i onttti vvengono su entri i erti, l ollusione in entri i erti è sosteniile se e solo se δ δ on δ 0, 64

19 Svolgiento Il rio unto rirende qunto ftto nell eserizio 39 Sviluio il seondo unto; l ondizione er l ooerzione in tutti i erti è l seguente: Π Π Π Π δπ δ δ Mniolndo l forul ottenio δ δ 0 d ui δ 0, 64 Eserizio 4 Si onsideri un oligoolio forto d tre irese identihe L uni differenz è nei risettivi δ δ fttori di sonto: δ, δ, δ 3 on 0 3 δ Stilisi se esiste l ossiilità he le tre irese olludno tr loro roduendo ognun un terzo dell quntità di onoolio In generle l ires ollude se i rofitti derivnti dll ollusione suerno quelli derivnti dll defezione; ioè se π δ π δ π π Si riordi he se l ires defezion ottiene nel eriodo orrente tutto il rofitto di onoolio oi, nei eriodi suessivi, ottiene rofitti nulli Rielorndo l disuguglinz ottenio l ondizione δ 3 δ L ires ollude se δ ; llo stesso odo l ires ollude se ioè se δ M quest ondizione è iossiile visto he 0 < δ < (negli eserizi suessivi 3 vedreo he in si iù oliti quest ondizione otree non essere osì rigid) Quindi l ires non etterà i l ollusione Lo stesso vle er l ires 3 Eserizio 43 Consider i dti dell eserizio reedente: he suede se l dond rese ogni eriodo d un tsso esogeno g? Il fttore di sonto divent g ires : r 3 ; g δ ; quindi le ondizioni er l ollusione sono: r ires : g r 4 3 g ires 3: r Conentrio l ttenzione sull ires 3 dto he quest h il δ iù sso e quindi è l eno roens ll ollusione Se lei deide di olludere llor lo frnno nhe le ltre

20 g Considerio d ui ottenio g r Quindi se l dond rese d un r tsso suffiienteente lto, l terz ires deiderà di olludere e osì frnno le ltre due Grfiente: g g r r L re trtteggit rresent l zon in ui g > r Eserizio 44 Si fi riferiento i dti dell eserizio reedente Che suede se d ogni eriodo l dond si ridue d un tsso ri g? g Adesso il fttore di sonto è dto d δ ; 3 r g Fio sere riferiento ll terz ires; quindi d ui ottenio 3 r 3 g r Dto he g ed r sono ositivi, l disuguglinz non è i verifit Possio dire he l terz ires non ollude i; ne segue he nenhe le ltre olludernno Eserizio 45 Si onsideri l eserizio reedente on le irese venti gli stessi fttori di sonto g In generle ossio srivere d ui ottenio g r Adesso l ollusione è r ossiile se il tsso di dereento dell dond è suffiienteente iolo Grfiente: g 3 r

21 L re trtteggit indi l zon in ui è risettt l ondizione g r 3 3 Eserizio 46 Due irese identihe (on gli stessi fttori di sonto) devono deidere se olludere o no Se olludono si dividono i rofitti del onoolio Se non olludono ottengono rofitti nulli Con roilità l dond reltiv l eriodo suessivo reserà d un tsso g, entre on roilità l dond diinuirà d un tsso h Deterin il vlore ritio del fttore di sonto l di sor del qule le due irese deidono di olludere Chirisi l effetto di su tle vlore ritio Il fttore di sonto deve tener onto dei tssi di resit e delle roilità legte lle vrizioni dell dond: δ ( g) ( h)( ) r r L ollusione è onveniente se il flusso sontto dei rofitti derivnti dll ollusione è ggiore dei rofitti derivnti dll rinuni ll ollusione In generle, er ogni ires deve vlere l seguente relzione: π π δ π δ π Riord he se l ires deide di devire dll ollusione ottiene suito l totlità dei rofitti di onoolio, oi rofitti nulli in tutti i eriodi suessivi (L iotesi forte he noi fio è he, ur vrindo l dond, i rofitti di onoolio non vrino lo stesso vle nhe er gli eserizi reedenti he onsiderno vrizioni dell dond) Risolvendo l ondizione ottenio δ he divent ( ( g h) h) ; si vede r suito he un iù lto rodue un uento del fttore di sonto rendendo iù roile l ollusione tr le due irese Eserizio 47 Si onsideri il seguente gioo (dile del rigioniero): A, 5,0 B 0,5 4,4 Doo ver deterinto l equilirio di Nsh deterin l ondizione neessri ffinhé i due giotori ooerino L equilirio di Nsh è l oinzione di strtegie ( A, ) ; tuttvi se i due giotori ooerssero otreero ordrsi er giore l oinzione ( B, ) Sio he quest seond oinzione non ostituise equilirio erhé ogni giotore h forti inentivi devire Rietendo il gioo un nuero infinito di volte è ossiile stilire l ondizione neessri ffinhé i giotori ooerino tr di loro Coe io già nlizzto negli eserizi reedenti, l ooerzione srà rtit se vle l seguente ondizione: 4 δ 4 δ 4 5 δ δ

22 4 δ ioè 5 d ui si ottiene l ondizione ert: δ δ δ 4 L onlusione è he i due giotori trovno onveniente ooerre (ioè giore l trigger strtegy o strtegi del grilletto) se δ 4 Eserizio ( onsiderzioni) 48 Due irese identihe devono deidere se olludere o no In ogni eriodo il gioo tr le due irese otree terinre on roilità Deterin l ondizione neessri er l ooerzione Il eniso è quello visto negli eserizi reedenti Il fttore di sonto è dto d δ π Quindi l ondizione π δπ δ π π onsider si il r vlore sontto dei rofitti futuri he l roilità he il gioo oss finire in uno qulsisi dei eriodi futuri (NB in tutti gli eserizi svolti fino d or io sere onsiderto irese he si dividono i rofitti di onoolio; i otreero essere si in ui i rofitti ino d eriodo eriodo d eseio, qundo io onsiderto l dond he resev/diinuiv nei eriodi suessivi, dovevo nhe onsiderre un iento nei livelli dei rofitti di onoolio; er seliità io ontinuto tenere fisso il rofitto d uno stesso livello π ) Eserizio 49 (odello di Hotelling eserizio estrtto d Ges nd Infortion di Eri rsusen) Si onsiderino due irese identihe (, ) osizionte risettivente in x e x I onsutori si distriuisono in odo unifore tr 0 e I osti di trsorto sono ri θ Si deterini: ) l ondizione sotto l qule il erto è interente tturto dll ires ; ) l ondizione sotto l qule il erto è tturto dll ires ; ) le donde reltive lle due irese e i rezzi rtiti L situzione uò essere rresentt oe segue: x x L ires onquisterà l intero erto se nhe il onsutore 0 seglierà di quistre d ur essendo iù viino d NB ogni unto lungo l sse rresent un onsutore he dovrà quistre un unità del ene d un delle due irese Il giotore 0 quisterà d se i osti he sostiene quistndo d sono inferiori quelli he sosterree se quistsse d : ioè se θ x < θx d ui ottenio ( x x ) > θ 0 Allo stesso odo rivio l ondizione in se ll qule tutto il erto è onquistto dll ires in tle so deve vlere l ondizione er ui nhe il giotore referis

23 quistre d Cioè deve essere vlid l seguente ondizione: θ x > θ x Tle ondizione uò essere risritt nel seguente odo: ( ) ( ) > θ ( x x ) Per lolre l dond reltiv lle due irese si deve individure il onsutore he è indifferente risetto ll quisto d un delle due irese Un volt individuto sreo he tutti i onsutori ll su sinistr orernno dll ires entre gli ltri orernno dll ires (sere he un delle due non tturi l intero erto) Per il onsutore indifferente (he indihio on x - si uò diostrre he tle onsutore è osizionto tr le due irese) deve vlere l seguente ondizione: θ x x θ x x ( ) ( ) θ rresent l dond er l ires entre Rielorndol ottenio x [( ) θ ( x x )] È filente intuiile he x x è l dond reltiv ll ires Per rivre i rezzi rtiti dlle due irese si deve roedere on un norle ssiizzzione dei rofitti L ires deve ssiizzre i seguenti rofitti (i osti non sono onsiderti): Π x ; entre l ires ssiizz Π ( x ) Coinio on l ri ires: Π θ [( ) θ ( x x )] Π θ θ ( ) ( x x ) 0 d ui ottenio ( x x ) Considerio l ires θ Π θ [( ) θ ( x x )] Π θ θ ( ) ( x x ) 0 d ui ottenio ( x x ) θ θ Adesso sterà ettere siste le due equzioni dei rezzi er ottenere i seguenti vlori: ( x x ) θ ( 4 x ) ; x 3 θ 3

24 Eserizio 50 Studi l equilirio del odello di Hotelling onsiderndo osti lineri e le irese ollote negli estrei Per deterinre l dond er l ires doio orre l seguente uguglinz: t tx t( x) d ui ottenio x D L dond er l ires è t t dt d x ; quindi x D (noteri he le funzioni di dond sono t uguli quelle trovte nel so di osti qudrtii vedi eserizio svolto in lsse) L soluzione quindi è identi quell dell eserizio svolto in lsse I rezzi di equilirio srnno ri t e le irese si dividernno il erto età I rofitti sono Π Π t NB: l resenz di osti lineri non re rolei se le irese sono situte gli estrei; vedreo negli eserizi suessivi (eserizio 5) he se le irese si osizionno ll interno dell intervllo llor è onveniente segliere osti qudrtii onde evitre rolei on l funzione di dond Eserizio 5 Studi l equilirio del odello di Hotelling on le irese ollote nello stesso unto Fino d or io onsiderto il so liite in ui le irese si trovino il iù lontno ossiile l un dll ltr L ltro so liite è quello in ui esse roduno lo stesso ene, ioè sino situte nello stesso unto (hiiolo x 0 ) e i loro eni sino erfetti sostituti Quindi, l dond er l ires è ottenut dll seguente uguglinz ( lo stesso vle er l ires ): t x x0 t x x0 ; il vlore ssoluto dell differenz tr l osizione del onsutore generio e quell dell ires signifi he tle differenz viene onsidert sere on il segno ositivo nhe se x 0 > x Si otev nhe utilizzre l seguente uguglinz: t( x x ) t( x ) Counque tle uguglinz divent 0 x0, ioè i osti legti ll distnz sono irrilevnti dto he le irese sono nello stesso unto Quindi sio tornto ll onorrenz l Bertrnd; l equilirio srà e Π Π 0 Eserizio 5 (Hotelling on selt del osizionento) Suonio he le due irese deno ri deidere dove osizionrsi e oi segliere i rezzi Indihio on > 0 l osizione selt dll ires e on on > 0 quell selt dll ires (senz erdere di generlità, > 0 - l ires è ll sinistr dell ires ) Consider osti qudrtii Deterin: ) l dond er ogni ires; ) le funzioni dei rezzi ottii; 3) hirisi l roedur er deterinre il osizionento ottio Il odello è un gioo dinio he uò essere risolto on l induzione ll indietro Quindi ri lolio le funzioni (strtegie) he rresentno l selt del rezzo ottio; e oi deterinio l osizione otti delle irese, in se lle funzioni dei rezzi ottii en trovte

25 Considerio l ires : l su dond si lol rtendo dll uguglinz ( ) ( ) ( ) x x t Ottenio ( ) t D x L dond er l ires è dt ( ) t D x Or si deve ssiizzre il rofitto di ogni ires, derivndo risetto il rezzo e tenendo onto dell funzione di dond (riord he stio lindo l induzione ll indietro) Le funzioni dei rofitti sono ( ) ( ) Π t e ( ) ( ) Π t ; derivndo i rofitti risetto i risettivi rezzi e ettendo siste tli derivte si ottengono i rezzi di equilirio (riord he sono delle funzioni, dto he tli rezzi ottii vriernno l vrire del osizionento he ogni ires seglie nel rio stdio del gioo) I rezzi di equilirio sono: ( ) ( ) ( ) ( ) 3, 3, t t A questo unto rine d deterinre l ollozione otti er ogni ires; il osizionento ottio viene deterinto ssiizzndo i rofitti risetto ll risettiv ollozione Liitndoi solo ll ires : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )],,,,, [,, D Π dove D è l dond he io trovto ll inizio dell eserizio, on l differenz he l osto dei rezzi io sostituito i rezzi di equilirio Per trovre il osizionento di equilirio sterà derivre il rofitto risetto d L soluzione di quest ssiizzzione è lsit oe eserizio lgerio (non è diffiile stnz lung) - (non srà rihiest ll ese ounque D Asreont (979) diostr he il osizionento ottio srà gli estrei dell ittà linere, ioè 0 e - ssi differenzizione) Eserizio 53 (lizione del teore dell inviluo - rientr nell rte d ese folttiv) Alindo il teore dell inviluo riv l effetto dond e l effetto strtegio derivnti d vrizioni del osizionento Il teore dell inviluo i erette di lolre Π senz lolre l derivt Quindi ( ) { Π 443 effetto strtegio effetto dond D D

26 Di dti dell eserizio reedente si ottiene: D ( ) D 3( ) Sostituendo queste esressioni nell derivt del rofitto si diostr he Π < 0, ioè l ires tende d llontnrsi dll ires (e vievers) l effetto strtegio revle sull effetto dond Eserizio 54 Si onsideri un industri he rodu un solo ene, on urv di osto edio d U Suonio he l urv di dond intersehi l urv del osto edio leggerente destr dell sl ini effiiente Con un grfio ostrte he non esiste un llozione sosteniile L situzione è rresentt nell figur seguente: e e C Si C {, q } q e q il unto in ui l urv dei osti edi interse l urv di dond, si q l sl iù effiiente e il osto edio inio Un llozione he egugli dond e offert e erett di ottenere rofitti deve stre sull urv di dond nord-ovest di C in rtiolre il rezzo di erto deve essere (deolente) sueriore Suonio or e he un nuov ires entri on un rezzo oreso tr e, e rodu q e q e Cioè l nuov ires rzion i onsutori in orrisondenz del Dto he il rezzo fissto dll nuov ires è strettente sueriore l suo osto edio (he è ), ess ottiene rofitti strettente ositivi e l llozione inizile non è sosteniile Quindi non esiste llozione sosteniile Eserizio 55 (Brriere ll entrt e selt di itle) Si onsideri un settore on due irese L ires (ires oernte sul erto) seglie un livello di itle K he è fisso L ires (l otenzile entrnte) osserv K e oi seglie il rorio livello di itle K he è nh esso fisso I rofitti delle irese sono seifiti d Π ( K, K ) K( K K ) e Π ( K, K ) K ( K K ) Deterin i vlori di equilirio di K, q q

27 Il gioo fr le due irese è un gioo due stdi L ires deve ntiire l rezione dell ires l livello di itle K L ssiizzzione del rofitto d rte dell ires K K rihiede he K L ires ssiizz dunque Π K K d ui ossio deterinre l equilirio erfetto di Nsh: K ; K 4; Π 8; Π 6 Eserizio 56 Rirendi l eserizio reedente e invee di fr uovere le irese in sequenz svilu il odello onsiderndo osse siultnee Confront l soluzione on quell ottenut nel so di osse sequenzili Eserizio 57 Con riferiento ll eserizio reedente, er qule vlore di K l ires due deiderà di non entrre nel erto? Eserizio 58 Suonio he le irese deno ostruire un nuero intero di iinti: 0,,, Costruire n iinti ost 3,5n Cisun iinto rodue un unità di rodotto, non i sono osti vriili ed il rezzo di erto è 6 K, dove K è l ità totle dell industri (nuero di iinti) A) diostrte he un onoolist instllerà un solo iinto B) Considerte due duoolisti he selgno siultneente il nuero di iinti, K e K Si 6 K K Diostrte he, nell equilirio di Cournot, isun ires ostruise un solo iinto