ESEMPI DI APPLICAZIONI DELLE CALCOLATRICI NELL INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA

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1 ESEMPI DI APPLICAZIONI DELLE CALCOLATRICI NELL INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA a cura di Aurelia Orlandoni, Ercole Castagnola, Sebastiano Cappuccio

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3 INDICE Introduzione pag Linguaggi algebrici pag Introduzione ai numeri reali pag Polinomi pag Introduzione alle disequazioni pag Piano cartesiano pag Rette nel piano cartesiano pag Equazioni pag Funzioni pag Grafici di funzioni e trasformazioni elementari pag Problemi e modelli pag Fasci di parabole pag Una proprietà delle cubiche pag Due problemi di geometria pag Le equazioni di un orsetto pag Introduzione alle successioni pag Distribuzione delle frequenze pag Dalla statistica alla probabilità pag Regressione e correlazione pag Per approfondire pag

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5 INTRODUZIONE In questo fascicolo sono presentate solo alcune tra le innumerevoli applicazioni in classe possibili con una calcolatrice grafica e simbolica; in particolare vengono mostrate quelle nelle quali il rapporto qualità/ prezzo (cioè tra l importanza concettuale e le necessarie conoscenze dello strumento) è particolarmente alto e quindi sono alla portata anche di chi non ha molta esperienza nell uso delle calcolatrici. Ciascuna applicazione è preceduta da una scheda simile alla seguente: TITOLO: ARGOMENTO E CLASSE: POSSIBILITÀ D USO: COMMENTI: RIFERIMEN- TO Vengono citati esempi di articoli o lavori vari sull argomento. DIFFICOL- TÀ * facilissimo ** facile *** medio **** difficile Il grado di difficoltà fa riferimento alle necessarie conoscenze dello strumento utilizzato STRUMENTO CNG (calcolatrice numerica e grafica) CGS (calcolatrice grafica e simbolica) CAS (sistema di elaborazione simbolica, sia su computer che su calcolatrice) FE (foglio elettronico) GD (geometria dinamica) LP (linguaggio di programmazione, sia su computer che su calcolatrice) 5

6 Le indicazioni su ARGOMENTO E CLASSE fanno di norma riferimento alla bozza dei Nuovi Programmi di Matematica elaborata dalla UMI-CCIM come appare in Matematica 2003, Attività didattiche e prove di verifica per un nuovo curricolo di Matematica. In molti casi viene riportato come esempio un brano di un lavoro ritenuto particolarmente significativo. La maggior parte di questi esempi sono tratti dal CD di ADT 2004, ed. Ghisetti e Corvi. NOTA: Molti dei lavori qui pubblicati fanno riferimento alla calcolatrice TI-92. Le stesse attività possono essere eseguite anche con le equivalenti calcolatrici TI- 89, TI-89 Titanium e Voyage

7 LINGUAGGI ALGEBRICI ARGOMENTO E CLASSE Numeri e algoritmi; uso consapevole delle parentesi. Primo biennio. POSSIBILITÀ D USO Digitazione di espressioni numeriche (CNG) e letterali (CGS). Traduzione di espressioni numeriche e letterali dal normale linguaggio algebrico alla forma lineare e viceversa. COMMENTI Un certo addestramento alla digitazione di espressioni (numeriche o letterali) sulla calcolatrice o al computer (CAS) può essere molto utile allo studente, non solo come abilità di base per successive applicazioni, ma anche e soprattutto come spunto di riflessione su alcuni importante aspetti dell algebra di base. RIFERIMENTO /documen/italia/libr o_b/ticap03.pdf DIFFICOLTÀ * STRUMENTO CNG CGS CAS Chiunque operi con una tastiera, sia essa di calcolatrice o di computer, sa bene che non sempre è facile riprodurre espressioni aritmetiche o algebriche perché il tradizionale linguaggio algebrico usa (ad esempio nelle frazioni o nell elevamento a potenza) scritture su più livelli non facilmente riproducibili con la tastiera. Ciò costringe nella digitazione a operare con un linguaggio algebrico almeno in parte diverso da quello usuale: il formato lineare. Il formato algebrico lineare Il dover digitare espressioni in forma lineare costringe a inserire parentesi anche quando, nel linguaggio algebrico tradizionale, vengono omesse perché non necessarie. Ciò costringe a riflettere sulla priorità delle operazioni e sull uso delle parentesi. Lo studente ha così la possibilità di operare con almeno tre diversi formalismi algebrici: tradizionale lineare 7

8 grafi ad albero Il passaggio dall uno all altro formalismo consente così una più approfondita comprensione e una maggiore consapevolezza della struttura di una espressione. È importante in questo processo di traduzione il fatto che i CAS e le calcolatrici grafico-simboliche fanno rivedere nel formato tradizionale ciò che si è scritto, offrendo la possibilità di controllare la correttezza della digitazione. Nella tabella che segue vediamo a titolo di esempio alcune e- spressioni scritte usando la notazione lineare, quella tradizionale e il corrispondente grafo ad albero: (5+7)/(4 2) / / (5+7)/ /(4 2) / / /

9 L operazione di elevamento a potenza Anche l operazione di elevamento a potenza nel formato tradizionale non può essere riprodotta con una tastiera: è stato così introdotto un esplicito simbolo (di norma l accento circonflesso ^) per indicare questa operazione. Così, ad esempio, 3 2 deve essere digitato come 3^2. Può sembrare banale, ma il dover utilizzare una struttura del tipo operando operatore operando, simile a quella delle altre operazioni, fa sì che lo studente percepisca meglio il concetto di potenza come operatore e le sue proprietà (o non-proprietà, come la commutativa e la associativa). I diversi significati del segno meno In ogni tipo di linguaggio non formale (come invece sono ad e- sempio i linguaggi di programmazione) una parola ha spesso significati assai diversi. Di solito ciò non trae in inganno chi lo usa, perché egli ne sa interpretare correttamente il significato in base al contesto 1 ; ciò talvolta avviene anche in matematica, ad esempio a proposito della parola meno. Una delle principali difficoltà nell algebra e- lementare è data dalla gestione del segno meno ; questo disagio, da parte di molti studenti, dipende spesso dall ambiguità di fondo di questo simbolismo matematico. Lo stesso simbolo viene infatti utilizzato con due diversi significati: quello operativo (o di operatore binario) quando indica l operazione di sottrazione tra due numeri quello predicativo (o di operatore unario) quando indica l opposto di un numero. Nelle calcolatrici sono presenti due diversi tasti per indicare i due significati del meno : - e (-). Ciò non può che chiarire meglio questa duplice natura del simbolo e costringere così lo studente a prenderne concretamente coscienza riducendo gli errori di segno che spesso non sono dovuti a distrazione, ma a una scarsa comprensione dei significati del simbolo. 1 Ad esempio: Nella minestra c è poco sale, Le sale del palazzo ospitano una grande festa, Il prezzo del petrolio sale : la parola sale, pur con significati e ruoli sintattici assai diversi, non crea ambiguità grazie al contesto. 9

10 INTRODUZIONE AI NUMERI REALI ARGOMENTO E CLASSE Numeri reali come numeri decimali. Classe prima: POSSIBILITÀ D USO Individuazione del valore approssimato di numeri reali (ad esempio radicali quadratici) per tentativi, o, meglio, per approssimazioni successive. COMMENTI Anche questo argomento favorisce la percezione numerica, spesso distratta dai formalismi algebrici, in particolare nel calcolo con i radicali. Nel documento di riferimento viene presentato l algoritmo delle scatole cinesi. RIFERIMENTO /documen/italia/labcl ass/dfoa02.pdf DIFFICO LTÀ * STRUMENTO CNG CGS CAS Scatole cinesi (Donata Foà) Si comincia quasi sempre dalla radice di 2 e si introduce l'algoritmo che permette di approssimarla con la precisione voluta; è abbastanza scomodo ripercorrere questo cammino a mano o con una macchina calcolatrice che dia solo i numeri, è facile perdersi nei numeri decimali e non vedere bene il procedimento. Proviamo ad usare le liste con il comando seq (sequence). Visto che 2 è compreso fra 1 e 2 si suddivide l'intervallo in dieci parti con il comando seq che costruisce una sequenza di numeri da un minimo a un massimo secondo una funzione assegnata, nel nostro caso 1 + k/10 con k che varia da 0 a 9. seq(1+k/10,k,0,9) appare la sequenza dei decimali 1.1, 1.2, se non appare così occorre andare a modificare il tipo di numero da exact a approximate (per fare questo battere il tasto Mode e andare fino in fondo). 10

11 Una volta ottenuta la sequenza dei decimali bisogna farne il quadrato per vedere fra quali valori è compreso il 2. Si seleziona la riga di scrittura, si digita ^2 e si ottengono i quadrati; a mano si sceglie quello approssimato per difetto e si ricomincia da capo a partire da questo: l'unica differenza sta nel grado di approssimazione: seq(1.4+k/100,k,0,9) e così via fino al numero di decimali voluto. Per trovare la parte intera di una radice il comando è un po' diverso; supponiamo di avere 1398: si può partire da 30 e andare avanti. seq(k^2,k,30,40) (*il numero limitato di numeri è consigliato solo per ragioni di schermo*). È evidente che questo metodo elimina tutta la parte di calcolo e permette di ricostruire la procedura anche più volte, permette di costruire suddivisioni diverse, in due parti, in tre o in quante si vuole e quindi individuare la scatola cinese come classe di equivalenza, permette di capire quante operazioni vengono effettuate nelle diverse partizioni e qual è la più veloce, induce negli studenti l'idea di algoritmo e quindi di costruire un programma che ricalchi questo procedimento. 11

12 POLINOMI ARGOMENTO E CLASSE Polinomi in una indeterminata e, più in generale, calcolo di e- spressioni letterali. Classe Prima. POSSIBILITÀ D USO Sostituzione di un valore numerico ad una o più variabili di una e- spressione simbolica. Tabulazione del valore di una espressione al variare dei valori di una variabile. COMMENTI L applicazione, di solo apparente banalità, consente di non perdere la percezione numerica del valore di una espressione letterale. Permette anche di far comprendere come una espressione può assumere valori nulli, positivi, negativi, oppure perdere di significato a seconda del valore assegnato alla variabile, applicazione propedeutica ai concetti di equazione, disequazione e funzione. RIFERIMENTO DIFFICOLTÀ * STRUMENTO CGS CAS FE Il passaggio dal calcolo numerico a quello simbolico costituisce una importante tappa nell apprendimento dell Algebra. Questo passaggio può essere reso più graduale attraverso l uso di uno strumento di calcolo per effettuare la sostituzione di un valore ad una variabile dell espressione. La calcolatrice simbolica, con il tasto with ( ) e l ambiente table, è particolarmente adatta a questo tipo di applicazione. La stessa cosa può essere realizzata manualmente ma, a causa della pesantezza dei calcoli, ciò può far perdere di vista questa importante concettualizzazione. Il tasto with produce una assegnazione locale che sostituisce nell espressione indicata a sinistra, il valore indicato a destra della barra verticale. 12

13 Fig. 1. Nella prima linea l espressione viene semplificata automaticamente (in questo caso si tratta di una scomposizione in fratti semplici ). Nelle linee successive grazie all uso del tasto with, rappresentato da una barra verticale, l espressione vene valutata sostituendo alla variabile a rispettivamente i valori 4, 0 e 1. Fig. 2. Un CAS consente anche sostituzioni multiple con più variabili contemporaneamente. Si noti l uso del connettivo and. Ciò è molto utile per far sì che lo studente non perda il significato numerico delle espressioni letterali che deve manipolare e acquisti una visione dinamica di tali espressioni. La cosa può essere ulteriormente approfondita con l uso dell ambiente Table: dopo aver scritto una espressione simbolica nell apposito ambiente di definizione delle funzioni, i valori dell espressione possono facilmente essere tabulati facendo variare i valori della variabile x a partire da un dato valore iniziale con un passo prefissato. Sarà così facile riconoscere come per determinati valori della variabile l espressione si annulla, per altri può perdere di significato e così via (vedi anche scheda successiva). 13

14 Fig. 3. L espressione (in questo caso sarebbe ovviamente più corretto chiamarla funzione, ma a questi livelli scolari probabilmente il concetto di funzione non è ancora stato introdotto) viene definita nell apposito Editor. Fig. 4. Il valore iniziale della tabella tblstart x = 0 e il passo tbl = 1 sono i valori di default. Possono comunque essere modificati in qualsiasi istante dall utente. Fig. 5: Nell ambiente Table vengono tabulati i valori della funzione (anzi, nel nostro lessico in questo contesto, della espressione) data: nella prima colonna compaiono i valori della variabile x, nella seconda colonna i valori dell espressione corrispondenti ad essi. 14

15 INTRODUZIONE ALLE DISEQUAZIONI ARGOMENTO E CLASSE Equazioni e disequazioni di primo grado a una incognita. Primo biennio. POSSIBILITÀ D USO Tabulazione di una funzione con l ambiente Table. COMMENTI Anche un CAS (ad esempio Derive con l uso di Vector) o un foglio elettronico permettono la stessa cosa, ma in modo meno espressivo e immediato e soprattutto più complesso da realizzare. RIFERIMEN- TO DIFFICOLTÀ * con le calcolatrici grafiche e/o simboliche ** con un altro CAS ** con il foglio elettronico STRUMENTO CG CGS CAS FE Per questo argomento la tecnologia facilita un importante salto concettuale: quello dalle equazioni alle disequazioni. Spesso, paradossalmente, l aver appreso le tecniche di calcolo delle equazioni può costituire un ostacolo all apprendimento delle disequazioni: non dobbiamo scandalizzarci se uno studente, che viene lodato se scrive x = 3 come risultato dell equazione x 2 = 9, si stupisce di essere rimproverato quando scrive x > 3 come risultato della disequazione x 2 > 9: il suo disorientamento è comprensibile! Si propone quindi di calcolare il valore di una espressione in una data variabile (che potremmo chiamare ad esempio x) al variare di tale x. Non è neppure necessario aver già introdotto il concetto di funzione, anzi, tutto ciò può anche essere propedeutico a tale argomento. Viene poi posto il problema di studiare il segno di una espressione, inteso come individuazione dei valori della variabile che danno origine a un valore positivo, negativo, nullo o che non possono generare alcun valore. Gli aspetti relazionali e funzionali di tale argomento potranno poi essere approfonditi in un secondo momento. x 2 Vediamo ad esempio l espressione: x 5 15

16 Lo studente potrà così vedere come il valore assunto dall espressione si modifica al mutare del valore assegnato alla variabile: la calcolatrice gli offre un modello dinamico che sostituisce la visione statica usata fino ad allora in Algebra. Saranno poi possibili esplorazioni dirette scorrendo la tabella dei valori o modificando il passo di variazione della variabile. Da queste esplorazioni sorgeranno poi spontaneamente i limiti di tale modo di agire: ad esempio la difficoltà che talora si presenta nell individuare gli zeri (si pensi alla tabulazione dell espressione 5x 2 1 nella prima figura sotto) o i valori in corrispondenza dei quali l espressione (7x 8)/(6x 7) (nella seconda figura sotto) assume valori negativi. In questo esempio sarà necessario adottare una rete a maglie più strette per individuare la presenza dell intervallo desiderato, mentre nel precedente, a causa della natura degli zeri, la nostra rete a maglie necessariamente razionali riesce a circoscriverli ma non a individuarli. Si presenta così la necessità di un procedimento esatto che permetterà di studiare il segno di una espressione e si potranno quindi introdurre il concetto di disequazione e le relative tecniche di calcolo per la ricerca degli eventuali valori della variabile che forniscono un risultato, ad esempio, positivo. 16

17 PIANO CARTESIANO ARGOMENTO E CLASSE Il piano cartesiano: il metodo delle coordinate. Classe Seconda, Terza. POSSIBILITÀ D USO Costruzione di una libreria di funzioni e loro uso nella risoluzione di problemi. Ad esempio: DIST(xa,ya,xb,yb), per calcolare la distanza tra due punti, PMED(xa,ya,xb,yb) per determinare le coordinate del punto medio di un segmento.. COMMENTI In questo caso si propone la costruzione di una libreria di funzioni nell ambito della geometria analitica, ma se ne potrebbero realizzare altre, ad esempio in trigonometria relativamente alla risoluzione dei triangoli, o in analisi per la determinazione delle rette tangente e normale al grafico di una funzione ecc. RIFERIMENTO V. scheda successiva DIFFICOLTÀ ** STRUMENTO CGS CAS Non scenderemo in dettaglio in questa sede, rimandando alla lunga lista di riferimenti elencato nella scheda successiva. Ci limiteremo a far osservare che le funzioni qui proposte sono estremamente semplici, tanto da non richiedere l uso del linguaggio di programmazione, ma una semplice assegnazione con il tasto STO nell ambiente di calcolo. Ad esempio per definire la funzione DIST basterà digitare: ((xa-xb)^2+(ya-yb)^2) STO DIST(xa,ya,xb,yb) Il principio ispiratore di questo tipo di attività è concentrare l attenzione dello studente sul metodo risolutivo del problema proposto utilizzando gli strumenti che ha a disposizione. Particolarmente significativo è il ruolo dello studente che non si limita ad applicare formule precostituite (questo lavoro è demandato alla macchina) ma si fa attore del proprio apprendimento e costruttore del proprio sapere. Interessante è anche la fase di verifica della correttezza delle formule implementate nella libreria, fase che viene demandata allo 17

18 studente, la ricerca e il riconoscimento di situazioni estreme e l interpretazione dei risultati forniti dalla macchina in questi casi. Ecco alcuni esempi di problemi: riconoscimento dell allineamento di tre punti A, B, C se AC = AB+BC (e B compreso fra A e C), riconoscimento di triangoli rettangoli, dati i vertici, se i lati verificano la relazione pitagorica, riconoscimento di quadrilateri particolari (ad es. parallelogrammi, rombi, rettangoli) dati i vertici e usando le note proprietà (ad es. diagonali con il medesimo punto medio), Da non trascurare anche la possibilità di dare compiti con dati tutti diversi tra uno studente e l altro: poiché le difficoltà di calcolo perdono drasticamente di importanza, non esistono più calcoli facili o difficili né risultati belli o brutti : l unica cosa importante è la correttezza del metodo risolutivo. Si noti infine anche la possibilità di definire le funzioni fornendo come argomenti delle funzioni le coordinate dei punti interessati (come qui sopra suggerito) oppure di utilizzare, se lo si desidera, strutture di dati più complesse come le liste o i vettori, individuando così i punti attraverso un loro identificatore. 18

19 RETTE NEL PIANO CARTESIANO ARGOMENTO E CLASSE Il piano cartesiano: il metodo delle coordinate. Classe Terza POSSIBILITÀ D USO Prosegue la costruzione della libreria di funzioni e loro uso nella risoluzione di problemi. COMMENTI Ancora una volta la libreria di funzioni sarà usata come cassetta degli attrezzi per la risoluzione di problemi di maggiore complessità. La creazione e l uso sistematico di una libreria di funzioni, oltre ad essere di per sé un utile esercizio, stimola l abitudine alla generalizzazione, favorisce la divisione di problemi in sottoproblemi, consente di risolvere con pochissimi calcoli manuali e in breve tempo problemi anche di notevole complessità, ponendo l accento soprattutto sul metodo risolutivo. RIFERIMENTO /documen/italia/labclass/ GRAVE02.PDF /documen/italia/labclass/ MCHIM01.PDF /documen/italia/labclass/ NNOLL02.PDF DIFFICOLTÀ ** STRUMENTO CGS CAS Alcuni esempi: RETTA(xa,ya,xb,yb) per determinare l equazione della retta passante per due punti. DPR(xa,ya,a,b,c) per calcolare la distanza tra un punto e una retta PARALL(punto, retta) per determinare l equazione della retta passante per un punto dato e parallela a una retta data PERPEN(punto, retta) per determinare l equazione della retta passante per un punto dato e perpendicolare a una retta data... 19

20 Si noti che queste implementazioni delle formule di geometria analitica possono essere utilizzate a loro volta come macro per costruirne delle nuove. Ad esempio potrà essere così definita la funzione che, date le coordinate di due punti, determina l equazione dell asse del segmento di cui essi sono estremi come luogo di punti equidistanti dagli estremi stessi: solve(dist(xa,ya,x,y)=dist(xb,yb,x,y),y) STO ASSE(xa,ya,xb,yb) Vale quanto già detto nella scheda precedente riguardo al riconoscimento di situazioni estreme e all interpretazione dei risultati forniti dalla macchina. Ad esempio, nel caso in cui la retta sia parallela all asse delle ordinate, la nota formula che viene applicata in RETTA(xa,ya,xb,yb) è ovviamente inefficace; ma in tali casi lo studente potrà (anzi, dovrà) riconoscere la situazione, saper motivare il mancato funzionamento del suo attrezzo e arrivare manualmente al risultato desiderato. Si noti che queste funzioni sono definite direttamente nell ambiente Home senza passare attraverso l ambiente di programmazione e che, fatto non irrilevante, per definirle sono state usate altre funzioni definite in precedenza: la costruzione di attrezzi più semplici ci permette la costruzione di attrezzi via via sempre più complessi. Se si desidera dare un maggiore risalto agli aspetti algoritmici, u- tilizzando il linguaggio di programmazione e le strutture di controllo in esso disponibili, possono essere definite funzioni più sofisticate, che tengano conto delle varie situazioni particolari che possono presentarsi. Nei documenti in riferimento vengono presentate librerie di questo tipo. 20

21 EQUAZIONI ARGOMENTO E CLASSE Equazioni e sistemi di equazioni. Primo Biennio Secondo Biennio POSSIBILITÀ D USO Risoluzione di equazioni e sistemi. COMMENTI Viene qui di seguito riportato un documento elaborato, come altri presenti in questo fascicolo, nell ambito del progetto Labclass. Si tratta di uno sguardo di assieme sulle possibilità offerta dalle calcolatrici simboliche nella risoluzione di equazioni. RIFERIMENTO /documen/italia/labclass/ dfoa02.pdf DIFFICOLTÀ ** STRUMENTO CGS CAS Il comando Solve (Donata Foà) Questo è il comando più importante perché permette di risolvere equazioni, disequazioni di primo grado, in maniera esatta o approssimata secondo le situazioni. La sintassi è la seguente: solve(equazione/disequazione,variabile) E necessario indicare rispetto a quale variabile si vuol risolvere. Questo è un passaggio fondamentale per gli studenti che si abituano a considerare le variabili tutte come potenziali incognite, senza privilegi impliciti: Digitare solve(a*x=b,x) solve(a*x=b,a) solve(a*x=b,b) La macchina non sa fare la discussione delle equazioni e non pone vincoli, si limita a dire se l'uguaglianza è vera o falsa quando i vincoli li mettiamo noi. Per esempio solve(a*x=b,x) dà come risultato b/a a meno che non si ponga noi la condizione a = 0. 21

22 In questo caso occorre utilizzare il comando with ([2 nd ] k) e scrivere solve(a*x=b,x) a=0 e il risultato è "false" 2. Nel caso però di equazioni numeriche in cui la soluzione non sia accettabile come ad esempio x 1 4 dà la risposta "false" e di fronte a un'identità risponde x 3 x 3 "true" Una cosa interessante e istruttiva per gli studenti, nella soluzione di equazioni, come anche in altri contesti, è la possibilità di far lavorare la macchina passo passo, indicandole i passaggi uno ad uno senza usare il comando solve ma usando i principi di equivalenza delle equazioni. Si voglia risolvere 3x - 2 = 5-4x. Si seleziona la riga di scrittura e si digita +4x; la scritta diventa ans(1)+4x; ciò significa che si è sommato ad entrambi i membri 4x e nello schermo compare 7x - 2 = 5; sempre selezionando la riga di scrittura si digita +2; diventa 7x = 7; si digita /7 e appare x = 1. 2 Sulla voyage 200, sulla TI-92 Plus e sulla TI89 compare 0=b e non false [N.d.R. ] 22

23 Questo procedimento (operare con la stessa operazione in entrambi i membri di un'equazione) si può applicare sempre purché si sia disposti a fare o a far fare alla macchina il controllo dei risultati; Si voglia risolvere (x 2 +1) = x - 1. Selezionando la riga di scrittura si digita ^2 e si ottiene il quadrato di entrambi i membri: (x^2+1) = (x-1)^2 se non si attiva nessun controllo la soluzione che si ottiene x = 0 è falsa ma è una buona occasione per discuterne con gli studenti e porre la condizione che x sia maggiore di 1 con il comando with; la risposta diventa false. Di fronte a equazioni con più soluzioni, queste appaiono separate dal connettivo or. Ad esempio provate a risolvere l'equazione 2 x = x 2 oppure l'equazione x 2-2x+5 = 0 oppure 2x 2-4x - 3 = 0. Quanto alle disequazioni, con la stessa procedura delle equazioni si riesce a risolvere quelle di primo grado, non quelle di grado superiore. Equazioni trigonometriche, in cui le soluzioni sono infinite, del tipo: 2sin(x)cos(x) - sin(x) = 0 vengono risolte col comando solve e le soluzioni appaiono come in figura è l'equivalente di k numero intero) Alcune applicazioni effettuate nel lavoro curricolare: 1) Risoluzione di sistemi 3x 2y 1 Si voglia risolvere il sistema. 5x y 3 23

24 Si possono seguire le stesse strade che si percorrono manualmente senza fare errori di calcolo e essendo costretti a evidenziare le operazioni e quindi il processo logico; solve(5x+y=3,y): appare la funzione nella forma y = f(x). solve( 3x-2y=1 y=-5x+3,x): appare la soluzione in x. Il comando (with) significa "con la condizione assegnata" ovvero con la y uguale a quella espressa nell uguaglianza precedente; il dover specificare rispetto a quale variabile si risolve è importante e significativo. Altrimenti si può operare col metodo di riduzione moltiplicando opportunamente le due equazioni e sommandole fra loro: selezionare l espressione 5x + y = 3, moltiplicarla per 2: si ottiene u- n'equazione in cui le y hanno lo stesso coefficiente; occorre sviluppare l'espressione con il comando Expand; selezionando quest'ultima espressione e digitando ans(1)+(3x-2y=1) si ottiene la somma membro a membro in cui è scomparsa la y; non resta che dividere il risultato per 13 per ottenere la soluzione in x; per la y basta utilizzare il comando solve e risolvere una qualsiasi delle due equazioni con la condizione che x = 7/13 rispetto alla y. Per studenti un po' più grandi che hanno già sentito parlare di trasformazioni, di vettori e matrici si possono appunto usare le matrici: digitare [3, - 2;5,1] sto matrice (*la matrice del sistema*) [1;3] sto vett (*il vettore dei termini noti*) simult(matrice,vett): restituisce il risultato del sistema sotto forma di vettore [7/13; 4/13]. La virgola sposta l'elemento nella stessa riga, il punto e virgola cambia riga. 24

25 Anche senza assegnare la matrice o il vettore a delle variabili si può procedere per esteso: simult([3, - 2;5,1],[1;3]): Nella riga sopra compaiono scritte esplicitamente la matrice e il vettore (sulla sinistra) e il risultato (sulla destra). Quando si ha a che fare con una parabola passante per tre punti questa è,probabilmente, la via più conveniente. Niente vieta comunque di usare il metodo di riduzione anche in questo caso: certo è un po' più complicato, ma diventa accessibile se si usa il comando ans(n) ovvero "answer n" che richiama il risultato che sta n passi avanti: ans(1) è il risultato immediatamente precedente, ans(2) quello subito sopra e così via. Proviamo su questo caso: x y z 2 2x 3y 4z 0. x 2y 2z 3 ans(1)+ans(3) restituisce un'equazione nelle sole y e z, che ora è diventata ans(1), quindi 2*ans(4)-ans(3) dà un'equazione in y e z. 25

26 È chiaro che si può procedere così fino alla fine ed è anche chiaro che si deve esprimere a parole con chiarezza cosa si vuol fare, quale equazione si vuol modificare e perché. Non è poca cosa da pretendere dagli studenti. Se il sistema da risolvere non è di primo grado il procedimento è lo stesso; provare l'intersezione di un cerchio con una parabola opportuna; vengono espresse anche le condizioni di realtà delle radici. 26

27 FUNZIONI ARGOMENTO E CLASSE Funzioni. Secondo Biennio POSSIBILITÀ D USO Definizione e uso di funzioni. COMMENTI Una funzione può essere rappresentata secondo vari registri rappresentativi, ad esempio quello proposizionale, quello algebrico, quello grafico-cartesiano, quello tabulare e infine come macchina che, ricevuto un input, produce un output. È importante che l alunno impari a utilizzare correttamente tutti questi registri e che sappia passare con disinvoltura dall uno all altro. RIFERIMENTO /documen/italia/altro/pa cco13.ppt /documen/italia/labclass/ gserv01.pdf /documen/italia/labclass/ gserv02.pdf DIFFICOLTÀ * con le calcolatrici simboliche ** con un altro CAS ** con il foglio elettronico STRUMENTO CG CGS CAS FE Tra gli strumenti proposti la calcolatrice simbolica appare lo strumento più adatto, vista la facilità di utilizzare una stessa funzione nei vari registri e di passare dall uno all altro con la semplice pressione di un tasto: una funzione (o anche più di una contemporaneamente) può essere definita nell ambiente di calcolo Home con una semplice assegnazione, oppure nell apposito ambiente Y=Editor. Fig. 1. La definizione di una funzione nell ambiente Y=Editor. Fig. 2. La tabulazione automatica dei valori della funzione nell ambiente Table (a sinistra) e 27

28 il grafico nell ambiente Graph della funzione prima definita. Si noti la possibilità di suddividere lo schermo in due parti. Fig. 3. Le stesse operazioni (definizione di una funzione, sua tabulazione e grafico) possono essere facilmente realizzate anche con una semplice calcolatrice grafica di basso prezzo, sacrificando solo qualcosa nella risoluzione dello schermo grafico. Si noti (seconda immagine) che anche con queste calcolatrici è possibile modificare il valore iniziale e il passo di tabulazione. Fig. 3. Altri due modi di definire una funzione nell ambiente di calcolo Home di una calcolatrice simbolica. I valori della funzione possono essere poi tabulati nell ambiente Table ed è immediato ottenere una rappresentazione grafica nell ambiente Graph. Infine se la calcolatrice ha anche la possibilità di eseguire calcoli simbolici, le funzioni definite possono essere manipolate tornando nell ambiente di calcolo Home. 28

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