Mailing List. Elementi di logica formale STRUTTURA DEL CORSO LOGICA E FILOSOFIA DELLA SCIENZA. La logica categorica. Concetti fondamentali

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1 LOGICA E FILOSOFIA DELLA SCIENZA Anno accademico STRUTTURA DEL CORSO Elementi di logica formale Concetti fondamentali Argomenti validi Argomenti fondati Non contraddittorietà La logica degli enunciati Nozioni sintattiche Nozioni semantiche Derivazioni La logica categorica La logica dei predicati Nozioni sintattiche Nozioni semantiche Derivazioni Cenni di metalogica 1 2 COMPITINI Durante il corso saranno proposti due compitini in aula, costituiti da semplici esercizi. Il primo compitino si svolgerà al termine del I semestre, il secondo alla fine del corso. Ciascun compitino sarà preceduto da una simulazione che verrà corretta in aula. Al compitino sarà dato un giudizio qualitativo. Alla fine del corso, se il compitino ha ottenuto la sufficienza, lo studente dovrà rimediare agli eventuali errori contenuti nel compito, spiegando in che cosa aveva sbagliato. Inoltre a tutti nella prova orale saranno fatte domande non tecniche di carattere concettuale. La prova orale sarà quindi molto più leggera per chi avrà superato i compitini. A chi non avesse superato i compitini (o uno di essi) sarà richiesto di eseguire durante l esame qualche esercizio tecnico sul genere di quelli proposti nei compitini (o nel compitino) non superati. 3 Mailing List Associata al corso è una mailing list, il cui indirizzo è il seguente: Tutte le studentesse e gli studenti muniti di indirizzo e- mail saranno iscritti alla mailing list. Ad essa sono iscritti anche i docenti, il prof. Mura, la dott.ssa Melas e il dott. Angius. Gli iscritti alla mailing list possono inviare messaggi all indirizzo di cui sopra, una copia dei quali arriverà a ogni iscritto alla lista. Inviando all indirizzo della lista messaggi nei quali il campo Oggetto (o Subject) contiene una determinata parola chiave (es.: HELP) si possono eseguire alcuni comandi come: Richiedere il reinvio di messaggi Sospendersi temporaneamente dalla lista Passare alla modalita` digest che consente di ricevere periodicamente tutti i messaggi di un dato intervallo temporale riuniti in un unico messaggio Ecc. La mailing list ha lo scopo di creare un contatto continuo tra gli studenti. Inoltre i docenti potranno informare gli studenti tempestivamente e inviare loro materiale didattico o proporre esercizi. 4 1

2 Esercitazioni Accanto alle lezioni vi saranno esercitazioni la cui frequenza è parte integrante del corso. Non si tratta di un carico aggiuntivo. Le esercitazioni sono volte a facilitare la padronanza tecnica di quanto spiegato a lezione. Nell ambito delle ore previste per la preparazione degli esami queste ore vanno viste come ore di studio. Nel corso delle esercitazioni saranno svolti esercizi del tipo di quelli che saranno via via assegnati a casa e proposti nei compitini. Chi non dovesse avere la possibilità materiale di seguire le esercitazioni è invitato a svolgere a casa gli esercizi assegnati, che saranno resi disponibili via mailing list e pubblicati sul sito del Dipartimento. Le esercitazioni saranno tenute dal dott. Angius e dalla dott.ssa Melas (in ordine alfabetico). Le modalità delle esercitazioni i i saranno messe a punto nei prossimi giorni. Chi segue assiduamente le lezioni, fa regolarmente gli esercizi assegnati a casa, frequenta le esercitazioni e supera i compitini dovrebbe essere in grado di sostenere con successo l esame al primo o al secondo appello successivi al termine del corso. Ciò è realmente accaduto negli anni accademici e e Prerequisiti Le conoscenze generali di chi ha superato un esame di maturità. In particolare non sarà richiesta alcuna nozione di storia della filosofia. 6 Frequenza La frequenza del corso, pur non essendo statutariamente obbligatoria, risulta essere in pratica quasi indispensabile per l apprendimento della materia e il superamento dei compitini e della prova finale. Ciò non toglie che uno studente volenteroso possa in teoria, sia pure con improba fatica, apprendere la materia studiando sul testo e facendo tutti gli esercizi. È assai più conveniente avvalersi delle lezioni e delle esercitazioni per giungere pronti per la prova finale al termine del corso. Eventuali eccezioni, che comportano un programma alternativo, dovranno essere discusse caso per caso con il docente e giustificate con serie e documentate motivazioni. Testi di studio (12 crediti) Varzi, Nolt, Rohatyn, Logica. McGraw Hill, 2007 (seconda edizione). C è un sito dedicato agli studenti che adoperano questo libro con la soluzione di esercizi. Del libro fanno parte del programma solamente le seguenti sezioni: Capitolo 1, limitatamente alle sezioni 1.1 e 1.7 Capitolo 3: (tutto, esclusa la sezione 3.7) Capitoli 4, 5 (integralmente) Capitolo 6 (tutto escluse le sezioni 6.5 e 6.6) Capitolo 7 (integralmente). Nel corso delle lezioni ed esercitazioni di Logica faremo anche uso del software associato al volume seguente: Barwise, Etchemendy, Language Proof and Logic. CSLI, Stanford,

3 Parole logiche e parole non logiche La logica ha a che fare con il linguaggio. Infatti le relazioni logiche sono relazioni tra oggetti linguistici. Un linguaggio ha un alfabeto (i segni elementari del linguaggio), delle parole (combinazioni opportune di segni) tra cui vi sono gli enunciati. Gli enunciati sono quelle parole che hanno un contenuto che trasmettono informazione e che possono essere vere o false. Gli enunciati sono gli oggetti più importanti del linguaggio e studio delle relazioni tra le forme di enunciato è lo scopo principale della logica. 9 Il significato di logica formale In generale la logica formale è lo studio di quelle relazioni tra proposizioni che prescindono completamente dal contenuto di tali proposizioni ( materia ), ma dipendono solo dalla loro forma logica. Chiariremo in seguito che cosa si intende per forma logica e per materia. Ma in via preliminare si può dire che una relazione logica è formale (e non materiale) se permane invariata quando si sostituiscono parole non logiche con altre parole non logiche. P. es. Il sillogismo: Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo Socrate è mortale stabilisce una relazione di conseguenza logica tra le premesse e la conclusione, nel senso che Socrate è mortale consegue logicamente dagli altri due enunciati. Ma se si sostituisce Socrate con Platone (in tutte le occorrenze) la relazione di conseguenza logica non viene distrutta. Ciò perché la relazione di conseguenza logica è una relazione formale. 10 Insiemi contraddittori di enunciati Un insieme di enunciati è detto contraddittorio se è logicamente impossibile che essi siano tutti quanti veri. L insieme { piove, non piove } è contraddittorio perché se piove allora non è vero che non piove e se non piove non è vero che piove. L insieme { piove, o non piove o tira vento, non tira vento } è contraddittorio. I tre enunciati non possono essere tutti e tre veri simultaneamente. Perché? Un argomento valido consente di costruire un insieme contraddittorio È l insieme che comprende tutte le premesse e la negazione della conclusione ESEMPIO O piove o tira vento Non piove tira vento { o piove o tira vento, non piove, non tira vento }

4 Da un insieme contraddittorio si possono ricavare tanti argomenti validi quanti sono i suoi elementi Consideriamo ad esempio l insieme { o piove o tira vento, non piove, non tira vento } Per costruire un argomento valido: 1. Si estrae dall insieme un elemento e lo si nega. Tale elemento negato sarà la conclusione. 2. Gli altri elementi sono le premesse. 3. Quindi abbiamo i seguenti argomenti validi: O piove o tira vento Non piove tira vento Non piove Non tira vento Non si dà il caso che o piove o tira vento O piove o tira vento Non tira vento piove Significato ristretto In un senso più specifico la logica formale può essere caratterizzata in due maniere equivalenti: 1. Come lo studio degli insiemi contraddittori di enunciati. 2. Come lo studio degli argomenti validi (o logicamente corretti) Un argomento è costituito da un insieme di premesse e da una conclusione Sia le premesse sia la conclusione sono enunciati, vale a dire espressioni linguistiche che hanno la proprietà di poter essere vere oppure false Un argomento è valido quando sotto l ipotesi che le premesse siano vere, anche la conclusione deve di necessità essere vera. Equivalentemente: se la conclusione è falsa e le premesse vere allora l insieme costituito dalle premesse più la conclusione e contraddittorio Verità logiche V è però un terzo modo di con cui si è vista la logica formale: quello di dire che si tratta dello studio delle verità logiche. Un esempio di verità logica potrebbe esse la proposizione: p piove oppure non piove Che cosa dice sul tempo questo enunciato? La risposta è, naturalmente, nulla. Si tratta di una vuota tautologia. Si tratta però di una proposizione. E anche di una proposizione vera. E altresì di una proposizione necessariamente vera. In passato, quando i filosofi hanno preso in considerazione la logica come lo studio di queste proposizioni, spesso ne hanno tratto la conclusione che si tratta di una scienza del tutto futile, in quanto del tutto vuota di contenuto informativo. Al giorno d oggi si deve convenire che se la logica si limitasse a fare l elenco (peraltro infinito) delle verità logiche sarebbe davvero un esercizio futile. Ma non è così. Verità logiche e forma logica Anche le verità logiche sono vere solamente in virtù della loro forma logica: piove o non piove è una verità logica. nevica o non nevica è una verità logica Maria studia o Maria non studia è una verità logica E così via. Cosa hanno in comune tutte queste proposizioni? La loro struttura in quanto caratterizzata dalle parole logiche o e non. Se mettiamo delle lettere segnaposto in luogo delle rispettive sottoposizioni ( piove, nevica etc.) possiamo dire che tutte queste proposizioni sono della forma. P o non P Rimpiazzando P con qualsiasi altra proposizione si ottiene sempre una verità logica. Così arriviamo i alla conclusione che le verità logiche sono quelle proposizioni che sono vere in virtù del significato delle parole logiche che occorrono in esse. P o non P è come una matrice da cui si possono ricavare infinite verità logiche, rimpiazzando P in tutte e due le sue occorrenze con una qualsiasi proposizione

5 Leggi logiche Espressioni con lettere segnaposto come P o non P sono spesso indicate con la denominazione di leggi logiche. Questo modo di esprimersi rivela una certa concezione del linguaggio e del mondo. Secondo tale concezione il linguaggio è formato essenzialmente di nomi e le proposizioni rispecchiano le relazioni che sussistono tra le cose designate dai nomi. Anche le parole logiche sarebbero nomi che designano proprietà strutturali del mondo, sì che le leggi logiche, nelle quali occorrono solo parole logiche, mostrerebbero la struttura più generale (l intelaiatura) del mondo. Leggi logiche e mondo Questa concezione è molto antica. Aristotele (384 a. C a. C.) pensava che il principio del terzo escluso (una forma ristretta della legge logica P o non P fosse un principio che riguarda il linguaggio solo di riflesso, in quanto in primo luogo riguarda le cose del mondo. Ora, tra gli opposti la contraddizione non ammette un intermedio (giacché la parola contraddizione [antífasis] designa un antitesi di cui uno solo dei termini è presente in una cosa qualsiasi, e che non ha perciò un intermedio) (Met. X, 7, 1057 a, 32-36) Wittgenstein Il filosofo che ha preso più sul serio questa concezione è Ludwig Wittgenstein nel Tractatus logicophilosophicus (1921): Le proposizioni i i della logica descrivono l armatura (Gerüst) del mondo, o piuttosto la rappresentano. Esse trattano di nulla. Esse presuppongono che i nomi abbiano significato e le proposizioni elementari senso: E questo è il loro nesso con il mondo. È chiaro che deve indicare qualcosa sul mondo il fatto che certi nessi di simboli che per essenza hanno un determinato carattere siano tautologie. (Tractatus logico-philosophicus, 6.124). 19 La relazione tra leggi logiche e argomenti validi C è una relazione tra leggi logiche e argomenti validi? La risposta è positiva: una proposizione C è la conclusione di un argomento corretto (valido) con le premesse P 1, P 2,,P n, se esolo se la proposizione: Se P 1 e P 2 e P n allora C è una legge logica. Quindi è possibile convertire gli argomenti validi in leggi logiche e viceversa. E per questa via ritrovare anche gli insiemi contraddittori e non contraddittori. 20 5

6 Non ampliatività Se la relazione tra le premesse e la conclusione di un argomento valido si riduce a una tautologia, allora l inferenza non può portarci a dedurre nulla che non sia già contenuto nelle premesse. La conclusione di un argomento valido è non ampliativa nel senso che il contenuto t informativo della conclusione non aggiunge nulla al contenuto informativo delle premesse nel loro complesso. Il paradosso della logica Ciò genera un paradosso. Pensate alla geometria euclidea. Essa si basa su cinque postulati dai quali sono tratti i teoremi deduttivamente. Ma allora i teoremi della geometria non fanno che ripetere in parte quel che è detto nei cinque postulati. Che cosa si apprende studiando geometria? Idealizzazione Il linguaggio naturale è molto complesso e i ragionamenti spesso dipendono dalla vaghezze dei termini, dal contesto, da presupposizioni e dall incertezza. Noi faremo astrazione sia dal contesto sia dalla vaghezza o imprecisione dei termini sia dalle presupposizioni. Ciò non significa che il linguaggio naturale sia difettoso o che sia sempre un male usare termini imprecisi! La logica che svilupperemo è essenzialmente quella usata dai matematici nelle loro dimostrazioni. In quel campo le nostre idealizzazioni sono opportune servono a mettere a nudo la struttura logica del ragionamento. Tuttavia questa limitazione ci fornirà le basi tecniche per affrontare il ben più complicato problema del ragionamento nel linguaggio i naturale. I logici che studiano il ragionamento del linguaggio naturale hanno sempre come oggetto di confronto la logica formale che svilupperemo noi (chiamata anche logica classica o logica standard ). Linguaggio naturale Entro certi limiti la logica formale consente di ricostruire le argomentazioni della vita quotidiana. Non tutte le argomentazioni sono però argomenti validi nel senso della logica che studieremo. La maggior parte delle argomentazioni quotidiane mirano a rendere plausibile la conclusione, piuttosto che a provare deduttivamente che consegue dalle premesse. In tal caso le argomentazioni si lasciano meglio formalizzare attraverso la teoria della probabilità. L unico campo nel quale la logica che studieremo trova perfetta applicazione è la matematica. Non è un caso che la logica moderna sia chiamata anche logica matematica Essa lo è in due sensi: nel senso che è logica sviluppata con metodi matematici Nel senso che è logica della matematica. Ciò non esclude, tuttavia, che essa possa applicarsi con certe precauzioni anche nel linguaggio ordinario in determinati contesti. Gli argomenti della vita reale sono tipicamente ellittici, possono cioè essere trasformati in argomenti validi aggiungendo alcune premesse mancanti, che però sono all opera anche se assunte implicitamente

7 Validità e fondatezza Se un argomento è logicamente valido non è detto che la sua conclusione sia vera. Per avere questa certezza bisogna che anche le premesse siano vere. Ma la verità di una proposizione non è una condizione formale (che possa essere stabilita con il puro ragionamento), bensì una condizione materiale, che non può essere stabilita mediante considerazioni puramente logiche. La verità non si conserva se sostituisco una proposizione con un altra! Quindi non è una proprietà formale. Quando un argomento soddisfa sia la condizione formale della validità sia quella materiale della verità delle sue premesse, allora ci fornisce la garanzia che la conclusione è vera e si dice che esso è un argomento fondato. Chiaramente ogni argomento fondato è anche valido ma non tutti gli argomenti validi sono fondati. Fondato = Valido + Premesse vere Argomenti fondati Argomenti validi Esempi di argomenti validi Il sole splende nel cielo Se il sole splende nel cielo allora il prato è asciutto Il prato è asciutto Il prato non è asciutto Se il sole splende nel cielo allora il prato è asciutto Il sole non splende nel cielo Validità e verità La validità è indipendente dal valore di verità delle premesse. Le premesse possono essere tutte vere (e allora se l argomento è valido anche la conclusione è vera) Possono esservi una o più premesse false. In tal caso non c è più più la garanzia che anche la conclusione sia vera. Ma se le premesse sono false ciò non significa che la conclusione sia necessariamente falsa. La conclusione essere falsa così come può essere vera. Se però l argomento è valido e la conclusione è falsa, allora almeno una delle premesse è falsa. 27 Esempi di argomenti validi con qualche premessa falsa Tutti gli animali che vivono nell acqua sono pesci Tutte le balene vivono nell acqua Tutte le balene sono pesci Tutti gli animali con 4 zampe hanno le ali Tutti gli uccelli hanno 4 zampe Tutti gli uccelli hanno le ali Tutti i pesci sono immortali Tutti gli italiani sono pesci Tutti gli italiani sono immortali 28 7

8 Validità e falsità Può accadere che sia tutte le premesse sia la conclusione siano vere senza che l argomento sia valido. In questo caso la verità della conclusione non è formalmente implicata dalle premesse. Si tratta di una verità accidentale, cioè la conclusione è vera benché la sua verità non discenda da quella delle premesse. Argomenti non validi con premesse e conclusione vere Tutti i sassaresi sono sardi Nessun tedesco è sassarese Nessun tedesco è sardo Questa barretta di metallo viene riscaldata questa barretta di metallo si dilata Fallacie Si chiamano fallacie argomenti non validi che tuttavia appaiono a prima vista fondati (quindi anche validi). Es. Tutti i sardi sono mortali Tutti gli italiani sono mortali Tutti i sardi sono italiani Questo argomento è fallace perché sembra fondato mentre non lo è nonostante abbia entrambe le premesse vere. Esso non è infatti valido. Se, infatti, sostituiamo ovunque italiano con tedesco, la conclusione diventa falsa: Tutti i sardi sono mortali Tutti i tedeschi sono mortali Tutti i sardi sono tedeschi Forma logica I Consideriamo i seguenti enunciati: Pioveoppure non piove Nevicaoppure non nevica Mariaè bionda oppure Maria non è bionda

9 Forma logica II Negli enunciati dichiarativi occorrono (cioè compaiono) due generi idit termini: i 1. Termini non logici (o descrittivi): essi sono nomi che denotano un referente a sé stante (individuo, proprietà, relazione, enunciato) 2. termini logici (chiamati anche costanti logiche): non sono nomi, bensì parole che servono per combinare tra loro i termini non logici, sì da consentire la costruzione di un nuovo termine non logico. Forma logica III Ritorniamo ai nostri esempi Il primo enunciato contiene un termine non logico: piove e due termini logici: oppure e non ; Anche il secondo enunciato contiene un termine non logico: nevica e gli stessi termini logici: oppure e non ; Il terzo enunciato contiene due termini non logici ( Maria e bionda ) e tre termini logici ( è, oppure e non ) Forma logica IV Consideriamo i primi due enunciati: Piove oppure non piove Nevica oppure non nevica E immediato constatare che il secondo può essere ottenuto a partire dal primo sostituendo in tutte le sue occorrenze il termine non logico piove con il termine non logico nevica 35 Forma logica V La forma logica dipende solamente dai termini non logici e dal modo in cui occorrono (compaiono) in una proposizione; Ma, a meno della scelta del termine non logico piove piuttosto che nevica i due enunciati coincidono. Si dice in questo caso che essi hanno la stessa forma logica (oppure che essi sono logicamente isomorfi) 36 9

10 Forma logica VI La forma logica è quindi quella proprietà che non cambia al variare dei termini non logici. Per identificarla si usa rimpiazzare i termini non logici con altrettante variabili, che svolgono la funzione di segnaposto, di lacune che possono essere riempite con qualsiasi enunciato. Scrivendo p al posto di piove e nevica non si ottiene più un enunciato bensì una forma enunciativa: p oppure non p Si può dire allora che sia il primo enunciato sia il secondo sono della forma p oppure non p. Linguaggio oggetto e metalinguaggio Il linguaggio oggetto parla di determinate cose cui si riferiscono i termini occorrenti nelle proposizioni. Per esempio se dico Maria è bionda parlo di Maria e della proprietà essere biondo dicendo di Maria che ella è bionda e della proprietà essere biondo che conviene a Maria. Ma un linguaggio può anche parlare di oggetti linguistici (segni, parole etc. di un dato linguaggio). Un linguaggio che parla di un altro linguaggio si chiama metalinguaggio. In questo caso è molto importante non mescolare linguaggio e metalinguaggio perché altrimenti ne risultano paradossi logici Paradosso del mentitore La proposizione scritta in rosso sul lucido N 30 della presentazione Powerpoint LezioniLogicaIsemestre ppt è falsa. Supponiamo che questa proposizione sia vera. Allora deve essere vero quello che dice, cioè che essa stessa è falsa. Quindi sotto l ipotesi che la proposizione è vera essa è falsa. Supponiamo ora che essa sia falsa. Allora deve essere falso quello che dice, dunque dovrebbe essere falso che essa sia falsa. Quindi, in tal caso, essa sarebbe vera. Se ragioniamo per assurdo escludiamo sia l ipotesi che la frase sia vera sia che essa sia falsa. Poiché, per il principio del terzo escluso, ciò è impossibile, questo è un antinomia (come si suol dire). 39 Paradosso di Grelling Chiamiamo un aggettivo autologico se e solo se può essere validamente applicato a se stesso; eterologico se e solo se non può essere validamente applicato a se stesso. In base a questa definizione italiano e polisillabo sono autologici, mentre rosso è eterologico. Chiediamoci se eterologico è eterologico. Se esso è eterologico può essere validamente applicato a se stesso e quindi è autologico. Se è autologico non può essere validamente applicato a se stesso e quindi è eterologico. Siamo quindi in presenza di una contraddizione. Se usiamo linguaggi distinti per gli aggettivi e per gli aggettivi che si riferiscono ad aggettivi, allora aggettivi come autologico e eterologico sono esclusi, perché riferendosi a se stessi comportano una confusione tra linguaggio e metalinguaggio

11 Parole logiche: costanti Un enunciato (ciò che ha un contenuto e un valore di verità) è una concatenazione di parole. Abbiamo distinto le parole logiche da quelle non logiche e abbiamo visto che la forma logica dipende essenzialmente dal modo con cui le prime occorrono nell enunciato Le parole logiche sono anche dette costanti logiche perché hanno un significato fissato una volta per tutte Ad esempio il significato ifi di non designa una operazione logica che partendo da un enunciato vero dà luogo a un enunciato falso e viceversa; Parole non logiche Le parole non logiche possono essere costanti oppure variabili. Se in un enunciato si sostituisce una costante non logica con una corrispondente variabile non si ottiene più un enunciato, ma una forma di enunciato. Es = 5 è un enunciato aritmetico, ma x +2 = 5 NON è un enunciato, non rappresenta un proposizione vera oppure falsa. Tuttavia questa forma può essere soddisfatta da alcuni valori di x. I matematici chiamano equazioni espressioni come questa e soluzioni dell equazione quei valori di x che sostituiti a x danno luogo a un enunciato vero. Ma se scrivo x ama Antonio siamo in una situazione logicamente identica. Qui le soluzioni sono costituite dalle persone che amano Antonio Uso e menzione dei simboli Nel metalinguaggio sarebbe poco pratico attribuire un nome metalinguistico a ogni segno o combinazione di segni cui ci si può riferire (le combinazioni sono troppe). Il modo standard per generare un nome di un oggetto linguistico è quello di racchiuderlo tra virgolette singole. Così nella proposizione «bello contiene due occorrenze della lettera l», non parlo di ciò a cui bello si riferisce (la proprietà di essere belli) ma della parola costituita da cinque lettere in quanto successione di segni. Nulla vieterebbe di inventare un nome per la parola bello, ma è più pratico considerare la parola racchiusa tra virgolette semplici come un nome di essa. Quindi quando usiamo una parola (p. es. dicendo «il paesaggio è bello» non usiamo le virgolette semplici ma se menzioniamo la parola dobbiamo usarle oppure battezzare quella parola con un altro termine. Esempi Roma ha quattro lettere Roma è la capitale d Italia Per designare un oggetto linguistico lo si deve far precedere dal segno e seguire dal segno. Il nonno di Antonio si chiama Antonio anch egli egli

12 Uso autonimo dei segni Tuttavia il continuo ricorso a virgolette può risultare fastidioso. Quando non vi sia ambiguità (ad esempio quando il metalinguaggio adoperato non contiene segni in comune con il linguaggio oggetto) si ammette di menzionare le sequenze (o stringhe) di segni del linguaggio oggetto saranno menzionati mediante un segno identico al segno menzionato. Ogni sequenza di segni sarà denotata da se stessa. A rigore ciò sarebbe scorretto (per quel che si è detto). Il ricorso a questa convenzione richiede molta cautela e le debite precauzioni. Se in un determinato contesto non c è alcun uso dei segni del linguaggio oggetto (ma solo menzione), non può esservi confusione tra uso e menzione se si adotta consapevolmente questa convenzione. 45 SINTASSI E SEMANTICA Quando nel metalinguaggio parliamo di un certo linguaggio oggetto, possiamo riferirci ai segni di tale linguaggio oggetto e alle regole combinatorie che ne governano l uso prescindendo dal loro significato. Questo vale anche per le lingue naturali. Quando un libro di sintassi ci spiega che certe frasi condizionali richiedono l uso del congiuntivo, non è necessario comprendere quelle frasi per applicare la regola. Cosa significhi frase condizionale dipende solo dalla forma della frase non da suo contenuto. Analogamente noi quando costruiremo un nostro linguaggio artificiale, dovremo distinguere le regole puramente combinatorie (cioè sintattiche) che governano l uso dei segni di quel linguaggio dal significato che dall uso secondo quelle regole deriva. Le regole che governano il modo con cui si combinano i segni di un linguaggio gg L nelle frasi prescindendo dal loro significato costituisce la sintassi di L. Lo studio invece dei rapporti tra un dato linguaggio L e gli oggetti di cui esso parla costituisce la semantica di L. 46 La nuova concezione del ragionamento Secondo la tradizione moderna (che comincia con Cartesio) la logica ha a che vedere essenzialmente con la mente e le regole logiche sono leggi del pensiero. Cartesio ( ) pensava che le verità provate (= conclusioni di argomenti fondati) fossero a veris cognitisque principiis deducantur per continuum & nullibi interruptum cogitationis motum singula perspicue intuentis. Il processo di deduzione è, in questa prospettiva: Un processo che coinvolge essenzialmente l intuizione Un procedimento continuo e non passo dopo passo. Questa concezione della deduzione è stata rivoluzionata dalla logica contemporanea: La deduzione, come passaggio valido da premesse a conclusioni è: Non coinvolge alcun processo mentale in modo essenziale, perché può essere eseguito attraverso l esecuzione di regole sintattiche di manipolazione di segni che sono puramente meccaniche (algoritmiche) È un processo discreto, cioè passo dopo passo e non è coinvolto alcun moto continuo. 47 Linguaggio naturale L analisi logica degli argomenti espressi nel linguaggio naturale è difficile perché il linguaggio naturale adopera molte costanti logiche con significati non esatti. Inoltre le espressioni del linguaggio naturale hanno anche conseguenze non formali, che dipendono dal contesto. Noi vogliamo depurare l aspetto formale degli argomenti da tutto ciò che non è formale. Pertanto abbiamo bisogno di un linguaggio in cui: Le regole sintattiche sono: perfettamente esplicitate ed esatte (tali che anche una macchina le possa eseguire); I significati dei simboli sono : indipendenti dal contesto e privi di qualsiasi ambiguità

13 Le argomentazioni del linguaggio naturale Per concludere un argomento il linguaggio naturale usa una varietà di parole: quindi, pertanto, perciò etc. (v. pagina 4 del Varzi) Idem per segnalare che un enunciato è una premessa: infatti, poiché, dal momento che etc. (ibidem). Inoltre nel linguaggio naturale alcune premesse sono implicite. Ciò rende tipicamente l argomento dipendente dal contesto. Infatti la premessa mancante è spesso vera nel contesto in cui l argomento è usato, ma non in tutti i contesti. In matematica questo non accade: 2+2 = 4 2 = = 4 Questo argomento presuppone la regola della sostituibilità di termini che tra cui sussiste una relazione di uguaglianza. In virtù della seconda premessa posso sostituire nella prima premessa 2 con 1 +1 e così ottenere la conclusione. Questa regola, in aritmetica, è sempre valida. Inoltre non ci sono premesse implicite Nel linguaggio naturale oltre avere e proprie premesse mancanti (date per scontate) vi sono anche le cosiddette implicature, (sottointesi) su cui ha insistito il filosofo del linguaggio Paul Grice ( ). Esempio d implicatura Se dico: Che brutta figura feci il 29 dicembre 2004 quando al bar versai, in presenza di tanti colleghi, il cappuccino sulla giacca del professore che aveva preso servizio in questa università proprio quel giorno! suggerisco di aver versato il cappuccino sulla giacca di qualche malcapitato collega. Nessuno penserebbe che mi sia versato il cappuccino addosso. Eppure il professore che prese servizio il 29 dicembre 2004 sono proprio io! In questo caso il contenuto letterale della frase è diverso da ciò che essa lascia intendere all ascoltatore Linguaggio artificiale Il linguaggio artificiale che definiremo è un linguaggio simbolico, in cui si usano simboli speciali che non appartengono al linguaggio naturale per riferirsi alle parole logiche. Esso non è contestuale e le sue regole sono esatte e del tutto esplicitate. Inoltre ogni sottointeso o ambiguità è deliberatamente evitata. Ciò non è tuttavia una caratteristica essenziale, come sarebbe suggerito dall espressione logica simbolica per riferirsi alla logica formale moderna. Il ricorso ai simboli, pur non essendo, a rigore, imprescindibile, è assai utile in quanto: Rende più difficile confondere linguaggio e metalinguaggio; Consente di fare uso autonimo dei segni del linguaggio oggetto nel metalinguaggio (cioè di usare nel metalinguaggio i simboli del linguaggio oggetto come nomi di questi ultimi senza pericoli ). Rende più perspicua la struttura sintattica degli enunciati Consente una più agevole applicazione delle regole della sintassi e quindi la manipolazione dei segni Consente di evidenziare subito le parole logiche all interno degli enunciati. 51 ~, &, ~ è il simbolo della negazione (si legge non ); & è il simbolo della congiunzione (si legge e ); è il simbolo della disgiunzione (si legge o ) N.B. Questi tre simboli si chiamano connettivi booleani, in quanto il loro studio risale al logico inglese George Boole ( )

14 Connettivo unario ~ è un connettivo unario: Dato un enunciato esso consente di costruire un nuovo enunciato in base alla regola metalinguistica: R1. Se è un enunciato allora anche ~ è un enunciato. L italiano non ha una sintassi diversa e molto più complessa perché può occorrere anche all interno di enunciati e talvolta non può occorrere immediatamente prima di un enunciato. Antonio non è studioso Secondo la R1 bisognerebbe scrivere: non Antonio è studioso, che tuttavia non è ammesso in italiano. Invece non mangio dolci è ammessa. Connettivi binari e & sono connettivi binari: Dati due enunciati essi consentono di combinarli in maniera tale da dar luogo a un terzo enunciato mediante le seguenti regole sintattiche: R2. Se e sono enunciati, allora anche ( & ) è un enunciato R3. Se e sono enunciati, allora anche ( ) è un enunciato In italiano e e o sono chiamate congiunzioni correlative (contrapposte alle congiunzioni che introducono proposizioni subordinate, le quali di solito iniziano con la parola che ) e possono essere usate anche per combinare nomi o verbi. Non così per i simboli logici e & che, nella logica degli enunciati, sono strettamente enunciativi. Esempi: Antonio e Maria sono andati al mare. Noi dovremo prima esplicitare due enunciati e collegarli dopo con la congiunzione & : Antonio è andato al mare & Maria è andata al mare. Anna ha inciampato e si è fatta male. Noi diremmo: Anna ha inciampato & Anna si è fatta male. Si noti che gli enunciati originari hanno implicature (allusioni) che in logica non trovano posto. Tutto deve essere esplicitato Schemi Le regole R1 R3 possono considerarsi come istruzioni per la costruzione di un nuovo enunciato a partire da enunciati dati La regola R2, ad esempio esprime in forma più sintetica la seguente regola: Se sono dati due enunciati qualsiasi, chiamiamoli rispettivamente e, allora la successione di simboli ottenuta concatenando nell ordine il segno (,, il segno, e il segno ) è un enunciato. ( ) è un espressione del metalinguaggio (qui è messa tra virgolette in quanto è menzionata, quindi, parlandone siamo in un metametalinguaggio) nella quale ( è un nome dell identico segno del linguaggio oggetto (, mentre e sono variabili metalinguistiche. Una espressione di questo tipo contenente variabili metalinguistiche e nomi di segni del linguaggio oggetto identici i a ciò che designano (autonimia) i si chiamano schemi. Sostituendo le variabili metalinguistiche di uno schema come ( ) con enunciati del linguaggio oggetto si ottengono (in virtù della regola R2) ancora enunciati del linguaggio oggetto. Regole ricorsive Le regole R1, R2 e R3 possono essere iterate: Esse consentono di costruire enunciati arbitrariamente complicati: ~ (~ ) ((~ ) & ~~~ ) Una regola può essere indefinitamente iterata si dice ricorsiva

15 Parentesi I Le regole R2-R3 governano anche l uso delle parentesi Esse evitano ogni possibile ambiguità è ambiguo perché può voler dire: 1. (( ) ) 2. ( ( )) Nel metalinguaggio possiamo denotare un enunciato con una sua copia autonima e possiamo accettare che nel nome le parentesi più esterne siano omesse, dato che ciò non dà luogo ad ambiguità. Non lo possiamo però fare nelle regole R2 e R3. Perché? Parentesi II Se consideriamo una congiunzione con più di due congiunti secondo lo schema : (( ) ) notiamo che essa ha sempre (cioè indipendentemente dal valore di verità di,, ) )lo stesso valore di verità di ( ( )) Inoltre anche dal punto di vista sintattico tutto ciò che vale per la prima congiunzione vale anche per la seconda. Possiamo allora scrivere in notazione semplificata l enunciato secondo lo schema è un nome metalinguistico che si riferisce agli elementi dell insieme di enunciati delle due forme seguenti: (( ) ) e ( ( )). Questa ambiguità del metalinguaggio quasi sempre non dà luogo a problemi perché ogni affermazione logicamente rilevante su un enunciato conforme allo schema (( ) ) è vera se e solo se è vera anche se riferita al corrispondente enunciato conforme allo schema ( ( )). Se tuttavia fosse necessario distinguere i due casi sarebbe necessario ricorrere alle parentesi per distinguere le due forme enunciative Semantica Regole semantiche Si tratta di studiare in che modo il valore di verità degli enunciati ottenuti ti attraverso le regole R1-R3R3 dipende dagli enunciati più semplici con i quali è stato costruito. Le regole R1-R3 sono regole sintattiche, perché governano la combinazione dei segni di cui gli enunciati sono costituiti; Dobbiamo associare a ciascuna delle regole R1-R3 una corrispondente regola semantica, che specifichi il significato dei connettivi booleani S1. ~ è vero se e solo se èfalso; S2. ( ) è vero se e solo se sia sia sono veri; S3. ( ) è vero se almeno uno degli enunciati e è vero

16 Linguaggio naturale Sul piano semantico i simboli e & hanno solo uno dei vari significati di e e o della lingua italiana. o in italiano può essere usato anche nel significato esclusivo, ad es. in frasi della forma delle due l una: o o. Si dice spesso, nei libri di logica che il latino ha due parole distinte: vel e aut la prima riferendosi alla o non esclusiva, la seconda a quella esclusiva. Tuttavia tutto ciò è un mito perché in latino le due parole sono in realtà intercambiabili. e in italiano può suggerire un ordine (p. es. temporale o causale) tra i congiunti: Anna ha inciampato e si è fatta male Tavole di verità ~ La regola S1 può essere rappresentata dalla seguente tavola di verità V F ~ F V Tavola di verità & Tavola di verità ( & ) V V V V F F F V F ( ) V V V V F V F V V F F F F F F

17 Condizionale filoniano È un connettivo verofunzionale (una funzione di verità) L enunciato a sinistra del segno è chiamato l antecedente, quello alla destra il conseguente Traduce all incirca l italiano se allora oppure solo se, ma anche espressione contenenti altre congiunzioni come purché, salvo, supposto che ecc. Regole sintattiche e semantiche di La regola sintattica di formazione relativa al segno è analoga a quella che governa i segni e : R4. Se e sono enunciati, allora anche ( ) è un enunciato. La regola semantica è la seguente: S4. ( ) è vera se e solo se non si dà il caso che sia vera e falsa Tavola di verità di ( ) V V V V F F F V V F F V Il bicondizionale Il bicondizionale sta per l espressione del linguaggio naturale se e solo se. La regola sintattica è analoga a quella degli altri connettivi binari: R5. Se e sono enunciati, allora anche ( ) è un enunciato. La tavola di verità è la seguente: p q (p q) V V V V F F F V F F F V

18 Il Linguaggio LE Segni di LE. Enunciati atomici. p, q, r, s, t (con eventuali indici: es. p 1, t 12. Un indice è una sequenza di cifre sottoscritte) ; Parentesi: (, ) ; Connettivi:,,,, Formule ben formate (f.b.f.) 1. Se è un enunciato atomico, allora è una f.b.f. 2. Se è una f.b.f. allora è una f.b.f. 3. Se e sono f.b.f., allora anche ( ), ( & ), ( ), ( ) sono f.b.f. 4. Niente altro è una fbf f.b.f Enunciati composti o molecolari Es: ((( ) ) ) Occorrenza principale di connettivo. È quella tra gli enunciati racchiusi dalle parentesi più esterne 71 Esempio di linguaggio inventato Segni: A, B, *, (, ) Definizione di f.b.f. 1. A e B sono f.b.f. 2. Se e sono f.b.f. allora anche *( ) è una f.b.f. 3. Niente altro è una f.b.f. È facile verificare che la stringa (= sequenza di segni): *(B*(AB)) è una f.b.f. in base alle regole 1-3 Infatti A e B sono f.b.f. per la regola 1 e quindi anche *(AB) è una fbf f.b.f. per la regola 2. e poiché B, per la regola 1 è una f.b.f., anche *(B*(AB)) è una f.b.f. per la regola 2. Viceversa la stringa S= *(AB)*(AA) non è una f.b.f. Per provare che una sequenza di segni del linguaggio oggetto non è una f.b.f. bisogna ragionare per assurdo. Assumiano quindi che S sia una f.b.f. e mostriamo che tale assunzione viola le regole 1-3. È chiaro che S non è una f.b.f. in virtù della sola regola 1 perché in tal caso potrebbe essere solo S = A oppure S = B, mentre S = *(AB)*(AA). Quindi la sua costruzione deve richiedere necessariamente l applicazione della regola 2. Debbono allora esistere due sottosequenze di segni di S, diciamo S 1 e S 2 tali che S = *(S 1 S 2 ). Ora S inizia con la sequenza *( e termina con la sequenza A). Per la regola 1 A è una f.b.f. Quindi possiamo assumere S 2 = A). Ne consegue che S 1 = AB)*(A ed è una fbf f.b.f. Ora S 1 non può essere costruita con la sola regola 1 perché in tal caso potrebbe essere solo S 1 = A oppure S 1 = B, mentre S 1 = AB)*(A. Dunque deve essere costruita applicando la regola 2. Ma ciò è impossibile perché tutte le formule ottenute attraverso la regola 2 iniziano con il segno * mentre S 1 non inizia con tale segno. Quindi S 1 non costruibile con le regole 1 e 2 e per la regola 3 non è una f.b.f. Ne consegue che neanche S è costruibile con le regole 1 e 2, il che contraddice l ipotesi, in virtù della regola 3, che S sia una f.b.f. Concludiamo: S non è una f.b.f

19 Tavole di verità (P (P & Q)) P Q V V V V V V V V F V F F V F F V F F V F V F V F F F F F Tautologie e contraddizioni Un enunciato è una tautologia se e solo se la sua colonna principale reca solamente V. Un enunciato è detto una contraddizione se e solo se la sua colonna principale p reca solamente F Esempio di Tautologia Esempio di contraddizione (P (Q P)) P Q V V V V V V V V V F V V V F F V V F F F V F V F V F F F (P & (Q & P)) P Q V F V F F V V V V F F F F V V F F F V V V F F V F F F F V F F F

20 Tavole di verità di più enunciati 1. Si costruiscono le colonne di riferimento con tutti gli enunciati atomici che occorrano almeno una volta in uno degli enunciati di cui si vuole costruire la tavola di verità 2. Si costruisce la tavola di verità di ciascuno degli enunciati Conseguenze tautologiche Un enunciato q è una conseguenza tautologica di p 1, p n se e solo se la colonna principale di q reca V in tutte le righe in cui le colonne principali di tutti gli enunciati p 1, p n recano V Es. (p q) è conseguenza tautologica di p Le tautologie conseguono logicamente da ogni insieme di enunciati Dimostrazione Sia K un insieme di enunciati e t una tautologia. Supponiamo per assurdo che t non sia conseguenza logica di K. Allora nella tavola di verità congiunta dovrebbe esistere almeno una riga in cui tutti gli elementi di K sono veri e t falsa. Ma t è vera in tutte le righe quindi ciò è impossibile. Che cosa succede se K è l insieme vuoto? In questo caso K non contiene alcun enunciato. Ma proprio per questo non è possibile che esista una riga con tutti gli elementi di K veri e t falsa. Quindi t è conseguenza logica (tautologica) dell insieme vuoto di enunciati. Teorema semantico di deduzione È data dal metateorema (semantico) di deduzione, che lega il condizionale filoniano alla nozione di conseguenza tautologica. Un enunciato è conseguenza tautologica di un insieme { 1, n, } di enunciati se e solo se ( ) è conseguenza tautologica di { 1, n }. Adoperando il simbolo metalinguitico per la relazione di conseguenza tautologica e l espressione sse per se e solo se si suole scrivere: { 1, n, } sse { 1, n } Nel caso in cui n = 0 il metateorema si riduce al seguente (dove sta per l insieme vuoto): sse Poiché sappiamo che l insieme degli enunciati che sono conseguenza tautologica dell insieme vuoto coincide con l insieme linsieme delle tautologie, un corollario del teorema di deduzione è il seguente: è conseguenza tautologica di sse è una tautologia. Questa proprietà giustifica l uso da parte di Russell dell espressione implicazione materiale per riferirsi al condizionale filoniano contrapposta a implicazione formale per riferirsi alla conseguenza tautologica

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