Metastability, Nonextensivity and Glassy Dynamics in a Class of Long Range Hamiltonian Models

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1 Alessandro Pluchno Metastablty, Nonextensvty and Glassy Dynamcs n a Class of Long Range Hamltonan Models Dscussone Tes per l consegumento del ttolo Febbrao 2005 Tutor: Prof.A.Rapsarda E-mal: - Group web page:

2 Outlne del talk Introduzone: Termodnamca e Dnamca del modello HMF Introduzone: Termodnamca e Dnamca del modello HMF Calore specfco negatvo & Stat Quas-Stazonar Metastabl Dnamca lenta, Dffusone anomala & PDF non gaussana Ruolo delle condzon nzal sulla dnamca de QSS Correlazon, Frustrazone dnamca, Power Law Relaxaton & Agng Lnks con la q-statstca generalzzata (non estensva) d Tsalls Weak ergodcty breakng e nterpretazone del QSS regme come fase Spn-Glass Stat Quasstazonar sotto l punto crtco: esemp d Metastabltà n altr Sstem Compless.

3 Il modello HMF L Hamltonan Mean Feld (HMF) model è un modello XY a rotator planar (d massa e modulo untar) con nterazone a range nfnto, defnto dalla seguente hamltonana classca nelle N coppe d varabl canonche: 2 N N p H = K + V = + [ cos( ϑ ϑ j)] 2 2N =, j= { θ, p } Anton and Ruffo PRE 52 (995) 236 L HMF può essere vsto come un semplce retcolo d spn accoppat o come un sstema d partcelle nteragent n moto su un cercho untaro. L mportanza d HMF sta nel fatto che l suo comportamento sembra essere paradgmatco d una ampa classe d sstem con nterazon a lungo range, come per esempo sstem nuclear o astrofsc (self-gravtatng systems), e rveste un nteresse partcolare per lo studo della multframmentazone e de clusters atomc.

4 Termodnamca all Equlbro Prendendo come parametro d ordne l modulo M della magnetzzazone: M = S = (cos ϑ,sn ϑ ) N S N = essendo l sngolo spn (rotatore) defnto come: la soluzone n ensemble canonco del modello mostra una transzone d fase del secondo ordne, dove s passa da una fase Condensata (ferromagnetca) ad una fase Omogenea (paramagnetca) n funzone della Denstà d Energa U (o della temperatura T): H ( β F ) 2 F = free energy densty Curva calorca U = = = + ( M ) N β 2β 2 β = ( k B = ) T Anton and Ruffo, PRE 52 (995) 236 T = temperature M ~ ~ U < U c c Fase Fase Condensata Condensata U c =0.75 M ~ ~ 0 0 U > U c c Fase Fase Omogenea Omogenea

5 Z K Infatt la funzone d partzone canonca del modello: N Z dp dθ e π = N k k= π k= k β H può essere rsolta esattamente utlzzando una trasformazone d Hubbard- Stratonovch (H-S) e l metodo della steepest-descent (o metodo d Laplace). Innanztutto la Z s fattorzza n un contrbuto cnetco ed uno potenzale: N β p 2 2 π = dpke = k= β Termodnamca all Equlbro N 2 2 π N β π β cos( θ θ j) N 2 N j 2N V = θk = θk π k= π k= Z C d e C d e Applcando qund una trasformazone H-S n 2-D alla Z V s lnearzza l esponente nell ntegrale: π N C ZV = dθ k dv e π π k = v + S [ v(2 / N ) ] 2 / 2 β da cu, scambando l ordne d ntegrazone, ntegrando sugl angol e sfruttando la sosttuzone d varable v v( N / 2 β ), otterremo: con: C= e S 2 β N 2

6 Termodnamca all Equlbro Z V NC = 2πβ 2 v N + ln 2 π Io ( v) 2 β dv e dove I o è la funzone d Bessel modfcata d ordne zero. Per stmare questo ntegrale, essendo nteressat al lmte termodnamco, s può far uso del metodo della steepest-descent. Quest ultmo rchede che la funzone n parentes quadre, che chameremo f(v), abba un massmo. Per trovarlo basta porre a zero la dervata prma d f ottenendo così l equazone n campo medo per punt stazonar: w I = ( β w) dove s è posto: w = v / β con: v = ( vcos θ, vsn θ ) I 0 La funzone a secondo membro, che come vedremo concde con la magnetzzazone del sstema, ha un andamento qualtatvamente uguale a quello d una tangente perbolca coscchè l equazone è rsoluble grafcamente. S può così veder che essa ammette soluzon dverse da zero (d modulo fssato e fase varable) solo per b > 2, coè per T < Tc = 0.5, valore che rappresenta dunque la temperatura crtca per l modello HMF.

7 Termodnamca all Equlbro Dopo aver verfcato che l punto stazonaro appena trovato è un massmo per la funzone f (s trova nfatt che gl autovalor della matrce hessana sono entramb negatv) s può applcare l metodo della steepest-descent alla funzone d partzone totale Z per rcavare la denstà d energa lbera F: 2 ln Z 2π β w β F = lm = ln + β + ln 2 π I o ( β w ) N N 2 β 2 2 O dove l ultmo termne va calcolato nel punto d massmo. Da qu è possble verfcare che la magnetzzazone concde con la w: N I v M = < S > = ( v) = = w N I β ed è anche possble rcavare la curva calorca presentata n apertura. Infatt s ha: 2 H ( β F) w U =< >= = + + w ( β w) N β 2β 2 2 I la quale, poché w = M, dventa appunto: T U = = 0 ( 2 M ) e s trova: I o U c =0.75

8 Termodnamca all Equlbro Equazone d Vlasov Parametro d ordne M = M cos Φ, M = M sn Φ x y

9 Termodnamca all Equlbro Soluzone n Ensemble Mcrocanonco Funzone d Partzone Mcrocanonca Denstà nelo Spazo delle Fas Homogeneous Branch Entropa

10 Dnamca θ = p t p = M snθ + M t cos θ x y θ = M sn( Φ θ ) Le equazon del moto che s rcavano dall Hamltonana del modello HMF possono essere ntegrate numercamente ad energa costante usando un algortmo smplettco del 4 ordne (Yoshda, Physca A 50 (990) 262). S trova così un buon accordo tra le soluzon canonche esatte e le smulazon mcrocanonche all equlbro per vare sze N del sstema Quando l sstema vene fatto partre da condzon nzal molto lontane dall equlbro, s osservano molte anomale dnamche. In partcolare c concentreremo su un range d energe stuate subto sotto l punto crtco (0.5 < U < 0.75).

11 Outlne del talk Introduzone: Termodnamca e Dnamca del modello HMF Introduzone: Termodnamca e Dnamca del modello HMF Calore specfco negatvo & Stat Quas-Stazonar Metastabl Dnamca lenta, Dffusone anomala & PDF non gaussana Ruolo delle condzon nzal sulla dnamca de QSS Correlazon, Frustrazone dnamca, Power Law Relaxaton & Agng Lnks con la q-statstca generalzzata (non estensva) d Tsalls Weak ergodcty breakng e nterpretazone del QSS regme come fase Spn-Glass Stat Quasstazonar sotto l punto crtco: esemp d Metastabltà n altr Sstem Compless.

12 Calore specfco negatvo In tale regone l calore specfco dventa negatvo. C V U = < 0 T Molt Molt de de nostr nostr rsultat s s rferranno al al caso caso U=0.69 U=0.69 V Infatt la temperatura decresce, ncrementando la denstà d energa.. Questo fenomeno è stato osservato nelle reazon d multframmentazone nucleare e ne clusters atomc, ma anche n oggett stellar auto-gravtant, coè n sstem nonestensv. Ved per esempo: Thrrng, Zet. Physk 235 (970) 339 Lynden-Bell, Physca A 263 (999) 293 D.H.E.Gross, Mcrocanoncal Thermodynamcs: Phase transtons n Small systems, World Scentfc (200). M. D Agostno et al, Phys. Lett. B 473 (2000) 279 Schmdt et al, Phys. Rev. Lett. 86 (200) 9

13 Calore specfco negatvo Calore Specfco Fluttuazon d Energa Cnetca

14 Stat metastabl (QSS) Partendo da condzon nzal lontane dall equlbro, l sstema rmane ntrappolato per un tempo molto lungo n STATI QUASI-STAZIONARI (QSS) METASTABILI dove la temperatura, defnta come: 2< K> T = N è mnore d quella prevsta all equlbro (Teq=0.476). QSS regme U=0.69 Equlbrum Nel regme QSS la magnetzzazone va a zero con la sze N del sstema: M QSS /6 N e così fà anche la forza F agente Sull -esmo spn, essendo: F = M snθ + M cos θ x y Qund maggore è N, maggore è l tempo d vta d quest stat metastabl Alla fne, per N, la temperatura de QSS tende al valore lmte T QSS = 0.38 e l sstema non raggunge ma l regme d equlbro!

15 Dnamca lenta Nel regme QSS la magnetzzazone va a zero con la sze N del sstema: M QSS /6 N e così fà anche la forza F agente Sull -esmo spn, essendo: F = M x sn θ + M y cosθ Percò la dnamca QSS dventa sempre pù lenta ncrementando N. Per N l sstema rmane pratcamente congelato nel regme QSS

16 Stat metastabl (QSS)

17 Ordne de lmt Le nostre smulazon mostrano charamente che, andando verso l lmte termodnamco, dventa crucale l ordne n cu vengono pres due lmt per N nfnto e per t nfnto In generale, coè, due lmt non commutano: N t t N

18 L esp.d Lyapunov va a zero λ QSS N /9 Nel regme QSS l esponente massmale d Lyapunov tende a zero quando la sze N del sstema tende all nfnto, rvelando così una stuazone d weak mxng. Questo scalng può essere ottenuto dalla relazone λ ( ) /3 M N = N 2/3 /3 /9 See Latora, Rapsarda, Tsalls Physca A 305 (2002) 29

19 L esp.d Lyapunov all equlbro Entropa d Kolmogorov-Sna Spettro d Esponent d Lyapunov pos.

20 Dffusone Anomala Mean Square Dsplacement γ = 2 N=500 γ = σ t = θ t θ t N 2 2 () [ j() j(0)] N j= γ = γ Dffusone Normale Dffusone Anomala γ γ =, 38 QSS REGIME EQ. Regme QSS: superdffusone (g=.38). γ = 0 Equlbro: dffusone normale (g=). Latora, Latora, Rapsarda Rapsarda and and Ruffo, Ruffo, PRL PRL (999) (999)

21 Dffusone Anomala Latora, Latora, Rapsarda Rapsarda and and Ruffo, Ruffo, PRL PRL (999) (999)

22 PDF non gaussana delle veloctà Condzon nzal nzal Water Water Bag Bag Regme QSS: QSS: PDF PDF non non gaussana Equlbro: PDF PDF gaussana (MB) (MB)

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