Lezione estd 29 pagina 1. Argomenti di questa lezione (esercitazione) Iniziare ad affrontare esercizi di termodinamica

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1 Lezione estd 29 pagina 1 Argomenti di questa lezione (esercitazione) Iniziare ad affrontare esercizi di termodinamica

2 Lezione estd 29 pagina 2 Esercizio 3, 5 luglio 2005 Una macchina di Carnot produce lavoro funzionando con 5 moli di un gas biatomico ideale, fra due termostati alle temperature T 1 =7 C e T 2 =77 C. Nello stato A (quello a volume maggiore), il gas occupa 200 litri e nello stato C (quello a volume minore) ne occupa 50. a) Rappresentare il ciclo sul piano pv, dopo aver individuato pressione e volume di tutti gli stati gli estremi delle due isoterme. b) Determinare il rendimento della macchina. c) Calcolare il lavoro fatto in un ciclo. d) Calcolare la variazione di entropia S 1 nell isoterma a temperatura T 1 e la variazione S 2 nell isoterma a temperatura T 2, poi commentare il confronto dei due risultati ottenuti.

3 Lezione estd 29 pagina 3 Esercizio 3, 5 luglio 2005 Il grafico che rappresenta il ciclo è qualitativamente come quello in figura, con V C =V A /4. Inoltre si sa che T CD =350K e T AB =280K, ovvero T CD /T AB =5/4. Utilizzando la relazione di Poisson per le adiabatiche, se ne deduce che V D γ =(4/5)V A γ e V B γ =(5/4)V C γ avendo indicato con γ il rapporto c p /c v =7/5. Da qui si ricavano V D e V B, poi, con l equazione di stato dei gas perfetti si ricavano le pressioni p A, p B, p C, p D. Il rendimento di una macchina di Carnot è notoriamente η=1 T F /T C : in questo caso, η=1 4/5=1/5=20%. Il lavoro sul ciclo si può calcolare direttamente per somma dei quattro lavori (e, in tal caso, sulle adiabatiche conviene sfruttare il fatto che L= U= nc v T), oppure, assai più rapidamente, si può calcolare a partire da Q CD, moltiplicando poi per η. La variazione d entropia sulle due isoterme, si calcola mediante l integrale di Clausius, essendo esse trasformazioni reversibili. Si devono ottenere due risultati opposti, infatti, sommando S 1, S 2 e le due variazioni (nulle) d entropia sulle adiabatiche DA e BC, si deve ottenere zero, come in qualunque ciclo termodinamico.

4 Lezione estd 29 pagina 4 Esercizio 3, 4 aprile 2005 Si consideri un ciclo termodinamico reversibile che riguarda n moli di gas perfetto monoatomico e che è costituito nell ordine da un espansione adiabatica AB, da un isobara BC e da un isocora CA. Nella trasformazione AB, il volume del gas raddoppia. a, b) Determinare il rapporto fra le pressioni negli stati B ed A e rappresentare il ciclo sul piano pv. Inoltre, supponendo note la pressione p A e il volume V A dello stato A, calcolare: c) il lavoro svolto dal gas in AB; d) il calore scambiato in BC; e) la variazione d entropia in CA; f) il rendimento del ciclo (specificando il tipo di macchina cui si fa riferimento).

5 Lezione estd 29 pagina 5 Esercizio 3 4 aprile 2005 a, b) Con buona approssimazione, per p A C un gas perfetto monoatomico si ha che c p /c V =γ=5/3, per cui in una espansione B adiabatica reversibile in cui il volume V raddoppia, essendo p A V γ A =p B V γ B =p B (2V A ) γ si ha che la pressione passa da p A a p B =p A 2 -γ. In conclusione, p B /p A =2-5/ Quindi il grafico è del tipo rappresentato in figura. c) Il lavoro svolto in AB può essere desunto a partire dal primo principio della termodinamica, che applicato a trasformazioni adiabatiche afferma che L=- E int e che quindi per un gas perfetto diventa L=-nc V T, nel nostro caso L=-n(3R/2)(T B -T A ). Da questa espressione, ricordando che pv=nrt si ricava L AB =-(3/2)(p B V B -p A V A )=(3/2)p A V A (1-2 1-γ )= (3/2)p A V A (1-2 -2/3 ). d) La trasformazione BC è un isobara così che se conosciamo T BC possiamo calcolare il calore (ceduto) dalla definizione stessa di c p : Q BC =nc p T=nc p (T C -T B ). Lo stato B è già stato determinato, lo stato C è facilmente determinabile poiché ha la pressione p C =p B ed il volume V C =V A, noti. Dunque il calcolo di Q BC è piuttosto diretto: T C =T A (p C /p A )=T A (p B /p A )=T A 2 -γ ; T B =p B V B /nr=2 1-γ T A ; e quindi Q BC = nc p T A (2 -γ 2 1-γ )=(5/2)p A V A (2 -γ 2 1-γ ).

6 Lezione estd 29 pagina 6 e) CA è una trasformazione reversibile. Per cui la variazione d entropia S CA può essere valutata calcolando l integrale di Clausius su tale isocora: S CA = C Anc V dt/t= =(3nR/2) C AdT/T=(3nR/2) ln(t A /T C )= =(3nR/2)γln2=(5nR/2)ln2. f) Il ciclo è percorso in senso orario, quindi si tratta certamente di un ciclo che produce lavoro (motore) a spese del calore che viene assorbito (nella trasformazione CA). Per il primo principio della termodinamica, il rendimento η=l/q ass si può scrivere come η=(q ass -Q ced )/Q ass = 1-Q ced /Q ass = 1- Q BC /Q CA, dove Q BC è un valore già noto, perché calcolato al punto d) e Q CA =nc V T CA =(3nR/2)T A (1-2 -γ )= =(3/2)p A V A (1-2 -5/3 ). In conclusione, η=1-(5/3)(2 -γ 2 1-γ )/(1-2 -γ )=.

7 Lezione estd 29 pagina 7 Esercizio 3, 7 ottobre 2003 Un impianto di condizionamento viene utilizzato per mantenere fresco (a temperatura T int =20 C) un locale in una giornata estiva in cui la temperatura esterna è T ext =36 C). A regime, la macchina utilizza un motore che consuma 20kW e si sa che essa ha un rendimento pari ad un terzo di quello che avrebbe una macchina di Carnot funzionante nelle stesse condizioni. a) Determinare i rendimenti della macchina di Carnot e della macchina in questione. b) Calcolare la potenza termica ceduta dalla macchina all ambiente e la potenza termica entrante nel locale (ad esempio attraverso le finestre e le pareti riscaldate dal sole). c) Calcolare la variazione d entropia dell ambiente esterno e di quello interno in un ciclo della macchina, sapendo che essa compie 10 cicli al secondo.

8 Lezione estd 29 pagina 8 Esercizio 3, 7 ottobre 2003 a)η Carnot = Qass/(Qced-Qass) siccome la macchina di Carnot scambia con i termostati quantità di calore proporzionali alle temperature dei termostati stessi: h=t int /(T est -T int )=293/16 18 η macchina =1/3η 6 b) dalla definizione di η=q ass / L la quantità di calore immessa nella macchina (cioè sottratta all ambiente interno) nell unità di tempo è uguale a η volte il lavoro svolto nell unità di tempo, ovvero la potenza 20KW P termica = ηp meccanica =120KW c) la macchina considerata assorbe ogni secondo 120KJ di calore, e poiché ogni secondo compie 10 cicli, ad ogni ciclo assorbe Qass=12KJ di calore. Tale scambio avviene a temperatura T int =293K e quindi comporta una diminuzione di entropia per l ambiente interno pari a S=Q ass /T int =50J/K In un ciclo la macchina compie lavoro negativo L ciclo = 12KJ=Q ass -Q ced è Q ced =14KJ; lo scambio di calore con l esterno avviene a temperatura T est è S=-Q ced /T est =-45J/K La somma algebrica delle variazioni di entropia è >0, si ha globalmente un aumento di entropia, come ci si deve aspettare da una macchina irreversibile.

9 Lezione estd 29 pagina 9 Esercizio 4, 7 ottobre 2003 Disegnare sul piano di Clapeyron una trasformazione ciclica costituita nell ordine da un isocora AB, un espansione libera BC e una compressione adiabatica CA. Supponendo che il ciclo riguardi 2 moli di gas perfetto monoatomico e che nella compressione adiabatica si abbia un raddoppio della pressione, si determinino i lavori svolti, i calori scambiati e le variazioni d entropia nelle tre trasformazioni. Si assumano noti il volume V A e la temperatura T A dello stato iniziale

10 Lezione estd 29 pagina 10 Esercizio 3, 2 ottobre 2002 Un cilindro la cui sezione ha area S è racchiuso superiormente da un pistone di massa M che può scorrere liberamente e d M M d garantisce una tenuta perfetta. Se il pistone sale di un tratto d, esso arriva a toccare un altro oggetto di massa M, così che, per sollevarsi ulteriormente deve sollevare anche tal oggetto. Fuori del cilindro la pressione è nulla, mentre sotto il pistone ci sono n moli di gas monoatomico che occupano inizialmente un volume Sd. Viene fornito calore Q (da determinare), fino a quando il pistone arriva a toccare il secondo oggetto. Poi viene fornita una quantità di calore doppia di Q. a) Rappresentare l intero processo sul piano pv. b) Calcolare Q ed il lavoro fatto dal gas per sollevare il pistone del primo tratto d. c) Calcolare poi il lavoro necessario a sollevare il pistone insieme al secondo oggetto. d) Calcolare la variazione d entropia del gas nelle diverse fasi del processo

11 Lezione estd 29 pagina 11 Esercizio 3 2 ottobre 2002 a) Fin quando il pistone può muoversi liberamente, la pressione del gas è p A =Mg/S e quindi il gas può subire solo trasformazioni isobare a tale pressione; ciò si verifica per tutti i volumi inferiori a 2Sd. p A C B D V Se il pistone tocca il secondo oggetto, la pressione può crescere, ed il pistone resta fermo (trasformazione isocora) fin quando la pressione non diventa così grande da permettere di sollevare pistone+oggetto, cioè fin quando non raggiunge il valore p C =2Mg/S=2p A. Oltre p C la pressione non può salire: fornendo calore il pistone salirà spostando l oggetto, lasciando espandere il gas in una isobara a pressione p C, analogamente a quanto succedeva inizialmente. Tutto ciò si riassume in un grafico come quello a lato, dove si deve intendere che Q=Q AB e Q BC +Q CD =2Q. Sarà poi da definire quanto del 2Q serve nell isocora BC e quanto ne resta (ammesso che ne resti) per l isobara CD. b) In AB, T raddoppia e il gas compie lavoro L AB =MgD (contro la gravità). Inizialmente T= T A =pv/nr=(mg/s)(sd)/(nr)=mgd/(nr), e quindi T AB =2T T=T=Mgd/(nR). Il calore Q è quindi Q AB =nc p T AB =n(5r/2)mgd/(nr)=5mgd/2.

12 Lezione estd 29 pagina 12 c) Nell isocora BC, p raddoppia e quindi anche T, arrivando a 4T A, così che T BC =4T A 2T A =2T A. Quindi Q BC =nc v T BC =n(3r/2)2(mgd/nr)=3mgd. Della quantità di calore 2Q=5Mgd che viene fornita, quindi 3Mgd serve all isocora e ne avanza 2Mgd che viene assorbita nell isobara CD. Si ricava perciò che T CD =2Mgd/nc p =(4/5)Mgd/R, e allora T CD =T C + T CD = 4T A + T CD =(24/5)Mgd/R. Conoscendo T CD, e sapendo che in un isobara (pv)=p V, si trova che L CD =p V CD =nr T CD, quindi L CD =4Mgd/5. L CD è fatto per sollevare una massa 2M, la quale quindi sale di 2d/5. d) Tutte e tre le trasformazioni devono considerarsi reversibili, così che le variazioni d entropia si possono valutare calcolando integrali di Clausius. In particolare, usando i risultati ricavati sopra, si ottiene: S AB = A B nc p dt/t=nc p ln2=5/2nrln2; S BC = B C nc V dt/t=nc p ln2=3/2nrln2; S CD = C D nc p dt/t=nc p ln2= =5/2nRln(T D /T C ) =5/2nRln(6/5).

13 Lezione estd 29 pagina 13 Esercizio 3, 17 gennaio 2007 Del gas perfetto monoatomico compie un ciclo reversibile ABC costituito nell ordine da una compressione isoterma AB, da un isobara BC e da un isocora CA nella quale viene scambiata una quantità di calore nota Q CA. L isoterma avviene con scambio di calore fra il gas in questione e un uguale quantità di gas che sta compiendo invece un ciclo di Carnot fra le temperature T AB e T C. Calcolare la quantità di calore scambiata in ogni fase dei due cicli da parte delle due quantità di gas. Calcolare inoltre la variazione d entropia nell isobara BC, nell isocora CD e nell isoterma a temperatura superiore del ciclo di Carnot.

14 Lezione estd 29 pagina 14 Esercizio 4, 17 gennaio 2007 Un impianto di riscaldamento convenzionale utilizza una caldaia dove la fiamma brucia a 1000 C, e sviluppa energia termica che viene trasferita all ambiente (a 20 C) con una potenza di 10kW. Si supponga che la temperatura esterna sia di -10 C e che lo stesso scopo di riscaldare l ambiente sia perseguito utilizzando due macchine di Carnot: la prima a produrre energia meccanica sfruttando il salto termico fra fiamma e ambiente esterno; la seconda a funzionare da pompa di calore azionata prima. Quale potenza termica sarebbe convogliata verso l ambiente interno?

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