Politecnico di Torino II Facoltà di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II

Transcript

1 Politecnico di Torino II Facoltà di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II 5 Gennaio 008 Teoria: Scrivere l espressione della lunghezza dell arco di curva grafico della funzione f(x) = x + e x dal punto di ascissa x = al punto di ascissa x = 0. Esercizio. eterminare l area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = x x e y = x + x. 9 8 Esercizio. Verificare se la funzione f(x, y) = log(xy) x y ammette punti critici. soluzioni a) Calcolare sul rettangolo = [0, π ] [0, π x sin x cos y dx dy. 5 gennaio 008 Teoria: Scrivere l espressione della lunghezza dell arco di curva grafico della funzione f(x) = x + e x dal punto di ascissa x = 5 al punto di ascissa x = 0. Esercizio. eterminare l area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = x x e y = x + x. 5 4 Esercizio. Verificare se la funzione f(x, y) = log(xy) x y soluzioni ammette punti critici. a) Calcolare sul rettangolo = [0, π ] [0, π x cos x sin y dx dy.

2 π 8 gennaio 008 Teoria: efinizione di gradiente e di derivata direzionale per una funzione reale di due variabili reali f(x, y). Esercizio. eterminare l area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = x + 4, y = x + 6 e y = 0. Esercizio. eterminare la natura dei punti critici della funzione A(, ); B(, ) P.ti di sella f(x, y) = (y ) log(x ). Calcolare sul rettangolo = [0, ] [0, π x sin y cos y dx dy. 4 8 gennaio 008 Teoria: efinizione di gradiente e di derivata direzionale per una funzione reale di due variabili reali f(x, y). Esercizio. eterminare l area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = x 9, y = x e y = Esercizio. eterminare la natura dei punti critici della funzione f(x, y) = (x 4) log(y + ). A(, 0); B(, 0) P.ti di sella Calcolare sul rettangolo = [0, π ] [0, y sin x cos x dx dy. 4

3 febbraio 008 Teoria: Calcolo degli integrali doppi in coordinate polari. Esercizio. eterminare l area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = x e y = x. 5 Esercizio. eterminare la natura dei punti critici della funzione f(x, y) = (x + y)e x+y. A(, ) P.ti di minimo Calcolare, mediante la sostituzione y = x, log x dx. (x )log x (x ) + k febbraio 008 Teoria: Calcolo degli integrali doppi in coordinate polari. Esercizio. eterminare l area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = x e y = 4 x. 7 5 Esercizio. eterminare la natura dei punti critici della funzione A(, ) P.to di minimo f(x, y) = (x + y )e x+y. Calcolare, mediante la sostituzione y = x +, e x+ dx. e x+ ( x + ) + k 7 marzo 008 Teoria: are la definizione di integrale improprio di una funzione f(x) su un intervallo del tipo [a, + ). Applicare poi la definizione nel casof(x) = x su [, + ). Esercizio. Calcolare la media integrale di f(x) = sin x nell intervallo [ π, π ].

4 π Esercizio. eterminare la natura dei punti critici della funzione A(0, 0) P.to di minimo A( 5 6, 5 ) P.to di sella f(x, y) = x + xy + y + y. Calcolare per parti: log x dx. xlog x xlogx + x 8 giugno 008 Teoria: Teorema fondamentale del calcolo integrale. Esercizio. Calcolare l area della regione di piano delimitata dai grafici delle funzioni y = x, x =, x = e, y = log x. Esercizio. Trovare e classificare i punti critici della funzione A(0, 0) P.to di minimo f(x, y) = e (x +y ). Calcolare, utilizzando la sostituzione y = + e x, l integrale indefinito: e x + e x dx. e ( + e x ) + k 8 Luglio 008 Teoria: Elencare le proprietà degli integrali definiti. Esercizio. eterminare l area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = log x, y = ( x)(x e), x = e x = e.

5 e + ( + e)e e e Esercizio. Calcolare l integrale doppio x dxdy, dove è la porzione di piano contenuta tra y = sin x e l asse x per x [0, π]. π Calcolare, mediante la sostituzione y = log x, l integrale indefinito 4 log4 x + k log x dx. x 9 Settembre 008 Teoria: efinizione di primitiva di una funzione f(x) e teorema di caratterizzazione delle primitive. Esercizio. Calcolare l integrale indefinito x + atanx + k x + + x dx. Esercizio. Mostrare che il punto P = (0, 0) è critico per la funzione f(x, y) = x + y + cxy per ogni valore del parametro c R e classificarne il tipo al variare di c. Se c < : P.to di sella Se < c < : P.to di minimo Se c > : P.to di sella Calcolare l area della regione di piano compresa tra i grafici delle funzioni f(x) = e x e g(x) = log x, e tra x = e x = e. e e e