PORTATA DI UN CONDOTTO. Portata Q: volume di fluido che attraversa la sezione di un condotto nell unità di tempo. V v t. = t

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1 PORTATA DI UN CONDOTTO Portata Q: volume di fluido che attraversa la sezione di un condotto nell unità di tempo. A vt V A v t Q = = = A v t t 1

2 MOTO STAZIONARIO Un moto si dice stazionario quando le principali grandezze del fluido (velocità vettoriale, pressione, ) rimangono costanti nel tempo in ogni punto del fluido. Le traiettorie seguite dalle particelle possono non essere rettilinee, ma saranno comunque invariate nel tempo. 2

3 MOTO STAZIONARIO In un moto stazionario la portata è costante in ogni sezione del condotto. v! 2 Q= cost. A v = A v Di conseguenza, la velocità è inversamente proporzionale all area della sezione del condotto. 3

4 TEOREMA DI BERNOULLI Il teorema di Bernoulli si applica ad un fluido ideale (cioè incompressibile e senza viscosità) in moto stazionario in un condotto a pareti rigide. densità d Su una qualunque sezione del condotto: 1 2 dv 2 + dgh + p = cost. 1 dv dgh1 + p1 = dv2 + dgh2 + p2 2 4

5 CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI BERNOULLI Se il fluido è in quiete, si ricava la legge di Stevino: v 1 = v 2 = 0 dgh 1 + p 1 = dgh 2 + p 2 p = p + dg( h h )

6 CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI BERNOULLI In un condotto orizzontale si ha l effetto Venturi: h = h2 1 = cost 1 2 dv 2 + p 1 1 = 1 2 dv 2 + p 2 2 A 1 v 1 = A 2 v 2 Venturimetro Misurando le pressioni, note le aree delle sezioni, si ha una valutazione quantitativa della portata. 6

7 CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI BERNOULLI 1 A v = A v dv 2 + p 1 1 = 1 2 dv 2 + p 2 2 Condotto orizzontale a sezione costante: A 1 = A 2 v 1 = v 2 p 1 = p 2 Condotto orizzontale a sezione variabile: A 1 > A 2 v 1 < v 2 p 1 > p 2 A 1 < A 2 v 1 > v 2 p 1 < p 2 7

8 CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI BERNOULLI Stenosi: restringimento di un vaso sanguifero. A 1 p 1 p 2 A 2 A 1 > A 2 p 1 > p 2 8

9 CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI BERNOULLI Paziente affetto da arteriopatia obliterante. Il primo trattamento consiste nella angioplastica del vaso ristretto, cioè nella dilatazione per via percutanea ottenuta con un catetere a palloncino opportunamente posizionato in corrispondenza del segmento stenotico. 9

10 CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI BERNOULLI Aneurisma: allargamento di un vaso sanguifero. p 1 A 1 p 2 A 2 A 1 < A 2 p 1 < p 2 10

11 CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI BERNOULLI Aneurisma 11

12 VISCOSITÀ Viscosità: attrito interno fra le particelle del fluido che produce un caratteristico profilo delle velocità in un condotto (profilo parabolico in un condotto cilindrico). 12

13 COEFFICIENTE DI VISCOSITÀ v F = η Δv Δz A F : forza di attrito Δv Δz : gradiente di velocità A : area della lastra η : coefficiente di viscosità 13

14 COEFFICIENTE DI VISCOSITÀ Unità di misura di η nel S.I. [ ] [ ] 1 1 η = kg m s = [ Pa s] Unità di misura di η nel C.G.S. [ ] [ ] 1 1 η = g cm s = [ poise] 1 Pa s = 10 poise Acqua a 20 C: η 1 cpoise Sangue a 37 C: η 3 5 cpoise 14

15 MOTO LAMINARE E MOTO TURBOLENTO Moto laminare (bassa velocità): il fluido scorre per lamine parallele. Moto turbolento (alta velocità): all interno del fluido si formano vortici. v<v c v>v c 15

16 NUMERO DI REYNOLDS Il numero di Reynolds (Re) fornisce una regola empirica per valutare se un moto è laminare o turbolento. Re = d v η r d : densità del fluido v : velocità del fluido r : raggio del condotto η : viscosità del fluido Regola empirica: Re <1000 laminare Re >1000 vorticoso Velocità critica v c η 1000 dr 16

17 LEGGE DI HAGEN-POISEUILLE In regime laminare per un fluido viscoso vale la legge di Hagen-Poiseuille: Δ p = 2 p1 p = R Q Q: portata R: resistenza idraulica In un condotto cilindrico di lunghezza l e raggio r: R = 8 η l π r 4 17

18 FORMULA DI STOKES Resistenza del mezzo su di un corpuscolo sferico di raggio r per piccole velocità (formula di Stokes): F = 6π η r v Forze agenti sul corpuscolo in moto all interno di un liquido nel campo di gravità: dvg : forza peso; d 0 Vg : spinta di Archimede; 6πηrv : resistenza del mezzo. d 0 Vg dvg 6πηrv 18

19 VELOCITÀ DI SEDIMENTAZIONE Quando si raggiunge l equilibrio (ΣF=0) la velocità resta costante: dvg d Vg = 6πηr v 0 s Velocità di sedimentazione: v s = (d d 0 6πη r )V g Per rendere più rapido il processo di sedimentazione, si usano le ultracentrifughe: v s (d d0 )V = ω R ω R 10 g 6πηr 19

20 TENSIONE SUPERFICIALE Fra le molecole di un liquido si esercitano forze di attrazione molto intense (forze di coesione) che hanno l effetto di rendere minima la superficie libera del liquido, compatibilmente con le altre forze agenti. 20

21 TENSIONE SUPERFICIALE La forma sferica è quella che presenta il minor rapporto superficie/volume. 21

22 TENSIONE SUPERFICIALE Una goccia con bassissima bagnabilità assume una forma sferoidale, con un solo punto di contatto con la superficie solida. 22

23 TENSIONE SUPERFICIALE La tensione superficiale τ è il lavoro necessario per incrementare di un unità l area di una superficie libera. τ=l ΔS Telaietto ad "U" con cursore. La tensione superficiale della lamina richiama il cursore verso sinistra. 23

24 TENSIONE SUPERFICIALE La tensione superficiale coincide numericamente con la forza di contrazione per unità di lunghezza, parallela alla superficie libera del liquido. L = τ ΔS = τ 2l x l L = F x x F τ=f 2l 24

25 TENSIONE SUPERFICIALE Tracciando una linea sulla superficie libera di un liquido, le molecole che aderiscono ai due lati esercitano sulla linea forze uguali ed opposte, parallele alla superficie del liquido. Dimensioni nel S.I.: N m J m [ ] = = τ 2 Si chiamano tensioattivi le sostanze che diminuiscono la tensione superficiale e consentono la solubilità di liquidi non miscibili. 25

26 TENSIONE SUPERFICIALE Fluido (20 C) τ (N/m) Fluido τ (N/m) Alcool etilico Acqua (0 C) Soluzione saponosa Acqua (100 C) Benzina Azoto (-80 C) Olio d oliva Acqua Mercurio

27 LEGGE DI LAPLACE All interno di una superficie sferica con pareti elastiche la pressione è maggiore di quella esterna. Condizione di equilibrio : p int πr 2 = p est πr 2 + 2πr τ Area della proiezione πr 2 Leggi di Laplace : p int r p est Δp Δp = = p int p est (sfere piene) p int p est (sfere cave) = = 2τ 4τ r r 27

28 LEGGE DI LAPLACE Per le membrane elastiche di forma cilindrica: p est p int r T p int pressione intravasale p est pressione tissutale Δp=p int p est >0 pressione transmurale Δp = T r T è la tensione di parete, cioè la forza per unità di lunghezza, parallela alla superficie. 28