Funzioni a 2 variabili

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Funzioni a 2 variabili"

Transcript

1 Funzioni a 2 variabili z = f(x, y) Relazione che associa ad ogni coppia di valori x,y (variabili indipendenti) uno ed un solo valore di z (variabile dipendente). Esempi: z = x 2y + 4 z = x 2 y 2 2x z = x 2x y z = x 2 2y + 1 z = ln(x + y) razionale, intera, 1 grado razionale, intera, 2 grado razionale, fratta, 2 grado irrazionale, intera, 1 grado logaritmica STUDI 1) Dominio 2) Rappresentazione grafica per curve di livello 3) Ricerca di estremi relativi, assoluti, etc. 1) Dominio D = {(x, y) R 2 /.. } Fratta z = k f(x,y) f(x, y) 0 Irrazionale (n pari) n z = f(x, y) f(x, y) 0 Logaritmica z = ln[f(x, y)] f(x, y) > 0 Esempi: z = x 2 2y + 1 D = {(x, y) R 2 / x 2 2y + 1 0} PARABOLA y = ax 2 + bx + c asse di simmetria verticale V b 2a ; ax v 2 + bx v + c a = verso della concavità a > 0 a < 0 b = posizione asse simmetria b = 0 c = intersezione asse ordinate ax 2 + bx + c = 0 Eventuali intersezione asse x 1

2 y = 1 2 x Effettuare la seguente operazione per verificare dove la parabola è calcolabile. x 2 2y in (0;0) 1 0 VERO Quindi la parabola è calcolabile esternamente. *verificare in un punto in cui la funzione non passa 4 z = x + 2y D = {(x, y) R 2 / x + 2y 0} y = 1 2 x x + 2y 0 in (0;1) 2 0 VERO *verificare in un punto in cui la funzione non passa z = ln(x 2 + y) D = {(x, y) R 2 / x 2 + y > 0} y = x 2 x 2 + y > 0 in (0;1) 1 > 0 VERO *verificare in un punto in cui la funzione non passa 2

3 z = 4x 6y x 2 y 2 D = {(x, y) R 2 / 4x 6y x 2 y 2 0} CIRCONFERENZA x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 forma algebrica (x x c ) 2 + (y y c ) 2 = r 2 forma canonica C a 2 ; b 2 r = x C 2 + y C 2 c x 2 + y 2 4x + 6y = 0 x 2 + y 2 4x + 6y 0 in (1;0) -3 0 FALSO La circonferenza è calcolabile esternamente. *verificare in un punto in cui la funzione non passa z = ln (xy 2) D = {(x, y) R 2 / xy 2 > 0} IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AI PROPRI ASINTOTI y = k x 3

4 IPERBOLE x 2 y2 a2 b 2 = 1 y = ± b a x y = ± a b x y = 2 x xy 2 > 0 in (0;0) -2 > 0 FALSO *verificare in un punto in cui la funzione non passa z = x2 + y 2 2x x + y D = {(x, y) R 2 / x 2 + y 2 2x 0 x + y 0} x 2 + y 2 2x = 0 y = x x 2 + y 2 2x 0 in (1;0) -1 0 FALSO *verificare in un punto in cui la funzione non passa C(1; 0) z = x 2 + y 2 + 4x 4y + 4 ln (y + x 2 2) 4

5 D = {(x, y) R 2 / x 2 + y 2 + 4x 4y y + x 2 2 > 0} x 2 + y 2 + 4x 4y + 4 = 0 y = x x 2 + y 2 + 4x 4y in (0;0) 4 0 VERO y + x 2 2 > 0 in (0;0) -2 > 0 FALSO *verificare in un punto in cui la funzione non passa C( 2; 2) V(0; 2) y 2 + x z = 2x 2 + y 2 8 D = {(x, y) R 2 / y 2 + x 0 y + x x 2 + y 2 8 > 0} PARABOLA x = ay 2 + by + c asse di simmetria orizzontale V ay v 2 + by v + c; b 2a a = verso della concavità a > 0 a < 0 b = posizione asse simmetria b = 0 ELLISSI CON CENTRO IN O x 2 a 2 + y2 = 1 b2 a 2 x 2 + b 2 y 2 = c 2 x = 0 y = ± y = 0 x = ± 5

6 x = y 2 2) Rappresentazione grafica per curve di livello Procedimento 1 2x 2 + y 2 = 8 x = 0 y = ± 8 y = 0 x = ±2 1) Assegna a z valori costanti a piacere 2) Rappresenta ogni funzione ottenuta nel piano z = x + 2y + 3 z = 3 z = 3 3 = x + 2y + 3 y = 1 2 x y 2 + x 0 in (0;1) 1 0 VERO 2x 2 + y 2 8 > 0 in (0;3) 1 > 0 VERO *verificare in un punto in cui la funzione non passa Sezioni orizzontali della superficie ottenute in varie altezze e riportate nel piano cartesiano z = 0 0 = x + 2y + 3 y = 1 2 x 3 2 z = 2 2 = x + 2y + 3 y = 1 2 x 5 2 6

7 Procedimento 2 1) Scrivi l equazione della generica curva di livello z = x + 2y + 3 y = 1 z 3 x ) Disegnane una a piacere 3) Ricerca di estremi relativi, assoluti, etc. Derivate di funzioni a 2 variabili Derivate parziali prime z = f(x, y) Rispetto ad una variabile considerando l altra costante zz x La y viene considerata costante zz x La x viene considerata costante Derivate seconde zzz xx zzz xx zzz xx = zzz xx MISTE: devono essere uguali CALCOLO DI DERIVATA y k x x n x 1 x ln x e x sin x cos x tan x yz 0 1 nx n x 1 x 1 x e x cos x sin x 1 cos 2 x 7

8 TEOREMI PER IL CALCOLO DELLA DERIVATA 1) y = kf(x) y = kfz(x) 2) y = f(x) ± g(x) y = f (x) ± gz(x) 3) y = f(x) g(x) y = f (x) g(x) + f(x) gz(x) 4) y = f(x) g(x) y = f (x) g(x) f(x) g (x) [g(x)] 2 Esempi: z = 3xy + x 2 zz x = 3y + 2x zzz xx = 2 zzz xx = 3 Sono uguali zz y = 3x zzz yy = 0 zzz yy = 3 CALCOLO DI DERIVATA DI FUNZIONI COMPOSTE y = f[g(x)] yz = f [g(x)] gz(x) y f[(x)] n f(x) 1 f(x) e f(x) tan f(x) yz n[f(x)] n 1 fz(x) 1 2 f(x) fz(x) 1 [f(x)] 2 fz(x) e f(x) fz(x) 1 cos 2 f(x) fz(x) y a f(x) ln[f(x)] log a f(x) sin x cos x yz a f(x) ln a fz(x) 1 f(x) fz(x) 1 f(x) log a e fz(x) cos f(x)fz(x) sin f(x)fz(x) 8

9 Estremi (minimi/massimi) di funzioni a 2 variabili ESTREMI DI UNA FUNZIONE A UNA VARIABILE x1 = massimo relativo x2 = minimo relativo Estremi assoluti in [a,b] a = minimo assoluto x1 = massimo assoluto 1) ESTREMI RELATIVI punti più alti (massimi) o punti più bassi (minimi) di una funzione relativamente ad un intorno circolare del punto; 2) ESTREMI VINCOLATI punti più alti (massimi) o punti più bassi (minimi) di una funzione dove le variabili indipendenti sono soggette ad un vincolo d uguaglianza; 3) ESTREMI ASSOLUTI punti più alti (massimi) o punti più bassi (minimi) di una funzione fra quelli appartenenti ad una regione del piano O(x,y) detto campo di scelta; tale campo di scelta risulta da un sistema di disequazioni in 2 variabili. Estremi relativi Procedimenti di calcolo Metodo grafico, solo se si è capaci di rappresentare le curve di livello; Metodo algebrico, sempre attraverso le derivate. Metodo grafico Esempi: 1) z = 10x x 2 y 2 2) z = x + 2y 1 9

10 3) z = x + 2y 1 4) z = ln(x + 2y 1) 5) z = x 2 2x y 1) x 2 + y 2 10x + z = 0 C(5; 0) r = 25 z 25 z 0 z 25 Massimo relativo in C(5;0) z = 25 2) y = 1 1+z x Non ci sono minimi o massimi 3) z = x + 2y 1 z 2 = x + 2y 1 z 0 D = {(x, y) R 2 x + 2y 1 0} 10

11 Tutti i punti della retta z=0 sono minimi relativi 4) z = ln(x + 2y 1) D = {(x, y) R 2 x + 2y 1 0} z > 0 Non esiste una retta più bassa rispetto un altra. Non ci sono estremi 5) z = x 2 2x y y = x 2 2x V(1; 1) cdl y = x 2 2x z Non ci sono estremi 11

12 Metodo algebrico 1) Calcolo delle derivate parziali prime 2) Calcolo i punti critici (potenziali estremi relativi) risolvendo il sistema con le derivate prime uguali a zero 3) Calcolo le derivate seconde 4) Calcolo Hessiano determinante della matrice del 2 ordine formata dalla z H(x, y) = zzz xx zzz xy = zzz zzz yx zzz xx zzz yy zzz xy zzz yx yy 5) Classificazione dei punti critici H(x,y): > 0 ; se zzz xx >0 minimo relativo <0 massimo relativo < 0 Punto di sella = 0? Esempio z = x 2 y 2 + 2xy 2y z x = 2x + 2y = 0 x = y x = z y = 2 2y + 2x 2 = 0 2y = 1 y = 1 2 H(x, y) = = 2( 2) 22 = 8 A 1 2 ; 1 2 H(x, y) < 0 Punto di sella Estremi vincolati z = f(x, y) s. a. g(x, y) = 0 Procedimenti risolutivi 1) Grafico, solo se si è in grado di rappresentare sia le curve di livello che il vincolo 2) Algebrico a. Per sostituzione, solo se nel vincolo si riesce ad esplicitare una variabile b. Generico 1) Metodo grafico 1) Rappresentazione Funzione (curve di livello) Vincolo 2) Ricerca fra tutte le curve di livello che toccano il vincolo le situazioni estreme. 3) Calcolare i punti estremi con il metodo geometrico opportuno 12

13 Curve di livello Circonferenze Rette (fascio improprio) Rette (fascio proprio) Parabole Rette (fascio improprio) Ellissi/Iperboli Retta (fascio improprio) Vincolo Retta Circonferenza Circonferenza Retta Parabola Retta Ellisse/Iperbole CIRCONFERENZE RETTA z = x 2 + y 2 3 s. a. x + y 2 = 0 C(0; 0) r = z + 3 z z 3 Equazione raggio 1) Passa per il centro 2) Perpendicolare alla retta tangente Fascio proprio di rette y y c = m(x x c ) OA = y 0 = 1(x 0) y = x y = x y = 1 x + y 2 = 0 x + x 2 = 0 x = 1 RETTE (fascio improprio) CIRCONFERENZA z = 2y + x 3 s. a. x 2 + 6x + 2 = 4y y 2 x 2 + y 2 + 6x 4y + 2 = 0 C( 3; 2) r = 11 y = 1 3 z x

14 r = y 2 = 2(x + 3) y = 2x + 8 y = 2x + 8 x 2 + y 2 + 6x 4y + 2 = 0 y = 2x + 8 x 2 + (2x + 8) 2 + 6x 4(2x + 8) + 2 = 0 5x 2 + 3x + 34 = 0 15 ± 55 x 1,2 = x 1 = 5 x 2 = y = y = minimo massimo RETTE (fascio proprio) CIRCONFERENZA 8(x + 10) z = s. a. x 2 + y 2 2 = 0 3y x 10 D = {(x, y) R 2 3y x 10 0} 1. 14

15 z(3y x 10) = 8(x + 10) 8(x + 10) = 0 P 3y x 10 = 0 x = 10 3y = 0 x = 10 y = 0 DISTANZA PUNTO-RETTA Punto P(x P ; y P ) Retta ax + by + c = 0 ax + by + c d = a 2 + b 2 2. y 0 = m(x + 10) y = mx + m10 mx y + m10 = 0 m m 2 = m m = ± = 100m2 m m = 100m 2 98m 2 = 2 A. y = 1 10 x 7 7 B. y = 1 10 x Sistema tra fascio passante per m e retta passante per il centro C y = 1 10 x 7x = 1 10 x x = 1 A y = 7x y = 7x y = 7 5 y = 1 10 x + 7x = 1 10 x + x = 1 B y = 7x y = 7x y = 7 5 A 1 5 ; 7 5 B 1 5 ; 7 5 massimo minimo PARABOLE RETTA z = 3x 2 6x + y s. a. y + 2x = 3 15

16 y = 3x 2 + 6x + z Derivata prima della generica curva di livello y = 6x + 6 Si impone uguale al coefficiente angolare del vincolo y = 6x + 6 = 2 x = 4 3 Si sostituisce nella parabola y = 1 3 RETTE PARABOLA z = 2y x + 6 s. a. x 2 4x y = 0 y = z x 2 2 Derivata prima del vincolo y = 2x 4 Si impone uguale al coefficiente angolare della generica curva di livello y = 2x 4 = 1 2 x =

17 Si sostituisce nella parabola y = RETTE ELLISSE z = x + y 1 s. a. 4x 2 + y 2 = 4 RETTE IPERBOLE z = 2y x s. a. x 2 y 2 = 2 Non ammette soluzioni perché una retta parallela, con questo coefficiente angolare, taglierà sempre l iperbole. Se il fascio di rette fosse z = y 2x, ci sarebbero soluzioni 2a) Metodo algebrico per sostituzione 1) Esplicita una variabile nel vincolo 2) Sostituisci la variabile nella funzione 3) Calcolo di estremi relativi con una variabile 17

18 Esempi: 1. z = x 2 + y 2 3 s. a. x + y 2 = 0 y = x + 2 z = x 2 + ( x + 2) 2 3 z = 2x 2 4x + 1 z = 4x 4 x = 1 y = y = 1 z = Minimo 2. z = x 3 + 3y 2 4 s. a. x + y 2 = 0 y = x + 2 z = x 3 + 3( x + 2) 2 4 z = x 3 + 3x 2 12x + 8 z = 3x 2 + 6x 12 x 1 = x 2 = 1 5 y 1 = 3 5 y 2 = z 1 = z 2 = Minimo --- Massimo 2b) Metodo algebrico generico 1) Costruire la funzione di Lagrange F(x, y, Λ) = f(x, y) + Λg(x, y) 2) Calcolare le derivate prime F x, F x, F Λ 3) Calcolare i punti critici 18

19 4) Calcolare Hessiano orlato 5) Classificazione dei punti H > massimo H < minimo H = 0 ---? F x = 0 F x = 0 F Λ = 0 0 g x g x g x g x f xx f xx f xx f xx 0 g x g x g x f xx f xx Esempio: z = x 2 + y 2 s. a. x 2 + y 2 4x 2y 15 = 0 F(x, y, Λ) = x 2 + y 2 + Λ(x 2 + y 2 4x 2y 15) F x = 2x + 2xΛ 4Λ F x = 2y + 2yΛ 2Λ F Λ = x 2 + y 2 4x 2y 15 = 0 0 2x + 4 2y 2 0 2x + 4 H = 2x Λ 0 2x Λ = ( 2 + 2Λ)[(2y 2) 2 + (2x 4) 2 ] 2y Λ 2y 2 0 x y Λ H A Minimo B Massimo g 1 (x, y) > 0 Estremi assoluti z = f(x, y) s. a. g 2 (x, y) 0. Procedimenti risolutivi 1) Determinare il campo di scelta 2a) Graficamente, se possibile rappresentare le curve di livello 2b) Algebricamente 19

20 2a) Graficamente Esempio: z = x 2 + y 2 4x 4y s. a. x 0 y 1 x + y 2 2x + y 3 x 2 + y 2 4x 4y z = 0 C(2; 2) r = 8 + z z 8 x = 0 A y = 1 z = massimo y = x + 2 y = x + 2 y = 1 C y = 2x + 3 x + 2 = 2x + 3 x = 1 z = minimo 2b) Algebricamente 1) Determinare il campo di scelta 2) Ricerca degli estremi: a. All interno del campo di scelta (estremi relativi) b. Nei pressi del campo di scelta c. Nelle frontiere del campo di scelta 3) Confrontare i valori di z calcolati in tutti i punti possibili (a,b,c,d,e, etc.), e successiva individuazione delle soluzioni Esempio: z = x 2 + 2y 2 6x 8y s. a. 2x + y 16 0 y 8 x 0 20

21 z x = z y = 2x 6 = 0 4y 8 = 0 x = 3 y = 2 z A = = 64 z B = = 56 z C = = 16 z O = 0 AB y = 8 0 x 4 z = x x 64 z x = 2x 6 x = 3 BC y = 2x x 8 z = x 2 + 2( 2x ) 2 6x 8( 2x + 16) z x = 2x + 4( 2x + 16)( 2) 6 8( 2) 18x 118 = 0 x = 59 9 OC y = 0 0 x 8 z = x 2 6x z x = 2x 6 x = 3 AO x = 0 0 x 8 z = 2y 2 8y z x = 4y 8 y = 2 x y z D Minimo A Massimo B C O

22 E F G H

23 Ricerca operativa Fornisce strumenti matematici di supporto alle attività decisionali in cui occorre gestire e coordinare attività e risorse al fine di massimizzare o minimizzare una funzione obiettivo. Le fasi di un problema di ricerca operativa FORMULAZIONE DEL PROBLEMA RACCOLTA DELLE INFORMAZIONI COSTRUZIONE DEL MODELLO MATEMATICO SOLUZIONE MODELLO VERIFICA ACCETTABILE? NO SI ATTUAZIONE Classificazione dei problemi di scelta secondo gli effetti: Effetti legati al tempo Immediati; Differiti. Effetti legati alla casualità Certi; Aleatori. 1. Problemi di scelta ad effetti certi ed immediati a. Problemi con più variabili d azione i. Programmazione lineare ii. Problemi di 2 grado b. Problemi di massimo o minimo i. Razionale intera di 1 grado ii. Razionale intera di 2 grado iii. Razionale somma iv. Definite a tratti v. Problema delle scorte vi. Confronto fra alternative 23

24 2. Problemi di scelta ad effetti certi e differiti a. Operazioni finanziarie b. Investimenti industriali 3. Problemi di scelta ad effetti aleatori e immediati a. Variabili casuali semplici 4. Problemi di scelta ad effetti aleatori e differiti a. Operazioni finanziarie 1.a.i. Programmazione lineare 1) Lettura del testo; 2) Sistesi schematica; 3) Costruzione del modello matematico : rappresentazione di una realtà (economica) fatta utilizzando oggetti matematici (variabili, funzioni, equazioni, disequazioni); 4) Risoluzione del problema Il modello matematico si compone di tre parti: 1) Variabili (d azione) agendo su quelle variabili posso raggiungere l obiettivo; Definizione Unità di misura Tipologia di variabile Continua qualsiasi valore Discreta particolari valori (generalmente numeri interi) 2) Funzione obiettivo Guadagno (massimo) Costo (minimo) 3) Vincoli Tecnici Segno x 0 y 0 Esempio: Un fornaio decide di diversificare la produzione tra pane comune e pane biologico. Per la produzione di 1kg di pane comune servono 5 minuti di lavoro macchina e 3 minuti di lavoro manuale. Per la produzione di 1kg di pane biologico servono 2 minuti di lavoro macchina e 8 minuti di lavoro manuale. La disponibilità giornaliera è 3ore di macchina e 6ore di manodopera. Per accontentare la clientela la produzione di pane comune deve essere almeno 10kg. Sapendo che il guadagno è di /kg 1,10 per il pane comune e di /kg 1,20 per il pane biologico, calcolare la combinazione di massimo profitto. Comune x Biologico y Disponibilità max gg Tempo 5min 2min 3ore 24

25 macchina Tempo manuale 3min 8min 6ore Guadagno al kg 1,10 1,20 Variabili x 1kg di pane comune y 1kg di pane biologico Funzione G = 1, 1x + 1, 2y Vincoli 5x + 2y 180 3x + 8y 360 x 10 x 0 y 0 C y = 3 x + 45 y = x + 45 y = x + 2y = 180 5x x + 90 = 180 x = 4 17 z = 67, Massimo Programmazione lineare in 3 variabili Il procedimento è equivalente a quello di un problema di programmazione lineare in 2 variabili; inoltre c è da ricavare una variabile nel vincolo di uguaglianza e sostituirla in tutti gli altri vincoli e nella funzione. 25

26 3x 1 2x 2 + x 3 = 1 z = 50x x x 3 s. a x x x x x x x 1 0 x 2 0 x 3 0 z = 130x x x x x 1 + x x 1 + 2x 2 1 x 1 0 x 2 0 x 2 = 0. 6x x 2 = 0. 6x x 2 = 0. 5 B x 2 = 3 2 x x 1 = 0. 6 x 1 = z = a.ii. Problemi di secondo grado 1) Costruzione del modello matematico; 2) Risoluzione del problema Esempio 1 Concorrenza perfetta (prezzi costanti) A B Prezzi

27 C(x, y) = x y x y 2 R(x, y) = 3x + 2y x --- quantità del bene A; continua y --- quantità del bene B; continua Funzione obiettivo G(x, y) = R(x, y) C(x, y) = 3x + 2y ( x y x y 2 ) = x y x y 40 s. a x, y 0 P x x P y y x = y = H = 0 = > 0 max P(73750, 950) = Esempio 2 Monopolio (prezzi che variano al variare della quantità) A B Prezzi 3 2 C(x, y) = x y x y 2 R(x, y) = 3x + 2y x --- quantità del bene A; continua y --- quantità del bene B; continua Funzione obiettivo G(x, y) = R(x, y) C(x, y) = 3x + 2y ( x y x y 2 ) = x y x y 40 s. a x, y 0 P x x P y y x = y = H = 0 = > 0 max

28 P(73750, 950) = b.i. Razionale intera di 1 grado L estremo assoluto cade nell estremo dell intervallo Esempio x = stoffa in metri Continua C(x) = x R(x) = 5. 20x P(x) = R(x) C(x) P(x) = 1. 20x 3000 x 0 s. a x b.ii. Razionale intera di 2 grado L estremo assoluto coincide con il vertice della parabola (estremo relativo) o con l estremo dell intervallo Esempio x = un certo bene Discreta C(x) = x x = p p = x

29 G(x) = x x x 800 G(x) = x 2 + 4x 1000 x 0 s. a x 2500 Gz(x) = x + 4 x = 1600 G(1600) = b.iii. Razionale somma L estremo assoluto coincide con l estremo relativo o con l estremo dell intervallo y = a x + bx a, b > 0 Esempio C(x) = x x x x2 C M (x) = x C M (x) = x x C M (x) = x x 12 = ±

30 Calcolo degli asintoti lim C M (x) = + x 0 lim C M(x) = + x + lim x lim x C M (x) = x x x Asintoto verticale x = 0 Asintono orizzontale = = m q = lim x C M (x) x = b.iv. Definite a tratti Esempio Vengono calcolati gli estremi assoluti in ogni tratto e confrontati fra loro per individuare il massimo o minimo assoluto x = solvente chimico in hl Continua x 5000 Provvigioni < x x > 8000 C(x) = ( x)x s. a. x Modello matematico ( x x 2 ) G(x) ( x x 2 ) ( x x 2 ) x < x 8000 x > x x 8000 G(x) x x x x 8000 x < x < x Procedimento algebrico 0 x 5000 G (x) = x = 0 x = x max = 5000 G(5000) = = < x 8000 G (x) = x = 0 x = =

31 x max = 9000 G(9000) = < x G (x) = x = 0 x = x max = G(10000) = = b.v. Problema delle scorte x = quantità di merce da ordinare e immagazzinare OBIETTIVO: minimizzare i costi complessivi delle gestione delle scorte COSTI: 1. Costo dell ordinazione C ORD Costo che si effettua ogni volta che si fa un ordine indipendentemente dalla quantità ordinata 2. Costo magazzinaggio C MAG Costo sostenuto per tenere la merce in magazzino, riferito a un certo acro di tempo 3. Costo merce C MER Costo sostenuto per l acquisto della merce. Generalmente è irrilevante FUNZIONE OBIETTIVO DI COSTO TOTALE C(x) Ipotesi semplificatrici 1. Tempo di consegna = 0 31

32 2. Consumo della merce è uniforme nel tempo Diagramma a denti di sega Modello matematico x = Periodo di tempo: anno (generalmente) S fabbisogno annuo Funzione obiettivo C(x) = C ORD S x + C x + 0 MAG 2 Vincoli x > 0 SEGNO x CAPIENZA MAGAZZINO Esempio + C MER S C ORD S x + C MAG 2 x + C MER S S = 900 x = materia prima in q Continua C ORD = 300 C MAG = Funzione obiettivo x C(x) = + = x x 2 x Vincoli x > 0 C (x) = x x = ± = ±250 C(250) = 2160 x min =

33 1.b.vi. Confronto fra alternative Esempio 1 Confronto fra 2 offerte Alice ADSL: 1. FREE A consumo 2/h 2. FLAT 18 al mese Quale tariffa è più conveniente? Modello matematico x = ore di connessione al mese Continua Funzione obiettivo 1. C FREE (x) = 2x 2. C FLAT (x) = 18 s. a. x 0 Algebricamente 2x 18 x 9 0 x 9 FREE x > 9 FLAT Esempio 2 Confronto tra 4 offerte di Alice ADSL 1. FREE : 2/h 2. TIME : costo fisso 12.95/mese /h ORE : 24.95/mese fino a 20ore /h per ore eccedenti 4. FLAT : 36.95/mese Modello matematico 33

34 x = ore di connessione al mese Continua Funzione obiettivo C FREE (x) = 2x C TIME (x) = x x 20 C 20ORE (x) = (x 20) x > 20 C FLAT (x) = s. a. x 0 0 x x 1 FREE x 1 < x x 2 TIME x 2 < x x 3 20 ORE x > x 3 FLAT y = 2x x 1 y = x y = x x 2 y = y = x = y = x = y = 1. 50x x 3 y = y = x =

35 2.a. Operazioni finanziarie Criteri di confronto 1) ATTUALIZZAZIONE soggettivo Confrontare tutti gli importi riportati al tempo 0 Valori attuali = saldo attualizzato. Si sceglie il più grande Utilizza un tasso di interesse M = C(1 + i k ) t k Capitalizzazione composta V = C(1 + i k ) t k Sconto composto 1 (1 + i) n V = R i Sconto di rendite i = tasso annuo i 2 = tasso semestrale i 3 = tasso quadrimestrale i 4 = tasso trimestrale i 6 = tasso bimestrale i 12 = tasso mensile CONVERSIONE TASSI DI INTERESSI 1 + i = (1 + i k ) k i = (1 + i k ) k 1 i k = (1 + i) 1 k 1 2) TASSO EFFETTIVO oggettivo V(i) = 0 Punto di incontro della funzione V(i) con l asse delle ascisse È quel tasso che rende finanziariemente equivalenti (uguali dopo averli riportati allo stesso tempo) tutti gli importi Investimento : si sceglie il tasso maggiore Finanziamento : si sceglie il tasso minore 35

36 Esempio Attualizzazione Dovendo investire 200 posso scegliere fra le seguenti possibilità Esempio Tasso effettivo 2.b. Investimenti industriali 36

MATEMATICA TRIENNIO CORSO TURISTICO, AMMINISTRAZIONE FINANZA MARKETING, SISTEMI INFORMATIVI AZIENDALI

MATEMATICA TRIENNIO CORSO TURISTICO, AMMINISTRAZIONE FINANZA MARKETING, SISTEMI INFORMATIVI AZIENDALI MATEMATICA TRIENNIO CORSO TURISTICO, AMMINISTRAZIONE FINANZA MARKETING, SISTEMI INFORMATIVI AZIENDALI Obiettivi del triennio: ; elaborando opportune soluzioni; 3) utilizzare le reti e gli strumenti informatici

Dettagli

PROBLEMI DI SCELTA. Problemi di. Scelta. Modello Matematico. Effetti Differiti. A Carattere Continuo. A più variabili d azione (Programmazione

PROBLEMI DI SCELTA. Problemi di. Scelta. Modello Matematico. Effetti Differiti. A Carattere Continuo. A più variabili d azione (Programmazione 1 PROBLEMI DI SCELTA Problemi di Scelta Campo di Scelta Funzione Obiettivo Modello Matematico Scelte in condizioni di Certezza Scelte in condizioni di Incertezza Effetti Immediati Effetti Differiti Effetti

Dettagli

Elenco moduli Argomenti Strumenti / Testi Letture. Tassi equivalenti. Rendite temporanee e perpetue. Rimborso di prestiti.

Elenco moduli Argomenti Strumenti / Testi Letture. Tassi equivalenti. Rendite temporanee e perpetue. Rimborso di prestiti. Pagina 1 di 9 DISCIPLINA: MATEMATICA APPLICATA INDIRIZZO: SISTEMI INFORMATIVI AZIENDALI CLASSE: 4 SI DOCENTE : ENRICA GUIDETTI Elenco moduli Argomenti Strumenti / Testi Letture 1 Ripasso Retta e coniche;

Dettagli

09 - Funzioni reali di due variabili reali

09 - Funzioni reali di due variabili reali Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

CLASSE TERZA - COMPITI DELLE VACANZE A.S. 2014/15 MATEMATICA

CLASSE TERZA - COMPITI DELLE VACANZE A.S. 2014/15 MATEMATICA Risolvere le seguenti disequazioni: 0 ) x x ) x x x 0 CLASSE TERZA - COMPITI DELLE VACANZE A.S. 04/ MATEMATICA x 6 x x x x 4) x x x x x 4 ) 6) x x x ( x) 0 x x x x x x 6 0 7) x x x EQUAZIONI CON I MODULI

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

Le funzioni di due variabili

Le funzioni di due variabili Le funzioni di due variabili 1)DEFINIZIONE Se consideriamo una coppia di numeri reali X,Y e ad essi facciamo corrispondere un altro numero reale Z, allora abbiamo determinato una funzione reale di due

Dettagli

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 L insieme dei numeri razionali. Equazioni e disequazioni di primo grado Sistemi di equazioni e disequazioni di primo grado.. IL PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano.

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Sequenza dei passi Classificazione In pratica Classifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta Funzione irrazionale: intera

Dettagli

ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE I.T.C. GEOMETRI L. EINAUDI - MURAVERA - CLASSE 4A AFM

ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE I.T.C. GEOMETRI L. EINAUDI - MURAVERA - CLASSE 4A AFM ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE I.T.C. GEOMETRI L. EINAUDI - MURAVERA - CLASSE 4A AFM MATEMATICA DOCENTI Marina Pilia Enrico Sedda PROGRAMMA A.S. 2014/2015 PROGRAMMA DI MATEMATICA CLASSE 4A AFM ANNO SCOLASTICO

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

PROGRAMMA CLASSE V I. T. C.

PROGRAMMA CLASSE V I. T. C. PROGRAMMA CLASSE V I. T. C. A.S 2009/10 Disciplina: Matematica Generale ed Applicata Titolo modulo Contenuti (suddivisi in unità didattiche) 1 Geometria analitica U.D.1 Equazione retta in forma esplicita

Dettagli

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato

Dettagli

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2011, matematicamente.it

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2011, matematicamente.it Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it PROBLEMA Data una semicirconferenza di diametro AB =, si prenda su di essa un punto P e sia M la proiezione di P

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica

Esercizi di Analisi Matematica Esercizi di Analisi Matematica CAPITOLO 1 LE FUNZIONI Exercise 1.0.1. Risolvere le seguenti disuguaglianze: (1) x 1 < 3 () x + 1 > (3) x + 1 < 1 (4) x 1 < x + 1 x 1 < 3 x + 1 < 3 x < 4 Caso: (a): x 1

Dettagli

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie

Dettagli

3; 2 1 2 ;5 3;0 1; 2

3; 2 1 2 ;5 3;0 1; 2 Risolvere mediante la fattorizzazione le seguenti equazioni. 1. 4 12 +9=0 0; 3 2 2. 7 +14 8=0 1;2;4 3. 4 12 +9=0 3 2 ; 3 2 4. +2 = 3 4 1 2 ;3 2 +4=0 5. +3 +1=0 + 2 =3 6. + +2 4=15 3; 2 1 2 ;5 3;0 1; 2

Dettagli

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper

Dettagli

PIANO DI LAVORO DEL PROFESSORE

PIANO DI LAVORO DEL PROFESSORE ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE STATALE IRIS V ERSA RI - Cesano Maderno (MB) PIANO DI LAVORO DEL PROFESSORE Indirizzo LICEO TECNICO MATERIA M ATEMATICA APPLICATA ANNO SCOLASTICO 2011-2012 PROF PIZZILEO

Dettagli

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0. Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,

Dettagli

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto:

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto: PROBLEMA 1. Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando

Dettagli

PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA dipendenti da una sola variabile di scelta con effetti immediati

PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA dipendenti da una sola variabile di scelta con effetti immediati prof. Guida PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA dipendenti da una sola variabile di scelta con effetti immediati sono quei problemi nei quali gli effetti della scelta sono noti e immediati ESERCIZIO

Dettagli

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Docente: DI LISCIA F. Materia: MATEMATICA CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Insiemi numerici: numeri naturali, proprietà delle operazioni aritmetiche; Potenze e loro proprietà; Criteri di divisibilità;

Dettagli

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A.

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A. CLASSE quinta INDIRIZZO AFM-SIA-RIM-TUR UdA n. 1 Titolo: LE FUNZIONI DI DUE VARIABILI E L ECONOMIA Utilizzare le strategie del pensiero razionale negli aspetti dialettici e algoritmici per affrontare situazioni

Dettagli

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A.

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A. UdA n. 1 Titolo: Disequazioni algebriche Saper esprimere in linguaggio matematico disuguaglianze e disequazioni Risolvere problemi mediante l uso di disequazioni algebriche Le disequazioni I principi delle

Dettagli

CLASSE terza SEZIONE H A.S. 14/ 15 PROGRAMMA SVOLTO

CLASSE terza SEZIONE H A.S. 14/ 15 PROGRAMMA SVOLTO DOCENTE: Laura Marchetto CLASSE terza SEZIONE H A.S. 14/ 15 RIPASSO ARGOMENTI PROPEDEUTICI L insieme dei numeri razionali. Equazioni di primo e di secondo grado Sistemi di disequazioni di primo grado Equazione

Dettagli

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3.

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3. 7 LEZIONE 7 Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2 2 6x, x3 +2x 2 6x, 3x + x2 2, x3 +2x +3. Le derivate sono rispettivamente,

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

Calcolo differenziale Test di autovalutazione

Calcolo differenziale Test di autovalutazione Test di autovalutazione 1. Sia f : R R iniettiva, derivabile e tale che f(1) = 3, f (1) = 2, f (3) = 5. Allora (a) (f 1 ) (3) = 1 5 (b) (f 1 ) (3) = 1 2 (c) (f 1 ) (1) = 1 2 (d) (f 1 ) (1) = 1 3 2. Sia

Dettagli

Prerequisiti didattici

Prerequisiti didattici Università degli Studi di Ferrara 2014-2015 Corso TFA - A048 Matematica applicata Didattica della matematica applicata all economia e alla finanza 18 marzo 2015 Appunti di didattica della matematica applicata

Dettagli

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha:

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha: ESERCIZIO - Data la funzione f (x) = (log x) 6 7(log x) 5 + 2(log x) 4, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; ( punto) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire

Dettagli

LE FUNZIONI MATEMATICHE

LE FUNZIONI MATEMATICHE ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante

Dettagli

VERIFICA DI MATEMATICA. CLASSI TERZE (3AS, 3BS, 3CS, 3DS, 3ES) 2 settembre 2013 COGNOME E NOME.. CLASSE.

VERIFICA DI MATEMATICA. CLASSI TERZE (3AS, 3BS, 3CS, 3DS, 3ES) 2 settembre 2013 COGNOME E NOME.. CLASSE. VERIFIC DI MTEMTIC CLSSI TERZE (S, BS, CS, DS, ES) settembre COGNOME E NOME.. CLSSE. Esercizio In un piano cartesiano ortogonale determinare: a) l equazione della parabola con asse parallelo all asse,

Dettagli

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0. Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,

Dettagli

CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica

CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica Programma svolto di MATEMATICA Anno scolastico 2013/14 ELEMENTI DI RACCORDO CON LA SCUOLA MEDIA GLI INSIEMI CALCOLO LETTERALE GEOMETRIA - Ordinamento, proprietà,

Dettagli

Corso di Matematica per CTF Appello 15/12/2010

Corso di Matematica per CTF Appello 15/12/2010 Appello 15/12/2010 Svolgere i seguenti esercizi: 1) Calcolare entrambi i limiti: a) lim(1 x) 1 e x 1 ; x 0 x log 2 x b) lim x 1 1 cos(x 1). 2) Data la funzione: f(x) = x log x determinarne dominio, eventuali

Dettagli

MATEMATICA GENERALE - (A-D) Prova d esame del 7 febbraio 2012 - FILA A

MATEMATICA GENERALE - (A-D) Prova d esame del 7 febbraio 2012 - FILA A MATEMATICA GENERALE - (A-D) Prova d esame del 7 febbraio 2012 - FILA A Nome e cognome Matricola I Parte OBBLIGATORIA (quesiti preliminari: 1 punto ciascuno). Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando

Dettagli

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Mauro Saita 1 Per commenti o segnalazioni di errori scrivere, per favore, a: maurosaita@tiscalinet.it Dicembre 2014 Indice 1 Qualè il grafico

Dettagli

Soluzione del tema d esame di matematica, A.S. 2005/2006

Soluzione del tema d esame di matematica, A.S. 2005/2006 Soluzione del tema d esame di matematica, A.S. 2005/2006 Niccolò Desenzani Sun-ra J.N. Mosconi 22 giugno 2006 Problema. Indicando con A e B i lati del rettangolo, il perimetro è 2A + 2B = λ mentre l area

Dettagli

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014 Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,

Dettagli

STANDARD MINIMI DI RIFERIMENTO MATEMATICA LICEO TECNICO

STANDARD MINIMI DI RIFERIMENTO MATEMATICA LICEO TECNICO STANDARD MINIMI DI RIFERIMENTO MATEMATICA LICEO TECNICO CLASSE 1^ CONOSCENZE Insiemi numerici N, Z, Q, R; rappresentazioni, operazioni, ordinamento Espressioni algebriche; principali operazioni Equazioni

Dettagli

I.T.C. Abba Ballini BS a.s. 2014 2015 cl 4^

I.T.C. Abba Ballini BS a.s. 2014 2015 cl 4^ MODULO 1: LE FUNZIONI- GRAFICI APPROSSIMATI UD 1.1 Saper analizzare le proprietà caratteristiche di una funzione razionale in una variabile Saper ipotizzare il grafico di una funzione razionale Dominio,

Dettagli

Le derivate versione 4

Le derivate versione 4 Le derivate versione 4 Roberto Boggiani 2 luglio 2003 Riciami di geometria analitica Dalla geometria analitica sulla retta sappiamo ce dati due punti del piano A(x, y ) e B(x 2, y 2 ) con x x 2 la retta

Dettagli

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x). Esame liceo Scientifico : ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMI Problema. Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

Corso di ordinamento Sessione straordinaria - a.s. 2009-2010 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA

Corso di ordinamento Sessione straordinaria - a.s. 2009-2010 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA Sessione straordinaria - a.s. 9- ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA Tema di: MATEMATICA a.s. 9- Svolgimento a cura di Nicola De Rosa Il candidato risolva uno

Dettagli

QUADERNI DI DIDATTICA

QUADERNI DI DIDATTICA Department of Applied Mathematics, University of Venice QUADERNI DI DIDATTICA Tatiana Bassetto, Marco Corazza, Riccardo Gusso, Martina Nardon Esercizi sulle funzioni di più variabili reali con applicazioni

Dettagli

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

4. Funzioni elementari algebriche

4. Funzioni elementari algebriche ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 4. Funzioni elementari algebriche A. A. 2013-2014 1 Funzioni elementari Sono dette elementari un insieme di funzioni dalle quali si ottengono, mediante

Dettagli

Modelli di Ottimizzazione

Modelli di Ottimizzazione Capitolo 2 Modelli di Ottimizzazione 2.1 Introduzione In questo capitolo ci occuperemo più nel dettaglio di quei particolari modelli matematici noti come Modelli di Ottimizzazione che rivestono un ruolo

Dettagli

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio. Funzioni e insiemi numerici.4 Verificare che (A B) (A B) = (A A ) B. ) Sia (a, b) (A B) (A B). Allora a (A A ) e b B, da cui (a,

Dettagli

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA DISCIPLINA :MATEMATICA

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA DISCIPLINA :MATEMATICA Istituto Istruzione Superiore A. Venturi Modena Liceo artistico - Istituto Professionale Grafica Via Rainusso, 66-41124 MODENA Sede di riferimento (Via de Servi, 21-41121 MODENA) tel. 059-222156 / 245330

Dettagli

Disciplina: MATEMATICA e COMPLEMENTI di MATEMATICA - ore settimanali 3 Docente prof. Domenico QUARANTA. Quadro sintetico dei Moduli

Disciplina: MATEMATICA e COMPLEMENTI di MATEMATICA - ore settimanali 3 Docente prof. Domenico QUARANTA. Quadro sintetico dei Moduli Classe 5S Sede di Alberobello A.S. 2015/2016 Indirizzo di studio Art. Produzione e Trasformazione Disciplina: MATEMATICA e COMPLEMENTI di MATEMATICA - ore settimanali 3 Docente prof. Domenico QUARANTA

Dettagli

PROVA N 1. 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(x) PROVA N 2. è monotona in R?

PROVA N 1. 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(x) PROVA N 2. è monotona in R? PROVA N 1 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(). Studiare la funzione f()= 8+ 7 9 (Sono esclusi i flessi) 3. Data la funzione f()= 1 6 3 - +5-6

Dettagli

PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER COMPETENZE SECONDO BIENNIO TECNICO AMM FIN E MARKETING

PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER COMPETENZE SECONDO BIENNIO TECNICO AMM FIN E MARKETING http://suite.sogiscuola.com/documenti_web/vris017001/documenti/9.. 1 di 7 04/12/2013 118 PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER COMPETENZE SECONDO BIENNIO TECNICO AMM FIN E MARKETING ANNO SCOLASTICO2013/2014

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15. Insegnante: Roberto Bottazzo Materia: FISICA

PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15. Insegnante: Roberto Bottazzo Materia: FISICA PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15 Materia: FISICA 1) INTRODUZIONE ALLA SCIENZA E AL METODO SCIENTIFICO La Scienza moderna. Galileo ed il metodo sperimentale. Grandezze

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni reali di variabile reale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

Programmazione lineare

Programmazione lineare Programmazione lineare Un modello matematico per un problema di programmazione lineare Problema 1. Un reparto di un azienda di elettrodomestici può produrre giornalmente non più di 6 lavatrici, delle quali

Dettagli

PROGRAMMA DI MATEMATICA CORSI DELL INDIRIZZO PROFESSIONALE. Classi prime: Operatore grafico

PROGRAMMA DI MATEMATICA CORSI DELL INDIRIZZO PROFESSIONALE. Classi prime: Operatore grafico PROGRAMMA DI MATEMATICA CORSI DELL INDIRIZZO PROFESSIONALE - classi accreditate alla formazione professionale regionale: Classi prime: Operatore grafico Modulo 1: I numeri con particolare riferimento alle

Dettagli

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06 Analisi Mat. - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 3-3-6 Sia p il polinomio di quarto grado definito da pz = z 4. Sia S il settore circolare formato dai numeri complessi che hanno modulo minore o

Dettagli

COGNOME... NOME... Classe... Data... 1.a Calcolare le seguenti espressioni: 3. 220 245

COGNOME... NOME... Classe... Data... 1.a Calcolare le seguenti espressioni: 3. 220 245 Capitolo I radicali Risoluzione algebrica erifica per la classe seconda Espressioni numeriche Equazioni lineari Esistenza Operazioni Espressioni letterali.a Calcolare le seguenti espressioni:. 5. 8 3.

Dettagli

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012 Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

PROGRAMMA di MATEMATICA

PROGRAMMA di MATEMATICA Liceo Scientifico F. Lussana - Bergamo PROGRAMMA di MATEMATICA Classe 3^ I a.s. 2014/15 - Docente: Marcella Cotroneo Libro di testo : Leonardo Sasso "Nuova Matematica a colori 3" - Petrini Ore settimanali

Dettagli

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).

Dettagli

Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica. Corso propedeutico di Matematica e Informatica

Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica. Corso propedeutico di Matematica e Informatica Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica a.a. 2006/2007 Docente Ing. Andrea Ghedi Lezione 2 IL PIANO CARTESIANO 1 Il piano cartesiano In un piano

Dettagli

Liceo G.B. Vico Corsico

Liceo G.B. Vico Corsico Liceo G.B. Vico Corsico Classe: 3A Materia: MATEMATICA Insegnante: Nicola Moriello Testo utilizzato: Bergamini Trifone Barozzi: Manuale blu.0 di Matematica Moduli S, L, O, Q, Beta ed. Zanichelli 1) Programma

Dettagli

PIANO DI LAVORO a.s. 2014-2015

PIANO DI LAVORO a.s. 2014-2015 PIANO DI LAVORO a.s. 2014-2015 MATERIA: MATEMATICA APPLICATA CORSO: INTERO CORSO 1. obiettivi didattici 2. contenuti 3. metodi e strumenti 4. criteri di valutazione CLASSE PRIMA 1.OBIETTIVI DIDATTICI Gli

Dettagli

Esercizi su dominio limiti continuità - prof. B.Bacchelli. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.1, 3.2.

Esercizi su dominio limiti continuità - prof. B.Bacchelli. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.1, 3.2. Esercizi su dominio iti continuità - prof. B.Bacchelli Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3., 3.2. - Esercizi 3., 3.2. ESERCIZI * Determinare e disegnare il dominio delle seguenti

Dettagli

ISTITUTO D'ISTRUZIONE SUPERIORE A. MOTTI PROGRAMMAZIONE ANNUALE ANNO SCOLASTICO 2014 /2015

ISTITUTO D'ISTRUZIONE SUPERIORE A. MOTTI PROGRAMMAZIONE ANNUALE ANNO SCOLASTICO 2014 /2015 ISTITUTO D'ISTRUZIONE SUPERIORE A. MOTTI PROGRAMMAZIONE ANNUALE ANNO SCOLASTICO 2014 /2015 A047 MATEMATICA CLASSE PRIMA PROFESSIONALE DOCENTI : CARAFFI ALESSANDRA, CORREGGI MARIA GRAZIA, FAZIO ANGELA,

Dettagli

ESERCIZI PER LE VACANZE CLASSE 4^A anno scolastico 2011-2012

ESERCIZI PER LE VACANZE CLASSE 4^A anno scolastico 2011-2012 ESERCIZI PER LE VACANZE CLASSE ^A anno scolastico 011-01 PROBLEMI SULLA RETTA: 1. Scrivi l equazione della retta passante per i punti A(-;-) e B(6;10). Determina la distanza del punto C(-1;) da tale retta.

Dettagli

Stampa Preventivo. A.S. 2009-2010 Pagina 1 di 8

Stampa Preventivo. A.S. 2009-2010 Pagina 1 di 8 Stampa Preventivo A.S. 2009-2010 Pagina 1 di 8 Insegnante MARINO CRISTINA Classe 5AT Materia matematica preventivo consuntivo 99 0 titolo modulo 51 RIPASSO 52 FUNZIONI REALI DI VARIABILE 53 CALCOLO INFINITESIMALE

Dettagli

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0. Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,

Dettagli

LA RICERCA OPERATIVA

LA RICERCA OPERATIVA LA RICERCA OPERATIVA Il termine Ricerca Operativa, dall inglese Operations Research, letteralmente ricerca delle operazioni, fu coniato per esprimere il significato di determinazione delle attività da

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

Liceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti. Equazioni e Disequazioni

Liceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti. Equazioni e Disequazioni Liceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti Equazioni e Disequazioni Ripasso generale relativo alla risoluzione di equazioni, disequazioni,

Dettagli

Esempi di funzione. Scheda Tre

Esempi di funzione. Scheda Tre Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.

Dettagli

Sono definite in sottoinsiemi di R n (n N), a valori in R Ci si limiterà al caso di R 2 o di R 3

Sono definite in sottoinsiemi di R n (n N), a valori in R Ci si limiterà al caso di R 2 o di R 3 1 FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI 1 1 Funzioni di più variabili Sono definite in sottoinsiemi di R n (n N), a valori in R Ci si limiterà al caso di R 2 o di R 3 Definizione 1.1 Dati D R 2 e f : D R, l insieme

Dettagli

Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 12 Cfu - A.A. 2010/2011 1

Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 12 Cfu - A.A. 2010/2011 1 Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 1 Cfu - A.A. 010/011 1 Esercitazione 1: 4/09/010 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: log a) f() = 5 ( 1). b) g() = log 3 (3 6) log 13.

Dettagli

Ripasso delle matematiche elementari: esercizi svolti

Ripasso delle matematiche elementari: esercizi svolti Ripasso delle matematiche elementari: esercizi svolti I Equazioni e disequazioni algebriche 3 Esercizi su equazioni e polinomi di secondo grado.............. 3 Esercizi sulle equazioni di grado superiore

Dettagli

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI.Definizioni e insieme di definizione. Una funzione o applicazione f è una legge che ad ogni elemento di un insieme D ( dominio )fa corrispondere un

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

Geometria analitica del piano

Geometria analitica del piano Geometria analitica del piano dott.ssa Vita Leonessa Università degli Studi della Basilicata (27 marzo 2008) (Analisi) Matematica 2 CdL in Chimica, Biotecnologie, Scienze Geologiche Rette Fissato un sistema

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2002 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2002 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Nel piano riferito

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

Esercizi svolti sui numeri complessi

Esercizi svolti sui numeri complessi Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =

Dettagli

Piano di lavoro di Matematica a.s.2014/2015 classe 5^A s.i.a. Insegnante : Prof.ssa Pisu Daria

Piano di lavoro di Matematica a.s.2014/2015 classe 5^A s.i.a. Insegnante : Prof.ssa Pisu Daria Piano di lavoro di Matematica a.s.2014/2015 classe 5^A s.i.a. Insegnante : Prof.ssa Pisu Daria Il programma che s intende svolgere si suddivide in cinque moduli : I MODULO: LE DISEQUAZIONI Obiettivi :

Dettagli

SOLUZIONI D = (-1,+ ).

SOLUZIONI D = (-1,+ ). SOLUZIONI. Data la funzione f() ( ) ln( ) a) trova il dominio di f b) indica quali sono gli intervalli in cui f() risulta positiva e quelli in cui risulta negativa c) determina le eventuali intersezioni

Dettagli

FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello

FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello Una funzione di due variabili Ë una funzione in cui per ottenere un valore numerico bisogna speciöcare il valore di 2 variabili x e y, non pi di

Dettagli

1) Quali sono le equazioni, implicita ed esplicita, del piano determinato dai punti (-2;0:3) (1,-2,-1) (3,1,0) dello spazio cartesiano?

1) Quali sono le equazioni, implicita ed esplicita, del piano determinato dai punti (-2;0:3) (1,-2,-1) (3,1,0) dello spazio cartesiano? A - ANALISI INFINITESIMALE 1) Quali sono le equazioni, implicita ed esplicita, del piano determinato dai punti (-;0:3) (1,-,-1) (3,1,0) dello spazio cartesiano? ) Qual è l'equazione del piano passante

Dettagli

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1]

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1] Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1] Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: 1. y = 16 x ;. y = e 1 x +4 + x + x + 1; 3. y = 10 x x 3 4x +3x; 4. y =

Dettagli

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1 Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. x 1. x..y B C.y 5 x 4..y 4 L elemento è

Dettagli