1 Cambiamenti di coordinate nello spazio
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- Arrigo Berardino
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1 Camiamenti di oordinate nello spaio Sia fissato nello spaio un sistema di oordinate ortogonali monometrihe O. Vogliamo srivere le formule he legano le oordinate nel sistema O alle oordinate in un altro sistema ottenuto traslando oppure ruotando gli assi oordinati. Cominate opportunamente queste formule danno quelle di una generia roto-traslaione nello spaio.. Traslaioni In questo aso gli assi oordinati del nuovo sistema di riferimento O sono paralleli ai preedenti. Se O nel sistema O ha oordinate O 0, 0, 0 ), allora le oordinate,, ) e,, ) di un punto P nei due sistemi di riferimento sono legate dalle formule = + 0 = + 0 = + 0 ioè = Rotaioni In questo aso il entro O del nuovo sistema di riferimento oinide ol entro O, mentre gli assi nuovi sono ottenuti dai preedenti mediante rotaione. Siano rispettivamente E = {e, e 2, e 3 }; E = {e, e 2, e 3} le due asi o.n. per IR 3 destrorse ostituite dai versori degli assi {,, } e {,, }. Inoltre sia P la matrie di passaggio tra le due asi, avente ome olonne le oordinate dei vettori di E rispetto alla ase E. P è matrie ortogonale speiale, ossia tale he P = P T e detp ) = +.. ) e P = e 2 e 3 = P e = P T Ogni rotaione di assi è una omposiione di 3 rotaioni attorno agli assi oordinati Angoli di Eulero), per ui è utile rihiamare questo aso. Esempio. Supponiamo he la nuova terna di assi sia ottenuta ruotando di un angolo θ attorno all asse, o all asse [, o all asse ]. Una matrie Q ortogonale speiale di rotaione di un angolo θ nel osθ senθ piano è Q =, nello spaio si ottiene senθ osθ P,θ = 0 0 osθ 0 senθ osθ senθ 0 0 osθ senθ ; P,θ = 0 0 ; P,θ = senθ osθ 0. 0 senθ osθ senθ 0 osθ 0 0
2 Per una generia rotaione, dati gli angoli di Eulero ϕ, θ, ψ vedere??, 7.2.5, pag.299) risulta P = P,ϕ P,θ P,ψ..3 Roto-traslaioni Prima traslaione, poi rotaione Se prima si traslano gli assi portando l origine in O di oordinate { = 0 ; = 0 ; = 0 } nel sistema O, e poi si ruota usando la matrie P le relaioni si ottengono ominando = on = P e si ottiene = P Prima rotaione, poi traslaione. Se prima si ruota on una matrie P e poi si traslano gli assi e la nuova origine O ha oordinate { = 0 ; = 0; = 0} nel sistema ruotato O, le relaioni si ottengono ominando = P on = quindi = P Quadrihe Sia fissato nello spaio un sistema di oordinate ortogonali monometrihe O. Definiione 2. Si hiama quadria una superfiie eventualmente a punti non reali) definita da un equaione di grado 2: F,, ) = a 2 + 2a 2 + 2a 3 + a a 23 + a a 4 + 2a a 34 + a 44 = 0. La forma quadratia Q,, ) := a 2 + 2a 2 + 2a 3 + a a 23 + a 33 2, viene detta forma quadratia della quadria.
3 Nel seguito la quadria verrà denotata on S; ad essa si assoiano in modo naturale due matrii simmatrihe: A := ) a ij = ; B :=. a a 2 a 3 a 4 a 2 a 22j a 23 a 24 a 3 a 23 a 33 a 34 a 4 a 24 a 34 a 44 a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 23 a 33 Osserviamo he le equaioni di S e della forma Q si ottengono dalle matrii A, B ome segue:. [ ] A = F,, ), quindi l equaione di S si può srivere nella forma: [ ] A [ ] T = 0; 2. [ ] B = Q,, ), ossia B è la matrie assoiata alla forma quadratia di S. 3 Quadrihe in forma anonia Sono le quadrihe on equaione di uno dei seguenti tipi: ) F,, ) = λ 2 + λ λ a 44 = 0 on λ λ 2 λ 3 0 e λ, λ 2, λ 3 onordi, 2) F,, ) = λ 2 + λ λ a 44 = 0 onλ λ 2 λ 3 0 e λ, λ 2, λ 3 disordi, 3) F,, ) = λ 2 + λ 2 2 2p + q = 0, on pq = 0. Nel aso ), dividendo eventualmente l equaione per a 44, possiamo ottenere he a 44 = ±, o a 44 = 0. Per ui, ponendo λ := a 2, λ 2 := 2, λ 3 := 2, forma lassia ) 2 a = 0 possiamo srivere l equaione di S nella Analogamente per le equaioni 2) troviamo tutti i asi possiili nella forma lassia seguente: possiamo supporre, per sempliità he λ > 0, λ 2 > 0, λ 3 < 0: infatti se fosse λ > 0, λ 2 < 0, λ 3 < 0, si riadree nel aso preedente moltipliando l equaione per - ). ; 2 ) 2 a = 0 ; Nel aso 3), quando p 0, oppure q 0, a seonda del segno di λ e λ 2, aiamo le forme : 3.) 2p = 2 a ) 2p = 2 a ) 2p = 2 a 2 se p = q = 0 otteniamo invee: 3.4) λ 2 + λ 2 2 = 0 oppure oppure oppure 2 a = ± 2 a = ± 2 a 2 = ±
4 3. Quadrihe di tipo ). Equaione: F,, ) = λ 2 + λ λ a 44 = 0 on λ λ 2 λ 3 0 e λ, λ 2, λ 3 onordi. λ La matrie assoiata è A = 0 λ λ a 44 Vediamo he B è diagonale on autovalori onordi e la forma quadratia Q è definita; inoltre detb 0 = a 44 = det A. Doiamo distinguere 3 asi: det B. deta) < 0. Equivalentemente, gli autovalori di B e a 44 sono disordi = S è ellissoide reale. S è superfiie ontenuta nel parallelepipedo a a,,, e tagliata on piani del tipo = k, oppure = h, oppure = l, dà sempre ellissi. Ha l origine ome entro di simmetria e piani e assi ordinati sono rispettivamente piani e assi di simmetria. 2. deta) > 0. λ i e a 44 onordi) = S = viene detta ellissoide privo di punti reali. 3. deta) = 0. a 44 = 0) = S = {0, 0, 0)} si die ono a falda immaginaria ono on vertie V = 0, 0, 0) perhè l equaione è omogenea, a falda immaginaria, perhè V è l unio punto reale). 3.2 Quadrihe di tipo 2). Equaione: F,, ) = λ 2 + λ λ a 44 = 0 on λ λ 2 λ 3 0 e λ, λ 2, λ 3 non onordi. λ La matrie assoiata è A = 0 λ λ a 44 La matrie B è diagonale on autovalori non nulli e disordi, quindi la forma quadratia Q è non definita; anhe qui detb 0 quindi vale he he a 44 = det A. S ha sempre l origine ome entro di det B simmetria e piani e assi ordinati sono piani e assi di simmetria. Come in 3., distinguiamo 3 asi.. deta) < 0, la quadria S viene detta iperoloide a due falde. Equivalentemente, i segni degli autovalori di B e di a 44 sono [+ +, +] oppure [+, ]). Supponendo per sempliità λ > 0, λ 2 > 0, λ 3 < 0 = a 44 > 0). Quindi l equaione di S è 2 a = 0 Tagliando S on piani del tipo = k si ottengono ellissi, reali solo per k, sempre più grandi al resere di k ; queste ellissi degenerano nei punti 0, 0, k) per k = ±, inoltre i piani di equaqione = ± sono tangenti alla quadria. Invee tagliando on piani del tipo = h, oppure = l, si trovano iperoli. 2. deta) > 0 la quadria S viene detta iperoloide ad una falda.
5 Equivalentemente, i segni degli autovalori di B e di a 44 sono [+ +, ] oppure [+, +]). La sua equaione è del tipo 2 a = Tagliando S on piani del tipo = k, k si ottengono ellissi reali, sempre più grandi al resere di k, l ellisse più piola, detta ellisse di gola, si trova sul piano = 0). Invee tagliando on piani di equaione = h, oppure = l, si trovano iperoli. S è quadria doppiamente rigata: infatti per ogni punto P S passano due rette interamente ontenute in S. Queste rette ostituisono, al variare di P, due shiere. Per determinare le equaioni di queste shiere, ad esempio nel aso dell equaione 2), possiamo risrivere questa nella forma 2 a = 2 2 a + ) a ) = + ) ) Le due shiere di rette su S sono λ a + ) = µ I a shiera : µ a ) + ) = λ ) II a shiera : λ a + ) µ a ) = µ ) = λ + ) on vettori direionali rispettivamente: λ a, µ, λ ) µ a, λ ) µ 2, µ λ 2 =, 2 λµ a, µ2 + λ 2 ) I a shiera) a λ a, µ, λ ) ) µ µ 2 a, λ, µ + λ 2 =, 2 λµ a, + λ 2 ) µ2 II a shiera) a solo nei asi λ =, µ = 0 oppure λ = 0, µ = si ottengono due rette di una shiera e una dell altra shiera he sono parallele e quindi si inontrano all infinito. Infatti se interseo S ol fasio di piani di equaione λ a + ) ) = µ + avente per asse la retta r) : a + ) ) = + = 0, r S), ottengo il sistema λ a + ) ) = µ + λ a + ) ) = µ + a + ) a ) = + ) ) = + ) [ µ λ a ) ) ] = 0 a + = 0 λ a + ) = µ + ) retta r) + = 0 µ a ) = λ I a shiera) ). Analogamente si trova la seonda shiera. Osserviamo he la retta r II a shiera. Non è diffiile verifiare he due rette della stessa shiera sono sempre sgheme: infatti il sistema λ a + ) = µ + ) µ a ) = λ ) λ a + ) = µ + ) µ a ) = λ ) =
6 implia he λ µ = λ µ, ioè he esiste soluione se e solo se λ, µ ) = tλ, µ), quindi se e solo se le due rette oinidono λ, µ sono due parametri omogenei, quindi per oppie di valori proporionali si ottiene la stessa retta). Inoltre una retta della prima e una della seonda shiera sono sempre inidenti: per ogni punto P S passano una retta della prima e una della seonda shiera. Osserviamo però he esistono due rette appartenenti a due diverse shiere he sono parallele si inontrano all infinito). 3. deta) = 0 Equivalentemente, a 44 = 0) = S è ono reale on vertie nell origine. ono on vertie V = 0, 0, 0) perhè l equaione è omogenea, a falda reale, perhè le rette reali λ = µ a + ) µ a = λ ) sono tutte ontenute nel ono. Queste rette si trovano, analogamnete al aso sopra, tagliando il ono ol fasio di piani aventi per asse la retta s S di equaioni = + = Quadrihe di tipo 3). Equaione: F,, ) = λ 2 + λ 2 2 2p + q = 0, on pq = 0. La matrie assoiata ha una delle due forme seguenti λ a) A = 0 λ p, p 0, oppure 3.) A = 0 0 p 0 λ λ q La matrie B è diagonale on almeno un autovalore nullo quindi det B = 0. Dapprima osserviamo he det A 0 λ λ 2 p 0, quindi aso 3.a), on λ λ 2 0. Studiamo i vari asi possiili. La quadria ha sempre l asse ome asse di simmetria, e i piani = 0, = 0 ome piani di simmetria.. Caso 3.a), on λ λ 2 > 0, p 0 det A < 0 e λ 3 = 0). La quadria si hiama paraoloide ellittio L equaione di S si può risrivere nella forma. 2p = 2 a Tagliando on piani del tipo = k si trovano ellissi, he sono reali se kp > 0; mentre il piano = 0 è tangente a S nell origine. I piani passanti per l asse tagliano S in paraole aventi vertie in O0, 0, 0). 2. Caso 3.a), on λ λ 2 < 0, p 0 p 0 det A > 0 e λ 3 = 0). La quadria si hiama paraoloide iperolio L equaione di S è anhe nella forma 2p = 2 a
7 Tagliando on piani del tipo = k, k 0, si trovano iperoli, mentre il piano = 0 é tangente a S nell origine. Le interseioni on piani = h oppure = l sono paraole. Ad esempio, studiamo le interseioni on i piani = h di equaione = h: otteniamo 2p = 2 2 h2. a 2 Queste sono equaioni parametrihe di paraole on identia forma anonia aventi vertie V h = h, 0, h2 2pa 2 ); il luogo dei vertii V h è proprio la paraola seione di S ol piano = 0. Anhe il paraoloide iperolio è doppiamente rigato. le 2 shiere di rette si trovano somponendo l equaione: 2p = a + ) a ) I a shiera : a + λ a ) = λ = 2p II a shiera : a ) λ a + ) = λ = 2p Anhe in questo aso le rette di una shiera sono due a due sgheme, perhè giaiono su un fasio di piani paralleli: proprio questo fatto differenia il paraolide iperolio dall iperoloide ad una falda. Mentre ogni retta della I a shiera inontra ogni retta della seonda. 3. Caso 3.a), on λ 0, λ 2 = 0, p 0, ρa) = 3. La quadria è un ilindro paraolio. Infatti la sua equaione è del tipo 2p = λ 2, he, essendo funione di due sole variaili, rappresenta un ilindro on generatrii parallele all asse ), paraolio, perhè le seioni di questo ilindro on piani non paralleli alle generatrii sono sempre paraole. 4. Caso 3.), on λ λ 2 > 0, q 0 ρa) = 3. La quadria è un ilindro ellittio. 5. Caso 3.), on λ λ 2 < 0, q 0 ρa) = 3. La quadria è un ilindro iperolio. Questi asi 4, 5 sono analoghi al aso Caso 3.), on λ λ 2 = 0, q 0 = ρa) = 2. La quadria è oppia di piani paralleli. eventualmente omplessi) 7. Rimangono i asi aventi p = q = 0. Qui ρa) 2. La quadria è una oppia di piani, eventualmente oinidenti o omplessi. 4 Rionosimento di una quadria Teorema 4. Data una quadria S, siano, ome sopra, A, B le due matrii simmetrihe assoiate alla sua equaione. Allora i seguenti numeri sono invarianti per roto-traslaioni degli assi: deta), ρa), detb), traiab), gli autovalori di B.
8 Dim. Proveremo he se A e B sono le matrii assoiate all equaione di S in un sistema di oordinate O ottenuto per roto-traslaione da O, allora deta) = deta ), ρa) = ρa ), detb) = detb ), trb) = trb ), B e B sono simili. Riordiamo he la traia di una matrie quadrata M è la somma degli elementi della diagonale prinipale di M: se M = ) n m i,j, i, j n, allora trm) = m i,i. { detm) = prodotto degli autovalori di M Si ha he trm) = somma degli autovalori di M PASSO. Proviamo la tesi per una traslaione degli assi. Osserviamo dapprima he mediante una + 0 traslaione, la matrie B resta invariata. Infatti dalle formule = + 0 possiamo srivere = Ponendo Q := , si ottiene: [ ]A = [ ]Q T AQ Quindi la matrie assoiata alla quadria nel nuovo sistema risulta essere A = Q T AQ. E hiaro he B resta invariata, he ρa) = ρa ) perhè Q è invertiile), inoltre, siome detq =, aiamo deta ) = detq T )deta)detq) = deta). PASSO 2. Proviamo la tesi per una rotaione. Sia P la matrie 33 ortogonale speiale he individua la rotaione. Analogamente al aso sopra aiamo 0 = P e = P Chiamando Q questa matrie 44, he è ortogonale on det Q =, si ottiene [ ]A = [ ]Q T AQ. Quindi A = Q T AQ è simile ad A. La matrie B si trasforma in B = P T BP, ed essendo P ortogonale, B è simile a B e ha gli stessi autovalori di B. Questo teorema e il seguente i assiurano he si può sempre rionosere il tipo di una quadria dalla sua equaione. Teorema Algoritmo - Data l equaione di una quadria S, esiste sempre un sistema di oordinate O XY Z in ui questa assume la forma anonia. Dim. La dimostraione onsiste nell algoritmo di ostruione di questo sistema O XY Z. CASO.La forma quadratia è gia in forma anonia, ioè B è diagonale). Completando i quadrati si arriva failmente alla forma anonia del paragrafo 3, a meno he la quadria non sia un ilindro paraolio, per ui ompletando l unio quadrato si ottiene equaione del tipo λ 2 + a + + = 0.
9 Se a 0 è neessario fare una rotaione di assi, ad esmpio on nuovo asse Z di versore e 3 parallelo al vettore n= 0, a, ), e e = e, e 2 = e 3 e ) infine una traslaione. CASO 2. La forma quadratia non è in forma anonia, ioè B non è diagonale). Riordiamo he B, essendo simmetria, è diagonaliaile mediante una matrie ortogonale speiale P. Consideriamo la rotaione degli assi determinata dalla matrie P, ioè il sistema di riferimento O avente ome versori degli assi le olonne di P. In questo sistema otteniamo )P T =,, ) = Q ) = )P T BP ) T = ) ) T Quindi nel sistema O la forma quadratia della quadria assume la forma anonia e adesso si può proedere ome nel aso. Osservaione 4.3 Le quadrihe in forma anonia hanno un entro di simmetria det B 0. Questo entro di simmetria C è l unio punto he annulla tutte le derivate pariali dell equaione della quadria. Questa proprietà si onserva per amiamenti di oordinate, in altre parole il entro di simmetria per una qualsiasi quadria di equaione F,, ) = 0, avente det B 0, è l unia soluione del sistema: F = F = F = 0. Allora, se la quadria ha entro di simmetria C, prima di ruotare gli assi, onviene trovare C e traslare portando l origine in C. Nel nuovo sistema C l equaione della quadria diventa F,, ) = Q,, ) + det A det B = 0. Infatti nell equaione si annullano ovviamente i oeffiienti a 4, a 24, a 34 e la nuova matrie assoiata A avrà B = B, quindi: det A = det A = a 44 det B. A questo punto si diagonalia B. La forma anonia he si ottiene è : λ X 2 + λ 2 Y 2 λ 3 Z 2 + det A det B = 0. Questa equaione anonia si può srivere suito dopo aver alolato gli autovalori di B. 5 Shema onlusivo Data l equione di una quadria S on matrii assoiate A, B, possiamo rionoserne il tipo alolando ρa), deta), ρb), detb) e il segno degli autovalori di B, seondo la taella seguente:
10 λ λ 2 λ 3 deta) detb) ρa) S è: < ellissoide reale < ellissoide reale > o ellissoide non reale) > o ellissoide non reale) = ono a falda immaginaria = ono a falda immaginaria + + < iperoloide a due falde + < iperoloide a due falde + + > iperoloide ad una falda + > iperoloide ad una falda + + = ono a falda reale + = ono a falda reale = 0 4 paraoloide ellittio 0 0 = 0 4 paraoloide ellittio = 0 4 paraoliode iperolio = 0 = 0 3 ilindro ellittio + 0 = 0 = 0 3 ilindro iperolio ± 0 0 = 0 = 0 3 ilindro paraolio ± ± 0 = 0 = 0 2 oppia di piani ± 0 0 = 0 = 0 2 oppia di piani Questo shema può essere sintetiato ome segue: Proposiione 5. Sia S una quadria definita dall equaione F,, ) = a 2 + 2a 2 + 2a 3 + a a 23 + a a 4 + 2a a 34 + a 44 = 0. Siano λ, λ 2, λ 3 gli autovalori della matrie simmetria B, 3 3 assoiata alla forma quadratia di S, e sia A la matrie simmetria 4 4 assoiata a S. Allora possiamo rionosere S dal seguente shema: λ λ 2 λ 3 deta) detb) ρa) S è: CON CORDI < ellissoide reale > o ellissoide non reale) = ono a falda immaginaria DIS CORD I < iperoloide a due falde > iperoloide ad una falda = ono a falda reale < 0 = 0 4 paraoloide ellittio 0 < 0 = 0 4 paraoloide ellittio + 0 > 0 = 0 4 paraoliode iperolio = 0 = 0 3 ilindro ellittio + 0 = 0 = 0 3 ilindro iperolio ± 0 0 = 0 = 0 3 ilindro paraolio ± ± 0 = 0 = 0 2 oppia di piani ± 0 0 = 0 = 0 2 oppia di piani Riferimenti iliografii [] F.Odetti, M.Raimondo. Elementi di algera lineare e geomatria analitia. ECIG Genova 992).
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