MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 23 giugno 2003 studenti nuovo ordinamento

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1 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 23 giugno 2003 studenti nuovo ordinamento Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Mari (SI) prof. Pacati (SI) dott. Renò (GR) dott. Riccarelli (AR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Un individuo ottiene in prestito al tempo zero una somma di S lire; restituirà in seguito in unica soluzione S + I lire, dove I è l interesse calcolato secondo una legge di capitalizzazione esponenziale, di tasso annuo i = 9%. Si calcoli dopo quanti anni t l interesse I arriva ad essere un quarto del prestito iniziale. Si determini quindi il tasso interno di rendimento in base annua i dell operazione di prestito. Si supponga infine che all individuo sia richiesto di rimborsare il prestito, anziché in unica soluzione dopo t anni, in due rate uguali, di importo R lire, pagabili alla fine del primo e del secondo anno. Si determini, nel caso di S = euro, l importo della rata, affinché l operazione finanziaria sia equa secondo la legge esponenziale di tasso annuo i precedentemente determinato. Motivare le risposte! t = anni i = % R = euro Esercizio 2. Si calcoli il tasso interno di rendimento della seguente operazione finanziaria: x/t = 0, 270, 201, 100} euro / 0, 0.5, 1, 1.5} anni, esprimendolo in forma percentuale e su base annua. Si determini inoltre l importo x 0 in modo che l operazione x 0, x 1, x 2, x 3 }/t risulti equa al tasso annuo del 4%. Di quest ultima operazione calcolare infine il tasso interno di rendimento ĩ. i = % x 0 = euro ĩ = %

2 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una S = euro, da restituirsi secondo un ammortamento (non standard) all 8% annuo in 4 rate anuali posticipate, di cui la seconda e la terza di euro l una e con la quota capitale delle prima rata C 1 = euro. Si completi il piano, giustificando gli importi inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

3 Esercizio 4. Si consideri un mercato in cui, al tempo t 0 = 0, è in vigore la struttura per scadenza delle intensità di rendimento a scadenza h(0, s) = a bs2, s > 0, dove il tempo è espresso in anni, a = e b = In riferimento allo scadenzario t = t 1, t 2, t 3, t 4 } = 0.5, 1, 1.5, 2} anni, calcolare le strutture per scadenza dei tassi a pronti, dei tassi a termine e dell intensità istantanea di interesse, esprimendo tutte le grandezze in base annua ed i tassi in forma percentuale. i(t 0, t 1 ) = % i(t 0, t 0, t 1 ) = % δ(t 0, t 1 ) = i(t 0, t 2 ) = % i(t 0, t 1, t 2 ) = % δ(t 0, t 2 ) = i(t 0, t 3 ) = % i(t 0, t 2, t 3 ) = % δ(t 0, t 3 ) = i(t 0, t 4 ) = % i(t 0, t 3, t 4 ) = % δ(t 0, t 4 ) = Esercizio 5. Sia dato al tempo t = 0 un titolo a cedola fissa x, di valore nominale 100 euro, cedola semestrale del 5% nominale annuo e vita a scadenza di trenta anni. Si assuma che la struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore sul mercato sia piatta al livello 5.5% in base annua e si determini il valore attuale V e la durata media finanziaria D del contratto, esprimendo il valore in euro e la durata media finanziaria in anni. Si assuma quindi che sia possibile l di un titolo a cedola nulla y, di durata 2 anni e capitale nominale 100 euro. Un investitore ha a disposione una somma di 6000 euro e vuole investirla tutta nei due titoli, in modo che il portafoglio risultante abbia durata media finanziaria di dieci anni. Si determini di quante quote α del titolo x e di quante quote β del titolo y deve essere composto il portafoglio. V = euro D = anni α = β =

4 Esercizio 6. Si consideri un mercato azionario in cui siano quotati due titoli I 1 e I 2 con rendimenti attesi E 1 = 9%, E 2 = 1% e varianze V 1 = 0.08, V 2 = La correlazione fra i due titoli sia ρ = 0.1. Fra le composizioni di portafoglio del tipo I = αi 1 + (1 α)i 2, si calcoli la composizione α del portafoglio a varianza minima, il rendimento atteso E e la varianza V di tale portafoglio. α = E = % V = Si calcoli poi la composizione α del portafoglio che permette di avere una varianza pari a V 2 ma un rendimento maggiore di E 2, e si calcoli tale rendimento E. α = E = %

5 Esercizio 6. Sia dato un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 ed in riferimento allo scadenzario t = 1, 2} anni, siano trattati i titoli: x = 100, 0} euro al prezzo a pronti di 95 euro, y = 0, 100} euro al prezzo a pronti di 90 euro, z = 6, 106} euro al prezzo a pronti di 101 euro. Determinare la struttura per scadenza dei tassi a pronti determinata dai prezzi dei soli titoli x e y. i(0, 1) = % i(0, 2) = % Costruire quindi un arbitraggio non rischioso che garantisca un profitto certo di 10 euro al tempo t = 2 anni, avendo chiuso in pareggio le posizioni agli altri istanti. azione (A): azione (B): azione (C): di unità del titolo x di unità del titolo y di unità del titolo z

6 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 23 giugno 2003 studenti nuovo ordinamento Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Mari (SI) prof. Pacati (SI) dott. Renò (GR) dott. Riccarelli (AR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Un individuo ottiene in prestito al tempo zero una somma di S lire; restituirà in seguito in unica soluzione S + I lire, dove I è l interesse calcolato secondo una legge di capitalizzazione esponenziale, di tasso annuo i = 10%. Si calcoli dopo quanti anni t l interesse I arriva ad essere un quarto del prestito iniziale. Si determini quindi il tasso interno di rendimento in base annua i dell operazione di prestito. Si supponga infine che all individuo sia richiesto di rimborsare il prestito, anziché in unica soluzione dopo t anni, in due rate uguali, di importo R lire, pagabili alla fine del primo e del secondo anno. Si determini, nel caso di S = euro, l importo della rata, affinché l operazione finanziaria sia equa secondo la legge esponenziale di tasso annuo i precedentemente determinato. Motivare le risposte! t = anni i = % R = euro Esercizio 2. Si calcoli il tasso interno di rendimento della seguente operazione finanziaria: x/t = 0, 180, 101, 100} euro / 0, 0.5, 1, 1.5} anni, esprimendolo in forma percentuale e su base annua. Si determini inoltre l importo x 0 in modo che l operazione x 0, x 1, x 2, x 3 }/t risulti equa al tasso annuo del 5%. Di quest ultima operazione calcolare infine il tasso interno di rendimento ĩ. i = % x 0 = euro ĩ = %

7 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una S = euro, da restituirsi secondo un ammortamento (non standard) al 7% annuo in 4 rate anuali posticipate, di cui la seconda e la terza di euro l una e con la quota capitale delle prima rata C 1 = euro. Si completi il piano, giustificando gli importi inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

8 Esercizio 4. Si consideri un mercato in cui, al tempo t 0 = 0, è in vigore la struttura per scadenza delle intensità di rendimento a scadenza h(0, s) = a bs2, s > 0, dove il tempo è espresso in anni, a = e b = In riferimento allo scadenzario t = t 1, t 2, t 3, t 4 } = 0.5, 1, 1.5, 2} anni, calcolare le strutture per scadenza dei tassi a pronti, dei tassi a termine e dell intensità istantanea di interesse, esprimendo tutte le grandezze in base annua ed i tassi in forma percentuale. i(t 0, t 1 ) = % i(t 0, t 0, t 1 ) = % δ(t 0, t 1 ) = i(t 0, t 2 ) = % i(t 0, t 1, t 2 ) = % δ(t 0, t 2 ) = i(t 0, t 3 ) = % i(t 0, t 2, t 3 ) = % δ(t 0, t 3 ) = i(t 0, t 4 ) = % i(t 0, t 3, t 4 ) = % δ(t 0, t 4 ) = Esercizio 5. Sia dato al tempo t = 0 un titolo a cedola fissa x, di valore nominale 100 euro, cedola semestrale del 4.25% nominale annuo e vita a scadenza di trenta anni. Si assuma che la struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore sul mercato sia piatta al livello 4.5% in base annua e si determini il valore attuale V e la durata media finanziaria D del contratto, esprimendo il valore in euro e la durata media finanziaria in anni. Si assuma quindi che sia possibile l di un titolo a cedola nulla y, di durata 2 anni e capitale nominale 100 euro. Un investitore ha a disposione una somma di 7000 euro e vuole investirla tutta nei due titoli, in modo che il portafoglio risultante abbia durata media finanziaria di dieci anni. Si determini di quante quote α del titolo x e di quante quote β del titolo y deve essere composto il portafoglio. V = euro D = anni α = β =

9 Esercizio 6. Si consideri un mercato azionario in cui siano quotati due titoli I 1 e I 2 con rendimenti attesi E 1 = 10%, E 2 = 2% e varianze V 1 = 0.09, V 2 = La correlazione fra i due titoli sia ρ = 0.1. Fra le composizioni di portafoglio del tipo I = αi 1 + (1 α)i 2, si calcoli la composizione α del portafoglio a varianza minima, il rendimento atteso E e la varianza V di tale portafoglio. α = E = % V = Si calcoli poi la composizione α del portafoglio che permette di avere una varianza pari a V 2 ma un rendimento maggiore di E 2, e si calcoli tale rendimento E. α = E = %

10 Esercizio 6. Sia dato un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 ed in riferimento allo scadenzario t = 1, 2} anni, siano trattati i titoli: x = 100, 0} euro al prezzo a pronti di 95 euro, y = 0, 100} euro al prezzo a pronti di 91 euro, z = 5, 105} euro al prezzo a pronti di 100 euro. Determinare la struttura per scadenza dei tassi a pronti determinata dai prezzi dei soli titoli x e y. i(0, 1) = % i(0, 2) = % Costruire quindi un arbitraggio non rischioso che garantisca un profitto certo di 10 euro al tempo t = 2 anni, avendo chiuso in pareggio le posizioni agli altri istanti. azione (A): azione (B): azione (C): di unità del titolo x di unità del titolo y di unità del titolo z

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