Prof. Luciano Teresi CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA CIVILE PER LA PROTEZIONE DEL TERRITORIO DAI RISCHI NATURALI

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1 PROGETTO FORMATIVO Prof. Luciano Teresi CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA CIVILE PER LA PROTEZIONE DEL TERRITORIO DAI RISCHI NATURALI RELAZIONE DI FINE TIROCINIO A cura di: Marco Varanese Anno Accademico

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3 Sommario INTRODUZIONE 1 1. RISPOSTA ISOTROPA PROVA DI TRAZIONE CON VINCOLO D INCASTRO PROVA DI TRAZIONE CON VINCOLO GLIFO RISPOSTA ANISOTROPA PROVA DI TRAZIONE PROVA DI TAGLIO (con cambiamento di vincolo) STUDIO DI DUE TRAVI A T IN ELASTICITÀ LINEARE SIMULAZIONE PER TAGLIO SIMULAZIONE PER MOMENTO TORCENTE SIMULAZIONE PER MOMENTO FLETTENTE 40

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5 INTRODUZIONE COMSOL Multiphysics è l ambiente software scientifico di modellazione e simulazione di sistemi fisici complessi. Il suo punto di forza è la capacità di modellare e simulare fenomeni multifisici. I moduli opzionali ne permettono il potenziamento mediante strumenti specifici per le diverse discipline come acustica, batterie e celle a combustibile, ingegneria chimica, scienze della terra, elettromagnetismo, fluidodinamica, trasporto di calore, MEMS, plasmi, ottimizzazione e meccanica strutturale. Lo studio dei materiali anisotropi, particolarmente caro alla disciplina della Scienza delle Costruzioni, è un argomento fondamentale, in quanto, studia la proprietà per la quale un determinato materiale ha caratteristiche che dipendono dalla direzione lungo la quale vengono considerate Anisotropia. In particolare durante il tirocinio svolto con il Prof. Luciano Teresi, si è cercato non soltanto di studiare queste tipologie di materiali ma anche di effettuare diverse prove applicative sul Software COMSOL Multyphisics, quali ad esempio prove di trazione, torsione, distorsione su differenti provini e modelli di trave. Tali prove hanno permesso di perfezionare le conoscenze del software ma anche di determinare le principali differenze tra materiali isotropi e anisotropi, quest ultimi principale argomento trattato nella tesi (materiali fibro rinforzati). 1

6 1. RISPOSTA ISOTROPA Un materiale è detto isotropo quando la relazione tensione deformazione è la stessa in ogni direzione. In questo caso la risposta elastica è rappresentata da due soli parametri elastici. Fra le diverse coppie di parametri in uso si possono scegliere le costanti di Lamé (, ), Modulo di Young e Poisson (, ), Modulo di Taglio e di Compressione (, ). Tali parametri sono legati tra loro dalle seguenti relazioni: La rappresentazione di una legge costitutiva di risposta isotropa scritta in forma matriciale alla Voigt ha la seguente forma: Mentre in termini di FLESSIBILITÀ si ottiene: N.B. Nel caso di un materiale isotropo non c è bisogno si specificare un sistema di riferimento, cosa invece necessaria per i materiali Ortotropi e Trasversalmente Isotropi. Il problema in COMSOL può essere implementato nel rispetto dei seguenti elementi: Nella sezione iniziale si sceglie tramite lo SPAZIO e tramite la FISICA con cui formalizzare il PLV. 2

7 Nell immagine a destra sono definite le variabili di stato, in cui l INCOGNITA è il campo di spostamento ( ) ed essendo un problema di tipo elastico lineare si hanno tre componenti dello spostamento. La SIMULAZIONE NUMERICA può essere progettata nel software COMSOL tramite l uso di NODI o 3 contenitori [ ]. Inoltre ciascun nodo può essere caratterizzato al suo interno da altri contenitori correlabili tra di loro. Il passaggio successivo nella definizione del problema è la costruzione del corpo, rappresentativo del Dominio di tutte le equazioni (Bilancio, Congruenza, Costitutiva) che caratterizzano il modello di Elasticità Lineare ( ). 1.1 PROVA DI TRAZIONE CON VINCOLO D INCASTRO Innanzitutto si determina il CORPO assegnando a Width, Depth ed Height e si sceglie un sistema di riferimento centrato nel parallelepipedo. Per poter assegnare i valori dei parametri, che definiscono le proprietà del corpo si entra nella sezione nel nodo (Global Definitions è il contenitore nel quale vengono definite le proprietà del corpo). 3

8 N.B. L unità di misura è assegnata accanto al numero adottando delle parentesi quadre. EQUAZIONE DI BILANCIO La prima equazione che viene definita è il Bilancio ossia il PLV come segue: Entrambi gli integrandi rappresentano la ossia il termine che bisogna fornire al programma. Mentre per quanto riguarda il calcolo integrale, questo è assunto automaticamente dal programma stesso. Tale principio di bilancio va scritto per componenti, sulla base delle 3 variabili di stato (componenti dello spostamento) precedentemente scelte (,, ), funzione di (,,, ). La nomenclatura da utilizzare nel programma è la seguente: Mentre per calcolare lo Spostamento Virtuale, si utilizza l operatore test in questo modo: PRIMO INTEGRANDO La prima riga del primo integrando scritta per componenti assume la forma seguente: La relazione sarà analoga per le altre righe. A questo punto entrando in, la prima richiesta del programma è a quale dominio riferirsi (in questo caso specifico è quello totale di tutto il corpo). E come si nota in Weak Expression si ritrovano esattamente le tre righe del primo integrando scritti per componenti. 4

9 L attenzione particolare va al fatto che le espressioni scritte dal programma sono quelle riferite al problema più semplice: Dove i termini in rosso rappresentano proprio il gradiente dello spostamento virtuale, mentre quelli in blu indicano il Laplaciano ossia il termine del problema semplice di studio del Calore. Allora per riportare tutto al caso specifico si devono sostituire i termini del Laplaciano con (,,,,,,,, ), nel rispetto della simmetria della matrice. Inoltre il programma aggiunge i termine dei carichi pari ovunque a che vanno sostituiti con (,, ). In modo tale che le relazioni assumano questa forma: Scrivere che il campo Tensoriale (matrice ) è il gradiente dello spostamento in questo caso non ha senso perché la tensione non è il gradiente dello spostamento ma la tensione dipende dalla deformazione. La sorgente per questi tipi di problemi prende il nome di carico. SECONDO INTEGRANDO Si assegna nella sezione il Flusso di carico al bordo. Siccome si sta valutando il provino sottoposto a trazione, la sorgente in questo caso è proprio una forza di trazione su una delle facce del parallelepipedo. Per poter assegnare la condizione al bordo bisogna introdurre nel nodo. N.B. Le condizioni al contorno sono individuate mediante il simbolo con bordino viola mentre se il bordino è pieno s individuano le condizioni sul dominio. Nuovamente la prima richiesta è determinare il dominio sul quale agirà questa forza di trazione. Selezionando il corpo si sceglie la faccia sulla quale s impone la seguente condizione di trazione: Siccome nel caso in questione si considera una sorgente di tipo orizzontale, spariscono i termini : 5

10 Nel PLV per definizione la RISULTANTE DELLE FORZE DEVE ESSERE NULLA. Pertanto il problema per com è stato formulato non ha senso, perché la risultante non è nulla ossia il problema è mal posto (forze non sono bilanciate). Per bilanciarle va inserito un opportuno VINCOLO (Costraint) in grado di erogare le reazioni vincolari necessarie ( ). Nel caso in esame s inserisce un VINCOLO d INCASTRO, in questo modo il problema diventa ben posto: La prima richiesta è sempre quella di definire il dominio che corrisponderà alla faccia dove dare la condizione di vincolo (faccia opposta a dove è applicata la sorgente). Inoltre per assegnare la condizione d incastro bisognerà imporre che semplicemente scrivendolo accanto a che nel programma indica l equazione di vincolo. 6

11 Il problema appena impostato richiede di trovare tale che: A questo punto mancano la relazione di CONGRUENZA e la relazione COSTITUTIVA, ovvero bisogna definire tensione e deformazione. Che riscritte per componenti: Bisogna scrivere espressioni (matrice ), e per scrivere la relazione costitutiva è necessario quantificare i due parametri Poisson e Young. Per semplicità vengono considerati come PARAMETRI, dando un valore arbitrario al modulo di Young, (in questo caso pari a 1) e dando un valore al modulo di Poisson facendo attenzione a non ottenere una forma indeterminata dal rapporto nella relazione costitutiva. Inoltre per semplificare l espressione si possono utilizzare i PARAMETRI di LAMÉ: Per evitare di perdere l analisi effettuata in maniera parametrica, vengono assegnati in funzione del modulo di Young, chiamati rispettivamente (in realtà sarebbe ), in funzione di, e, ovvero in funzione di. 7

12 Come si nota nell immagine l unità di misura del modulo di Young è in Pascal. Potrebbe anche essere espressa in che rappresenta la densità di energia ossia mostra la resistenza del materiale. Nella sezione sono definiti solamente dei parametri, e questo è valido solo per un materiale omogeneo. Mentre per un materiale che non è omogeneo il Modulo di Young è una funzione che varia da punto a punto (Rigido da una parte e Flessibile dall altra), quindi non può essere inserito nel contenitore dei parametri ma in quello delle VARIABILI. Infatti, all interno del nodo, si possono inserire delle funzioni, come per esempio un carico variabile che è una funzione e che quindi non si può definire come parametro. La prima richiesta è sempre di specificare il dominio. A questo punto vanno definiti Deformazione e Distorsione, ricordando che la deformazione elastica è pari a: Dove rappresenta la Deformazione (che varia da punto a punto) quindi è una funzione che va definita nel nodo per ciascuna componente (,,,,, ). Inoltre si definisce anche la traccia, sia perché da informazioni su quanto è variato il volume del corpo sia perché compatta l espressione. In questo modo è possibile scrivere la relazione costitutiva per ciascuna componente: Mentre la Distorsione è un dato assegnato manualmente. Se è costante può essere definita all interno di altrimenti se è un campo all interno di. In questo caso viene considerata come un parametro ed è posta pari a zero. La forza di trazione agente sul provino (faccia ) è definita come, il cui valore deve essere assegnato caricando un altra variabile: 8

13 Allora tra i parametri viene definita la funzione tiro (ovvero la forza orizzontale). Per semplificare lo studio viene considerata come un parametro pari a e non una funzione. In realtà bisogna chiedersi se il valore di assegnato al tiro è un valore corretto. Mettendo si avrebbe un corpo di che immagazzina energia pari ad che avendo un modulo di Young molto basso è iper-deformabile. Procedendo con il comando Solve, nella sezione è possibile analizzare il risultato all interno del nodo, risultato corrispondente al provino colorato. I colori definiscono la deformazione maggiore o minore del corpo causata dalla forza orizzontale. Si nota graficamente come gli spostamenti orizzontali sono proprio legati al modulo di Poisson. Però il modello ottenuto non va bene, perché un modello di elasticità lineare funziona solo con spostamenti piccoli e non ammette quelli troppo elevati. Allora, al fine di realizzare correttamente la prova di trazione è necessario che il provino si allunghi per, ossia bisogna risolvere una sequenza di problemi con carichi applicati in maniera crescente (da un carico zero fino ad un carico grande). Tramite il comando è possibile assegnare dei carichi in maniera crescente. Ossia il programma cerca la soluzione a partire dalla soluzione, e questo quando ci sono dei carichi incrementali è molto utile perché il dominio di calcolo è sempre lo stesso. Per cui il primo carico sarà pari a zero e quindi la soluzione è identica al corpo disegnato, il secondo carico è piccolo e quindi la soluzione è vicina a quella precedente; il terzo carico e gli altri sono via via più grandi. Quindi il programma cerca la soluzione in conformità a tutte le informazioni ottenute dalla soluzione precedente. Ovviamente il parametro che verrà fatto variare è appunto il TIRO ossia la forza di trazione orizzontale. Dal grafico si nota come la deformazione è uguale dappertutto mentre solo sull incastro la deformazione è molto grande. 9

14 1.2 PROVA DI TRAZIONE CON VINCOLO GLIFO Questo vincolo determina una diversa deformazione del provino sottoposto a trazione, infatti, quest ultimo si allunga nella direzione del tiro e si accorcia nelle due direzioni ortogonali. Pertanto la sezione diminuisce. Per modificare il vincolo si entra nel nodo e sul dominio di faccia 1 si vincola solo la componente ma non tutte le altre sul piano ossia e. N.B. Scrivendo soltanto si sta dicendo che. Definito il tipo di vincolo si fa girare nuovamente il programma con il nello. Quello che succede è che viene segnalato un errore poiché il problema è mal posto, ossia tutte le forze non sono bilanciate e questo sta a significare che la Risultante non è Nulla. Pertanto si dovranno inserire dei vincoli in grado di erogare le forze necessarie, tali da impedire ogni tipo di ATTO DI MOTO RIGIDO. Infatti, Risultante Nulla vuol dire rispettare l equazione dell AMR. Un Glifo possiede 3 GDL, 2 traslazioni (orizzontale e verticale) e 1 rotazionale, che vanno eliminati in modo tale da non introdurre reazioni vincolari non necessarie. Per eliminare le traslazioni basta selezionare lo spigolo e annullare le componenti dello spostamento e mentre per eliminare la rotazione basta selezionare l altro spigolo annullando solamente. 10

15 N.B. Per imporre questa condizione di vincolo si entra nel nodo. I risultati dell analisi mostrano come il provino ha subito uno schiacciamento e la deformazione subita è proprio pari all effetto di Poisson. Sempre con riferimento ad un corpo vincolato con un glifo, si potrebbe incrementare il tiro agente sul provino attraverso un cambiamento dell analisi parametrica, in modo tale da avere un idea più chiara dell Effetto Poisson. Siccome quest ultimo è un modello di elasticità lineare non riesce dal punto di vista fisico a descrivere il fenomeno, pertanto quello che succede è che i punti della sezione traslano sempre di più nel piano (per effetto poisson), fino a determinare una compenetrazione nella struttura. N.B. Dunque la soluzione migliore sarebbe quella di considerare due cerniere in corrispondenza degli spigoli del corpo oltre al vincolo di glifo. Lo stesso effetto si riscontra nel caso di corpo vincolato con un incastro: 11

16 2. RISPOSTA ANISOTROPA Un materiale è detto anisotropo quando la relazione tensione deformazione cambia con la direzione e la cui risposta elastica è rappresentata da molti parametri elastici. Le principali classi di risposte anisotrope sono rappresentate dai materiali ORTOTROPI che presentano tre piani di simmetria fra loro ortogonali e la cui risposta elastica è descritta da parametri e TRASVERSALMENTE ISOTROPI che presentano un asse di simmetria, detto asse di simmetria trasversa ed hanno una risposta isotropa nel piano ortogonale a tale asse, con una risposta elastica descritta da parametri. Il legame costitutivo per un materiale ORTOTROPO, scritto in funzione della Rigidezza, assume la seguente forma: Ciascuna componente della matrice rigidezza è legata a, e tramite le seguenti relazioni: Si procede con un cambiamento di base per una RISPOSTA ORTOTROPICA. 12

17 Il passaggio da un sistema locale (b) ad un sistema globale (a) (il sistema globale è la base dove viene effettuato l esperimento) comporta l accensione della quarta riga e quarta colonna della matrice di rigidezza: Per costruire la RIGIDEZZA definendo i valori di ciascuna componente, si adottano i seguenti comandi (si riportano solo le relazioni della prima riga della matrice): Alcuni dei risultati ottenuti presentano termini alla 4, questo perché la ROTAZIONE AGISCE 4 VOLTE. 13

18 Ripetendo questi calcoli per tutte le righe della matrice, si è in grado di ricostruirla esattamente e di poterla riportare dentro COMSOL per eventuali studi sui provini. Nel caso di una materiale TRASVERSALMENTE ISOTROPO il legame costitutivo è cosi strutturato: Si nota che avendo una sola direzione d isotropia i 3 termini in basso della matrice sono 2 uguali tra loro, mentre 1 è derivante dagli altri termini nelle righe superiori della matrice. Si riporta la rappresentazione sviluppata su MATHEMATICA: L unica differenza è rappresentata dal fatto che in questa rappresentazione, il materiale è ISOTROPO nel piano in cui è presente la stessa rigidezza mentre è ANISOTROPO lungo. Tramite il cambio di base si ottiene la seguente matrice appartenente al sistema globale: Siccome la matrice di FLESSIBILITÀ ha una struttura più semplice rispetto alla RIGIDEZZA allora per ottenere quest ultima si fa l inverso della flessibilità. Tutte le componenti ottenute sono divise da un denominatore comune rappresentativo appunto del determinante della matrice: 14

19 Per questo per semplificare le componenti, il denominatore viene definito come una variabile. A questo punto in COMSOL nel sono state costruiti tanti nodi corrispondenti a diverse variabili. RIGIDEZZE (STIFFNESSES MATRIX) Nella seguente immagine è riportata la STIFFNESS MATRIX che rappresenta la matrice ricostruita attraverso il cambiamento di base nel sistema di riferimento globale (a). 15

20 CONGRUENZA COSTITUTIVA BULK LOAD e BOUNDARY LOAD Inoltre all interno di vengono anche riportati i carichi semplici ed i carichi al bordo, distinti in carichi al bordo di taglio, di torsione e trazione. Questa distinzione è realizzata in modo tale da poter effettuare diverse tipologie di prove sul provino in esame. 2.1 PROVA DI TRAZIONE Si consideri il seguente provino: Attraverso il comando è possibile rappresentare tutte le DIREZIONI DI ANISOTROPIA DEL CORPO. Per definirle il programma integra il campo vettoriale trovando la curva tangente ai vari vettori che in questo caso sono paralleli perché il CAMPO VETTORIALE È LO STESSO: 16

21 Si noti anche come le direzioni di anisotropia tendono a deformarsi come il corpo soggetto a trazione. Cambiando l angolo da ad si ottiene il seguente esperimento: Quella in rosso diventa la direzione principale del materiale. Ossia viene tirato nella direzione in cui il modulo di Young non è più lo stesso del caso in cui, quindi presenta una RIGIDEZZA DIVERSA, PERTANTO LA DEFORMAZIONE sarà MAGGIORE. Se a questo punto si rappresentano nuovamente le si ottiene: La direzione delle DIREZIONI DI ANISOTROPIA DEL CORPO è completamente diversa. A questo punto si vuole capire cosa succede al variare dell angolo. Per fare questa valutazione è necessaria un ANALISI PARAMETRICA in che consente di far variare l angolo (in questo caso si adotta una variazione ). Il risultato si ottiene nel momento in cui il Nodo Parametric viene attivato. N.B. Nell analisi parametrica è possibile, oltre a far variare una variabile da un valore ad un altro, anche scegliere il numero e la grandezza degli intervalli in cui sviluppare l analisi (scelti 10 intervalli). 17

22 Per valori intermedi il PROVINO COMINCIA A SBANDARE e lo stesso succede alle direzioni di anisotropia. (Nell immagine è riportato il caso 8 con un angolo pario a ) Ovviamente il provino sbanda prima verso sinistra per valori piccoli e poi man mano che questo angolo cresce, inizia a sbandare verso destra (come si vede nell immagine), per poi ritornare alla condizione non sbandata per un angolo. Quindi si è stabilito un ACCOPPIAMENTO TRA IL TIRO NELLA DIREZIONE 1 E GLI SPOSTAMENTI NELLE DIREZIONI Inoltre anche se il provino è INFLESSO (sbandato), lo stato di sollecitazione non cambia perché è sempre uniassiale, ciò che CAMBIA è LO STATO DI DEFORMAZIONE. Si può anche realizzare un ANIMAZIONE di quanto appena descritto, ossia dello sbandamento del provino in funzione dei vari angoli (in ). Molto interessante è MISURARE LO SPOSTAMENTO IN DOVE è APPLICATO IL TIRO. In particolare si vuole capire quanto la faccia si sposta in direzione orizzontale e quanto lo spigolo si sposta in direzione verticale. Innanzitutto si definiscono in COMSOL i punti e con il comando e. Per analizzare lo spostamento attraverso dei grafici monodimensionali si adotta come parametro i gradi e non i radianti effettuando la trasformazione seguente:. 18

23 : In questo caso si nota prima uno sbandamento da un lato e poi dall altro. In particolare all inizio si sposta meno quindi risulta più rigido, alla fine si sposta molto ed è quindi meno rigido. Ma la massima rigidezza si ottiene circa a metà della curva per un angolo di circa 40. : Non è presenter alcun tipo di sbandamento perché la curva parte da zero e torna in zero, quindi è indifferente la direzione delle fibre. 2.2 PROVA DI TAGLIO (con cambiamento di vincolo) Dai risultati dell analisi si ottiene il seguente andamento del provino: Il risultato ottenuto è inaccettabile, perché la forza di taglio è stata applicata su un vincolo glifo che è valido per uno stato di trazione uniassiale e non per uno stato di taglio. Infatti, quello che succede è che il VINCOLO GENERA DELLE REAZIONI VINCOLARI VERTICALI NON NULLE. Allora per risolvere questo problema, l unica possibilità è CAMBIARE IL TIPO DI VINCOLO DA GLIFO A INCASTRO, e quindi : 19

24 Si noti anche in questo caso lo SVILUPPO DI UNO STATO DI FLESSIONE SUL PROVINO: Ma anche per valori del taglio più elevati si sviluppa uno STATO DI TORSIONE per cui nuovamente si stabilisce un ACCOPPIAMENTO tra che è solo nella direzione verticale e il campo di spostamento nelle 3 direzioni. Inoltre anche in questo caso lo sbandamento avviene prima da un lato e poi dall altro. 20

25 3. STUDIO DI DUE TRAVI a T IN ELASTICITÀ LINEARE In questo caso si vuole studiare attraverso l ausilio di COMSOL, la differente risposta tra due travi con la stessa sezione e forma ma con una delle due che ha delle parti forate lungo l anima. Per prima cosa bisogna costruire le due travi, quindi si sceglie un modello 3D e si seleziona. Il tutto riferito ad uno studio prettamente stazionario Stationary. Innanzitutto vengono introdotti i seguenti parametri in : A questo punto si può determinare la geometria delle travi. L anima della trave si ottiene tramite il comando (si assegnano Length, Width e Height). Inoltre tramite si fissa la posizione dell origine del sistema di riferimento nel baricentro del parallelepipedo (Block). Inoltre si determina la soletta della trave sempre attraverso nel nodo geometria. Nuovamente si fissa la posizione in, però per ottenere una sezione a T è necessario traslare la soletta in direzione. 21

26 In questo modo si è ottenuta la geometria complessiva per una trave composta (anima + soletta) a T. Per ricostruire i FORI sull anima della trave forata, si entra nel nodo e si crea un cilindro che abbia appunto come raggio e che sia largo quanto l anima della trave, disposto con una DIRETTRICE LUNGO L ASSE Y ( ). Si nota dall immagine che siccome il sistema di riferimento è centrale, il programma dispone il cilindro esterno alla trave. Allora affinché il cilindro sia esattamente centrato all interno dell anima della trave, bisogna traslarlo lungo la direzione y di una lunghezza pari a metà della sua altezza. Per ricostruire altri cilindri si utilizza la funzione che in input richiede l unità che deve essere ripetuta (in questo caso il cilindro che viene selezionato e aggiunto nella finestra cliccando sul simbolo ) ed inoltre in che tipo di procedura fare. In questo caso la procedura è lineare (cilindri disposti lungo una retta) e la dimensione dell Array è proprio la dimensione del vettore (5 cilindri). E ogni cilindro viene spostato in avanti rispetto al cilindro originale della lunghezza della trave diviso 10 per cui. Si riesegue lo stesso Array duplicandolo (senza crearlo nuovamente) però questa volta i cilindri devono essere ripetuti all indietro quindi. 22

27 Quindi si hanno 9 cilindri all interno dell anima. Per forare l anima della trave proprio in corrispondenza di questi cilindri, si entra nel nodo ossia per forare l anima ci si riferisce all operazione Booleana di differenza. Quindi in si assegnano anima e soletta mentre in si assegnano i cilindri. Poi cliccando si ottiene la seguente trave forata: Si duplica la stessa trave senza fori per ottenere la seconda trave composta (anima + soletta) a T non forata. N.B. Per evitare che COMSOL disegni le due travi coincidenti, si trasla (in maniera arbitraria) la trave non forata per esempio di un distanza lungo pari a 2 volte l altezza : 23

28 Per assegnare i MATERIALI agli elementi (anima e soletta) costituenti le travi si sfrutta la libreria dei materiali di COMSOL: in cui si può cercare il materiale con cui si vuole lavorare, che in questo caso studio sono: American Red Oak (Quercia Rossa Americana) Structural Steel (Acciaio Strutturale) Si noti come per ciascun materiale sono presenti le PROPRIETÀ MECCANICHE: In particolare si è scelto di adottare la Quercia Rossa per le anime mentre l Acciaio per le solette. All interno di ogni nodo del materiale si ha anche una funzione in cui viene fornita la possibilità di assegnare un colore al materiale consentendo di ricordare velocemente come sono stati posizionati i materiali senza dover aprire alcun nodo. A questo punto, una volta aver definito i Parametri del Modello, la Geometria e i Materiali è possibile parlare di ELASTICITA LINEARE. Entrando nel nodo si può subito notare che l analisi lineare è stata associata a tutti e i domini in. 24

29 Inoltre cliccando occhio (in alto a sinistra sotto Model) è possibile abilitare altre funzioni di COMSOL come ad esempio, che a sua volta permette di aprire il nodo nel quale sono indicati i nomi di tutte le variabili del modello con la relativa descrizione, espressione ed unità di misura. Sempre in questo nodo il programma prende di Default per ogni dominio i valori del modulo di Young, del coefficiente di Poisson e anche della Densità dai materiali scelti, questo perché è stata utilizzata per questo caso in esame la libreria di COMSOL che consente di bypassare questa parte. In è possibile vedere quali equazioni risolve il programma. Si noti come i nodi seguenti rappresentati in figura con un D in alto, indicano dei nodi di default della fisica che non possono essere rimossi e che sono sempre presenti: Inoltre il nodo sta ad indicare che per ora tutto il contorno delle travi è libero ossia non è applicata nessuna forza, nessun vincolo sugli spostamenti (ad esempio nessun incastro). 25

30 Allora il passo successivo è quello di aggiungere dei vincoli per esempio vincoli di incastro. Quindi si entra nel nodo e si assegna alle facce delle due travi. Inoltre si assegnano i carichi alle travi: Il primo carico da assegnare è il PESO PROPRIO DELLE DUE TRAVI (Carico per unità di volume) nel nodo. Si assegna prima il peso proprio delle anime (Quercia Rossa) e poi quello delle solette (Acciaio). Pertanto è necessario definire due Body Load : : Il carico viene applicato sulle due anime. Nella parte inferiore il programma richiede il tipo di carico da assegnare ( ); si lascia un carico per unità di volume. : Il carico viene applicato sulle due solette. Anche in questo caso si lascia un carico per unità di volume. In questo modo il programma applica ad ogni punto che sta all interno delle due solette una densità specifica (peso proprio). Si può applicare alle travi anche una FORZA DI TAGLIO definendo nel nodo che viene applicata nelle facce libere di destra (con dei simboli rossi che richiamano una forza). 26

31 Inoltre nel si mette una pari a: In questo modo il programma applica una forza totale sulle due facce in blu delle travi. Si può applicare anche un MOMENTO. Applicare dei momenti è molto più complesso rispetto al caso di una forza di taglio perché il modello è tridimensionale e NON SI HANNO DEI GDL DI ROTAZIONE. Infatti, si ricordi che in un modello 3D gli unici GDL sono i 3 spostamenti che già determinano le rotazioni (quindi è complicato operare dal punto di vista computazionale). Mentre nel modello 1D come GDL si hanno lo spostamento assiale, flessionale e la rotazione delle sezioni. Però si ricordi anche che un momento su una superficie si può descrivere come una distribuzione di sforzi. Se allora si vuole un MOMENTO TORCENTE, quello che si fa è applicare una distribuzione di sforzi (a farfalla) che COMSOL riconosce sempre come un. Tale distribuzione definisce una forza di taglio nulla (distribuzione dispari, rispetto al baricentro ossia l integrale è nullo), ma è anche chiaro che l integrale lungo l area, del prodotto della distribuzione ( ) per il braccio ( ) per l area ( ) fornisce un momento diverso da zero. 27

32 Quanto detto è determinabile tramite il seguente comando : Se invece si vuole un MOMENTO FLETTENTE, quello che si fa è applicare una distribuzione di sforzi questa volta uscenti dal foglio nella parte superiore della sezione ed entranti nel foglio nella parte inferiore (riconosciuti dal programma sempre come ). Praticamente si applicano degli sforzi lungo l asse x di tipo in modo da ottenere una flessione verso il basso di questo tipo: Per avere una flessione retta è necessario che lo sforzo sia nullo nel baricentro. Applicando una distribuzione di questo tipo, per un sistema di riferimento fissato in : Quello che succede è che oltre ad avere un momento flettente si avrebbe anche una forza di trazione, quindi quello che si fa è calcolare il baricentro della sezione e poi applicare una distribuzione di questo tipo che garantisce solo momento flettente: dove è la posizione del baricentro. In questo modo quando lo sforzo è nullo. Per il calcolo della posizione del baricentro bisogna fornire al programma la formula che è la seguente: Per calcolare il baricentro si determina prima l area in, che è pari a,poi nel seguente nodo si realizza l integrazione:. Si sceglie la superficie su cui integrare, si integra in z e si divide per 0,25 e si ottiene una posizione. Quindi si ritorna al momento e si fissa in : 28

33 Ovviamente questi carichi possono essere applicati al modello tutti contemporaneamente o anche separatamente attraverso il comando. Definiti i carichi si passa all analisi della mesh che rappresenta la divisione del modello in sottodomini più piccoli (possono essere forme geometriche come per esempio tetraedri in 3D o quadrilateri e triangoli in 2D). Le equazioni della fisica vengono poi discretizzate e risolte all'interno di ciascuno di questi sotto-domini. Nei casi in cui si ha a che fare con geometrie non troppo semplici (come nel caso della trave forata) è comodo far realizzare la al programma. Per prima cosa si sceglie la ossia la dimensione della. Si nota la presenza di due domini a coppie molto diversi, le due anime sono abbastanza omogenee, cioè sono parallelepipedi in cui non ci sono dimensioni molto più piccole di altre. Mentre le solette hanno una dimensione lungo l asse z molto più piccola rispetto alle altre due. Questo vuol dire che se si prova a fare una griglia omogenea (ossia con una dimensione uguale in tutte e tre le direzioni) si rischia di avere dei problemi lungo lo spessore della soletta. Infatti, COMSOL metterà un solo elemento lungo lo spessore della soletta e diversi elementi lungo il piano, in questo modo si rischia di non avere una buona soluzione numerica. Per questo motivo si costruiscono due griglie distinte una per le solette e una per le anime: Si crea una dimensione molto piccola sulle solette (nel nodo ) e poi si fa realizzare al programma una ossia una costituita da elementi a 4 nodi. Inoltre siccome la dimensione lungo z è molto piccola si realizza uno lungo z pari a 20. Questo vuol dire che la dimensione dell elemento di griglia lungo la direzione z sarà 20 volte più piccola della dimensione caratteristica dell elemento nel piano. Sulla griglia lungo il piano si vede che i triangoli hanno una direzione ben precisa e omogenea, mentre lungo lo spessore della soletta ci sono elementi molto più piccoli. 29

34 A questo punto si passa alla delle due anime definendo un altro nodo. Le anime sono molto omogenee quindi non vale la pena scegliere delle dimensioni troppo piccole, infatti, si sceglie che è una dimensione adeguata. Si realizza nuovamente una nel resto della geometria rimanente del modello ( ) e non c è appunto bisogno di uno. Nella trave superiore si ha una dimensione degli elementi abbastanza omogenea e abbastanza grande rispetto a quella della trave forata. COMSOL ha un generatore di reticolo che va a misurare direttamente la curvatura della geometria e si accorge che dove ci sono i fori c è una curvatura molto alta rispetto al resto della geometria. Quindi il programma in corrispondenza dei fori decide automaticamente di andare a diminuire la taglia del reticolo. Questo aumenta notevolmente il numero di gradi di libertà (Infatti, la è composta da elementi). Anche se nel programma la è stata generata in due passi distinti, comunque quest ultimo fa interfacciare la griglia della soletta con quella dell anima, infatti, i nodi vengono correlati esattamente (ossia corrispondono). A questo punto passando a si può procedere con l analisi dei due modelli di trave nel rispetto della teoria dell elasticità lineare. In è possibile individuare delle ulteriori opzioni che ha il solutore stazionario come ad esempio in si individuano il numero di gradi di libertà che caratterizzano il modello. Una di corrisponde a circa gradi di libertà. Questo significa che la matrice di rigidezza è per Quindi il software dovrà invertire una matrice di quelle dimensioni, solo una volta perché il processo scelto è stazionario. 30

35 A questo punto si può procedere con le varie simulazioni tramite il comando nel nodo. 3.1 SIMULAZIONE PER TAGLIO Di default il programma per simulare il risultato realizza un chiamato dal programma (perché rappresenta gli sforzi di VON MISES), poi aggiunge un grafico di superficie ossia colora la superficie del dominio (ogni colore corrisponde ad un valore diverso di sforzo di V.M.) e infine definisce una deformazione con opportuni spostamenti. Gli spostamenti che si vedono nell immagine sono stati scalati automaticamente dal programma (5 volte più grandi di quelli reali) perché nel caso reale la deformazione delle due travi risulterebbe minimale. Quanto appena detto è importante perché in un analisi di tipo lineare, come nel caso in esame, si fa l ipotesi che gli spostamenti e le deformazioni sono piccoli. Quindi in un caso di analisi lineare se la trave si deforma troppo c è qualcosa che non va. 31

36 In questo caso, invece, per gli spostamenti ottenuti è abbastanza sensato effettuare un analisi con le equazioni dell elasticità lineare perché come si nota riportando lo a 1 gli spostamenti sono molto piccoli: Inoltre il risultato ottenuto è coerente perché sono stati applicati dei carichi di volume lungo e delle forze di taglio verso il basso, quindi quello che si verifica è una FLESSIONE DELLE DUE TRAVI VERSO IL BASSO. Si noti che la trave forata si flette molto di più rispetto a quella non forata perché appunto è composta da minor materiale. E si noti anche che in corrispondenza dei fori ci sono delle intensificazioni degli sforzi. I colori presenti nelle immagini come appena detto rappresentano gli Sforzi di VON MISES che il programma rinomina con un linguaggio semplificato in. OSSERVAZIONE CRITERIO DI VON MISES: Per lo studio di questo criterio innanzitutto è utile scrivere l ENERGIA DI DEFORMAZIONE ELASTICA: Ricordando che nell analisi dell elasticità lineare lo sforzo è pari al prodotto del tensore di elasticità per il tensore del secondo ordine di deformazione: 32

37 Allora l energia di deformazione elastica diventa: I tensori del secondo ordine DEFORMAZIONE e SFORZO possono essere scomposti in una parte SFERICA (legata alla pressione e indica variazioni di volume) e una DEVIATORICA (variazioni di forma): Rappresenta una scomposizione unica perché esiste una solo parte deviatorica e una sola parte sferica per ciascun tensore (questa scomposizione vale per tutti i tensori del secondo ordine). In particolare lo SPAZIO DEI TENSORI SFERICI è ORTOGONALE ALLO SPAZIO DEI TENSORI DEVIATORICI, quindi il prodotto scalare è pari a zero: Quindi riscrivendo l energia di deformazione elastica in funzione della parte sferica e deviatorica, si ottiene (ricordando la proprietà di ortogonalità): Questo sta ad indicare che anche l energia si può decomporre in una ENERGIA SFERICA (energia legata ad una dilatazione o compressione del corpo) e in una ENERGIA DEVIATORICA (energia di distorsione o di taglio che induce variazioni di forma). Il criterio di VON MISES afferma che il materiale va a rottura quando viene raggiunto il massimo dell energia deviatorica (energia distorsionale). Ciò che fa COMSOL è prendere la componente distorsionale dell energia: Ricordando la seguente relazione: E possibile scrivere l ENERGIA DISTORSIONALE in termini di sforzo: Quindi applicare il CRITERIO DI VON MISES vuol dire affermare che all energia distorsionale corrisponde un certo sforzo rappresentativo tale per cui quando questa energia è massima il valore alla quale questa è massima è appunto. 33

38 Nel caso di tensione uniassiale si ha che: E la TENSIONE di VON MISES è la seguente: Il programma si calcola per ogni punto il prodotto scalare della parte deviatorica del tensore degli sforzi di Cauchy per se stessa, la moltiplica per 3/2 e ne fa la radice per ottenere VON MISES. La cosa importante è che in questo modo si riduce una grandezza tensoriale del secondo ordine (6 componenti) ad uno scalare. E proprio perché la tensione di Von Mises è uno scalare è possibile fare un grafico di superficie del modello a colori. Per vedere come determinate grandezze variano lungo determinate rette, è comodo costruire in dei segmenti lungo i quali può essere realizzato un grafico, per esempio si possono rappresentare le componenti del Tensore dello Sforzo di Cauchy in funzione dell ascissa del segmento. Si realizzano due segmenti che vengono cosi rinominati nel programma: : Vertical perché si costruisce lungo l asse z. Viene definita con un con le seguenti coordinate: X Y Z Si sfrutta questa linea per rappresentare la componente S11. Allora quello che si fa è entrare in ossia si costruisce un grafico 1D prendendo la soluzione lungo la linea verticale. 34

39 Poi siccome lungo quella retta che è una linea viene valutato la S11 allora si definisce sempre con il tasto destro una. Selezionando dal seguente pulsante : Dal seguente grafico però si capisce poco perché la verticale della trave è disposta sulle ascisse. Allora quello che si fa è di invertire l ascissa con l ordinata mettendo in ordinata ( ) la z mentre in ascissa ( ) la sempre per quest ultima selezionando il pulsante. In questo modo si ottiene un grafico molto più comprensibile: Si noti la presenza di 2 regioni vuote, quella in basso dovuta alla presenza del foro in cui non è definito nulla, mentre quella centrale più grande è la distanza tra le due travi. 35

40 Nella TRAVE NON FORATA (andamento in alto) che l andamento è lineare e che la pendenza cambia repentinamente nello spigolo. Questo è dovuto proprio al passaggio dall anima alla soletta che sono realizzate con materiali diversi. Quindi cambiano istantaneamente le caratteristiche del materiale e pertanto anche la pendenza della curva degli sforzi. La pendenza all interno della soletta è molto minore rispetto a quella all interno dell anima, questo perché la soletta è fatta di un materiale più resistente che è l acciaio che riesce a gestire molto meglio gli sforzi. Nella TRAVE FORATA (andamento in basso) invece avvicinandosi al foro i gradienti degli sforzi aumentano. : Transversal perché si costruisce lungo l asse y. Viene definita con un con le seguenti coordinate: X Y Z Un grafico interessante da realizzare è quello delle meglio note come FETTE che individuano come varia una certa grandezza all interno del modello. In particolare si realizzano i grafici delle componenti S11 e S13 del tensore dello Sforzo di Cauchy. Per prima cosa si realizza un grafico 3D in Nella (rinominata ) per plottare la S11 si clicca sul seguente pulsante Si definisco delle fette ossia lungo la mezzeria della trave. 36

41 Si realizza una seconda fetta (rinominata ) in cui si va a plottare la S13. In questo caso le fette vengono fatte ortogonalmente alle altre quindi ed inoltre le fette vengono definite in assegnandone le coordinate: Il programma in questo modo inserisce 3 fette, nelle tre diverse posizioni lungo la x. Si noti come quando le fette passano attraverso i fori, le componenti degli sforzi cambiano molto velocemente (questo perché nei fori è presente una maggiore concentrazione degli sforzi). Un ulteriore comando all interno di è che consente di vedere come variano le componenti lungo il corpo spostandole con un cursore. 37

42 È il grafico degli SFORZI PRINCIPALI ossia vengono plottate le direzioni principali. Siccome si parla di direzioni, si crea un e bisogna dire al programma le tre componenti di ogni vettore che verrà rappresentato. Si clicca sempre sul seguente pulsante Si sceglie la prima direzione principale (Direction 1). Si sceglie di disegnare queste frecce fissando delle coordinate x,y e z. 38

43 Le frecce che si vedono all interno delle travi corrispondono alla prima direzione principale. Quello che si nota è che siccome il caso in analisi è di flessione (per taglio) a parte quello che succede nel piano degli incastri, le frecce sono contenute nel piano di mezzeria ossia nel piano x-z. Si può fare la stessa cosa però per esempio la terza direzione, cambiando il colore delle frecce in blu: Le direzioni sono ortogonali. Anche se il programma disegna delle frecce, quello che bisogna vedere è solo la direzione e non il verso, infatti, non si può vedere dalla freccia se lo sforzo è positivo o negativo. 3.2 SIMULAZIONE PER MOMENTO TORCENTE In questo caso si disabilita il taglio e si abilita il momento torcente definito in precedenza. Si noti nuovamente come la trave inferiore soffre maggiormente perché è caratterizzata da meno materiale. Per esempio andando a vedere le direzioni principali, si osserva come queste escono fuori dal piano proprio perché in questo caso si parla di torsione e non di flessione come nel caso precedente. 39

44 3.3 SIMULAZIONE PER MOMENTO FLETTENTE In questo caso si disabilitano anche i carichi per unità di volume. Inoltre si applica il momento solo alla trave forata. Dalla distribuzione degli sforzi lungo la z (riferita alla trave forata), si ottiene per flessione uniforme un andamento degli sforzi lineare lungo la z. Però nel caso in esame il materiale non è omogeneo e quindi la seguente formula andrebbe generalizzata. 40

45 Un aspetto importante è ricordare che i momenti sono stati inseriti nel programma come distribuzione di sforzi. Per capire se questa distribuzione è stata inserita correttamente, un grafico molto utile è sempre un Dal pulsante si prende, in questo modo vengono realizzate delle frecce per capire se sono stati inseriti correttamente gli sforzi. 41

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