Istituzioni di Matematiche, modulo A, seconda parte. corso di laurea in Scienze della Terra. Mauro Costantini

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1 Istituzioni di Matematiche, modulo A, seconda parte corso di laurea in Scienze della Terra. Mauro Costantini

2 M

3 Esempio 1. Si studi l andamento della funzione f(x) = ex 1 tanhx, e se ne tracci un grafico indicativo. Si dica in particolare se tale funzione può essere estesa ad una funzione continua e derivabile su tutto R e si determini la tangente al grafico della funzione estesa per x = 0. Soluzione. La funzione data è definita per x 0, perchè in tal punto si annulla il denominatore della frazione. Ricordando che tanhx = sinhx coshx = ex e x e x + e x = ex 1 e x + 1, si deduce che la funzione proposta coincide nel suo insieme di definizione con f(x) = ex + 1 e x + 1 f(x) = g(h(x)), ove h(x) = e x, e g(y) = y + 1 y + 1. ed è quindi Dunque la funzione data si può estendere ad una funzione definita su tutta la retta reale (l indeterminazione per x = 0 era solo apparente) ed ivi derivabile un numero qualsiasi di volte. D ora in poi non distingueremo f dalla sua estensione. Si ha lim x La derivata di f è uguale ad f(x) = lim g(y) = 1 e lim f(x) = lim g(y) = +. y 0 + x + y + f (x) = g (h(x))h (x) = ex + e x 1 (e x + 1) e x, ed il suo segno dipende unicamente dale segno del numeratore, ovvero dal segno di y + y 1 sulla semiretta (0, + ). L equazione y + y 1 = 0 ha le due radici y 1, = 1 ±, una sola delle quali è positiva; quindi si ha f (x) < 0 per x < log( 1) ed f (x) > 0 per x > log( 1). Dunque la funzione f è decrescente per x < log( 1) e crescente per x > log( 1), il punto x 0 = log( 1) < 0 è quindi un punto di minimo relativo (ed assoluto) per f e si ha f(x 0 ) = g( 1) = ( 1). Per quanto riguarda la convessità, sicuramente ci aspettiamo che ci sia almeno un punto di flesso per un certo x 1 < x 0 : infatti per x = x 0 c è minimo, e lim x f(x) = 1. Calcolando f (x) otteniamo f (x) = ex (e 3x + 3e x + 5e x 1) (e x + 1) 3 Per studiare f (x) = 0, poniamo y = e x, e studiamo { y > 0 y 3 + 3y + 5y 1 = 0 La funzione z(y) = y 3 +3y +5y 1 ha derivata z (y) = 3y +6y+5, che ha discriminante 15 4 = 9 < 0, quindi z(y) è strettamente crescente. Poichè z(y) è un polinomio di grado dispari, il grafico di z(y) taglia l asse dell y in un solo punto, cioè y 3 + 3y + 5y 1 = 0 ha una sola soluzione y 1, che deve essere necessariamente positiva (ed infatti z(0) = 1, z(1) > 0 e quindi 0 < y 1 < 1). Quindi f (x) = 0 si annulla solo in x 1, dove e x1 = y 1. La funzione f(x) è concava per x x 1, e convessa per x x 1.

4 Possiamo quindi tracciare un grafico indicativo per la funzione f Come abbiamo già osservato la funzione si può estendere ad una funzione continua e derivabile su tutta la retta reale, che abbiamo continuato ad indicare con f e la tangente al grafico nel punto di ascissa x = 0 è la retta di equazione y = f(0) + f (0)x, ovvero y = 1 x + 1.

5 Esempio. Si studi l andamento della funzione f(x) = 3 coshx e x sinhx, e se ne tracci un grafico indicativo. Si dica in particolare se l immagine di f è tutta la retta reale e, in caso contrario, si determini tale sottoinsieme di R. Soluzione. Ricordando che sinhx = ex e x e cosh x = ex + e x, si deduce che la funzione proposta è uguale a f(x) = 3 ex + 1 e x (e x ed è quindi 1) f(x) = g(h(x)), ove h(x) = e x, e g(y) = 3 y + 1 y(y 1). Dunque si tratta di una funzione definita su tutta la retta reale con l esclusione di x = 0 ove il denominatore si annulla, e nell insieme di definizione f è derivabile un numero qualsiasi di volte. Si ha La derivata di f è uguale ad lim f(x) = lim g(y) = x y 0 + lim f(x) = lim g(y) = x 0 y 1 e lim f(x) = lim g(y) = + x 0 + y 1 + lim f(x) = lim g(y) = 0. x + y + f (x) = g (h(x))h (x) = 3 e4x + 4e x 1 e x (e x 1) ex, ed il suo segno dipende unicamente dal segno del numeratore, ovvero dal segno di t + 4t 1 sulla semiretta (0, + ). L equazione t + 4t 1 = 0 ha una sola radice positiva t 0 = 5 ; quindi si ha f (x) > 0 per e x < 5 ed f (x) < 0 per e x > 5. Dunque la funzione f è crescente per x < 1 log( 5 ) e decrescente per 1 log( 5 ) < x < 0 e per x > 0. Il punto x 0 = 1 log( 5 ) < 0 è quindi un punto di massimo relativo per f e si ha f(x 0 ) = g( 5 ) = 3 Possiamo quindi tracciare un grafico indicativo per la funzione f ( 5 3) < In particolare, si può concludere che l immagine della funzione f è costituita dall unione di due semirette, ovvero (, f(x 0 )] (0, + ).

6 Esempio 3. Si disegni il sottoinsieme del piano B = { } (x, y) R x + y x 4y 0, indicando con chiarezza quali punti del bordo appartengano a B. Soluzione. Si tratta di studiare il segno di una frazione, quindi possiamo considerare separatamente i vari casi. È chiaro che il sottoinsieme B si scrive come unione dei due sottoinsiemi B 1 e B, ove B 1 = { (x, y) R x + y 0 e x 4y > 0 } e B = { (x, y) R x + y 0 e x 4y < 0 } Dunque, ciascuno dei due sottoinsiemi B 1 e B è intersezione di due porzioni del piano delimitate rispettivamente dalla retta y = x e dalla parabola y = x 4. Precisamente, l insieme B 1 è formato dai punti del semipiano (chiuso) posto al di sopra della retta y = x che stanno (strettamente) al di sotto della parabola di equazione y = x 4 ; ed analogamente, l insieme B è formato dai punti del semipiano (chiuso) posto al di sotto della retta y = x che stanno (strettamente) al di sopra della parabola di equazione y = x 4. L insieme B è quindi rappresentato in grigio nel disegno qui sotto, ove si osservi che i punti della retta y = x appartengono a B, mentre i punti della parabola y = x 4 non vi appartengono. y 4-4 x Ciò conclude la discussione.

7 Esempio 4. Si disegni il sottoinsieme del piano B = { } (x, y) R y 3x x y 0, indicando con chiarezza quali punti del bordo appartengano a B. Soluzione. Si tratta di studiare il segno di una frazione, quindi possiamo considerare separatamente i vari casi. il sottoinsieme B si scrive come unione dei due sottoinsiemi B 1 e B, definiti dalle condizioni { x y > 0 B 1 : y 3x 0 e B : { x y < 0 y 3x 0. Dunque, ciascuno dei due sottoinsiemi B 1 e B è intersezione di due porzioni del piano delimitate rispettivamente dalla retta y = x e dalla parabola x = y 3. Precisamente, l insieme B 1 è formato dai punti del semipiano (aperto) posto a destra della retta y = x che stanno a sinistra della parabola di equazione x = y 3 (compresi i punti della parabola); ed analogamente, l insieme B è formato dai punti del semipiano (aperto) posto a sinistra della retta y = x che stanno a destra della parabola di equazione x = y 3. Si osservi infine che i punti della parabola appartengono a B, mentre i punti della retta non vi appartengono. y 3 3 x Ciò conclude la discussione.

8 Esempio 5. Si studi la funzione f(x) = arctg 3cosx sin x e si tracci un grafico indicativo del suo andamento. (È richiesto lo studio della derivata seconda.) Soluzione. La funzione è definita e continua per ogni x R ed è periodica, di periodo π. Ci occuperemo quindi di studiare la funzione f ristretta all intervallo [0, π] ed osserviamo che essa è certamente derivabile per valori di x che non annullino l argomento del valore assoluto, ovvero per x π 3 + kπ, con k Z. La derivata prima di f è 3 sin x+cos x f 1+( se x [0, π 3cos x sin x) (x) = 3 ) (4π 3, π] 3sin x+cos x 1+( se x ( π 3cos x sin x) 3, 4π 3 ) ed è quindi positiva sugli intervalli ( π 3, 5π 6 ) e (4π 3, 11π 6 ). I punti x 1 = 5π 6 ed x = 11π 6 sono quindi punti di massimo relativo (ed assoluto), con f(x 1 ) = f(x ) = arctg; mentre i punti x 3 = π 3 ed x 4 = 4π 3 sono punti di minimo relativo (ed assoluto) con f(x 3 ) = f(x 4 ) = 0. In questi ultimi due punti, si ha f ( π 3 ) = lim f(x) f( π 3 ) x π 3 x π = lim f (x) =, f 3 x π 3 + ( π 3 ) =, f (4π 3 ) =, f + (4π 3 ) =, e quindi f non è derivabile in tali punti. Si osservi che f (x) = ( 3cos x sin x)[1+( 3 cos x sin x) +( 3 sin x+cos x) ] [1+( 3cos x sin x) ] se x [0, π 3 ) (4π 3, π] ( 3 cos x sin x)[1+( 3cos x sin x) +( 3sin x+cos x) ] [1+( 3 cos x sin x) ] se x ( π 3, 4π 3 ) e quindi, dove f è derivabile, la derivata seconda è negativa ed il grafico di f è concavo. L andamento di f è quindi descritto dal grafico qui sopra.

9 Esempio 6. Si studi l andamento della funzione f(x) = sinx sin x e se ne tracci un grafico indicativo (non è richiesto lo studio della derivata seconda). Si dica infine se la funzione f si estende ad una funzione continua e derivabile su tutta la retta reale. Soluzione. La funzione proposta è definita quando la base dell esponenziale è positiva, ovvero per sin x 0, e ciò accade se e solo se x D = R \ {kπ k Z }. Nell insieme di definizione, f(x) è una funzione derivabile (e quindi continua), perchè composizione di funzioni derivabili, ed è periodica, di periodo π. Quindi è sufficiente studiare l andamento di f(x) nell insieme E = D (0, π). Vogliamo quindi determinare cosa succede ai bordi dell insieme di definizione e, ricordando che, per x D, si ha sin x sin x = e sin x log sin x, si può osservare che log sin x lim sin xlog sin x = lim x kπ x kπ 1/ sinx = lim cosx/ sin x x kπ cosx/ sin = 0 (k Z) x utilizzando la regola di L Hospital. Concludiamo che lim x kπ sin x sin x = e 0 = 1, per la continuità della funzione esponenziale. Dunque la funzione proposta si estende ad una funzione continua su tutta la retta reale, se si pone f(kπ) = 1, per k Z. Consideriamo ora la derivata prima di f. Applicando le regole di derivazione delle funzioni composte, si ha Inoltre, f (x) = sinx sin x (log sin x + 1)cosx per ogni x D; f(x) f(kπ) H lim = lim x kπ x kπ f (x) =, x kπ e quindi f non si estende ad una funzione derivabile nei punti del bordo di D. Aggiungiamo che pur non essendo f derivabile sul bordo, c è su questi punti tangente (che è verticale). Sia ora x E, ed osserviamo che il primo fattore della derivata prima ha sempre segno positivo e quindi il segno della derivata dipende solo dal segno degli altri due fattori. In particolare, log sin x +1 > 0 se e solo se sin x > 1 e e quindi, posto α = arcsin(1/e), ciò accade per x (α, π α) (π +α, π α). Inoltre, cosx > 0 se e solo se x (0, π ) (3π, π), quindi si può concludere che f(x) è crescente sugli intervalli (α, π ), (π α, π + α), (3π, π α), mentre è decrescente sulle rimanenti parti di E. Si osservi infine che, considerando la funzione arcsinx crescente ed a valori in [ π, π ], dalle disuguaglianze 0 < 1 e < 1, si deduce che 0 < α < π 6. Possiamo quindi tracciare un grafico indicativo dell andamento della funzione sui punti di E e ciò conclude la discussione. Esempio 7. Si consideri la funzione f(x) = x + ( + x) log 1 x +.

10 (a) Si determini il dominio di definizione di f ed il comportamento della funzione ai suoi estremi; (b) si determini l insieme dei punti su cui f è derivabile e si calcolino gli eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti; (c) si determini l insieme dei punti su cui f è convessa; (d) si dica se f si estende ad una funzione continua e derivabile su tutta la retta reale. Si tracci infine un grafico indicativo dell andamento di f. Soluzione. (a). La funzione è definita per x, ed è ivi continua e derivabile perchè composta di funzioni continue e derivabili. Inoltre, si ha ed analogamente, lim f(x) =. Inoltre, x + [ ] x lim f(x) = lim (x + ) log x + = + x x x + log x + lim f(x) = lim x lim x x x 1 = 4, x+ come si calcola facilmente applicando la Regola di de l Hôpital. In particolare, l ultimo limite ci dice che f può essere estesa ad una funzione continua su tutta la retta reale ponendo f( ) = 4. (b). Per quanto riguarda la derivabilità abbiamo già detto sopra. Si ha quindi f (x) = 1 log x+ per x e inoltre, applicando la Regola di de l Hôpital, si ha f(x) + 4 lim = lim x x + f (x) = + x e quindi f non può essere estesa ad una funzione derivabile su tutta la retta. Osserviamo che si ha f (x) > 0 0 < x + < e, e quindi f è crescente negli intervalli ( e, ) e (, + e), e si hanno quindi un punto di minimo relativo per x = e ed un punto di massimo relativo per x = + e. Visti i limiti della funzione agli estremi del dominio di definizione, non vi sono né massimo né minimo assoluti.

11 (c). La derivata seconda di f(x) è f (x) = 1 x+, per x ; dunque f è convessa quando f (x) > 0, ovvero per x <. Invece per x > f è concava. Nel punto di ascissa x = c è un flesso con tangente verticale. (d). Come abbiamo già osservato, f può essere estesa ad una funzione continua su tutta la retta reale, ma derivabile solo per x.

12 Esempio 8. Si consideri la funzione f(x) = arctg(log x 1). (a) Si determini il dominio di definizione di f ed il comportamento della funzione ai suoi estremi; (b) si determini l insieme dei punti su cui f è derivabile e gli eventuali sottoinsiemi su cui f è decrescente; (c) si determini la derivata seconda di f e l insieme dei punti su cui f è concava; (d) si dica se f si estende ad una funzione continua e derivabile su tutta la retta reale. Si tracci infine un grafico indicativo dell andamento di f. Soluzione. (a). La funzione è definita in D = R\{0}, ed è ivi continua e derivabile perchè composizione di funzioni derivabili in D. Inoltre f( x) = f(x) e quindi il grafico di f è simmetrico rispetto all asse verticale. Si ha lim f(x) = lim arctgy = π x ± y + e lim f(x) = lim arctgy = π x 0 y. In particolare, l ultimo limite ci dice che f può essere estesa ad una funzione continua su tutta la retta reale ponendo f(0) = π. (b). Abbiamo già osservato che f è derivabile in D e, ricordando la regola di derivazione delle funzioni composte, si ha f (x) = 1/x 1 + (log x 1) per ogni x D. Inoltre, applicando ripetutamente la Regola di de l Hôpital, si ha f(x) + π lim x 0 x = lim f 1/x (x) = lim x 0 x 0 (log x 1) = lim 1/x { + se x 0 + x 0 1/x = se x 0 e quindi l estensione di f a tutta le retta reale non è derivabile in 0 (e il grafico non ammette neanche tangente verticale: per x = 0 c è una cuspide). Osserviamo che il segno di f (x) è concorde con il segno di x e quindi f è decrescente sulla semiretta (, 0) e crescente sulla semiretta (0, + ). In particolare x = 0 è un punto di minimo (relativo ed assoluto) per la funzione estesa, mentre f non ha né massimo né minimo. (c). La derivata seconda di f(x) è f (log x ) (x) = x [(log x 1) + 1] per ogni x D; dunque f è concava su entrambo le semirette (, 0) e (0, + ), perchè f (x) 0 in ogni punto di D. (d). Come abbiamo già osservato, f può essere estesa ad una funzione continua su tutta la retta reale, ma derivabile solo per x 0.

13 Qui sopra abbiamo tracciato un grafico approssimativo dell andamento di f(x). Osservazione. Poicè f è pari, ci si può limitare a studiare f per x 0, e poi usare la simmetria rispetto all asse delle y.

14 Esempio 9. Si studi la funzione f(x) = log 1 cosx 1 + cosx al variare di x in [0, π] e se ne tracci un grafico indicativo. (NB: È richiesto lo studio della concavità e della convessità del grafico.) Soluzione. La funzione f(x) è definita quando l argomento della radice è un numero reale positivo e ciò accade per x D = (0, π) (π, π). Nei punti di D, f è continua e derivabile. Si ha lim x 0 + f(x) = lim x π f(x) = e lim x π f(x) = + perchè nei primi due casi l argomento della radice tende a zero, mentre nell ultimo lo stesso argomento tende ad infinito da valori positivi. Applicando il teorema di derivazione delle funzioni composte, si ricava che f (x) = 1 1 cos x 1+cos x 1 1 cos x 1+cos x sinx (1 + cosx) = 1 sin x per ogni x D. Quindi, f(x) è crescente nell intervallo (0, π) e decrescente nell intervallo (π, π), per cui non ha massimi o minimi, né locali, né globali. La derivata seconda di f(x) è f (x) = cos x per ogni x D, quindi il grafico di f è concavo sugli sin x intervalli (0, π ) e (3π, π), mentre è convesso nelle restanti parti di D. I due punti x 1 = π ed x = 3π sono punti di flesso per il grafico. L andamento di f(x) è quindi descritto dal grafico qui sotto. Osservazione. Si ci si ricorda che allora si ha f(x) = log tg x 1 cosx 1 + cosx = tg x,

15 Esempio 10. Si studi la funzione e se ne tracci un grafico indicativo. f(x) = log x 1 x (NB: È richiesto lo studio della concavità e della convessità del grafico.) Soluzione. La funzione è definita quando l argomento della radice quadrata è un numero strettamente positivo e ciò accade se e solo se il numeratore non si annulla ed il denominatore è positivo. Dunque f è definita nell insieme D = ( 1, 0) (0, 1). Inoltre, f è una funzione pari, ovvero f( x) = f(x), e quindi possiamo limitarci allo studio di f sull intervallo (0, 1) ed estendere i risultati a tutto D per simmetria rispetto all asse delle ordinate. Si ha lim x 0 t 0 f(x) = lim log t = + + lim f(x) = lim log t = +. x 1 t + Applicando ripetutamente la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene f (x) = 1 x(1 x ) per x D; e quindi f è crescente in (0, 1). Infine, f (x) = 3x 1 x (1 x ) per x D; e quindi il grafico di f è concavo per x (0, 1 3 ), e convesso per x ( 1 3, 1). Per x = 1 3, il grafico attraversa l asse delle ascisse e si ha un punto di flesso (con tangente obliqua). L andamento di f(x) è quindi descritto dal grafico qui sopra.

16 Esempio 11. Si studi la funzione e se ne tracci un grafico indicativo. f(x) = e 1 x 4 x Soluzione. La funzione è definita quando il denominatore (della frazione e dell esponente) non si annulla, ovvero in D = (, ) (, + ). Si ha lim f(x) = x 0, lim f(x) = +, lim x + lim x f(x) = lim t tet = 0, f(x) = x + 0+ ; ove tutti i limiti si calcolano immediatamente, eccetto il secondo, ove si è applicata la sostituzione t = 1 x 4. La derivata prima di f è uguale ad f (x) = e 1 x 4 (x ) x 3 x per x D. Quindi f è crescente in ( 3, ) e decrescente in (, 3 ) ed in(, + ). In particolare x = 3 è un punto di minimo relativo (ed assoluto) ed f( 3 ) = e, mentre non vi sono punti di massimo né relativo, né assoluto. Perciò, l andamento di f(x) è descritto approssimativamente dal grafico qui sopra.

17 Esempio 1. Si studi la funzione f(x) = coshx e x e se ne tracci un grafico indicativo. Soluzione. La funzione è definita quando il denominatore non si annulla, ovvero in D = (, log ) (log, + ); inoltre, l argomento del valore assoluto cambia di segno passando dall una all altra delle due semirette che compongono D. Ricordando che coshx = ex +e x, con facili passaggi, si vede che f(x) è composizione di due funzioni continue e derivabili nei rispettivi insiemi di definizione; precisamente, posto g(y) = y + 1 y(y ) ed h(x) = e x, si ha f(x) = g(h(x)). Utilizzando questa osservazione ed il teorema sui limiti del funzioni composte, è facile studiare il comportamento della funzione al bordo dell insieme di definizione; ovvero lim x f(x) = lim g(y) = +, lim y 0 + f(x) = lim g(y) = 1 x + y +, lim f(x) = lim g(y) = +. x log y Per il teorema di derivazione delle funzioni composte, la derivata prima di f è uguale ad f (x) = g (h(x))h (x), ove g (y) = y +y 1 y (y ) se y < y +y 1 y (y ) se y >, h (x) = e x, e quindi f (x) = { e x +e x 1 e x (e x ) e x se x < log ex +e x 1 e x (e x ) e x se x > log. Il segno della derivata prima è quindi concorde con il segno del numeratore della frazione e quindi f è decrescente in (, log 5 1 ) ed in (log, + ) ed è crescente in (log 5 1, log ). In particolare x 0 = log 5 1 è un punto di minimo relativo ed f(x 0 ) = g( 5 1 ) = > Non vi sono punti di minimo assoluto, né punti di massimo, relativo o assoluto.

18 Perciò, l andamento di f(x) è descritto approssimativamente dal grafico qui sopra.

19 Esempio 13. Si studi la funzione f(x) = (x + x ) x 1. Si determinino in particolare i sottoinsiemi di R ove f(x) è continua, derivabile e convessa. Si dica se f(x) può essere estesa ad una funzione continua e derivabile al di fuori del suo dominio e si tracci un grafico indicativo dell andamento di f(x). Soluzione. La funzione è definita e continua quando il denominatore non si annulla, ovvero in D = (, 1 ) ( 1, 1 ) ( 1, + ). { 0 se x < 0 Si osservi che x + x =, e quindi f(x) è identicamente nulla in D (, 0) e quindi x se x 0 può essere prolungata ad una funzione nulla anche sul punto x 0 = 1. Per quanto riguarda il comportamento della funzione al bordo dell insieme di definizione, si ha lim f(x) = 0, lim x f(x) = x + 1 lim f(x) = + x lim f(x) =. x + Per quanto riguarda la derivata prima di f, si ha { 0 se x D (, 0) f (x) = 8x (x 1) se x D (0, + ) ; e quindi, f è derivabile, con derivata nulla, anche per x = 0. In particolare, f è costante sulla semiretta dei numeri negativi, ed è decrescente sull intervallo (0, 1 ) e sulla semiretta ( 1, + ). In particolare, il sottoinsieme R \ { 1 } è il più grande sottoinsieme di R su cui si possa estendere f(x) ad una funzione continua e derivabile. Non vi sono né punti di minimo né punti di massimo, relativi o assoluti. La derivata seconda di f è { 0 se x D (, 0) f (x) = 8(6x +1) (x 1) 3 se x D (0, + ) ; e quindi il grafico di f(x) è concavo sull intervallo (0, 1 ) e convesso sulla semiretta ( 1, + ). In D (, 0) la funzione è costante e quindi può essere considerata sia concava che convessa.

20 Esempio 14. Si abbozzi il grafico della funzione integranda sull intervallo di integrazione e si calcoli π/ 0 sin x log(cos x) dx. Soluzione. Cominciamo con un rapido studio dell andamento della funzione integranda. Nell intervallo [0, π ) la funzione integranda assume valori minori o uguali a 0; la sua derivata prima è cosx log(cosx) (sin x) cosx e quindi la funzione integranda è decrescente; infine si ha lim x π sin x log(cosx) =. Quindi l andamento della funzione integranda è descritto dal grafico qui sotto e l integrale proposto è un integrale improprio. Integrando per parti, si ha sinx log(cosx)dx = cosxlog(cosx) sin xdx = cosx(log(cosx) 1) + c e quindi l integrale proposto è uguale a avendo posto y = cosb. Poiché lim cosb(log(cosb) 1) 1 = lim y(logy 1) 1 = 1, b π y 0 + lim y 0 y 0 y 0 + y y(log y 1) = lim y log y lim + + e si ottiene Quindi log y lim y log y = lim y 0 + y y = lim y 0 + lim y(logy 1) 1 = 1 y 0 + π/ 0 sin x log(cosx)dx = 1. 1 y 1 y = 0

21 Esempio 15. Si studi la funzione f(x) = log ( x ) x x. x Si determinino in particolare i sottoinsiemi di R ove f(x) è continua, derivabile e convessa. Si dica se f(x) può essere estesa ad una funzione continua e derivabile al di fuori del suo dominio e si tracci un grafico indicativo dell andamento di f(x). Soluzione. Poiché la funzione x x x x è pari, per determinare il dominio di f basta determinare il sottoinsieme S di R in cui f è definita, e poi prendere D = S ( S). Si tratta allora di risolvere { x 0 x x x x > 0 cioé { x 0 x x x x > 0 Studiando separatamente i segni del numeratore e denominatore, troviamo S = (0, 1 ) (, + ), e quindi D = (, ) ( 1, 0) (0, 1 ) (, + ). Osserviamo che f è continua e derivabile nel suo dominio di definizione. Continuiamo lo studio di f limitandoci ad S, proprio perché f è pari. Si ha lim f(x) = log, lim x 0 + f(x) = lim x 1 f(x) = + lim x + f(x) = log. x + Questi limiti si calcolano studiando i corrispondenti limiti per x x x x continua: e sfruttando il fatto che log è x x lim x 0 + x x = 1, lim x x x 1 x x = 0 lim x x x + x x = + lim x x x + x x =. Per quanto riguarda la derivata prima e la derivata seconda di f, si ha (ricordo che stiamo assumendo x > 0): f (x) = 3 (x 1)(x ), f (x) = 3(4x 5) (x 1) (x ), e quindi, f è decrescente su S e, per simmetria, è crescente su S, cioé in (, ) ( 1, 0). Per quanto riguarda la convessita, dallo studio del segno di f (x) (sempre per x > 0), segue che f è convessa su (, + ) e concava su (0, 1 ) (f (x) si annulla per x = 5/4, ma per questo valore di x, f non è definita). Per simmetria allora f è convessa anche su (, ) e concava su ( 1, 0). La funzione f non ha né massimo assoluto, né minimo assoluto. Poiché lim x 0 + f(x) = log (e la funzione è pari), f si puo estendere per continuita nel punto x = 0 ponendo f(0) = log. A questo punto ci si puo chiedere se f sia derivabile in 0. Tuttavia, essendo f pari, la sua derivata f è dispari, e quindi se f fosse derivabile in 0, si dovrebbe avere f (0) = 0. Ma lim x 0 + f (x) = 3, quindi f non è derivabile in 0. In particolare, anche se in 0 la funzione da concava diventa convessa, non ci sono flessi.

22 Qui sotto è tracciato un grafico indicativo (c è anche una traccia delle tangenti destra e sinistra in x = 0).

23 Esempio 16. Si studi la funzione f(x) = x 3 e x. Si determinino in particolare i sottoinsiemi di R ove f(x) è continua, derivabile e convessa, e si studi il comportamento della funzione agli estremi del dominio di definizione. Si determinino infine gli eventuali punti di massimo o minimo relativo ed assoluto, e si tracci un grafico indicativo. Soluzione. La funzione è definita e continua su tutto l asse reale, in quanto composta di funzioni continue. Inoltre f è derivabile per ogni n diverso da zero, in quanto g(x) = x è derivabile per ogni x diverso da zero. La derivabilita di f in x = 0 deve essere studiata a parte. Osserviamo che f è dispari, quindi il grafico è simmetrico rispetto all origine. Sappiamo che per ogni numero naturale n si ha lim x + x n e x = 0, quindi lim f(x) = 0, lim x f(x) = 0. x + Calcoliamo la derivata prima di f per x 0. La presenza di un valore assoluto richiede di distinguere due casi: { e f x (3x x 3 ) se x > 0 (x) = e x (3x + x 3 ) se x < 0 A questo punto, applicando la regola di L Hospital, otteniamo f f(x) f(0) (0) = lim = lim f (x) = 0 x 0 x 0 x 0 Quindi f è derivabile anche per x = 0. Osserviamo che per calcolare l ultimo limite bisogna studiare separatamente il limite destro ed il limite sinistro, ma entrambi sono nulli. La funzione è quindi derivabile su tutto R, con derivata continua. Per continuare lo studio di f, possiamo limitarci a x 0, in quanto già abbiamo osservato che la funzione è dispari (il grafico è simmetrico rispetto all orogine). Già sappiamo che f (0) = 0. Per x > 0 si ha f (x) = 0 se e solo se x = 3. Inoltre f (x) > 0 in (0, 3) ed f (x) < 0 in (3, + ). Similmente, per x < 0 troviamo f (x) = 0 se e solo se x = 3. Inoltre f (x) > 0 in ( 3, 0) ed f (x) < 0 in (, 3). La funzione f ha minimo relativo in x = 3, massimo relativo in x = 3. Invece il punto (0, 0) del grafico è un punto di flesso con tangente orizzontale. Infine, poiché lim x ± f(x) = 0, la funzione f ha massimo e minimo assoluti, che devono essere necessariamente assunti in x = 3 e x = 3 rispettivamente. Quindi il massimo assoluto è f(3) = 7e 3, mentre il minimo assoluto è f( 3) = 7e 3. Passiamo adesso allo studio della derivata seconda. Derivando la derivata prima otteniamo { e f x (6x 6x + x 3 ) se x > 0 (x) = e x (6x + 6x + x 3 ) se x < 0 A questo punto, applicando la regola di L Hospital, otteniamo f f (x) f (0) (0) = lim = lim f (x) = 0 x 0 x 0 x 0 Quindi f è derivabile due volte anche per x = 0 (anche in questo caso bisogna studiare separatamente i due limiti). Studiamo, in modo analogo a quello usato per la derivata prima, il segno della derivata seconda. Si ottiene f (x) = 0 per x = 0, 3 + 3, 3 3, 3 + 3, 3 3. Inoltre f (x) > 0 su ( 3 3, 3 + 3) (0, 3 3) (3 + 3, + ),

24 e su questi intervalli f è convessa, mentre f (x) < 0 su (, 3 3) ( 3 + 3, 0) (3 3, 3 + 3), e su questi intervalli f è concava. Si disegna a questo punto un grafico indicativo di f. Osservazione. Quando determiniamo gli intervalli in cui f è convessa o concava, possiamo accettare anche di scrivere gli intervalli chiusi: quindi f è convessa su [ 3 3, 3 + 3] [0, 3 3] [3 + 3, + ), e concava su (, 3 3] [ 3 + 3, 0] [3 3, 3 + 3]. Ovviamente questo discorso non vale se capita che f non sia definita in qualche estremo degli intervalli in questione.

25 Esempio 17. Si consideri il solido formato da una sfera di raggio r entro cui si inserisce, aderendo perfettamente, un cono circolare retto con raggio di base r ed altezza h > r, in modo che il centro della sfera appartenga all altezza del cono ed il vertice del cono sia sulla superficie della sfera. Si disegni la figura in sezione e se ne calcoli il volume. Soluzione. Cerchiamo di disegnare la sezione del solido sul piano xy in un modo conveniente. Poniamo l asse del cono lungo l asse delle x, con il vertice del cono nell origine. Ci limitiamo a disegnare la porzione nel semipiano superiore: poi si tratta di far ruotare questa parte per ottenere il solido richiesto. Stiamo quindi considerando due funzioni: f : [0, r] R, x rx x, g : [0, h] R, x r h x. I due grafici si incontrano nei punti P = (0, 0) e Q = (x, y). Risolvendo il sistema si trova { y = rx x y = r h x x = rh r + h, y = r h r + h. Il solido si ottiene facendo ruotare la figura attorno all asse delle x, equindi il volume è π ( x 0 ) h (rx x r x )dx + x h dx = π [rx x3 3 ] rh r +h 0 [ r x 3 + 3h ] h rh r +h = 4πr3 h 4 3(h + r ) + πr h 3 e abbiamo concluso.

26 Esempio 18. Si studi l andamento della funzione f(x) = arctg(1 1 x ) e se ne tracci un grafico indicativo. Si dica se f si estende ad una funzione continua su tutta la retta reale e se f si estende ad una funzione derivabile su tutta la retta reale. Soluzione. La funzione proposta è definita per x 0 ed è continua perchè composizione di funzioni continue. Ricordando che arctg x è una funzione dispari e crescente, possiamo concludere che il segno di arctg(1 1 x ) dipende solo dal segno dell argomento e che quindi si ha f(x) = { arctg(1 1 arctg(1 1 x ) = x ) se x (, 0) [1, + ) arctg( 1 x 1) se x (0, 1). Con facili applicazioni del teorema sul limite di funzioni composte, si ottiene lim f(x) = π x 4 = lim f(x) e lim f(x) = π x + x 0 = lim f(x). x 0 + Quindi f si può estendere ad una funzione continua F(x) su tutta la retta reale, ponendo F(0) = π ed F(x) = f(x) per x 0. Inoltre, f(x) è composizione di funzioni derivabili per x / {0, 1} (0 perchè in 0, f non è definita, 1 perchè per x = 1 l argomento del modulo si annulla) e si ha { 1 f x (x) = x+1 se x (, 0) (1, + ). 1 x x+1 se x (0, 1) Poichè il polinomio al denominatore non ha zeri reali, si conclude che f(x) è crescente nelle semirette (, 0) e (1, + ), mentre è decrescente nell intervallo (0, 1). Dunque per x = 1 ha un punto di minimo relativo (ed assoluto) con f(1) = 0. Nel punto x = 0 tende all estremo superiore dei suoi valori, che è quindi un massimo relativo ed assoluto per la funzione estesa F(x). Osserviamo inoltre che lim x 0 f (x) = 1 = lim x 1 + f (x) e lim x 0 + f (x) = 1 = lim x 1 f (x) da cui si conclude che f non può essere estesa ad una funzione derivabile su tutta la retta. Possiamo quindi tracciare un grafico indicativo dell andamento della funzione f(x). Calcoliamo la derivata seconda: { 4x f (x (x) = x+1) se x (, 0) (1, + ). ( 4x) (x x+1) se x (0, 1) Quindi si ha la presenza di un flesso per x = 1 tracciato. e si giustificano le concavità e convessità del grafico Cerchiamo ora di determinare massimi e minimi relativi ed assoluti. Per quanto riguarda gli estremi relativi, questi si cercano tra i punti critici (cioè f (x) = 0), i punti in cui f non è derivabile, ed i punti

27 agli estremi dell isieme di definizione. Nel nostro caso la funzione (o meglio la sua estensione continua) è definita su tutto R, e quindi dobbiamo studiare i punti critici e i punti in cui f non è derivabile. Dall analisi svolta segue che f è derivabile se x 0, 1, e che la derivata non si annulla mai. Quindi gli unici punti candidati ad essere punti di estremo locale sono x = 0 e x = 1. Poiché in un intorno destro di 0 si ha f (x) < 0 ed in un intorno sinistro si ha f (x) > 0, si conclude che x = 0 è un punto di massimo locale. Analogamente si deudce che x = 1 è un punto di minimo locale. Passiamo adesso alla discussione del massimo e minimo assoluto. Poiché lim f(x) = lim f(x) = π/4, x x + f è crescente in (, 0) ed f è crescente in (1, + ), segue che il massimo locale è anche massimo assoluto e che il minimo locale è anche il minimo assoluto. Quindi f ha massimo assoluto per x = 0 e questo massimo vale π/, ed f ha minimo assoluto per x = 1 e questo minimo vale 0.

28 Esempio 19. Si studi l andamento della funzione f(x) = log( 1 x ) e se ne tracci un grafico indicativo. Soluzione. La funzione proposta è definita in D = (, 0) ( 1, + ) ed è ivi continua perchè composizione di funzioni continue. In particolare, si ha f(x) = { log( 1 log( 1 x ) = x ) se x (, 0) [1, + ) log( 1 x ) se x (1, 1). Con facili applicazioni del teorema sul limite di funzioni composte, si ottiene lim f(x) = log = lim f(x) e lim f(x) = + = lim x x + x 0 Inoltre, f(x) è composizione di funzioni derivabili per x 1 e si ha f (x) = { 1 (x 1)x se x (, 0) (1, + ) 1 (x 1)x se x ( 1, 1). x 1 + Per x = 1, la funzione non è derivabile perchè i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale (che, f(x). per la Regola di de L Hôpital, coincidono con i corrispondenti limiti della derivata) sono distinti. Poichè il polinomio al denominatore non si annulla all interno di D, si conclude che f(x) è crescente nelle semirette (, 0) e (1, + ), mentre è decrescente nell intervallo ( 1, 1). Dunque per x = 1 la funzione ha un punto di minimo relativo (ed assoluto) con f(1) = 0, ma non è superiormente limitata in D. Infine f (x) = { 1 4x (x 1) x se x (, 0) (1, + ) 4x 1 (x 1) x se x ( 1, 1), e quindi il grafico di f(x) è convesso sulla semiretta (, 0) e sull intervallo ( 1, 1), mentre è concavo sulla seimretta (1, + ). Possiamo quindi tracciare un grafico indicativo dell andamento della funzione f(x). Ciò conclude la discussione. Osservazione. Il minimo relativo è anche minimo assoluto poichè lim f(x) = log x è maggiore o uguale ad f(1) = 0, e perchè poi la funzione è crescente nell intervallo (1, + ).

29 se x = π e 1 + cosx = sin x = 0 Esempio 0. Si disegni in R la regione A = { (x, y) R 0 x π, 1 + cosx < y < sinx } e se ne determini l area. Soluzione. Si veda il disegno qui sotto, ove A è la regione ombreggiata. La regione piana A è simmetrica rispetto alla retta x = π, come si verifica facilmente ricordando che cos(π x) = cosx e sin(π x) = sin x. È quindi sufficiente determinare la porzione di A al di sopra dell intervallo [0, π]; e su tale intervallo si ha 1 + cosx = sin x = 1 se x = π. Inoltre, 1 + cosx > 1 > sinx per x [0, π ), ed 1 + cosx < sin x per x (π, π), come si vede facilmente studiando la differenza tra le due funzioni. Dunque l area a dell insieme A è uguale a [ ] π a = (sin x 1 cosx)dx π Ciò conclude la discussione. = [ cosx x sinx] π π = 4 π.

30 Esempio 1. Si studi l andamento della funzione f(x) = (x ) log x e se ne tracci un grafico indicativo. Si dica inoltre se f(x) si estende ad una funzione continua e derivabile su tutta la retta reale. Soluzione. Osserviamo che f(x) è definita in D = R \ {}, ed è continua e derivabile in ogni punto di D, essendo un prodotto di funzioni continue e derivabili su tale insieme. Inoltre, il suo grafico è simmetrico rispetto alla retta x =, essendo f(x) = f(4 x) per ogni x D. Possiamo quindi ridurci a studiare la funzione sulla semiretta (, + ). Si ha lim x + f(x) = 0, lim f(x) = +, e quindi lim f(x) = 0, x + x lim f(x) = +. x Quindi f(x) si può estendere ad una funzione continua su tutta la retta reale, ponendo f() = 0, e supporremo tacitamente nel seguito di considerare questa funzione in luogo di f. Per x, si ha f (x) = (x )( log x + 1) e lim x + f (x) = 0 = lim x f (x); dunque, poichè f è continua per x =, si conclude che f è anche derivabile per x =, con derivata nulla in tal punto. Possiamo quindi rispondere affermativamente all ultima domanda e proseguire nello studio dell andamento di f. Per x, si ha f (x) = 0 x = ± 1 e e inoltre, f (x) < 0 per x (, 1 e ) (, + 1 e ), mentre f (x) > 0 per x ( 1 e, ) (+ 1 e, + ). Dunque, f(x) è decrescente in (, 1 e ) e (, + 1 e ), mentre è crescente in ( 1 e, ) e (+ 1 e, + ). Per x = ± 1 e si hanno dei punti di minimo relativo ed assoluto (f( ± 1 e ) = 1 e ), mentre x = (f() = 0) è l unico punto di massimo relativo della funzione estesa. Osserviamo infine che, per x, f (x) = log x + 3 e quindi x = ± 1 e sono due punti di 3 flesso nel grafico di f ed il grafico è convesso all esterno di questi due punti, mentre è concavo all interno. Osservazione. Per valori di x distanti da il grafico di f tende a disporsi come il grafico di g(x) = (x ). Tuttavia il limite lim x + f(x) g(x) è +.

31 Esempio. Si disegni la regione di piano S, i cui punti (x, y) soddisfano alle condizioni y 0 x 1. y < x + 1 y > x (x + 1) Si determini inoltre il volume del solido che si ottiene ruotando S attorno all asse delle ascisse. Soluzione. La retta y = x + 1 e la curva y = x (x + 1) si incontrano in tre punti e precisamente per x = 1, 1, 1. La funzione g(x) = x (x + 1) è continua nell intervallo [ 1, 1] ed è derivabile (nei punti interni) per x 0, ove si ha g (x) = 3x + x x (x + 1). Dunque g è crescente sull intervallo ( 1, 3 ) e decresce su ( 3, 0), mantenendosi al di sopra della retta y = x + 1 su ( 1, 1 ), come si vede facilmente, ad esempio calcolando il valore massimo di g(x) sull intervallo ( 1, 0). Inoltre g è crescente su (0, 1), ma il suo grafico è al di sotto della retta y = x+1. Dunque la regione S è quella indicata in grigio nel disegno qui sotto. Dobbiamo quindi calcolare il volume V del solido che si ottiene ruotando la regione S attorno all asse delle ascisse. Poichè il bordo della regione S è costituito dal grafico di due funzioni continue, si ha 1 [ V = π (x + 1) x (x + 1) ] dx = π e questo è il volume cercato.

32 Esempio 3. Si studi l andamento della funzione f(x) = xe x+ x 1 x 1 e se ne tracci un grafico indicativo (Non è richiesto lo studio della derivata seconda). Soluzione. La funzione proposta è definita, continua e derivabile per x 1. Inoltre, si ha lim f(x) = e, lim f(x) = +, lim f(x) = 0 x ± x 1 + x 1 ove i primi due limiti sono immediati, mentre l ultimo si può calcolare con la sostituzione t = x+ x 1, tramite cui diventa Nel dominio di definizione, si ha lim t t + = 0. 3e t f (x) = e x+ x 1 1 4x (x 1) x 1 e quindi f è decrescente in (, 1 4 ) ed in (1, + ), mentre è crescente in (1 4, 1). Dunque, il punto x = 1 4 è un punto di minimo relativo ed f( 1 4 ) = 1 3e. Infine, lim f (x) = 0. 3 x 1 Ciò giustifica il grafico tracciato qui sopra.

33 Esempio 4. Si disegni in R la regione A = { (x, y) R π x π, sinx < y < 1 + cosx } e si determini il volume del solido che si ottiene ruotando A attorno all asse delle ascisse. Soluzione. Si veda il disegno qui sotto, ove A è la regione ombreggiata. La regione piana A è simmetrica rispetto all asse delle y, come si verifica facilmente ricordando che cos( x) = cosx e sin( x) = sinx. È quindi sufficiente determinare la porzione di A al di sopra dell intervallo [0, π]; e su tale intervallo si ha 1+cosx = sin x = 1 se x = π. Inoltre, sinx < 1 < 1+cosx per x [0, π ), ed 1 + cosx < sin x per x ( π, π), come si vede facilmente studiando la differenza tra le due funzioni. Dunque il volume V del solido che si ottiene ruotando l insieme A attorno all asse delle ascisse è uguale a π [ ] π V = π [(1 + cosx) sin x] dx = π x + sinx + sin xcosx π π = π(4 + π). Ciò conclude la discussione.