CLASSI SECONDE Formulario (con esercizi) LEGGE DI COULOMB - CAMPO ELETTRICO

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1 CLASSI SECONDE Formulario (con esercizi) LEGGE DI COULOMB - CAMPO ELETTRICO Germano D Abramo Versione /05/2016 (N.B. Si invita a trovare errori e/o imprecisioni o a richiedere una stesura del testo più semplice.) La forza di Coulomb Dall osservazione dei fenomeni elettrostatici fatta in laboratorio, sappiamo che corpi carichi elettricamente (per strofinio o per contatto con un corpo precedente caricato) esercitano reciprocamente una forza attrattiva o repulsiva. Con l introduzione della convenzione di Franklin e, successivamente, del modello atomico della materia, abbiamo compreso che tutti i fenomeni visti in laboratorio si possono spiegare con l esistenza di due soli tipi di elettrizzazione (di carica): una che chiamiamo positiva e una che chiamiamo negativa. Queste corrispondono alla tipologia di elettrizzazione rispettivamente del protone e dell elettrone, i costituenti dell atomo. Le cariche dello stesso segno si respingono, mentre quelle di segno diverso si attraggono. La carica elettrica costituisce dunque una nuova grandezza fisica, nuova rispetto a quelle viste sinora, e la sua unità di misura è il Coulomb (C). Inoltre, si è compreso che esiste un valore minimo di carica che un corpo può avere e ogni carica posseduta può essere solo un multiplo intero di questo valore minimo. Il valore minimo costutiusce la carica elettrica fondamentale e corrisponde alla carica dell elettrone (o del protone). Il suo valore assoluto è pari a: e = C Esercizio svolto: Quanti elettroni devo trasferire su un corpo per caricarlo di una carica negativa di Q = 2 mc (milli Coulomb)? Soluzione: La carica Q = C è dovuta a N elettroni, ciascuno di carica pari a e = C, quindi si ha che, Q = N e N = Q e = C C elettroni La forza che due cariche elettriche Q 1 e Q 2, poste ad una distanza r, si esercitano reciprocamente è un vettore diretto lungo la congiungente dei centri delle cariche. Il verso del vettore dipende dal segno delle cariche allo studio. Attenzione: quando disegni i vettori delle forze, ricordati che il vettore forza che agisce su una carica deve essere disegnato con la coda e non la punta sulla carica. Inoltre, ricordando il terzo principio della dinamica, il vettore forza che la carica Q 1 esercita sulla carica Q 2 è uguale ed opposto al vettore forza che la carica Q 2 esercita sulla carica Q 1

2 Nel vuoto, il modulo della forza (la lunghezza del vettore) è dato dalla legge di Coulomb: F = k 0 Q 1 Q 2 r 2 La costante k 0 vale: k 0 = N m2 C 2 Ricordiamo che le parentesi dritte in Q obbligano a considerare come priva di segno la quantità numerica Q che è in mezzo, ad esempio : 3 nc = 3 nc e + 5 mc = 5 mc. Se le due cariche si trovano immerse in un mezzo materiale, la legge che esprime il modulo della forza tra di esse è la stessa, cambia solo il valore della costante k, che in genere diminuisce. Esercizio svolto. Calcola il modulo della forza di attrazione che due cariche opposte Q 1 e Q 2 di 1 C si esercitano se sono poste ad una distanza di 1 m. Soluzione. Applico la legge di Coulomb, trascurando i segni delle cariche dato che mi interessa l intensità (il modulo) della forza: Q 1 Q 2 F = k o = N m 2 r 2 C 2 1 C 1 C 1 m N A lezione abbiamo ricordato che una carica di 1 C è una carica enorme. La forza appena ricavata ce lo conferma. Questa forza è pari alla forza peso esercitata da una superpetroliera!

3 Se io volessi calcolare il vettore forza elettrica esercitato su una carica Q da più cariche puntiformi, come dovrei fare? In questo caso si applica il principio di sovrapposizione: Principio di sovrapposizione. La forza elettrica totale che esercitano più cariche su una carica Q è la somma vettoriale delle forze che ciascuna di esse eserciterebbe su Q se fosse presente da sola. Questo è possibile poiché la forza con cui interagiscono due cariche elettriche non è alterata dalla presenza di altre cariche elettriche. Nella tabella che segue puoi trovare la formula diretta e le formule inverse della legge di Coulomb: Formula diretta Formule inverse F = k 0 Q 1 Q 2 r 2 k 0 = N m2 C 2 r = k 0 Q 1 Q 2 F Se conosco la forza F, il valore delle cariche Q 1 e Q 2, allora la distanza r è: Se conosco la forza F, la distanza r e la carica Q 1, allora l altra carica Q 2 è: Q 2 = F r2 k 0 Q 1 Esercizio 1. Esercizio 2.

4 Esercizio 3. Esercizio 4. Esercizio 5.

5 Il campo elettrico Considerazioni di carattere fisico, ma anche logico, hanno portato gli scienziati a ritenere che la forza elettrica tra due cariche non si possa trasmettere istantaneamente a distanze molto grandi e senza il supporto si alcun mezzo materiale che la trasmetta (ricordiamo che la legge di Coulomb è valida anche nel vuoto). Allo scopo di ovviare a questa difficoltà concettuale fu introdotto, alla fine del 700, il nuovo concetto di campo di forze elettriche, o semplicemnete campo elettrico. L idea alla base del concetto di campo elettrico è semplice: la presenza di una distribuzione di cariche modifica lo spazio circostante e attribuisce a ogni suo punto P la proprietà di esercitare una forza F su una carica Q 0 collocata in esso. Per esplorare le proprietà del punto P, utilizziamo una carica di prova Q 0, cioè una carica positiva tanto piccola da non alterare in modo significativo le caratteristiche della distribuzione di cariche. Ponendo Q 0 in P si verifica sperimentalmente che la forza F che si esercita su Q 0 è proporzionale a Q 0 : quindi il rapporto F /Q 0 è indipendente da Q 0. Ha senso quindi introdurre la seguente definizione: Il campo elettrico E, generato da una distribuzione di cariche in un punto qualunque P dello spazio, è dato dal rapporto tra la forza F, esercitata in quel punto dello spazio sulla carica di prova Q 0, e la stessa carica di prova Q 0 E = F Q 0 Ricorda che il campo elettrico è un vettore. Ti può aiutare immaginare la seguente situazione. Una o più cariche generano nello spazio circostante un campo elettrico. Se tu potessi vedere con i tuoi occhi il campo elettrico, vedresti in ogni punto dello spazio delle freccette di lunghezza, direzione e verso opportuni. Per sapere come è fatta la freccetta in un punto preciso dello spazio, dovresti prendere una carica positiva di prova Q 0, metterla in quel punto, misurare il vettore forza F (direzione, verso e intesità) e poi dovresti fare la divisione F /Q 0. ( ) Il campo elettrico si misura in Newton su Coulomb NC

6 Importante: il principio di sovrapposizione visto prima per la forza di Coulomb vale anche per i campi elettrici! Il campo elettrico totale che una distribuzione di cariche genera in un punto P è la somma vettoriale dei singoli campi elettrici che ciascuna carica genera in P. Nella figura che seguie potete vedere un esempio di campo elettrico totale generato nel punto P da due cariche puntiformi, Q 1 e Q 2. Il campo elettrico E continene tutta l informazione fisica necessaria per determinare la forza elettrica F, dovuta a una distribuzione di cariche, su una carica Q posta in qualsiasi punto dello spazio. Il modulo F della forza è: F = Q E, mentre se Q > 0, il vettore forza e il vettore campo elettrico hanno la stessa direzione e lo stesso verso; se, invece, Q < 0, il vettore forza e il vettore campo elettrico hanno la stessa direzione e verso opposto. Quindi, se io conosco il vettore campo elettrico E in un punto dello spazio, posso sapere quale forza subirà una carica Q che decido di posizionare in quel punto. Ovviamente, la forza su Q 0 è prodotta da una distribuzione di cariche, ma io non ho bisogno di conoscere come è fatta questa distribuzione, poiché mi basta sapere quanto è il campo elettrico nello spazio.

7 Campo elettrico generato da una carica puntiforme Deriviamo il campo elettrico prodotto dalla distribuzione di carica più semplice che c è: una singola carica puntiforme Q posta nel vuoto e fissa in un punto O. Su una carica di prova positiva Q 0 collocata in un punto P a distanza r da Q agisce una forza nella direzione OP di modulo (dalla legge di Coulomb): F = k 0 Q Q 0 r 2 e quindi il modulo del campo elettrico è: E = F Q 0 = k 0 Q Q 0 r 2 1 Q 0 = k 0 Q r 2 Per riassumere, il campo elettrico creato nel punto P dalla carica puntiforme Q posta in O è un vettore E che: ha modulo E = k 0 Q r 2 ; è diretto lungo la direzione OP; il verso è uscente da O se Q è positiva, diretto verso O se Q è negativa. Esercizio svolto. Calcola l intensità del campo elettrico prodotto da una carica puntiforme Q = +3 nc a una distanza r di 10 cm. Soluzione. Il modulo del campo elettrico è dato da: E = k 0 Q r 2 = N m 2 La direzione sarà radiale uscente o entrante? C C 10 2 m N/C

8 Esercizio 6. Esercizio 7. Esercizio 8. Esercizio 9.

9 Esempi di linee di campo elettrico Campo elettrico di una carica puntiforme Campo elettrico di due cariche puntiformi Campo elettrico uniforme tra due lastre cariche

10 L energia elettrica e la differenza di potenziale elettrico Il campo elettrico ha un altra importante proprietà: esso contiene energia, perché ha la capacità di compiere lavoro. Considera un campo elettrico uniforme E, come quello che si può trovare tra due piastre metalliche caricate una positivamente e l altra negativamente. Considera, inoltre, una carica positiva q che all interno del campo si sposta dalla posizione A alla posizione B. Poiché il campo elettrico esercita una forza di modulo F = q E e la carica si muove da A a B lungo un tratto s, il campo elettrico compie un lavoro pari a: W A B = F s = (q E) s = q E s Se si aumenta il valore della carica q, lasciando tutto il resto invariato, il lavoro W A B fatto dal campo elettrico aumenta. Se invece dividiamo W A B per la carica q, otteniamo una proprieta intrinseca del campo elettrico tra i punti A e B e cioè la capacità del campo di fare lavoro. Questa nuova grandezza fisica si chiama differenza di potenziale del campo tra i punti A e B: La differenza di potenziale V A V B (chiamata anche tensione o voltaggio) è uguale al lavoro W A B che la forza del campo compie quando la carica positiva di prova q si sposta da A a B, diviso per la carica q V A V B = W A B q

11 L unità di misura della differenza di potenziale è il Volt (V) (in onore di Alessandro Volta). 1 Volt = 1 Joule 1 Coulomb Quando su una pila stilo leggiamo la scritta 1,5 V, questa ci da il valore della differenza di potenziale fra il polo caricato positivamente e il polo caricato negativamente e quindi, in un certo senso, la sua capacità di fare lavoro (illuminare lampade, far girare motorini elettrici etc.). Nel caso di un campo elettrico uniforme tra due piastre cariche con valori opposti, la differenza di potenziale fra le piastre è: Importante: intorno a cariche positive il potenziale è maggiore, mentre intorno al cariche negative il potenziale è minore. Quindi, se io mi muovo da una zona A, con cariche positive, a una zona B, con cariche negative, la differenza di potenziale V A V B è maggiore di zero. Viceversa, se passo da B ad A, V A V B è minore di zero. Esercizio svolto. Una carica elettrica di 3 mc viene spostata da un punto A a potenziale V A = 10 V a un punto B a potenziale V B = 5 V. Quanto lavoro W A B compie il campo sulla carica quando questa passa da A a B? Svolgimento. La differenza di potenziale tra il punto A e il punto B è V A V B = 5 V. Poiché, quindi, V A V B = W A B q allora W A B = q (V A V B ), W A B = q (V A V B ) = C 5 V = J.

12 Comportamento delle cariche in una differenza di potenziale elettrico Le cariche positive tendono a spostarsi da dove il potenziale elettrico è alto (V A ) verso punti in cui è più basso (V B ). Infatti, le carice positive si allontanano spontaneamente dal polo positivo di una pila, per andare verso il polo negativo. Ciò avviene perchè, in questo modo, il lavoro fatto dal campo sulla carica è positivo: carica positiva q > 0, differenza di potenziale positiva V A V B > 0 lavoro positivo W A B = q (V A V B ) > 0. Le cariche negative tendono a spostarsi da dove il potenziale elettrico è basso (V B ) verso punti in cui è più alto (V A ). Infatti, le carice negative si allontanano spontaneamente dal polo negativo di una pila, per andare verso il polo positivo. Anche in questo caso, ciò avviene perchè in questo modo il lavoro fatto dal campo sulla carica è positivo. Ciò avviene perchè, in questo modo, il lavoro fatto dal campo sulla carica è positivo: carica negativa q < 0, differenza di potenziale negativa V A V B < 0 lavoro positivo W A B = q (V A V B ) > 0 (meno per meno fa più!).

13 Esercizio 10. Una carica positiva q si trova in un punto A, da cui potrebbe raggiungere i punti B e C. Tra i punti A e B c è una differenza di potenziale V A V B = 15 V. Tra i punti A e C c è una differenza di potenziale V A V C = 12 V. Il moto spontaneo della carica positiva q la farà spostare da A a B, o da A a C? Esercizio 11. Immagina di voler spostare una sferetta con carica negativa Q = 5 mc dal polo positivo al polo negativo di una pila da 1.5 V. Perché questo processo non è spontaneo? Quanto lavoro devi fare per portare a termine questa operazione? Esercizio 12. Trova la differenza di potenziale elettrico tra le piastre: Esercizio 13. Una particella carica C, inizialmente ferma, viene accelerata da una differenza di potenziale di V. Quanto lavoro fa il campo sulla particella? Qual è la sua energia cinetica finale?

14 Condensatori Il condensatore è un dispositivo inerte, capace di accumulare delle cariche elettriche. Non va confuso con la pila o la batteria! Anche una batteria produce delle cariche elettriche (in realtà produce un flusso continuo di cariche elettriche, chiamato corrente), ma usa processi chimici al suo interno. Il condensatore è solo un oggetto che può ospitare delle cariche elettriche che noi trasferiamo su di esso. È un dispositivo usatissimo nei circuiti elettronici (macchine fotografiche, computer, cellulari, TV, taser, praticamente tutto), soprattutto dove serve della carica elettrica pronta per l uso. In pratica, anche una sfera di metallo è un condensatore. Essa, infatti, può essere caricata elettricamente. Tuttavia, sarebbe di poca utilità pratica. Il campo elettrico prodotto dalle cariche potrebbe disturbare gli altri componenti dei circuiti elettronici di cui fa parte. Lo schema di condensatore più usato è il condensatore piano: un condensatore piano è formato da due lastre metalliche parallele (dette armature), elettrizzate con cariche uguali e opposte, sistemate ad una distanza piuttosto piccola rispetto alla loro estensione. In questo caso, il campo elettrico generato dalle cariche rimane confinato tra le due armature e il condensatore risulta dall esterno complessivamente neutro (ricordate che la carica totale è zero, Q tot = (+Q) + ( Q) = 0). I condensatori si distinguono per la loro capacità di accumulare cariche. Questa capacità si misura fisicamente facendo il rapporto: C = Q V A V B, tra la carica Q accumulata sull armatura positiva e la differenza di potenziale V A V B che si viene a creare tra l armatura positiva (A) e quella quella negativa (B). L unità di misura dell capacità è il Farad (F) (in onore di Micheal Faraday). 1 Farad = 1 Coulomb 1 Volt

15 Immaginate di dover caricare un condensatore piano con della carica elettrica positiva +Q su una lastra e una carica uguale ed opposta Q sull altra. Mentre lo state caricano, comincia a crearsi una differenza di potenziale tra le piastre, e più lo caricate, maggiore diventerà la differenza di potenziale. Questa differenza di potenziale rende sempre più difficoltoso aggiungere altra carica. Quindi, se in un condensatore riesco a mettere molta carica (Q grande) creando poca differenza di potenziale (quindi con poca fatica), questo condensatore avrà una capacità alta: C = Q (alta) V A V B (bassa) = Capacità alta Questo, in breve, è il motivo per cui i fisici hanno trovato una definizione così strana di capacità. Un analogia semplice potrebbe essere la seguente: dovete gonfiare un palloncino con dell aria. Se il palloncino è fatto di gomma rigida, sarà difficile gonfiarlo molto, poiché appena immettiamo un poco di aria (l equivalente della carica elettrica Q) la pressione interna cresce subito (l equivalente della differenza di potenziale V A V B ) e incontreremo molta difficoltà nel procedere, quindi: Capacità ( facilità di contenere una certa quantità di aria) = aria immessa pressione interna dell aria