Prova Scritta di Fisica Corso di Studi in Ingegneria Civile, Università della Calabria, 1 Luglio 2014

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1 Prova Scritta di Fisica Corso di Studi in Ingegneria Civile, Università della Calabria, 1 Luglio 014 Esercizio 1: Una molla ideale è utilizzata per frenare un blocco di massa 50 kg che striscia su un piano orizzontale di coefficiente di attrito dinamico µ d = 0.5 e coefficiente di attrito statico µ s = Quando il blocco si trova a 80 cm dalla molla, la sua velocità è pari a 4.5 m/s. Sapendo che la frenata produce una compressione di 8 cm, determinare il valore della costante elastica k. Quale valore massimo della costante elastica k max permetterebbe al blocco di rimanere fermo dopo la frenata? In un successivo esperimento, la molla in questione ha una costante elastica k = k max, calcolare lo spazio percorso dal blocco dopo aver compresso la molla prima di fermarsi. Esercizio : Una bacchetta omogenea di lunghezza 6a e massa 8m giace su un piano orizzontale liscio. Due masse puntiformi m e m si muovono nello stesso piano orizzontale con velocità v e v, rispettivamente, in direzione perpendicolare alla sbarra e la colpiscono nello stesso istante, rimanendo attaccate ad essa come illustrato in figura. Determinare la velocità del centro di massa, il momento angolare, la velocità angolare e l energia cinetica del sistema dopo l urto. Trascurando tutti gli attriti, spiegare i possibili movimenti che si innescano dopo l urto. a m v 8m v m a Esercizio 3: Un cilindro molto lungo di raggio R è caricato con densità di carica volumetrica ρ > 0. Una carica puntiforme q < 0 di massa m si trova a ruotare su un orbita circolare di raggio r/ con centro sull asse del cilindro. Determinare la velocità della carica e la sua energia meccanica. q ρ

2 Soluzione 1: Nel primo esperimento il blocco parte da una distanza d = 0.80 m, con velocità v 0 = 4.50 m/s, e striscia sul piano orizzontale fino a comprimere la molla (di un tratto δ = 0.08 m). Nel processo la sua variazione di energia meccanica E m = 1 kδ 1 mv 0 è pari al lavoro prodotto dalla forza di attrito dinamico Ne segue da cui L = µ d mg (d + δ). 1 kδ 1 mv 0 = µ d mg (d + δ) k = dgµ dm δ gµ dm δ + mv 0 δ = N/m. La velocità del blocco nel punto di massima compressione è nulla. Se la costante elastica avesse un valore inferiore a k max tale da rendere la forza elastica completamente bilanciata dalla forza di attrito statico, k max δ µ s mg = 0 k max = µ smg δ = N/m, il corpo rimarrebbe fermo con la molla compressa. Nel primo esperimento la costante elastica consente alla molla di decomprimersi e al corpo di essere respinto. Nel secondo esperimento la costante elastica della molla (k = k max ) permette una compressione δ x maggiore di quella del primo esperimento. Infatti, procedendo come nella prima parte del problema, si trova: E m = L 1 kδ x 1 mv 0 = µ d mg (d + δ x ) ( δ x = gmµ d k kv 0 g mµ d ) dk = 3.46 cm gmµ d Nella fase di decompressione la molla è frenata dalla forza di attrito dinamico. Il nuovo punto di equilibrio x 0 è dato dal punto di annullamento della forza elastica e della forza di attrito dinamico: kx 0 µ d mg = 0 x 0 = µ dmg k =.67 cm. La molla si porta in posizione x 0 poggiando sul blocco con energia cinetica massima mv max/, e il blocco subisce una variazione di energia meccanica pari a E m = mv max + kx 0 kδ x. Nello stesso processo la forza di attrito dinamico compie il lavoro L = µ d mg(δ x x 0 ),

3 per cui mv max + kx 0 kδ x = µ dmg(δ x x 0 ). Nella fase successiva il blocco si stacca dalla molla con un energia cinetica iniziale mvmax = k ( ) δ x x 0 µ d mg(δ x x 0 ) = J e si ferma dopo aver percorso un tratto s tale che mv max = µ d mgs s = v max µ d g = 81 cm Lo spostamento complessivo dal punto di massima compressione è dato da s + δ x x 0 = 1.0 m. Soluzione : La quantità di moto iniziale del sistema è nulla P = mvj + m ( vj) = 0, dove con j si è indicato il versore della direzione perpendicolare alla bacchetta. Dopo l urto la quantità di moto totale riferita al centro di massa, che per simmetria rimane nel centro della bacchetta, è data dall espressione P = (m + m + 8m)V cm. Nell urto si conserva la quantità di moto totale del sistema, per cui il centro di massa si trova a riposo P = P 0 =11mV cm V cm = 0. Il moto della bacchetta è puramente rotazionale intorno al centro di massa, rispetto all asse perpendicolare al piano (z). In assenza di attriti la bacchetta ruota di moto circolare uniforme, con un momento di inerzia I cm,z = I bacchetta cm,z + m (a) + (m) a = 8m 1 (6a) + m (a) + (m) a = 30ma. Nell urto si conserva anche il momento angolare. Con riferimento al centro di massa, si può scrivere L cm = 6mavk = L cm = I cm,z ωk = 30ma ωk, da cui (rotazione in senso orario): ω = v 5a.

4 y a m v 8m v CM m a Infine, l energia cinetica del sistema è data dalla relazione E c = 1 I cm,zω = 1 ( ) v 30ma = 3mv. 5a 5 Soluzione 3: Il primo passo è la determinazione del campo elettrico nei punti della traiettoria percorsa dalla carica negativa. A tal fine si considera una superficie gaussiana Σ di forma cilindrica, avente lo stesso asse della distribuzione di carica, un raggio pari a r/, ed un altezza arbitraria l. Il campo elettrico della distribuzione è diretto perpendicolarmente alla superficie Σ e in verso uscente. Il suo flusso, dato dal prodotto Φ Σ (E) = π r le. Per il teorema di Gauss esso equivale a q (Σ) /ε 0 dove ( r ) q (Σ) = ρπ l rappresenta la carica interna alla superficie Σ. Ne segue: π r ρπ ( r ) ρr le = l E =. ε 0 y u r E r/ Σ z ρ O r/ q x

5 In un sistema di coordinate cartesiano, con origine sul centro della traiettoria della carica, e asse z parallelo all asse della superficie Σ, il campo elettrico ha il verso della direzione radiale del piano xy. La forza elettrica esercitata sulla carica è di natura centripeta F q = ρ q r u r. Non essendo presenti forze tangenziali, l accelerazione della carica è centripeta ed il moto circolare uniforme ma = F q mv r/ = ρ q r v = 8mε 0 v = ρ q 8mε 0 r. Equivalentemente, nel sistema di riferimento accelerato della carica si ha un equilibrio tra la forza centripeta legata al campo elettrico e la forza centrifuga, di natura non inerziale. Per associare un energia meccanica alla carica, si può porre lo zero dell energia potenziale E p nel centro della traiettoria circolare. Allora, E p è data dal lavoro compiuto dalla forza elettrica per spostare la carica da tale centro a un punto della circonferenza, distante r/ dal centro: E p = 0 r/ F q dr = ρ q r Infine l energia meccanica è pari a r =0 r =r/ = 3ε 0. E m = 16ε 0 + 3ε 0 = 3 3ε 0