La legge di Ohm. Alessio Bianchi 24 maggio 2017

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1 La legge di Ohm Alessio Bianchi 24 maggio 207 Sommario Confronto tra misure di resistenze con multimetro analogico e digitale. Verifica dei valori riportati dal resistor color code sulle resistenze. Confronto della R eq teorica e sperimentale di resistenze in serie e in parallelo con il sistema volt - amperometrico. Indice Descrizione delle grandezze fisiche e dei fenomeni coinvolti 2 Descrizione dell apparato strumentale 3 3 Raccolta ed elaborazione dati sperimentali 3 4 Analisi degli errori e risultati sperimentali 7 5 Commenti finali 7 Descrizione delle grandezze fisiche e dei fenomeni coinvolti La legge di Ohm esprime la differenza di potenziale V agli estremi di un filo conduttore in funzione della resistenza al flusso di elettroni R e all intensità della corrente che lo attraversa I: V = RI da cui R = V () I la cui unità di misura è V/A = Ω (Ohm). Tale resistenza deriva dal drift degli elettroni stessi il cui moto è deviato dalla presenza degli atomi del conduttore. Essa è proporzionale alla lunghezza L e alla sezione A del conduttore secondo: R = ρ L A con ρ resistività specifica del conduttore (seconda legge di Ohm).

2 In un circuito, il filo conduttore viene solitamente considerato con resistenza nulla o trascurabile. Le resistenze rappresentative (resistori) vengono schematizzate con uno zig-zag. Dalla () si possono così ricavare i valori di resistenze incognite immettendo una certa corrente nel sistema e rapportando V ed I oppure misurandole direttamente con un ohmetro. Nel primo caso, si sfrutta un sistema volt - amperometrico. Si alimenta cioè il circuito con un generatore di tensione e si leggono in simultanea tensione ai capi del resistore a resistenza incognita e l intensità di corrente. Esistono due configurazioni di tale sistema dipendenti dal fatto che il voltmetro e l amperometro impiegati abbiano essi stessi una loro resistenza interna. La configurazione più conveniente dipende dal rapporto tra resistenza incognita e quelle degli strumenti. Figura : Sistema volt-amperometrico con voltmetro a monte. Questa prima configurazione risulta conveniente nel caso in cui la resistenza incognita R x R A dell amperometro. Con la legge di Ohm, si dimostra infatti che le due resistenze in serie si sommano. Per R x R A, R eq R x che si vuole determinare. R eq = R A + R x (2) Figura 2: Sistema volt-amperometrico con voltmetro a valle. La seconda configurazione è invece ottimale per R x R V. Sempre con la legge di Ohm, si dimostra che il reciproco della resistenza equivalente alle due resistenze in parallelo è: = + (3) R eq R x R V Per R x R V, /R V è trascurabile rispetto a /R x e /R eq /R x. 2

3 In generale e in entrambi i due casi, essendo gli amperometri collegati in serie è importante che R A 0 ed essendo i voltmetri collegati in parallelo che R V +. Nel corso dell esperienza è stata utilizzata la configurazione con voltmetro a valle in quanto tutte le resistenze incognite erano molto più piccole di quella del voltmetro determinata come R V = 20 kω V fondoscala. 2 Descrizione dell apparato strumentale Basetta con tre differenti configurazioni di resistori; Tabella con resistor color code; Generatore di tensione con sensibilità 0. V; Multimetro analogico le cui sensibilità saranno riportate di volta in volta rispetto alla modalità di utilizzo; Multimetro digitale (ibidem); Set di cavi di collegamento. 3 Raccolta ed elaborazione dati sperimentali Determinazione resistenze con multimetro analogico e digitale. Figura 3: Schema delle tre configurazioni circuitali analizzate. 3

4 Per prima cosa, s interpreta tramite il resistor color code, o codice colori, il valore nominale delle resistenze nei circuiti. Ad ogni anellino colorato sul resistore è associata una cifra, un moltiplicatore o un errore percentuale sul valore in Ω (tolleranza). Figura 4: Resistor color code con due esempi di lettura. Resistore Cifra Cifra 2 Moltiplicatore Tolleranza R (Ω) A ±5% 000 ± 50 B ±5% 000 ± 50 A ±5% ± 000 B ±5% ± A ±5% ± 500 B ±5% 000 ± 50 C ±5% ± 650 D ±5% 0 ± 0.5 E ±5% ± 650 F ±5% 000 ± 50 G ±5% ± 500 H ±5% 000 ± 50 Si determinano quindi alcuni valori di resistenze con il multimetro analogico e con quello digitale usati come ohmetro. Al pedice dei resistori in tabella sono riportati anche i fori d inserimento dei cavetti utilizzati e nomenclati in Figura 3 per i circuiti e 2. Vi è poi la resistenza equivalente del circuito 3. Gli errori riportati coincidono con la sensiblità dell ohmetro digitale e con metà della sensibilità di quello analogico anche in accordo col fondoscala utilizzato. Tale fondoscala può essere cambiato di volta in volta variando gli inserimenti dei cavetti nel multimetro analogico di modo che il valore da leggere non ricada agli estremi o fuori dalla scala utilizzata. 4

5 Resistore/i R digitale (Ω) R analogica (Ω) A (a,b) 993 ± 00 ± 50 B (b,c) 000 ± 00 ± 50 A + B (a,d) 990 ± ± 50 A 2(a,b) ± ± 5000 B 2(b,c) ± ± 5000 A 2 + B 2 (a,d) ± ± R eq ± 800 ± 50 Confronto tra R eq sperimentale e teorica Si collega il generatore di tensione al circuito 3 con il multimetro digitale che funge da amperometro in serie e quello analogico da voltmetro in parallelo a valle. Si fa così variare, aumentandola, l intensità di corrente leggendo di volta in volta I e V. V = (3.0 ± 0.5)V V 2 = (5.0 ± 0.5)V V 3 = (9.0 ± 0.5)V V 4 = (23.0 ± 0.5)V V 5 = (29.0 ± 0.5)V I = (3.58 ± 0.0)mA I 2 = (5.59 ± 0.0)mA I 3 = (20.6 ± 0.)mA I 4 = (25.4 ± 0.)mA I 5 = (3.7 ± 0.)mA Si grafica V VS I riportando le barre d errore sul potenziale e tracciando la linea di tendenza dei dati. La resistenza si può ricavare graficamente dal coefficiente angolare m della retta come R r = m 000 = Ω Solo per confronto. 5

6 in quanto I va convertita da ma ad A, e tramite la (): R = V /I = (957.3 ± 37.5) Ω R 2 = V 2 /I 2 = (962.2 ± 32.7) Ω R 3 = V 3 /I 3 = (922.3 ± 28.7) Ω R 4 = V 4 /I 4 = (905.5 ± 23.2) Ω R 5 = V 5 /I 5 = (94.8 ± 8.7) Ω n i= R = R i = Ω n n i= σ R = ( R R i ) 2 = 25.7 Ω n Per ricavare la resistenza teorica equivalente del circuito 3, operiamo alcune considerazioni: innanzi tutto, ridefiniamo lo schema del circuito per facilitarne l analisi. Notiamo che R A3 = R G3, R B3 = R F 3, e R C3 = R E3. Pertanto, sono state indicate con la medesima forma geometrica. Questo, insieme al fatto che V 6

7 ai capi di D 3 e H 3 sia la medesima e uguale a zero, determina il fatto che anche le loro resistenze siano nulle. Si possono quindi non considerare per il calcolo della resistenza teorica equivalente. Si risolve il circiuto generalizzando la (2) e la (3) per resistenze in serie e in parallelo. R eq = 3 i= R () = R A3 + R G3 = (20000 ± 000) Ω R (2) = R B3 + R F 3 = (2000 ± 00) Ω R (3) = R C3 + R E3 = (66000 ± 3300) Ω R (i) = /Ω R eq = (769 ± 265) Ω 4 Analisi degli errori e risultati sperimentali Gli errori sui valori letti dagli strumenti coincidono con la sensibilità di quelli digitali e con la metà della sensibilità di quelli analogici in accordo col fondoscala in uso. Resistenze in serie: Resistenza dalla legge di Ohm: δr = R ( δ V V ( Resistenza equivalente circuito 3: δr eq = R eq Risultati δr () = δr A3 + δr G3 = ±000 Ω δr (2) = δr B3 + δr F 3 = ±00 Ω δr (3) = δr C3 + δr E3 = ±3300 Ω + δi I δr () R () ) (riportati nella sezione relativa) + δr(2) R (2) + δr(3) R (3) ) = ±265 Ω Resistore/i R digitale (Ω) R analogica (Ω) R nominale (Ω) R Ohm (Ω) R ris. circ. (Ω) A 993 ± 00 ± ± 50 B 000 ± 00 ± ± 50 A + B 990 ± ± ± 00* A ± ± ± 000 B ± ± ± 5000 A 2 + B ± ± ± 6000* R eq ± 800 ± ± ± 265 * Determinate, con errore, come somma delle precedenti per il confronto sperimentale. 5 Commenti finali Le resistenze misurate tramite i multimetri, utilizzati come ohmetri, coincidono, a meno degli errori, con i valori nominali del resistor color code. La resistenza determinata con la legge di Ohm del terzo circuito risulta più bassa di quella misurata. Questo perché, per quanto desiderata, il voltmetro non può avere resistenza infinita e l amperometro completamente nulla. 7

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