3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici

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1 3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici Vettori e Spazi Vettoriali Operazioni tra vettori Basi Trasformazioni ed Operatori Operazioni tra Matrici Autovalori ed autovettori Forme quadratiche, quadriche e quadriche in forma canonica 1

2 Vettori e Matrici Un vettore è un insieme ordinato di grandezze Ogni vettore è un punto in uno spazio vettoriale Lo spazio vettoriale è identificato da una base di vettori di riferimento, gli elementi dei vettori sono quindi le coordinate nella base di riferimento. Ogni dato multivariato è descritto in uno spazio vettoriale (cartesiano) in cui gli assi di base sono le grandezze che compongono il vettore stesso. Una matrice è una collezione di vettori riga. 2

3 Esempio 2D Acidità clorofilla clorofilla [2.68, 3.66] acidità 3

4 Notazione di vettori e matrici Vettore Matrice 4

5 Operazioni tra vettori Prodotto interno o scalare x,y = x T y = y T x = Modulo (Norma) di un vettore (Teorema di Pitagora, distanza Euclidea) Proiezione ortogonale di y su x d x = x T x = x k 2 k=1 x k y k u x versore di x (stessa direzione e modulo unitario) d k=1 ( y T u x ) u x x u x y Angolo tra vettori cosϑ xy = xt y x y 5

6 Operazioni tra vettori Due vettori sono detti: Ortogonali se x T y = 0 Ortonormali se x T y = 0 e x = y = 1 Un insieme di n vettori è detto linearmente dipendente se: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = 0 per a k 0 Un insieme di n vettori è detto linearmente indipendente se: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = 0 per a k = 0 k 6

7 Operazioni tra matrici Il determinante di una matrice quadrata A dxd è definito come: det A d d ()= a ik det( A ik ) 1 ( ) k+ j i=1 k=1 Dove A ik è la matrice minore di A ottenuta rimuovendo da A la i-esima riga e la j-esima colonna La traccia di A è la somma degli elementi diagonali Tr A d ()= a kk k=1 Il rango di A è il numero massimo di righe (o colonne) linearmente indipendenti Una matrice quadrata è detta non-singolare se il rango coincide con la dimensione Una matrice non singolare ha determinante non nullo 7

8 Prodotto tra matrici prodotto righe per colonne A m n B n q = C m q a b u v w au + bx av + by aw + bz = c d x y z cu + dx cv + dy cw + dz 8

9 Operazioni tra matrici Matrici speciali: Identità: Diagonale: I = a a a nn Una matrice quadrata è detta ortonormale se A T A = AA T = I La matrice inversa di una matrice quadrata è definita come: A 1 A = AA 1 = I La matrice inversa esiste se e solo se A è non singolare La matrice pseudo-inversa estende il concetto di matrice inversa a matrici rettangolari o a matrici quadrate singolari A + = [ A T A] 1 A T con A + A = I 9

10 Spazio vettoriale Lo spazio a dimensione dove risiedono vettori a dimensione n è detto spazio vettoriale. Un insieme di vettori {u 1,u 2,,u n } forma una base dello spazio vettoriale se qualunque vettore può essere rappresentato come combinazione lineare dei {u i } I coefficienti {a i } sono le componenti di x nella base {u} Per formare una base i vettori{u} devono essere linearmente indipendenti Una base è detta: x = a 1 u 1 + a 2 u a n u n ortogonale : u T 0 i= j i u j = 0 i j ortonormale : u T = 1 i = j i u j = 0 i j Gli assi cartesiani sono un esempio di base ortonormale Data una base qualunque si può costruire una base ortonormale con il procedimento di proiezione di Gram-Schmidt La distanza tra due vettori dello spazio è definita come il modulo del vettore differenza (distanza euclidea) 10

11 Trasformazioni Lineari Una trasformazione lineare è una regola che associa ad ogni vettore dello spazio X N un vettore nello spazio Y M, la trasformazione lineare è rappresentata da una matrice Dato un vettore x X il corrispondente vettore y Y è dato da: y 1 y 1 y M = a 11 a 21 a 12 a 22 a 13 a 23 a M 1 a M 2 a M 3 a 1N a 2N a MN x 1 x 1 Y Mx1 = A MxN X Nx1 Le dimensioni degli spazi di partenza e di arrivo sono generalmente diverse Una trasformazione lineare rappresentata da una matrice A è detta ortonormale se AA T =A T A=I Implica che A T =A -1 Una trasformazione ortonormale preserva il modulo del vettore x N y = y T y = ( Ax) T ( Ax)= x T A T Ax = x T x = x Quindi una matrice ortonormale compie una operazione di rotazione del sistema di riferimento I vettori riga di una trasformazione ortonormale formano una base ortonormale. 11

12 Autovettori ed autovalori Un vettore v è autovettore della matrice A NxN se esiste uno scalare (autovalore) λ tale che: Calcolo dell autovalore: A v = λ v A v = λ v ( A λi)v = 0 A λi = 0 La matrice formata dagli autovettori colonna è detta matrice modale Proprietà: Se A è non singolare tutti gli autovalori sono non zero Se A è reale e simmetrica tutti gli autovettori associati ad autovalori distinti sono ortogonali 12

13 Intepretazione degli autovettori Se A è una matrice che descrive una trasformazione lineare allora un autovettore rappresenta una direzione invariante nello spazio vettoriale Esempio: Matrice di rotazione che ruota vettori nello spazio 3D attorno all asse z ha come singolo autovettore [0 0 1] e 1 come autovalore corrispondente cos β sinβ 0 A = sinβ cos β x y 13

14 Forme quadratiche L equazione generica di una curva quadratica (es. ellisse) è generalmente scritta in forma implicita a x 2 + 2b xy + c y 2 = k E noto come la equazione si semplifichi con un cambiamento di base da x,y agli assi principali dell ellisse λ 1 x 2 + λ 2 y 2 = k L equazione della quadrica si può scrivere in forma matriciale come: a x 2 + 2b xy + c y 2 = [ x y] a b x b c y Gli assi principali dell ellisse coincidono con gli autovettori della matrice associata e gli autovalori sono proprio i termini λ che compaiono nella equazione canonica. 14

15 Esempio di calcolo di autovettori e autovalori 13 x 2 10 x y + 13 y 2 = x [ x y] = y A v = λ v ( A λ I) v = 0 det( A λ I)= 0 det 13 λ 5 = 0 ( 13 λ) 2 25 = λ λ 2 26 λ = 0 λ 1 = 8; λ 2 = 18 y v λ 2 λ 1 v 1 x ( A λ 1 I) v 1 = 0 v 1 = v = 0 v = ( A λ 2 I) v 2 = v = v 2 = 0 v 2 = λ 1 v λ 2 v 2 2 = 1 15

16 Quadriche in forma canonica Gli autovettori della matrice generatrice della quadrica formano una base nella cui base la quadrica è scritta in forma canonica, quindi la matrice generatrice diventa diagonale. a x 2 + 2b xy + c y 2 a = [ x y] b b x λ 1 u 2 + λ 2 w 2 λ = [ u w 1 0 u ] c y o λ 2 w Le quadriche non definiscono solo le ellissi il segno degli autovalori consente di discriminare il tipo di curva: λ 1 >0 e λ 2 >0 ellisse λ 1 λ 2 <0 iperbole λ 1 =0 e λ 2 >0 retta 16