UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PAVIA REGISTRO. DELLE LEZIONI-ESERCITAZIONI- SEMINARI Anno accademico 2009/10

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1 REGISTRO DELLE LEZIONI-ESERCITAZIONI- SEMINARI Anno accademico 2009/10 Cognome e Nome BISI FULVIO Qualifica RICERCATORE CONFERMATO MAT/07 Insegnamento di GEOMETRIA E ALGEBRA (mn) Impartito presso: Corso di laurea INGEGNERIA MECCATRONICA/ INGEGNERIA PER L AMBIENTE ED IL TERRITORIO (sede di Mantova). Corso di laurea specialistica/magistrale... Corso di laurea interfacoltà.. Scuole di Specializzazione... Scuole di Dottorato di ricerca.

2 n.prog 1-2 data 28 settembre 2009 n.prog 3-4 Introduzione, insiemi; relazioni; rudimenti di logica matematica (quantificatori, implicazione, condizione necessaria, condizione sufficiente); funzioni o applicazioni, iniettività, surgettività; corrispondenze biunivoche, isomorfismi. Insiemi numerici: naturali, interi, razionali, reali, complessi. data 28 settembre 2009 n.prog 5-6 Strutture algebriche: gruppi, anelli, campi. Numeri complessi, piano di Gauss; rappresentazione algebrica, rappresentazione trigonometrica, argomento principale e arcotangente a due argomenti (nel piano (x,y)). data 29 settembre 2009 n.prog 7-8 data 5 ottobre 2009 n.prog 9-10 data 5 ottobre 2009 Formula di De Moivre. Anello dei polinomi. Teorema e regola di Ruffini. Esercizi su numeri complessi, sulla divisione fra polinomi. Teorema fondamentale dell algebra e corollario della radice reale per polinomi di grado dispari. Spazio E 3 O dei vettori applicati nel punto O dello spazio euclideo. Span di un vettore e di due vettori. Dipendenza e indipendenza lineare nello spazio dei vettori applicati. Equazioni di una retta in forma vettoriale. Esercizi su numeri complessi e polinomi. Regola di Ruffini, divisione fra polinomi. Scomposizione di un polinomio in campo reale ed in campo complesso. 2

3 n.prog data 6 ottobre 2009 n.prog data 12 ottobre 2009 n.prog data 12 ottobre 2009 n.prog data 13 ottobre 2009 n.prog data 19 ottobre 2009 Equazioni di una retta in forma vettoriale. e parametrica. Vettore direttore. Equazione di un piano in forma vettoriale e parametrica. Vettore normale al piano. Prodotto scalare; proiezioni. Fasci di piani, fasci di rette. Esempi di utilizzo. Equazione della superficie sferica di centro C e raggio R. Posizione reciproca fra retta e sfera. Posizione reciproca fra piano e sfera, raggio della circonferenza intersezione. Esercizi di riepilogo di geometria analitica. Rette, piani, sfere. Prodotto vettoriale in E 3 O. Spazi vettoriali: definizioni ed esempi. Sottospazi vettoriali. Combinazione lineare; sottospazio generato da un insieme di vettori (span); sistema di generatori. Analogie con la casistica e la terminologia introdotta in E 3 O. Esempi; vettori colonna a componenti in un campo. Dipendenza ed indipendenza lineare. Spazi vettoriali finitamente generati, basi e dimensione. Esempi di spazi non finitamente generati. Spazio vettoriale intersezione. 3

4 n.prog data 19 ottobre 2009 n.prog data 20 ottobre 2009 n.prog data 26 ottobre 2009 n.prog data 26 ottobre 2009 Esempi di spazi vettoriali e sottospazi vettoriali. Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi vettoriali. Sottospazi generati. Spazio vettoriale somma di due sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Somma diretta. Decomposizione unica di un vettore in un set di n spazi in somma diretta. Esempi ed analogie con lo spazio E 3 O. Sistemi lineari: definizione; scrittura compatta in forma matriciale di un sistema di m equazioni in n incognite; soluzioni. Sistemi quadrati; sistemi triangolari superiori: condizione necessaria e sufficiente per l esistenza e l unicità della soluzione. Principio di induzione. Anello delle matrici a entrate in un campo; spazio vettoriale delle matrici rettangolari a entrate in un campo; matrici triangolari alte e basse; matrici diagonali. Prodotto righe per colonne fra matrici. Determinazione/estrazione/completamento di basi di uno spazio o un sottospazio vettoriale. Dipendenza ed indipendenza lineare. Basi e dimensioni di spazi intersezioni e somma. L insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è un sottospazio vettoriale. Varietà (o sottovarietà, o sottospazio) affine traslata. 4

5 n.prog data 27 ottobre 2009 n.prog Trasposta di una matrice; prodotto del trasposto Traccia di una matrice e teorema della traccia della trasposta: dimostrazione (sommatorie ed indici muti). Matrici simmetriche ed antisimmetriche. Determinante di una matrice; definizione con la formula di sviluppo sulla prima colonna. Esempio per il caso di una matrice quadrata di ordine 2. data 2 novembre 2009 n.prog Teoremi dello sviluppo sulla prima riga e della matrice trasposta (dimostrazione). Proprietà della funzione determinante (con alcune dimostrazione). Minori e complementi algebrici. Teorema di Laplace per lo sviluppo secondo una riga o una colonna qualunque. data 2 novembre 2009 n.prog Esercizi sulle matrici come spazi vettoriali. Spazi vettoriali delle matrici triangolari e diagonali. Calcolo di prodotti righe per colonne. Decomposizione di una matrice quadrata in una triangolare bassa ed una alta. Decomposizione unica di una matrice in una simmetrica ed una antisimmetrica. data 3 novembre 2009 Rango di una matrice (dimensione del sottospazio generato dai vettori colonna). Matrici ortogonali (definizione e prime caratterizzazioni; condizione necessaria sul determinante). Gruppo lineare delle matrici di ordine n ed il problema del cambio di base. 5

6 n.prog data 9 novembre 2009 n.prog Coincidenza fra l insieme delle matrici non singolari e le matrici del gruppo lineare (mediante analisi del cambio di base). Teorema di struttura per le soluzioni di un sistema lineare di m equazioni in n incognite. Applicazioni (operatori) lineari: definizione ed esempi. Nucleo ed immagine di un applicazione lineare. Enunciato del teorema delle dimensioni. data 9 novembre 2009 n.prog Il nucleo e l immagine di un operatore lineare sono sottospazi vettoriali: dimostrazione. Esempi. Esercizi su calcolo del determinante di una matrice quadrata reale e la determinazione del rango di una matrice reale qualunque. data 10 novembre 2009 n.prog Dimostrazione del teorema delle dimensioni. Esempi di operatori lineari: il coniugio è lineare per lo spazio vettoriale dei numeri complessi sul campo reale ma non sul campo complesso. Operatori lineari fra spazi vettoriali non finitamente generati (derivata). Matrici associate ad un operatore lineare; matrice di cambio di base; matrici simili ed equivalenti; matrici di rappresentazione di un operatore lineare su basi differenti. La condizione di uguale rango è solo necessaria per la similitudine (esempi). data 16 novembre 2009 Riepilogo sulle applicazioni lineari e sui cambi di base. Operatori lineari astratti, operatori lineari associati ad una matrice. Invarianti per similitudine: rango, traccia, determinante. Teorema di equivalenza per le matrici dello stesso rango (dimostrazione). Isomorfismo di rappresentazione. Equivalenza della dipendenza lineare per i vettori e per le loro rappresentazioni. Lemma e teorema di Rouché Capelli. 6

7 n.prog data 16 novembre 2009 n.prog Esercizi di riepilogo sulle applicazioni lineari. Complementi. Risoluzione di sistemi lineari: analisi mediante teorema di Rouché Capelli; metodo dell isolamento delle equazioni e delle variabili dipendenti. data 17 novembre 2009 n.prog Matrici a scala. Lemma del rango, dell immagine e del kernel di una matrice a scala. Eliminazione di Gauss per sistemi lineari qualunque e riduzione a sistemi a scala. Teorema di equivalenza fra sistemi lineari di equazioni generici e a scala. Applicazioni: risoluzione di sistemi; determinazione di rango e base dell immagine di una matrice; determinazione di una base del kernel di una matrice; estrazione e completamento di una base; base dello spazio somma. data 23 novembre 2009 n.prog Prodotto scalare canonico in R n ; interpretazione degli elementi della matrice prodotto fra matrici AB come p.s. Tra riga i esima di A e colonna j esima di B. Composizione di applicazioni lineari; motivazione della definizione del prodotto fra matrici; matrice rappresentativa dell identità in differenti basi, ma omogenee in dominio e codominio. Matrici ortogonale 22 (ripresa); gruppo ortogonale di ordine n e gruppo ortogonale speciale e generiche. Caratterizzazione dei vettori righe/colonne di una matrice ortogonale. data 23 novembre 2009 Interpretazione geometrica del determinante di una matrice 22; prodotto misto ed interpretazione geometrica del determinante di una matrice 33. Determinazione di una base di uno spazio intersezione. Esercizi di riepilogo sulla riduzione a scala dei sistemi. 7

8 n.prog data 24 novembre 2009.prog Esempi di esistenza e ricerca di vettori uniti in una trasformazione lineare di uno spazio vettoriale V in sé. Caso delle matrici ortogonali speciali e non. Esempio fondamentale in campo reale e in campo complesso. Definizione di autovalore ed autovettore; autospazio di un autovalore. Un operatore lineare ha una base di autovettori se e solo se nella base la matrice è diagonale. Diagonalizzabilità di un operatore (di una matrice). Autovettori di autospazi distinti sono linearmente indipendenti. _ data 30 novembre 2009 n.prog Autospazi in somma diretta: teorema. Molteplicità algebrica e geometrica. Condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilità di un operatore (di una matrice). _ data 30 novembre 2009 n.prog Riepilogo di sistemi lineari, estrazione/completamento di base; sistemi lineari dipendenti da un parametro. Complementi. _ data 1 dicembre 2009 Proprietà del prodotto scalare canonico e della norma indotta in R n. Disuguaglianza di Cauchy Schwartz; disuguaglianza triangolare. Prodotto scalare fra un vettore ed il trasfomato di un secondo vettore secondo un operatore lineare. Ortogonalizzazione di Gram Schmidt. 8

9 n.prog data 7 dicembre 2009 n.prog 63 Considerazioni finali circa l'ortogonalizzazione di Gram Schmidt. Basi ortogonali e basi ortonormali. Proprietà delle componenti di un vettore su base ortogonale/ortonormale (formula di Parseval, teorema di Pitagora generale). Proiezione ortogonale e complemento ortogonale: dimensione del complemento ortogonale. data 7 dicembre 2009 n.prog Esercizi di applicazione; diagonalizzazione e ortogonalità. Risoluzione di sistemi lineari con un parametro. _ data 15 dicembre 2009 n.prog Prodotto hermitiano in C n e sue proprietà. Matrici simmetriche: condizione necessaria per l'esistenza di una base ortonormale di autovettori di una matrice (un operatore); ortogonalità degli autospazi associati ad autovalori distinti; invarianza del complemento ortogonale di un sottospazio invariante; teorema spettrale e suo corollario. Esempi. _ data 15 dicembre 2009 Esercizi e complementi su ortogonalità e diagonalizzazione: determinazioni di complementi ortogonali e relative basi; autospazi e relative basi. Autovalori e diagonalizzabilità di una matrice O(2) (ortogonale di ordine 2); interpretazione geometrica. _ 9

10 n.prog data 16 dicembre 2009 n.prog Forme quadratiche in R n ; forma canonica e criterio per la definitezza positiva/negativa. data 21 dicembre 2009 n.prog Curve algebriche: Coniche; ellisse, iperbole, parabola. Definizione; forma canonica; conica degenere. Matrice associata ad una forma quadratica; classificazione delle coniche mediante la matrice associata. Cambio di variabili per ridurre la conica ad una forma canonica: rotazione degli assi e traslazione. _ data 21 dicembre 2009 n.prog Esercizi sulle coniche. _ data 22 dicembre 2009 Superficie algebriche; quadriche. Paraboloide ellittico e paraboloide iperbolico; ellissoide; iperboloide ad una falda e a due falde. Quadriche di rotazione. Matrice associata ad una quadrica. Quadrica singolare e non singolare. Classificazione di una quadrica e sua riduzione in forma canonica. (Nota: la lezione viene tenuta per i presenti, ma non viene inclusa nel programma per i disagi legati alle forti nevicate che hanno impedito a molti studenti di raggiungere la sede) _ 10

11 n.prog data 11 gennaio 2010 n.prog Esercitazioni di riepilogo _ data 11 gennaio 2010 n.prog Esercitazioni di riepilogo _ data 12 gennaio 2010 Esercitazioni di riepilogo _ 11

12 RIASSUNTO - Numero lezioni assegnate. - Numero lezioni effettivamente impartite Numero esercitazioni effettivamente impartite Numero dei seminari svolti.. - Numero lezioni perdute per malattie.. - Numero lezioni perdute per altri motivi (specificare.. totale.. IL DOCENTE.. Visto del Preside. Visto del Direttore (*). (*) per le Scuole di Specializzazione e le Scuole di Dottorato di ricerca 12