Algoritmi. Strutture dati. Strumenti del linguaggio di programmazione

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1 COSA IMPAREREMO

2 ARGOMENTI CORSO Algoritmi Strutture dati Strumenti del linguaggio di programmazione

3 ARGOMENTI CORSO Algoritmi Tipi di dato semplici Tipi di dato strutturati: array struct Strutture di controllo del flusso File Puntatori Funzioni Strutture dati Strumenti del linguaggio di programmazione

4 ARGOMENTI CORSO Algoritmi Liste Pile Code Strutture dati Strumenti del linguaggio di programmazione

5 ARGOMENTI CORSO Algoritmi su vettori Algoritmi su liste Algoritmi su pile Algoritmi su code Algoritmi Strutture dati Strumenti del linguaggio di programmazione

6 ARGOMENTI CORSO COSA SUCCEDE SE? Algoritmi Strutture dati Strumenti del linguaggio di programmazione

7 ARGOMENTI CORSO Algoritmi Operare scelte CONSAPEVOLI considerando tutti i casi possibili e valutando efficacia ed efficienza per risolvere un problema Strutture dati Strumenti del linguaggio di programmazione La risoluzione di un problema è il processo che dato un problema e individuato un opportuno metodo risolutivo, trasforma i dati iniziali nei corrispondenti risultati finali.

8 PROGRAMMARE == IMPLEMENTARE? «Algoritmi e strutture dati» Demetrescu, Finocchi, Italiano, Mc Graw-Hill cap. 1

9 L ISOLA DEI CONIGLI Algoritmi Strutture dati Strumenti del linguaggio di programmazione Leonardo da Pisa si interessò di molte cose, tra cui il seguente problema di dinamica delle popolazioni: Quanto velocemente si espanderebbe una popolazione di conigli sotto appropriate condizioni? In particolare, partendo da una coppia di conigli in un isola deserta, quante coppie si avrebbero nell anno n?

10 LE REGOLE DI RIPRODUZIONE Una coppia di conigli genera due coniglietti ogni anno I conigli cominciano a riprodursi soltanto al secondo anno dopo la loro nascita I conigli sono immortali

11 L ALBERO DEI CONIGLI La riproduzione dei conigli può essere descritta in un albero come segue:

12 LA REGOLA DI ESPANSIONE Nell anno n, ci sono tutte le coppie dell anno precedente, e una nuova coppia di conigli per ogni coppia presente due anni prima. Indicando con F n il numero di coppie dell anno n, abbiamo la seguente relazione di ricorrenza: F n = F n-1 + F n-2 se n 3 1 se n=1,2

13 IL PROBLEMA Come calcoliamo F n?

14 UN APPROCCIO NUMERICO Possiamo usare una funzione matematica che calcoli direttamente i numeri di Fibonacci. Si può dimostrare che: dove:

15 ALGORITMO FIBONACCI1

16 CORRETTEZZA? Qual è l accuratezza su e per ottenere un risultato corretto? Ad esempio, con 3 cifre decimali: n fibonacci1(n) arrotondamento F n

17 ALGORITMO FIBONACCI2 Poiché fibonacci1 non è corretto, un approccio alternativo consiste nell utilizzare direttamente la definizione ricorsiva: algoritmo fibonacci2(intero n) intero if (n 2) then return 1 else return fibonacci2(n-1) + fibonacci2(n-2) Opera solo con numeri interi.

18 ALBERO DELLA RICORSIONE Utile per risolvere la relazione di ricorrenza. Nodi corrispondenti alle chiamate ricorsive. Figli di un nodo corrispondenti alle sottochiamate.

19 ALBERO DELLA RICORSIONE Dall albero della ricorsione e sfruttando alcuni teoremi sul numero di foglie e sul numero di nodi interni contenuti in un albero binario, si evince che l algoritmo fibonacci2 è MOLTO lento: il numero di linee di codice mandate in esecuzione a fronte di una generica chiamata alla funzione fibonacci2(n) cresce infatti.!!!! come i conigli di Fibonacci!!!! Ad esempio: per n=8 vengono mandate in esecuzione 61 linee di codice, per n=45 vengono mandate in esecuzione linee di codice.

20 ALGORITMO FIBONACCI3 Perché l algoritmo fibonacci2 è lento? Perché continua a ricalcolare ripetutamente la soluzione dello stesso sottoproblema. : memorizzare allora in un array le soluzioni dei sottoproblemi algoritmo fibonacci3(intero n) intero sia Fib un array di n interi Fib[1] Fib[2] 1 for i = 3 to n do Fib[i] Fib[i-1] + Fib[i-2] return Fib[n]

21 CALCOLO DEL TEMPO DI ESECUZIONE L algoritmo fibonacci3 impiega un tempo proporzionale a n invece che esponenziale in n come fibonacci2. Ad esempio: per n=45 vengono mandate in esecuzione 90 linee di codice, risultando così 38 milioni di volte più veloce di fibonacci2!!!! per n=58 fibonacci3 è circa 15 miliardi di volte più veloce di fibonacci2!!! Tempo effettivo richiesto da implementazioni in C dei due algoritmi su piattaforme diverse:

22 OCCUPAZIONE DI MEMORIA Il tempo di esecuzione non è la sola risorsa di calcolo che ci interessa. Anche la quantità di memoria necessaria può essere cruciale. Se abbiamo un algoritmo lento (non troppo), dovremo solo attendere più a lungo per ottenere il risultato. Ma se un algoritmo richiede più spazio di quello a disposizione, non otterremo mai la soluzione, indipendentemente dal tempo di attesa.

23 ALGORITMO FIBONACCI4 fibonacci3 usa un array di dimensione n. In realtà non ci serve mantenere tutti i valori di Fn precedenti, ma solo gli ultimi due, riducendo lo spazio a poche variabili in tutto: algoritmo fibonacci4(intero n) intero a b 1 for i = 3 to n do a rappresenta Fib[i-2] c a+b b rappresenta Fib[i-1] a b b c c rappresenta Fib[i] return b

24 POTENZE RICORSIVE fibonacci4 non è il miglior algoritmo possibile. E possibile dimostrare per induzione la seguente proprietà di matrici: n-1 = F n F n-1 F n-1 F n-2 Useremo questa proprietà per progettare un algoritmo più efficiente.

25 ALGORITMO FIBONACCI5 PSEUDOCODICE! Il tempo di esecuzione è ancora O(n). Cosa abbiamo guadagnato?

26 CALCOLO DI POTENZE Possiamo calcolare la n-esima potenza elevando al quadrato la (n/2)-esima potenza. Se n è dispari eseguiamo una ulteriore moltiplicazione Esempio: 3 2 =9 3 4 =(3 2 ) 2 =(9) 2 = =(3 4 ) 2 =(81) 2 =6561

27 ALGORITMO FIBONACCI6 Tutto il tempo richiesto da fibonacci6 è speso nella funzione potenzadimatrice che calcola ricorsivamente la potenza della matrice elevando al quadrato la sua potenza (n/2)-esima.

28 RIEPILOGO fibonacci2 fibonacci3 fibonacci4 fibonacci5 fibonacci6 Tempo di esecuzione O(2 n ) O(n) O(n) O(n) O(log n) Occupazione di memoria O(n) O(n) O(1) O(1) O(log n)

29 MORALE Progettare algoritmi efficienti può avere un effetto drammatico sull incremento delle prestazioni. (Ricordiamoci, ad esempio, che se n vale un miliardo log 2 n sarà pari a 30!!!) Come misurare l efficienza di un algoritmo? q.tà tempo di calcolo (tempo di CPU) indipendente dalle tecnologie e dalle piattaforme q.tà spazio Non vogliamo valutare i dettagli della particolare istanza del problema, ma riferirci alla dimensione dell istanza di ingresso. Una stima dell ordine di grandezza può darci le informazioni necessarie (notazione asintotica).

30 ALGORITMI

31 RISOLUZIONE DI PROBLEMI La risoluzione di un problema è il processo che dato un problema e individuato un opportuno metodo risolutivo, trasforma i dati iniziali nei corrispondenti risultati finali. Affinché la risoluzione di un problema possa essere realizzata attraverso l uso del calcolatore, tale processo deve poter essere definito come sequenza di azioni elementari.

32 ALGORITMO Un algoritmo (matematico arabo Al Khuwarizmi, vissuto nel IX secolo d.c.) è una sequenza finita di mosse che risolve in un tempo finito una classe di problemi L esecuzione delle azioni nell ordine specificato dall algoritmo consente di ottenere, a partire dai dati di ingresso, i risultati che risolvono il problema. METODO RISOLUTIVO (ALGORITMO) DATI Esecutore RISULTATI ESECUTORE: una macchina astratta capace di eseguire le azioni specificate dell algoritmo

33 ALGORITMI: PROPRIETA Eseguibilità: ogni azione deve essere eseguibile dall esecutore in un tempo finito Non-ambiguità: ogni azione deve essere univocamente interpretabile dall esecutore Finitezza: il numero totale di azioni da eseguire per ogni insieme di dati di ingresso deve essere finito

34 ALGORITMI: PROPRIETA Quindi, un algoritmo deve: Essere applicabile a qualsiasi insieme di dati in ingresso appartenenti al dominio di definizione dell algoritmo Essere costituito di operazioni appartenenti ad un determinato insieme di operazioni fondamentali Essere costituito di regole non ambigue, cioè interpretabili in modo univoco qualunque sia l esecutore (persona o «macchina») che le legge

35 ALGORITMI: PROPRIETA Un algoritmo deve poter essere eseguito da chiunque, senza che l'esecutore sia stato necessariamente coinvolto nella formulazione del problema o nella descrizione dell algoritmo Gli algoritmi devono essere formalizzati per mezzo di appositi linguaggi, dotati di strutture linguistiche che garantiscano precisione e sintesi I linguaggi naturali non soddisfano questi requisiti, infatti... sono ambigui: la stessa parola può assumere significati diversi in contesti differenti (pesca è un frutto o un attività sportiva) sono ridondanti: lo stesso concetto può essere espresso in molti modi diversi, ad esempio somma 2 a 3, calcola 2+3, esegui l addizione tra 2 e 3

36 ALGORITMI E PROGRAMMI Ogni elaboratore è una macchina in grado di eseguire azioni elementari su oggetti detti DATI L esecuzione delle azioni è richiesta all elaboratore tramite comandi elementari chiamati ISTRUZIONI espresse attraverso un opportuno formalismo: il LINGUAGGIO DI PROGRAMMAZIONE La formulazione testuale di un algoritmo in un linguaggio comprensibile a un elaboratore è detta PROGRAMMA

37 PROGRAMMA Un PROGRAMMA è un testo scritto in accordo alla sintassi e alla semantica di un linguaggio di programmazione Un programma è la formulazione testuale, in un certo linguaggio di programmazione, di un algoritmo che risolve un dato problema Problema ANALISI Algoritmo Relazioni tra problema, analisi, algoritmo, programmazione, programma, dati ed elaborazione PROGRAMMAZIONE Programma ELABORAZIONE Dati Risultati

38 ALGORITMO E PROGRAMMA Per risolvere un problema: Individuazione di un procedimento risolutivo Scomposizione del procedimento in un insieme ordinato di azioni ALGORITMO Rappresentazione dei dati e dell algoritmo attraverso un formalismo comprensibile dal calcolatore LINGUAGGIO DI PROGRAMMAZIONE Problema Algortimo Programma Metodo risolutivo Linguaggio di programmazione

39 ESEMPIO Come piegare un foglio quadrato per ottenere una figura:

40 PRIMITIVE

41 ESEMPIO: ORDINAMENTO DI UN MAZZO DI CARTE Problema: Sia dato un mazzo da 40 carte da ordinare in modo che quelle di cuori precedano quelle quadri, che a loro volta precedono quelle di fiori e quelle di picche; le carte di uno stesso seme sono ordinate dall asso al re. Algoritmo: Si suddivida il mazzo in 4 mazzetti, ciascuno costituito da tutte le carte dello stesso seme Si ordinino le carte di ciascun mazzetto dall asso al re Si prendano nell ordine i mazzetti di cuori, quadri, fiori e picche

42 ESEMPIO: CALCOLO DELLE RADICI DI EQ. DI 2 GRADO Problema: Calcolo delle radici reali dell equazione ax 2 +bx+c=0 Algoritmo: Acquisire i coefficienti a,b,c Calcolare = b 2 4ac Se <0 non esistono radici reali, eseguire l'istruzione 7) Se =0, x 1 =x 2 = b/2a, poi eseguire l'istruzione 6) Se >0, x 1 =( b+ )/2a, x 2 =( b )/2a Comunicare i valori x 1, x 2 Fine Si utilizzano VARIABILI, ossia nomi simbolici usati nell algoritmo per denotare dati

43 ESEMPIO: CALCOLO DEL M.C.D. Problema: Calcolare il M.C.D. di due interi a,b, con a>b Algoritmo: Formalizzato da Euclide nel 300 a.c., si basa sul fatto che ogni divisore comune ad a e b è anche divisore del resto r della divisione intera di a per b, quando a>b e r 0; se r=0, b è il M.C.D. MCD(a,b) = MCD(b,r), se r 0 MCD(a,b)=b, se r=0 L algoritmo garantisce la determinazione del M.C.D. senza il calcolo di tutti i divisori di a e b

44 ESEMPIO: CALCOLO DEL M.C.D. Acquisire i valori di a e b Se b>a, scambiare i valori di a e b Calcolare il resto r della divisione intera di a per b Se r=0, MCD(a,b)=b; comunicare il risultato all esterno; eseguire l istruzione 6) Se r 0, sostituire il valore di a con il valore di b ed il valore di b con il valore di r; tornare al passo 3) Fine

45 ALGORITMI EQUIVALENTI Due algoritmi si dicono equivalenti quando: Hanno lo stesso dominio di ingresso Hanno lo stesso dominio di uscita In corrispondenza degli stessi valori del dominio di ingresso producono gli stessi valori nel dominio di uscita

46 ALGORITMI EQUIVALENTI Due algoritmi equivalenti: Forniscono lo stesso risultato Ma possono avere diversa efficienza e possono essere profondamente diversi