Dipartimento di Scienze Statistiche Università di Bologna. Matematica finanziaria aa lezione 21: 25 marzo 2014

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1 Dpartmento d Scenze Statstche Unverstà d Bologna Matematca fnanzara aa lezone 21: 25 marzo 2014 professor Danele Rtell 1/26?

2 CCT/CCTEu S tratta d un ttolo a cedola varable: s ha l esborso d un captale nzale C a seguto da n cedole, che s solto sono ndczzate al rendmento de BOT, e dalla resttuzone del captale C r contestualmente all ultma cedola. L esborso nzale ed l rmborso fnale per svarat motv possono non essere concdent. Sono ttol d credto al portatore o all ordne, con rendmento a tasso varable. Gl nteress sono corrspost tramte cedole semestral postcpate (v sono stat cas, n passato, d emsson con cedola annuale), l cu rendmento è par al rendmento de BOT semestral nell ultma asta che precede l godmento della cedola, aumentato d uno spread che dal 1996 è stato fssato a 15 punt base (0,15%). Il rmborso avvene alla par n un unca soluzone alla scadenza. 2/26?

3 Nel 2010 CCT sono stat modfcat e sosttut dal CCTEu. Il ttolo è sempre a tasso varable ma è ndczzato al tasso d nteresse nterbancaro Eurbor 6 mes. La prma emssone d questa tpologa d ttol era d 5 ann, successvamente d 7. Il mnstero del Tesoro non esclude la possbltà d cambament al rguardo, n base alle preferenze espresse dal mercato. C a C 1 C 2 C n 1 CnC r n1 n 3/26?

4 Nel 2010 CCT sono stat modfcat e sosttut dal CCTEu. Il ttolo è sempre a tasso varable ma è ndczzato al tasso d nteresse nterbancaro Eurbor 6 mes. La prma emssone d questa tpologa d ttol era d 5 ann, successvamente d 7. Il mnstero del Tesoro non esclude la possbltà d cambament al rguardo, n base alle preferenze espresse dal mercato. C a C 1 C 2 C n 1 CnC r n1 n R() = C a + n C s (1 + ) s + C r (1 + ) n s=1 3/26?

5 Nel caso de CCT non c sono semplfcazon nel calcolo: occorre rsolvere la corrspondente equazone algebrca d grado n (= numero delle cedole) n cu compaono tutt termn. Tale equazone n termn d v = (1 + ) 1 s scrve C a = C 1 v + C 2 v C n 1 v n 1 + (C n + C r )v n 4/26?

6 Consderazon teorche La rcerca del tr, è, n generale, un problema mal posto, nel senso che non è dato sapere, a pror, se l rea s annull n corrspondenza d un tasso fnanzaramente sgnfcatvo. Il problema pù semplce Un nvestmento C 0 è effettuato al tempo zero, po seguono n entrate, C 1,..., C n a temp, t 1 = 1,..., t n = n. 5/26?

7 Teorema. Sa assegnato l flusso d cassa C 0, C 1,..., C n. Supposto che sa: (a) C 0 < 0, C 1,..., C n 0 (b) C C n > C 0 allora esste un solo tale che R( ) = 0. 6/26?

8 Dmostrazone. onamo v = (1 + ) 1. Consderamo la funzone: f(v) = n k=0 C k v k. ( ) 7/26?

9 Dmostrazone. onamo v = (1 + ) 1. Consderamo la funzone: f(v) = n k=0 C k v k. ( ) er le potes (a) e (b) la funzone ntrodotta n ( ) ammette una radce nell ntervallo aperto ]0, 1[: f(0) = C 0 < 0, f(1) = n C k > 0. k=0 7/26?

10 Dmostrazone. onamo v = (1 + ) 1. Consderamo la funzone: n f(v) = C k v k. ( ) k=0 er le potes (a) e (b) la funzone ntrodotta n ( ) ammette una radce nell ntervallo aperto ]0, 1[: n f(0) = C 0 < 0, f(1) = C k > 0. Resta da far vedere l unctà d tale radce. La dervata f (v) è strettamente postva: n f (v) = k C k v k 1 k=1 7/26? k=0

11 Crtero d Nostrøm A Suffcent Condton for a Unque Internal Rate of Return The Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, Vol. 7 No. 3 (1972) /26?

12 Teorema. Dato l flusso d cassa a 0, a 1,..., a n consderamo l flusso cumulato non attualzzato all stante 0 t n A t = t k=0 a k Dremo flusso d cassa cumulatvo l flusso A 0, A 1,..., A n. Allora l flusso a 0, a 1,..., a n ha unco tr se l flusso d cassa cumulatvo camba segno una sola volta e A n 0. 9/26?

13 Esempo Acqusto un mmoble per dopo un mese lo afftto a 400 per 4 ann quando lo rvendo rcavo al netto delle tasse Inoltre alla fne d cascuno de tre prm ann pago tasse per /26?

14 Esempo Acqusto un mmoble per dopo un mese lo afftto a 400 per 4 ann quando lo rvendo rcavo al netto delle tasse Inoltre alla fne d cascuno de tre prm ann pago tasse per 350 a 0 = A 0 = /26?

15 Esempo Acqusto un mmoble per dopo un mese lo afftto a 400 per 4 ann quando lo rvendo rcavo al netto delle tasse Inoltre alla fne d cascuno de tre prm ann pago tasse per 350 a 0 = A 0 = a 1 = 400, A 1 = /26?

16 Esempo Acqusto un mmoble per dopo un mese lo afftto a 400 per 4 ann quando lo rvendo rcavo al netto delle tasse Inoltre alla fne d cascuno de tre prm ann pago tasse per 350 a 0 = A 0 = a 1 = 400, A 1 = a 2 = 400, A 2 = /26?

17 Esempo Acqusto un mmoble per dopo un mese lo afftto a 400 per 4 ann quando lo rvendo rcavo al netto delle tasse Inoltre alla fne d cascuno de tre prm ann pago tasse per 350 a 0 = A 0 = a 1 = 400, A 1 = a 2 = 400, A 2 = a 47 = 400, A 47 = /26?

18 Esempo Acqusto un mmoble per dopo un mese lo afftto a 400 per 4 ann quando lo rvendo rcavo al netto delle tasse Inoltre alla fne d cascuno de tre prm ann pago tasse per 350 a 0 = A 0 = a 1 = 400, A 1 = a 2 = 400, A 2 = a 47 = 400, A 47 = a 48 = , A 48 = /26?

19 Se x denota l tasso mensle (1 + x) 12 = 1 + l van del progetto è R(x) = a 48 x 350a 3 (1+x) (1 + x) 48 11/26?

20 Se x denota l tasso mensle (1 + x) 12 = 1 + l van del progetto è R(x) = a 48 x 350a 3 (1+x) (1 + x) /26?

21 /26?

22 Il tr mensle è x = 0, par ad un tasso annuo = (1 + x) 12 1 = 0, /26?

23 La condzone d E. Lev Utlzzamo una notazone dversa da quella con cu abbamo presentato fluss d cassa. Le uscte, che sono le partte negatve del flusso, saranno denotate con la lettera u e saranno numerate n ordne crescente: u 1, u 2,..., u s. Le valute delle uscte saranno ndcate con la sequenza temporale t 1, t 2,..., t s. 13/26?

24 La condzone d E. Lev Utlzzamo una notazone dversa da quella con cu abbamo presentato fluss d cassa. Le uscte, che sono le partte negatve del flusso, saranno denotate con la lettera u e saranno numerate n ordne crescente: u 1, u 2,..., u s. Le valute delle uscte saranno ndcate con la sequenza temporale t 1, t 2,..., t s. Le entrate avranno scadenze τ 1,..., τ r, r N, anche esse sono rappresentate n ordne crescente e denotate da e 1,..., e r. 13/26?

25 La condzone d E. Lev Utlzzamo una notazone dversa da quella con cu abbamo presentato fluss d cassa. Le uscte, che sono le partte negatve del flusso, saranno denotate con la lettera u e saranno numerate n ordne crescente: u 1, u 2,..., u s. Le valute delle uscte saranno ndcate con la sequenza temporale t 1, t 2,..., t s. Le entrate avranno scadenze τ 1,..., τ r, r N, anche esse sono rappresentate n ordne crescente e denotate da e 1,..., e r. Qu ammettamo possble pù d una uscta e non faccamo l potes che le valute delle uscte debbano precedere le valute delle entrate. 13/26?

26 Il concetto crucale della condzone d Lev è quello d scadenza meda artmetca: ζ u = t 1u t s u s u u s 14/26?

27 Teorema Se l flusso fnanzaro, composto dalle uscte u 1,..., u s e dalle entrate e 1,..., e r, con le scadenze rspettve t 1, t 2,..., t s e τ 1,..., τ r è tale che: 1. la somma delle entrate supera quella delle uscte: r s e k > u j, k=1 j=1 15/26?

28 Teorema Se l flusso fnanzaro, composto dalle uscte u 1,..., u s e dalle entrate e 1,..., e r, con le scadenze rspettve t 1, t 2,..., t s e τ 1,..., τ r è tale che: 1. la somma delle entrate supera quella delle uscte: r s e k > u j, k=1 j=1 2. la scadenza meda artmetca delle uscte precede la prma entrata: ζ u < τ 1, 15/26?

29 Teorema Se l flusso fnanzaro, composto dalle uscte u 1,..., u s e dalle entrate e 1,..., e r, con le scadenze rspettve t 1, t 2,..., t s e τ 1,..., τ r è tale che: 1. la somma delle entrate supera quella delle uscte: r s e k > u j, k=1 j=1 2. la scadenza meda artmetca delle uscte precede la prma entrata: ζ u < τ 1, esste allora uno ed un solo tasso nterno d rendmento dell operazone fnanzara. 15/26?

30 Scelta fra nvestment Assegnat due fluss d cassa C 0, C 1,..., C n e D 0, D 1,..., D m ; prm con scadenze t 0,..., t n e second con scadenze τ 0,..., τ m. 16/26?

31 Scelta fra nvestment Assegnat due fluss d cassa C 0, C 1,..., C n e D 0, D 1,..., D m ; prm con scadenze t 0,..., t n e second con scadenze τ 0,..., τ m. Avremo due rendment economc attualzzat: n m R C () = C k (1 + ) t k, R D () = D j (1 + ) τ j k=0 j=0 16/26?

32 Scelta fra nvestment Assegnat due fluss d cassa C 0, C 1,..., C n e D 0, D 1,..., D m ; prm con scadenze t 0,..., t n e second con scadenze τ 0,..., τ m. Avremo due rendment economc attualzzat: n m R C () = C k (1 + ) t k, R D () = D j (1 + ) τ j k=0 j=0 Quando s confrontano due nvestment rterremo pù convenente quello che produce l tr maggore, mentre quando s confrontano due cost, s cerca l flusso con l tr pù basso. 16/26?

33 Esempo pagna 37 rvstato Il sgnor Tal de Tal ha una mpresa edle. Dovendo fare un lavoro per la dtta agodopo s sente fare la seguente proposta: o pagamento mmedato d 5 000, oppure pagamento dlazonato n un anno con cnque pagament perodc postcpat d 1 000, 1 010, 1 020, e Sapendo che, se l sgnor Tal de Tal versasse la somma d presso la sua banca, otterrebbe un tasso d nteresse del 4% s domanda quale alternatva convene? 17/26?

34 rmo flusso C 0 = 5000, C 1 = 5200 con scadenze t 0 = 0 e t 1 = 1 18/26?

35 rmo flusso C 0 = 5000, C 1 = 5200 con scadenze t 0 = 0 e t 1 = 1 Secondo flusso D 0 = 5000, D 1 = 1000, D 2 = 1010, D 3 = 1020, D 4 = 1030, D 5 = 1040 con scadenze τ 0 = 0, τ 1 = 1/5, τ 2 = 2/5, τ 3 = 3/5, τ 4 = 4/5, τ 5 = 5/5 18/26?

36 rmo flusso C 0 = 5000, C 1 = 5200 con scadenze t 0 = 0 e t 1 = 1 Secondo flusso D 0 = 5000, D 1 = 1000, D 2 = 1010, D 3 = 1020, D 4 = 1030, D 5 = 1040 con scadenze τ 0 = 0, τ 1 = 1/5, τ 2 = 2/5, τ 3 = 3/5, τ 4 = 4/5, τ 5 = 5/5 Il prmo flusso rende (per costruzone) l 4% annuo v = 0 = v = = /26?

37 rmo flusso C 0 = 5000, C 1 = 5200 con scadenze t 0 = 0 e t 1 = 1 Secondo flusso D 0 = 5000, D 1 = 1000, D 2 = 1010, D 3 = 1020, D 4 = 1030, D 5 = 1040 con scadenze τ 0 = 0, τ 1 = 1/5, τ 2 = 2/5, τ 3 = 3/5, τ 4 = 4/5, τ 5 = 5/5 Il prmo flusso rende (per costruzone) l 4% annuo qund v = 0 = v = = = 1 v 1 = = 1 25 = 0, 04 18/26?

38 Il secondo flusso ha le scadenze ogn 73 gorn, ma per evtare complcazon computazonal è preferble consderare l equazone 1040v v v v v 5000 = 0 che porgerà l tasso sulla base 1/5 d anno, che andrà po convertto n annuo per confrontarlo con quello trovato per l prmo flusso. 19/26?

39 Il secondo flusso ha le scadenze ogn 73 gorn, ma per evtare complcazon computazonal è preferble consderare l equazone 1040v v v v v 5000 = 0 che porgerà l tasso sulla base 1/5 d anno, che andrà po convertto n annuo per confrontarlo con quello trovato per l prmo flusso. Usando Newton, partendo dal 3% par a 5 = 0, e qund v = 0, abbamo F (v) = v 1040v v v v v v v v v /26?

40 così v 1 = F (v 0 ) = F (0, ) = 0, /26?

41 così v 1 = F (v 0 ) = F (0, ) = 0, v 2 = F (v 1 ) = 0, /26?

42 così v 1 = F (v 0 ) = F (0, ) = 0, v 2 = F (v 1 ) = 0, tornando a 5 = 0, e su base annua 1 + = (1 + 5 ) 5 trovamo = 0, l che c conferma la preferenza per la prma opzone 20/26?

43 Operazon fnanzare aleatore Crter d scelta fra progett cu fluss d cassa sono legat a event aleator crtero del valore medo crtero dell utltà attesa crtero della domnanza stocastca crtero meda-varanza 21/26?

44 Rcham Se X è una varable aleatora su uno spazo d probabltà fnto (Ω, ) Ω = {ω 1,..., ω n } la meda (valore atteso) d X è E(X) = n X(ω )(ω ) =1 22/26?

45 Rcham Se X è una varable aleatora su uno spazo d probabltà fnto (Ω, ) Ω = {ω 1,..., ω n } la meda (valore atteso) d X è E(X) = n =1 X(ω )(ω ) Se X assume valor dstnt {x 1,..., x m } allora E(X) = m x (X = x ) =1 22/26?

46 Rcham Se X è una varable aleatora su uno spazo d probabltà fnto (Ω, ) Ω = {ω 1,..., ω n } la meda (valore atteso) d X è n E(X) = X(ω )(ω ) =1 Se X assume valor dstnt {x 1,..., x m } allora m E(X) = x (X = x ) =1 S dmostra che se X, Y sono due varabl aleatore e a, b R E(aX + by ) = ae(x) + be(y ) 22/26?

47 Se f : R R è una funzone reale d una varable reale e X è una varable aleatora allora la composzone f(x) : Ω R è anche essa una varable aleatora. Il suo valore atteso è n E(f(X)) = f(x(ω ))(ω ) =1 23/26?

48 Se f : R R è una funzone reale d una varable reale e X è una varable aleatora allora la composzone f(x) : Ω R è anche essa una varable aleatora. Il suo valore atteso è n E(f(X)) = f(x(ω ))(ω ) =1 o anche n E(f(X)) = f(x )(X = x ) =1 23/26?

49 rodotto d varabl aleatore Sano X, Y varabl aleatore rspettvamente con valor {x 1,..., x n }, {y 1,..., y m }. La varable aleatora prodotto ha valor x y j per = 1,..., n e j = 1,..., m. Consderamo gl event E j = {X = x, Y = y j } che rpartscono Ω n sottonsem dove XY ha valor x y j su E j. S ha n m E(XY ) = x y j (X = x, Y = y j ) =1 j=1 24/26?

50 rodotto d varabl aleatore Sano X, Y varabl aleatore rspettvamente con valor {x 1,..., x n }, {y 1,..., y m }. La varable aleatora prodotto ha valor x y j per = 1,..., n e j = 1,..., m. Consderamo gl event E j = {X = x, Y = y j } che rpartscono Ω n sottonsem dove XY ha valor x y j su E j. S ha n m E(XY ) = x y j (X = x, Y = y j ) =1 j=1 Nella stuazone partcolare n cu X e Y sono ndpendent s ha che E(XY ) = E(X)E(Y ) 24/26?

51 Varanza e devazone standard Se X ha valore atteso fnto µ la varanza d X è σ 2 X = Var(X) = E ( (X µ) 2) 25/26?

52 Varanza e devazone standard Se X ha valore atteso fnto µ la varanza d X è σx 2 = Var(X) = E ( (X µ) 2) la devazone standard è la radce postva della varanza σ X = SD(X) = Var(X) 25/26?

53 Teorema Se X ha valore atteso fnto µ allora 1. Var(X) = E(X 2 ) µ 2 = E(X 2 ) [E(X)] 2 2. se a R Var(aX) = a 2 Var(X) 3. se X e Y sono ndpendent Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) 4. se c R Var(X + c) = Var(X) 26/26?

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