INDICE. Scaricabile su: Derivate TEORIA. Derivata in un punto. Significato geometrico della derivata

Transcript

1 P r o f Gu d of r a n c n Anteprma Anteprma Anteprma www l e z o n j md o c o m

2 Scarcable su: ttp://lezonjmdocom/ INDICE TEORIA Dervata n un punto Sgnfcato geometrco della dervata Funzone dervata e dervate successve Calcolo d dervate Dervabltà e contnutà Teorem su funzon dervabl Applcazon al calcolo de lmt (De l Hoptal, Taylor) ESERCIZI Rapporto ncrementale Retta tangente ad una funzone Dervabltà

3 Scarcable su: ttp://lezonjmdocom/ Funzone dervata Defnzone 6 Sa A = {x D(f) f è dervable n x} l nseme d dervabltà della funzone f Su A s può defnre una funzone, detta dervata d f ed ndcata con f, ce assoca ad ogn x A, la dervata f (x), coè f : A R, x f (x) Notazone La dervata d f s ndca ance con Df o con df dx Esempo 62 Data f(x) = x, ove D(f) = [0, + ), possamo vedere ce l suo nseme d dervabltà è A = (0, + ), n quanto, x 0 > 0, s a: lm 0 x0 + x 0 2 x 0, mentre n 0 s a ce lm 0 + ( ) x0 + x 0 = lm ( ) = + x 0 2 x 0 per 0 = lm 0 + = lm = D conseguenza la funzone dervata d f(x) = x concde con f (x) = 2 x successve lm 0 x0 2 x 0 Defnzone 63 Sa f dervable su A, dove rsulta essere defnta, come vsto precedentemente, la funzone f Sa ora f dervable su A A ; su A s può qund defnre la dervata d f, detta dervata seconda d f ed ndcata con f Se f è a sua volta dervable su A, s può rpetere l procedmento e defnre f, dervata terza d f e così va, per arrvare a f (n), dervata n-esma o dervata d ordne n d f = Esempo 64 Per f(x) = x, abbamo vsto nell esempo precedente ce f (x) = 2 x, defnta n A = (0, + ) Questa funzone è a sua volta dervable n A = A, n quanto, se x 0 > 0, s a: lm 0 2 x x 0 = lm 0 x0 + x 0 2 (ved ) = lm (x 0 + )(x 0 ) 0 x0 2 x 0 2 (x 0 + )(x 0 ) = 4x 0 x0 Qund f è dervable 2 volte su A = A e la sua dervata seconda concde con f (x) = 4x x, come s può ance verfcare pù faclmente applcando le regole d dervazone delle potenze date nella sezone successva sul calcolo delle dervate (S può n realtà dervare f su A (n) = A n volte, con n qualunque naturale) 4

4 Scarcable su: ttp://lezonjmdocom/ Calcolo d dervate delle funzon elementar Le funzon elementar sono dervabl Esempo 65 Dmostramo ce e x è dervable su tutto R Sa allora x 0 R e consderamo l rapporto ncrementale n x 0, nella forma ( ): e x0+ e x 0 lm 0 = lm 0 e x0 (e ) = (e, per 0) = lm 0 e x0 Qund e x è dervable su tutto R ed a dervata n x 0 uguale a e x 0 = lm 0 ex 0 = e x 0 In modo analogo (tranne ce per la tangente e l arcotangente, ved Es 68 ed Es 620) possamo ottenere le dervate delle funzon elementar Qu sotto s rporta una tabella delle loro dervate: f(x) c x α e x a x log x log a x sn x cos x tan x arctan x f (x) 0 αx α e x a x log a x x log a cos x -sn x + tan 2 x + x 2 Regole d dervazone Pocé trattamo funzon ottenbl da funzon elementar medante somma, prodotto, quozente, composzone, nversa, avendo a dsposzone le dervate delle funzon elementar, per la dervazone c basta sapere come s comporta la dervata rspetto a tal operazon, comportamento descrtto dalle cosddette regole d dervazone Qu sotto rportamo una tabella rassuntva d tal regole, supponendo ce le funzon f e g esstano dove rcesto f g Somma: f + g Prodotto: f g Quozente: (con g(x) 0) Composta: g f Regole d dervazone (f + g) (x) = f (x) + g (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) ( ) f (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g g 2 (x) (g f) (x) = g (f(x)) f (x) Inversa: f (f ) (y) = f (x), dove f (x) 0 y = f(x) 5

5 Scarcable su: ttp://lezonjmdocom/ Esempo 66 Dobbamo calcolare la dervata d f(x) = x 2 + sn x : è una somma d funzon elementar e qund avremo ce f (x) = 2x + cos x Esempo 67 Dobbamo calcolare la dervata d f(x) = x log x : è un prodotto d funzon elementar e qund avremo ce f (x) = ( x) log x+ x (log x) = log x+ x 2 x x = 2 log x+ x = ( ) x x 2 log x + Esempo 68 Voglamo calcolare la dervata d f(x) = tan x = sn x : è un quozente d funzon cos x elementar e qund avremo ce (tan x) = (sn x) cos x sn x(cos x) cos 2 x + tan 2 x ( ) = cos x cos x sn x( sn x) cos 2 x = cos2 x + sn 2 x cos 2 x = cos 2 x = Esempo 69 Dobbamo calcolare la dervata d f(x) = 3 : è una composzone d funzon cos x elementar e qund prma d tutto bsogna capre da qual funzon ed n quale ordne s ottene la composzone: x cos( ) cos x ( ) 3 3 cos x Allora dovremo operare dervando n ordne nverso: prma s derva l ultma funzone applcata, coè ( ) 3, e s calcola la sua dervata, ce è ( 3 ) 3, n cos x Po s moltplca quanto ottenuto per la dervata d cos x, coè sn x Possamo rassumere l procedmento nel seguente scema: x sn( ) cos x 3 ( 3 ) cos x 3 In conclusone s ottene: f (x) = 3 (cos x) 3 ( sn x) = + 3 (cos x) 4 3 sn x Esempo 620 Voglamo calcolare la dervata dell arcotangente, nversa della tangente presa su ( π, π ) (ved Arg 2, pag ), applcando la regola d dervazone della funzone nversa: 2 2 Per tan(x) = y, D (arctan) (y) = D(tan x) ( ) = + (tan x) 2 = l arcotangente è dervable su R e a dervata D (arctan) (x) = + x 2, da cu s rcava ce + y2 Esempo 62 Data f(x) = log 3 (x ), nvertble sul suo nseme d defnzone (ved Arg ), dobbamo calcolare la dervata della sua funzone nversa f n Applcando la regola d dervazone della funzone nversa, avremo ce: (f ) () = x = 3 log2 (x ) x f (e + ) = 3 log2 (e) e = 3 e (f ) () = 3 e = e 3 6

6 Scarcable su: ttp://lezonjmdocom/ 5 6

7 Scarcable su: ttp://lezonjmdocom/ 7 8 9

8 Scarcable su: ttp://lezonjmdocom/ 2 3

9 Scarcable su: ttp://lezonjmdocom/ 55 56