Appunti di Matematica 5 - Derivate - Derivate. Considero una funzione e sia e definita in un intorno completo di.

Transcript

1 Derivate Definizione di derivata di f(x) in x D o f Considero una funzione e sia e definita in un intorno completo di. Consideriamo il rapporto (detto rapporto incrementale ) È evidente che il rapporto incrementale (cioè degli incrementi e ) rappresenta il coefficiente angolare della retta (vedi figura). Diciamo che è derivabile in se esiste finito Questo limite sarà indicato con e detto derivata di in. NOTA1: la derivata in può essere indicata anche come NOTA: il rapporto incrementale può essere anche scritto così: e calcolare quindi 9

2 Interpretazione geometrica Appunti di Matematica 5 Poiché il rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare della retta si ha e la retta retta tangente in si ha che e poiché per dove rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente in. Poiché nella definizione di abbiamo chiesto che il limite sia finito non si considererà derivabile in una funzione che abbia in la tangente al grafico parallela all asse y. Esempi 1. Consideriamo e ( ) Calcoliamo Quindi. La retta tangente avrà equazione Proviamo a verificare che l equazione della tangente sia proprio : possiamo applicare il vecchio metodo del fascio di rette per e intersecare con imponendo che. 93

3 . Consideriamo e. Calcoliamo: ( x 1) x lim = lim x 1 x 1 x 1 x 1 = Osserviamo che se considero in generale x 0 ottengo lo stesso risultato: È chiaro che nel caso in cui il grafico sia una retta, la tangente coincide con il grafico in ogni punto e quindi. 3. Consideriamo e 94

4 Esercizi (definizione di derivata di in ) Calcola per le seguenti funzioni (disegna anche e t):

5 Esempi di funzioni non derivabili in x o Vediamo quali possono essere i punti di non derivabilità. 1. a) Consideriamo e Dobbiamo distinguere due casi: In questo caso quindi non esiste il limite del rapporto incrementale perché il limite destro è diverso dal limite sinistro. È come se avessimo due tangenti in, una destra e una sinistra con inclinazioni e e si dice punto angoloso. b) Vediamo un altro esempio di punto angoloso: consideriamo e Ricorda che per tracciare il grafico di prima si disegna la parabola e poi si ribalta rispetto all asse parte negativa. la Anche in questo caso abbiamo un punto angoloso in poiché: 96

6 . Consideriamo in. In questo caso, il limite del rapporto incrementale esiste ma è infinito: la tangente in al grafico è parallela all asse delle (nel nostro caso coincide con l asse delle ). Diremo perciò che non è derivabile in. Punti di non derivabilità di questo tipo si chiamano punti a tangente verticale. 3. Consideriamo in. Poiché occorre distinguere il limite destro e sinistro: Quindi in questo caso il limite non esiste e i limiti destro e sinistro sono uno : diciamo che è una cuspide. e l altro 97

7 Esercizi (punti di non derivabilità) Per ciascuna delle seguenti funzioni studia i punti di non derivabilità: 1. [ punto angoloso]. [ punto a tangente verticale; punto a tangente verticale ] 3. [ punto a tangente verticale] 4. [ cuspide] 5. [ punto angoloso] 6. [ punto angoloso punto angoloso] 7. [ punto angoloso ] 8. [ punto angoloso] 9. [ punto angoloso] 10. [ punto a tangente verticale] 11. [ punto a tangente verticale] 1. [ punto a tangente verticale punto a tangente verticale ] 98

8 Continuità di una funzione derivabile in x o Teorema Se è derivabile in allora è continua in. Dimostrazione Per dimostrare la continuità di in devo dimostrare che Posso scrivere così: Sappiamo che poiché è derivabile in e quindi passando al limite ho: Osservazione Non è vero il viceversa cioè se è continua in non è detto che sia derivabile in. Basta infatti ricordare i punti di non derivabilità (punto angoloso, punto di flesso a tangente verticale, cuspide ): in questi punti la funzione è continua ma non derivabile. 99

9 Funzione derivata di f(x) La funzione che associa viene detta funzione derivata di ed indicata con o o (notazione di Leibniz) Esempio Consideriamo. Calcoliamo il limite del rapporto incrementale lasciando come variabile : Quindi e possiamo scrivere: o Se dobbiamo quindi calcolare, per esempio, la derivata di in non dovremo far altro che sostituire in cioè. Quindi conoscere mi permette di calcolare la derivata di in qualsiasi punto semplicemente con una sostituzione. Dobbiamo quindi, per prima cosa, determinare le funzioni derivate delle funzioni elementari. 100

10 Derivate delle funzioni elementari Derivata di (funzione costante) Quindi Derivata di Quindi Derivata di Poiché Si ha: Quindi 101

11 Derivata di Quindi Derivata di Quindi D( x) ln = 1 x 1 log a = a (si dimostra in modo analogo). x In generale D( x) log e Derivata di = Quindi In generale (si dimostra in modo analogo). 10

12 Ricapitolando: Osservazioni 1. : infatti il grafico di è una retta parallela all asse x e in ogni la tangente coincide con il grafico e quindi ha coefficiente angolare.. : infatti la retta ha coefficiente angolare e in ogni la tangente coincide con il grafico di. 3. Osservando l inclinazione delle tangenti al grafico di il valore della derivata in,, ecc. 103 possono verificare, per esempio,

13 Regole di derivazione Derivata della somma di due funzioni Calcoliamo: Quindi D ( f ( x) + g( x)) = D( f ( x)) + D( g( x)) Naturalmente questa regola vale anche per la somma di più di due funzioni. Esempio: Derivata del prodotto di due funzioni ( e essendo per ipotesi derivabili in sono anche continue e quindi ). Quindi D( f ( x) g( x)) = D( f ( x)) g( x) + f ( x) D( g( x)) Esempio: Nota In particolare Infatti 104

14 Questa regola si può estendere al prodotto di più di due funzioni e risulta: Infatti: Esempio: In particolare poiché: e Poiché = Esempi 105

15 Derivata della funzione reciproca di Quindi: Esempi: 1) In particolare a) Quindi con Esempio: b) Quindi con Esempio: 106

16 Derivata del quoziente di due funzioni Quindi: Esempi: 1) ) Nota La derivata di può anche essere scritta. Infatti: La derivata di si può scrivere anche così: 107

17 Esercizi Regole di derivazione di somma, prodotto, reciproca e quoziente Calcola la derivata delle seguenti funzioni: 1. x +. D 3x 4 3. D( x ln x) 4. 3x + 1 cos x + 1x + 4 ( ) 3x 4 [ ln x +1] x x [ 3 + ( 3x + 1) ln ] 5. [ senx cos x] x D x 1 7. D cos x 1 8. D ln x x D senx x 1 x senx 3 cos x 1 x ln cos x sen x + cos x + sen x cos ( ) x 1 [ 3x ln x + x ln x] 1 3 log log x x 3 1. ( + 1)( x ) + 3( x + 1) ( x ) senx + cos x 13. D cos x e [ x x] cos x + sen x + 3 cos x senx cos D x x D cos x senx sen x x 108

18 Derivata di una funzione composta Si può dimostrare che: Esempi a) b) c) d) Nota In particolare usando questa regola di derivazione possiamo calcolare la derivata di.. Esempio: Se in particolare deriviamo f α ( x) abbiamo: D α α ln f ( x) ( f ( x) ) = D e α ln f ( x) ( ) = D e In particolare si ha che per α R Quindi: α f '( x) α 1 ( ) = f ( x) α = α f ( x) f '( x) f ( x) Esempi a) b) 109

19 Derivata della funzione inversa Se è derivabile in e allora (funzione inversa di ) è derivabile in e Dimostrazione Poiché e essendo si ha: Determiniamo la derivata delle funzioni inverse delle funzioni goniometriche: a. poiché Osserviamo che poiché e quindi b. poiché c. poiché d. Osservazione:, infatti e quindi la derivata di una costante è zero. 110

20 Ricapitolando Appunti di Matematica 5 In particolare ricorda: ( ) ( Se 111

21 Esercizi Derivata funzione composta e inversa 1) ) [ 3) 4) [ 5) 6) 7) [ 8) [ 9) 10) [ 11

22 [ [ [ ] 113

23 Esercizi di ricapitolazione Regole di derivazione ] [ [

24 [ [ [

25 Problemi di geometria analitica Vediamo alcuni problemi di geometria analitica in cui, per la condizione di tangenza, possiamo utilizzare la derivata. Esempio 1 Determina l equazione di una parabola P con asse di simmetria parallelo all asse delle y, passante per e tangente in alla retta. L equazione generica della parabola è: Per la condizione di tangenza possiamo calcolare la derivata in Se la tangente in è la retta il suo coefficiente angolare è e quindi: In conclusione: Esempio Determina i coefficienti a e b di sapendo che il grafico ha in la retta tangente di equazione. Determiniamo e. Poiché il coefficiente angolare è. Risolviamo quindi imponendo anche il passaggio per T: 116

26 Derivate successive di una funzione Come abbiamo definito la funzione derivata di, possiamo definire la funzione derivata di, che indicheremo con e chiameremo derivata seconda di e così via. Esempio1 Osserviamo che è un polinomio di grado 4: Analogamente se è un polinomio di grado k si avrà: Esempio f ( x) = senx f f f f ( x) = cos x ' '' ( x) = senx ''' ( x) = cos x ( 4) ( x) = senx... Esempio 3 f ( x) = e... x x f '( x) = e x f ''( x) = e 117

27 Differenziale di una funzione Passando da a la funzione subisce un incremento che può essere approssimato con che viene detto differenziale di f (x) in ed indicato con df ( x o ) (l errore che si compie approssimando f Poiché MN = x f ' x o con ( ) ' ( x ) MN = f ( x ) x in conclusione si ha df ( x ) = f ' ( x ) x o o o df aumenta all aumentare di x ). o Nota ' Se consideriamo si avrebbe che il differenziale, essendo f ( x) = 1 : per questo motivo spesso si scrive anche, risulterebbe In generale, considerando variabile, si ha che il differenziale della funzione f ( x) risulta da cui (detta notazione di Leibniz) Esempio Consideriamo per esempio e :. Il differenziale di sarà. 118

28 Significati della derivata in fisica Due fondamentali concetti della cinematica di un punto materiale sono basati sulla derivata: la velocità e l accelerazione. Supponiamo di considerare un punto materiale P che si muove su una traiettoria rettilinea con legge oraria. La velocità istantanea di P all istante risulta: L accelerazione istantanea di P all istante risulta: Esempi 1. Se consideriamo (moto uniformemente accelerato) troviamo:. Se considero (moto armonico) (come avevamo ricavato (con fatica) studiando il moto armonico come proiezione di un moto circolare) 3. Se due punti materiali hanno leggi orarie si incontrano in un istante successivo a? E quando accade quale velocità possiedono? 119

29 ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE SCHEDA 1 1) Calcola la derivata delle seguenti funzioni: a) y = ln (3x 1) e) y = tg (x ) 4 π b) y = cos x 3senx 1+ senx f) x y = ( x + ) arctg 3 c) y = x 1 e g) y = (3x + ) x 1 x d) y = 3 h) y = arcsen( x + 1) ) Per ciascuna delle seguenti funzioni determina dominio, asintoti, punti di discontinuità, derivata, eventuali punti di non derivabilità e disegnane il grafico. a) x f ( x) = b) f ( x) = 9x 1 x 4 Problema 1 Determina l equazione della funzione omografica I passante per P(1,1) e avente in (0,0) la stessa tangente della parabola di equazione y = x x. Disegna le due curve e scrivi l equazione della tangente comune. Problema Determina a, b, c in modo che la curva di equazione ax + bx y = x + c abbia nell origine come tangente la retta di equazione y = x e come asintoto obliquo la retta di equazione y = x

30 Soluzioni Esercizi di ricapitolazione scheda 1 1. a. ln( 3x 1) b. 1 3 = 3x 1 ( 3x 1) 6ln 3x 1 c. d. e. f. g. h.. a. discontinuità di ᵃ specie 11

31 Quindi è punto angoloso (, ) b. Funzione continua asintoti obliqui, punti a tangente verticale (, ) Problema 1: Problema : ; 1

32 ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE SCHEDA 1. Calcola la derivata delle seguenti funzioni: a. b. c. d. e. f. g. ) h.. Per ciascuna delle seguenti funzioni determina dominio, asintoti, punti di discontinuità, derivata ed eventuali punti di non derivabilità: a. b. c. d. Problema 1 Determina l equazione della parabola con asse di simmetria e tangente in alla retta di equazione. Problema Determina i coefficienti a e b dell equazione in modo che la curva da essa rappresentata passi per. e sia tangente in T alla retta di equazione 13

33 Soluzioni Esercizi ricapitolazione scheda 1. a. b. c. d. e. f. g. h.. a. ; asintoto verticale ; asintoto orizzontale b. ; asintoti obliqui ; punti a tangente verticale c., asintoto verticale punto angoloso d., asintoto obliquo,, flesso a tangente verticale Problema 1: Problema : ; 14

34 ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE SCHEDA 3 1. Calcola la derivata delle seguenti funzioni: a. b. c. d. e. f. g. h.. Per ciascuna delle seguenti funzioni determina dominio, asintoti, punti di discontinuità, derivata, eventuali punti di non derivabilità e disegnare il grafico: a. b. Problema 1 Determina l equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all asse delle ordinate passante per e avente in la stessa tangente di. Disegna le due curve e scrivi l equazione della tangente comune. [ Problema Data la funzione, determina a, b, c in modo che abbia in come tangente la retta di equazione. e che abbia asintoto obliquo parallelo alla retta [a 15

35 Soluzioni Esercizi di ricapitolazione scheda 3 1. a. b. c. d. e. f. g. h.. a. asintoto verticale (discontinuità di seconda specie) asintoto orizzontale punto angoloso b. circonferenza di centro e raggio 1 verticale punto a tangente punto a tangente verticale 16