Sistemi lineari. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 : : : a m1 x 1 + a m2 x 2 +..

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1 Sistemi lineari: definizioni Sistemi lineari Un equazione nelle n incognite x,, x n della forma c x + + c n x n = b ove c,, c n sono numeri reali (detti coefficienti) e b è un numero reale (detto termine noto) si chiama equazione lineare in x,, x n Un sistema lineare di m equazioni nelle n incognite x,, x n è un sistema formato da m equazioni lineari in x,, x n, ossia: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b : : : a m x + a m x + + a mn x n = b m (*) Una soluzione di ( ) è una n-pla di numeri reali ( x,, x n ) che sostituita alle incognite soddisfa simultaneamente tutte le equazioni del sistema La matrice di tipo (m, n) : A = (a ij ) j=n i=m si chiama matrice dei coefficienti del sistema Il vettore colonna di tipo (m, ) : b = (b i ) m i= si chiama vettore dei termini noti La matrice di tipo (m, n + ) : (A b) ottenuta accostando alle colonne della matrice A dei coefficienti il vettore (colonna) b dei termini noti si chiama matrice completa del sistema Esempio Dato il sistema di due equazioni in tre incognite { x + y z = 4x + 6y z =, la matrice del sistema, il vettore dei termini noti e la matrice completa sono, rispettivamente: ( ) ( ) ( ) A =, b =, (A b) = Detto x = (x j ) n j= il vettore colonna di tipo (n, ) delle incognite il sistema ( ) si può trascrivere in forma matriciale Ax = b Una sua soluzione è quindi un vettore colonna di tipo (n, ) x = ( x j ) n j= di numeri reali che soddisfa la relazione matriciale A x = b Un sistema si dice possibile (o risolubile) se ammette almeno una soluzione In tal caso le equazioni si dicono compatibili Un sistema si dice impossibile se non ammette alcuna soluzione In tal caso le equazioni si dicono incompatibili NOTA Un sistema possibile può avere una sola soluzione (sistema determinato) oppure infinite soluzioni (sistema indeterminato), ma mai un numero finito di soluzioni

2 Due sistemi si dicono equivalenti quando ammettono le stesse soluzioni Trasformazioni elementari Le seguenti trasformazioni, applicate ad un dato sistema, portano a un sistema equivalente: I) scambiare due equazioni tra loro; II) moltiplicare i due membri di un equazione per lo stesso numero k ( ); III) sommare ad un equazione un altra equazione moltiplicata per k Esempio Il sistema dell Esempio è impossibile Infatti, sommando alla seconda equazione la prima moltiplicata per, si ottiene il sistema, equivalente a quello iniziale, { x + y z = ma la seconda equazione è impossibile = x + y = Esempio Dato il sistema x y = x + y = la matrice del sistema, il vettore dei termini noti e la matrice completa sono: A =, b =, (A b) = Il sistema ha una sola soluzione Infatti, sottraendo alla terza equazione la seconda si ottiene il sistema, equivalente a quello dato: x + y = x y = 4y = che ha come unica soluzione il vettore (x, y) = (, ) (Verificarlo) ( ) ( ) Esempio 4 Dati A =, e b =, il sistema Ax = b è il sistema di due equazioni in due incognite { x y = x + y = Sommando alla seconda equazione la prima moltiplicata per si ottiene il sistema equivalente: { x y = = Il sistema ammette quindi le infinite soluzioni della forma (t, t ), al variare del numero reale t

3 Soluzione dei sistemi lineari: Gauss il metodo di eliminazione di Questo metodo si basa sulle ripetute applicazioni delle trasformazioni che permettono di passare a sistemi equivalenti Si opera in modo da ricondursi ad un sistema equivalente a quello dato, di cui però è immediato vedere la eventuale risolubilità e, in tal caso, procedere in modo standard per determinare le soluzioni Questo sistema equivalente ha una matrice dei coefficienti che è della forma a scalini Metodo di eliminazione di Gauss Consideriamo il sistema: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b : : : a m x + a m x + + a mn x n = b m Possiamo supporre che a (in caso contrario scambiamo la a equazione con un altra in cui il coefficiente di x sia ) Dividendo la prima equazione per a, otteniamo: x + a a x + + a n a x n = b a a x + a x + + a n x n = b : : : a m x + a m x + + a mn x n = b m Sottraiamo poi dalla seconda equazione la prima moltiplicata per a, dalla terza la prima moltiplicata per a e così via Otteniamo: x + a x + + a nx n = b a x + + a nx n = b : : a mx + + a mnx n = b m Tale sistema contiene un sottosistema di m equazioni e n incognite (basta escludere la prima equazione) Allora possiamo procedere in modo iterativo: ripetiamo quanto fatto precedentemente a questo sistema Se a =, scambiamo la a equazione con un altra in cui il coefficiente di x sia (se c è) (Se in tutte le equazioni il coefficiente di x è nullo tranne che nella prima, vuol dire che x non compare come variabile effettiva nel sottosistema ottenuto dopo il primo passo Possiamo quindi cambiare nome alla variabile x e spostarla in fondo) A questo punto possiamo dividere la seconda equazione per il coefficiente di x e procedere come prima In questo modo x comparirà con coefficiente nella a equazione e nelle successive Iterando alle equazioni successive otterremo un sistema in forma a scalini : x + c x + + c k x k + + c n x n = d x + + c k x k + + c n x n = d x k + + c kn x n = d k = d k+ = d m Si possono presentare i seguenti due casi:

4 a) Si ha un sistema a scalini del tipo: x + c x + + c k x k + + c n x n = d x + + c k x k + + c n x n = d x k + + c kn x n = d k = = (dove, se m = k, le ultime m k equazioni non compaiono) k equazioni (m k) equazioni In questo caso siamo nell ambito dei sistemi risolubili, in cui abbiamo k equazioni effettive ed n incognite, con k n Si possono ricavare le incognite a cascata, partendo da x k, fino ad x Se k = n, il sistema ha una sola soluzione Se k < n, le soluzioni saranno infinite ed espresse in funzione delle variabili x k+,, x n, che sono quindi dette variabili libere b) Nel sistema a scalini c è almeno una equazione nella quale si annulla il primo membro, ma il secondo è In questo caso il sistema è ovviamente impossibile In conclusione, quando il sistema è risolubile, per sapere quante soluzioni ha, dobbiamo confrontare il numero k delle equazioni effettive con il numero n delle incognite: Se k = n il sistema è determinato ossia ha una sola soluzione Se k < n il sistema è indeterminato ossia ha infinite soluzioni che dipendono da n k variabili libere (si dice che il sistema ha n k soluzioni) Per applicare questo metodo, conviene rileggere le trasformazioni elementari sulle equazioni come corrispondenti trasformazioni elementari sulle righe della matrice completa (A b), che richiamiamo: Trasformazioni elementari sulle righe di (A b) I) R ij : scambio della riga r i con la riga r j ; II) k R i : prodotto della riga r i per il numero k ( ) ; III) R i + kr j : somma della riga r i con la riga r j moltiplicata per k Esempio x + 4y = x + y = x + y = x + y = y = y = Con trasformazioni elementari sulle equazioni del sistema si ha: R R R x + y = x + y = x + y = x + y = y = = R R R + R { x + = y = x + y = y = y = { x = y = R Sistema con equazioni effettive e incognite: quindi determinato, ossia con una sola soluzione Analogamente, con le stesse trasformazioni elementari sulle righe di (A b) si ha: 4

5 4 R R R R + R R R R Esempio 6 di (A b) si ha: 4 4 Dato il sistema R R R R x y + 4z = x + y + z = x + y + z = R R Quindi il sistema è impossibile , con trasformazioni elementari sulle righe 7 7 R x y + 4z = y z = = Esempio 7 (A b) si ha: Dato il sistema x + y + z = x + z = 6x + y =, con trasformazioni elementari sulle righe di 6 4 R + R R 6R 4 R + 4R 4 4 R { x + y + z = y + z = Il sistema ha equazioni effettive in incognite: quindi il sistema è indeterminato ( soluzioni) Inoltre: { { x + y + z = x + ( y + z = z) + z = { x = y = z z y = z Le soluzioni sono quindi: ( z, z, z)

6 Esempio 8 del sistema Discutere la risolubità al variare del parametro reale k, e trovare le eventuali soluzioni x + y z = x + y + z = x y = x y z = k Con trasformazioni elementari sulle righe di (A b) si ha: k k k R + R R R R 4 R R + R R 4 + R R 4 R k + R k k R x + y z = y + z = z = = k + Quando k + il sistema è impossibile Se invece k =, si tratta di un sistema di equazioni effettive in incognite, quindi determinato Per calcolarne l unica soluzione si risolve il sistema x + y z = y + z =, z = e si trova la soluzione (, 4, ) Esempio 9 Discutere la risolubità e trovare le eventuali soluzioni del sistema: x + y + z w = x + y z =, y + 4z w = 9 x + z + w = 6 Con trasformazioni elementari sulle righe di (A b) si ha: R + R R 4 R 6 6 R 4 + R 6

7 7 7 x + y + z w = y z + w = z + w = 7w = 7 Il sistema è quindi determinato e si trova la soluzione (,,, ) Esempio Discutere la risolubità al variare del parametro reale k, e trovare le eventuali soluzioni del sistema x y w = x y + z + kw = x + 4y + z = Con trasformazioni elementari sulle righe di (A b) si ha: k 4 k + R R R R R x y w = y + z + w = (k + )w = k + R R Quindi per k = il sistema è impossibile, mentre per k, ponendo y = t a parametro, l insieme delle soluzioni è: {( + t +, t, t, ) t R} k+ k+ k+ 7