Sistemi di più equazioni

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1 A Sistemi di più equazioni Il metodo di risoluzione di un sistema di secondo grado con più di due equazioni e due incognite dipende dalla forma stessa del sistema; in genere è conveniente ricavare una delle incognite da un equazione (il più delle volte da quelle di primo grado) e sostituire l espressione ottenuta nelle altre, che contengono in questo modo un incognita di meno. Ripetendo il procedimento si arriva ad esprimere una delle equazioni in funzione di una sola incognita; risolta questa equazione, si procede poi a ritroso nelle sostituzioni determinando in questo modo la soluzione del sistema. Osserva gli esempi. I esempio. Risolviamo il sistema < ð Þþz ¼ 0 þ z ¼ þ z ¼ 0 Ricaviamo l espressione di z dalla terza equazione e sostituiamola nelle altre < ð Þþð þ Þ ¼ 0 þ þ ð þ Þ ¼! ¼ > z ¼ þ z ¼ þ Le prime due equazioni non contengono più la variabile z ; fissiamo la nostra attenzione su queste, lasciando invariata l espressione già calcolata di z. Ricaviamo dunque l espressione di dalla seconda equazione e sostituiamola nella prima ð Þ þ ð Þ ¼0 ¼ 0 ¼! ¼ > > z ¼ þ z ¼ þ La prima equazione contiene soltanto la variabile ; risolvendola otteniamo ¼ _ ¼. Sostituendo ora ad i valori trovati, possiamo calcolare quelli corrispondenti di, e successivamente quelli di z. < ¼ < ¼ ¼ _ ¼ z ¼ 6 ¼ 7 z ¼ þ 6 ¼ Dunque, indicando le soluzioni come una terna ordinata ð,, zþ, fð 7Þ; ð,, Þg. II esempio. Risolviamo il sistema þ z ¼ ð Þ ¼z þ > ð þ zþ ¼0 Applicando la legge di annullamento del prodotto alla terza equazione, il sistema dato è equivalente ai seguenti

2 þ z ¼ ð Þ ¼z þ > _ þ z ¼ ð Þ ¼z þ > þ z ¼ 0 Risolviamo separatamente i due sistemi. I sistema. < þ z ¼ < þ z ¼ Sostituiamo 0 al posto di þ ¼ z þ! z ¼ < ¼ Applicando il principio di riduzione alle prime due equazioni otteniamo þ z ¼ < ¼ Da cui, ricavando il valore dalla prima equazione e sostituendolo nella seconda, otteniamo z ¼ II sistema. Ricaviamo l espressione di dalla terza equazione e sostituiamo < z þ z ¼ < z ¼ ð þ zþ ¼z þ! z þ ¼ 0 ¼ z ¼ z Sostituendo l espressione di z della prima equazione nella seconda e sviluppando i calcoli otteniamo < z ¼ < z ¼ < ¼ ð Þ þ ¼ 0!! ¼ z ¼ z z ¼ I due sistemi hanno dunque la stessa soluzione e perciò fð, 0 Þg. Quando si risolve un sistema si deve sempre ricavare una sola variabile alla volta, altrimenti l operazione di sostituzione non serve allo scopo. < þ z ¼ Nel sistema þ þ z ¼ z þ ¼ 0 < ¼ þ z non è conveniente operare così ¼ z ð þ zþ ð þ zþz þ ð zþ ¼ 0 perché la terza equazione contiene ancora tutte le variabili e, oltre ad essere più complessa, non consente di determinare né il valore di, néquelli di ediz.

3 ESERCIZI Risolvi in R i seguenti sistemi di secondo grado con più di due incognite. < þ þ z ¼ z ¼ ¼ Sommiamo membro a membro le prime due equazioni ottenendo il sistema equivalente < ¼ 0 þ þ z ¼ ¼ Ricaviamo il valore di dalla prima equazione e sostituiamo nelle altre < ¼ < ¼ < ¼ þ þ z ¼! þ z ¼ 6! ¼ e quindi ¼ ¼ 60 z ¼ fð,, Þg. 6 7 < þ z ¼ þ z ¼ z þ z ¼ þ þ z ¼ þ ¼ > þ þ z ¼ z ¼ þ z ¼ > þ ¼ z þ z ¼ 0 > þ z ¼ 0 ð zþ z þ ¼ þ þ z ¼ 6 > þ z ¼ < þ ¼ þ ¼ z < þ z ¼ 0 ð þ zþ ¼ z ¼ ½ fð 0, 6, Þ; ð, 6, ÞgŠ ð6 0, Þ; 7 6, ð Þ; ; ½indeterminatoŠ ð, 0, Þ ð6 Þ 7

4 0 6 7 þ z ¼ 0 z ¼ > ðz Þð Þ ¼ þ þ z ¼ þ z ¼ > þ z ¼ z ¼ þ z ¼ > ð Þ þ z ¼ < ¼ z þ þ þ z ¼ ¼ z þ þ ¼ þ z ¼ > z ¼ þ z ¼ þ z ¼ z ð6z Þ ð Þ > ¼ þ z ¼ þ z ¼ > þ þ z ¼ < 6 þ z ¼ þ z þ z ¼ 0 þ ¼ ð þ Þ z ¼ þ þ z ¼ z þ > ¼ þ þ þ 6 ¼ z þ ¼ z > þ z ¼ p ð Þð þ Þ ¼ ffiffiffi þ z p þ ¼ ffiffiffi > z þ ¼ 0 ð, 0Þ;,, ð,, Þ;,, ð, Þ;,, 6 ½ Š,, ; 7 7 ) # ð,, ÞgŠ p 0 ffiffiffi p ffiffiffi þ ; 0þ, ; ) # 7, 7 6 7,,0 ;,,0 ð, Þ;, 0, 0 p, ffiffiffi,; 7

5 ð þ zþþ 06 ¼ 0 ¼ þ z > ð Þð þ Þ ¼z þ z þ ¼ 0 ¼ þ z þ > z ¼ þ þ z ¼ ¼ > þ z ¼ 7 ð Þð zþþ þ ¼ þ z ¼ > z ¼ þ z ¼ þ þ z ¼ > z ¼ < þ z ¼ 0 þ þ z ¼ þ z ¼ z þ 6 z þ þ ¼ > þ z ¼ 0 ð Þ þ ¼ z þ ¼ þ z > þ þ z ¼ ð,, Þ ð, Þ; 6 ð, Þ;,, 7 ½ fð, Þ; ð, ÞgŠ ) #,, ; 6 6 þ 6 þ ;, 6 ð 6, Þ;, ð, 0, Þ; ð 7, Þ