Corso di Laurea in Ing. Edile Politecnico di Bari A.A Prof. ssa Letizia Brunetti DISPENSE DEL CORSO DI GEOMETRIA

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1 Corso di Laurea i Ig Edile Politecico di Bari AA Prof ssa Letizia Bruetti DISPENSE DEL CORSO DI GEOMETRIA

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3 Idice Spazi vettoriali Cei sulle strutture algebriche 4 2 Defiizioe di spazio vettoriale 7 3 Sottospazi lieare dipedeza e idipedeza basi 4 Cambiameto di base i uo spazio vettoriale 20 5 Autovalori e autovettori di matrici reali 22 2 Spazi euclidei Geeralità 30 2 Ortogoalità complemeto ortogoale 32 3

4 Spazi vettoriali Cei sulle strutture algebriche Sia A u isieme o vuoto Defiizioe Si dice operazioe itera (biaria) i A u applicazioe di A A A Se l applicazioe si idica co ω allora ( ab) A A : ω( ( ab) ) A oppure omettedo ua paretesi ω ( ab) Più semplicemete ω ( a b) si sostituisce co aω b e si legge a composto b I simboli più comuemete usati per deotare ω soo + e ٠ Esempi: ) Se A = N l usuale addizioe è ua operazioe itera come pure l usuale moltiplicazioe 2) Se A = Z oppure A = R l addizioe e la moltiplicazioe soo operazioi itere 3) Se A oppure A = M l addizioe è ua operazioe itera = M m Si fa osservare che i N la sottrazioe o è ua operazioe itera ivece risulta tale i Z Ogi isieme A muito di ua operazioe itera ω si dice struttura algebrica e si deota co ( A ω) Si oti che u isieme può essere muito di più operazioi itere ifatti soo strutture algebriche ( N +) ( N ) (Z +) ( Z -) ( Z ) (R +) ( R ) ( M +) e m se e possoo citare altre I ua struttura algebrica ( A ω) si dice elemeto eutro (quado esiste) rispetto a ω u elemeto che si suole deotare co e tale che a A : aω e = a = eωa Proposizioe Se i ( Aω) esiste l elemeto eutro e esso è uico DIM e elemeto eutro a A : aω e = a = eωa Se esiste u altro elemeto eutro e risulta a A : aω e'= a = e' ωa Cosiderado e elemeto eutro se si prede a = e' si ha: e' ω e = e' Cosiderado e elemeto eutro se si prede a = e si ha: e = e' ω e 4

5 duque e = e' Se i ( A ω) esiste e si dice simmetrico di a A l elemeto a ' tale che aω a'= e = a' ωa Se l operazioe itera si deota co + l elemeto eutro si suole idicarlo co 0 e il simmetrico di a co a metre se si deota co l elemeto eutro si suole idicarlo co e il simmetrico di a co a o a Il simbolo + si dice simbolo additivo il relativo elemeto eutro 0 si legge zero il simmetrico di a a si dice opposto di a Il simbolo si dice simbolo moltiplicativo il relativo elemeto eutro si legge uo il simmetrico di a a o a si dice iverso di a A si dice gruppo se si verificao le segueti: ) ab c A : ( a ω b) ωc = aω( bωc) proprietà associativa 2) esiste e elemeto eutro 3) a A a' A t c aω a'= e = a' ωa Defiizioe 2 La struttura algebrica ( ω) Proposizioe 2 Sia ( A ω) u gruppo allora il simmetrico a ' di ogi elemeto a è uico DIM Suppoiamo di avere a ' simmetrico di a e a' ' simmetrico di a ciò vuol dire che soo verificate rispettivamete aω a'= e = a' ωa aω a''= e = a'' ωa Allora a'' ω ( aωa' ) = ( a'' ωa) ωa' a'' ωe = eωa' a''= a' Se ( Aω) è u gruppo e ab A : aω b = bωa allora ( Aω) si dice gruppo abeliao o commutativo Esempi: (Z +) è gruppo abeliao; 2 (R +) è gruppo abeliao; 3 ( M +) e ( M +) soo gruppi abeliao m 5

6 ω) Defiizioe 3 Se ( A è u gruppo A' A tc A' sia ω la restrizioe di A' ω ad A ' Allora si dice che ' è u sottogruppo di A se e solo se A' ω è u gruppo Esempio (Z +) è u sottogruppo di (R +) ) A ( ) Defiizioe 4 Sia ( A+ u isieme co due operazioi itere Si dice che ( A+ ) è u aello se e solo se ) ( A + ) gruppo abeliao 2) ab c A : a ( b c) = ( a b) c (proprietà associativa) 3) A t c a A : a = a = a ( allora è elemeto eutro per ) a ( b + c) = a b + a c 4) ab c A : (proprietà distributiva) ( a + b ) c = a c + b c Defiizioe 5 ( A + ) si dice campo se e solo se ) ( A+ ) è aello 2) a A a 0 a A t c a a = = a 3) a b A : a b = b a Se o è verificata la 3) ( A + ) si dice corpo ) a Proposizioe 3 ( A+ campo a b A allora a b = 0 a = 0 oppure b = 0 DIM ( ) Sia a = 0 allora a b = 0 b ioltre ( 0 + c) b = 0 b + c b ( 0 + c) b = c b quidi 0 b + c b = c b 0 b = 0 ( ) a b = 0 sia b 0 allora esiste b A sicché a b b = 0 b a b b = 0 Da ciò segue che u campo o ha divisori dello 0 ( ) ( ) a = 0 a = 0 Esempi: (Q + ) ( R + ) è campo 2 ( M + ) t c le matrici siao o sigolari è u corpo 3 (Z + ) o è u campo A' 6

7 2 Defiizioe di spazio vettoriale Siao V K isiemi o vuoti Defiizioe 2 Si dice operazioe estera su V avete K come domiio degli operatori u applicazioe ω : K V V L elemeto ω (( k v) ) V immagie di ( k v) si idica più semplicemete col simbolo kv Defiizioe 22 Dati u isieme V o vuoto e u campo K V dotato di u operazioe itera deotata co + e u operazioe estera avete K come domiio degli operatori si dice spazio vettoriale su K e si idica co V (K) se e solo se: ) ( V + ) è u gruppo abeliao 2) h k K e v V : ( h + k) v = hv + kv 3) h K e v u V : h ( v + u) = hv + hu 4) h k K e v V : ( hk ) v = h(kv) 5) v V : v = v Il simbolo V ( K) si legge V su K oppure spazio vettoriale sul campo K ; gli elemeti di V si dicoo vettori metre quelli di K si dicoo scalari Proposizioe 2 Sia V( K) uo spazio vettoriale Sussistoo allora le segueti proprietà: ) v V : 0 v = 0 2) h K : h 0 = 0 3) hv = 0 h = 0 oppure v = 0 4) v V : ( ) v = v DIM ) h K e v V si hao le segueti: ( h + 0) v = hv + 0v e ( h + 0) v = hv Duque hv + 0v = hv da cui 0 v = 0 2) h K e v V si hao le segueti: h ( v + 0) v = hv + h0 e h ( v + 0) = hv Duque hv + h0 = hv da cui h 0 = 0 3) Se h = 0 per la 2) si ha hv = 0 7

8 Se poi h 0 allora esiste h e moltiplicado ambo i membri di hv = 0 per h si ha h ( hv) = h 0 ( h h) v = 0 v = 0 v = 0 4) v V d altra parte duque da cui (+( )) v = v + ( ) v= v+ ( )v (+( )) v = 0v = 0 v + ( )v = 0 ( ) v = v Esempi: Sia V l isieme dei vettori geometrici dello spazio allora l operazioe di addizioeidicata co + è operazioe itera e co le proprietà già viste ) v v 2 v3 V : ( v + v 2 )+ v 3 = v +( v 2 + v 3 ) 2) 0 V t c v V v + 0 = v = 0 + v 3) v V v V t c v+( v) = 0 = v+v 4) v v 2 V : v + v 2 = v 2 + v ( V + ) è u gruppo abeliao Ioltre V è dotato di ua operazioe estera avete il campo R come domiio degli operatori che è il prodotto h v di u vettore v per u umero reale L operazioe estera suddetta gode delle segueti proprietà: 5) h R e v v 2 V : h( v + v 2 ) = hv +hv 2 6) hk R e v V ( h + k) v= h v+ kv 7) hk R e v V h(k v ) = (hk)v Poiché v = v si deduce che V è uo spazio vettoriale sul campo R cioè V( R ) 2 (R + ) è u campo duque ( R +) è u gruppo abeliao L operazioe si può cosiderare estera su R avete R come domiio degli operatori Le proprietà di i R soo: ) kh h 2 R : ( h ) + h 2 k = hk + h 2k 2) hkh R h ( ) h + k = hh + hk 3) hkl R h ( kl) =( hk)l 4) R t c h R : h = h Perciò R è uo spazio vettoriale su R cioè R ( R ) 8

9 3 Nell isieme R si cosiderao le segueti operazioi somma e prodotto per u umero reale defiite come segue: a) ( x x ) e ( y y ) x R : 2 2 y ( ) ( ) ( ) x x 2x + y y2 y = x + yx 2 + y2x + y b) ( x ) x R e : 2 x Idicate co x y le -ple (elemeti di R (R + ) si prova che duque (R ) x yz R : 2) 0 R t c x R : h R ( x x x ) = ( hx hx ) ( x + y) + z = x + ( y + z) h 2 2 hx 0 + x = x = x + 0 3) x R x R : x + ( x) = 0 = x + x 4) x y R : x + y = y + x +) è u gruppo abeliao; ioltre 5) x y R e h R : h ( x + y) = hx + hy 6) x R e 7) x R e hk : hk : 8) x R : x = x R ( h + k) x = hx + kx R h ( kx) = ( hk)x Si deduce che R è uo spazio vettoriale su R cioè R (R ) ) e sfruttado le proprietà di 4 Sia R [x] l isieme dei poliomi ella variabile x di grado qualuque cioè R[x] = { a 0 } x + a x + + a x + a Utilizzado l operazioe di addizioe dei poliomi e di prodotto per u umero reale rispettivamete come operazioe itera e estera avete R come domiio degli operatori di R [x] cioè m m a) a x + a x + + a x + a e b x + b x + + b x + b R [x]: 0 m m 0 m m ( x + a x + + a x + a ) + ( b x + b x + + b x + b )= a 0 m m 0 m ( a ) ( ) m + b m x + + a + b x + a 0 + b0 = a x + + > m b) a x + a x + + a x + a R [x] e h R : 0 se ( a ) ( ) ( ) x + + ax + a 0 = h a x + + h a x + ha 0 h 9

10 si può dimostrare che R [x]( R ) Se ivece di a i R si cosiderao a i K i = 0 i poliomi i x soo a coefficieti i K Si possoo itrodurre operazioi aaloghe al caso reale e si può cocludere che K[x](K) 5 Sia R [x] l isieme dei poliomi ella variabile x di grado si prova facilmete come el caso precedete che co le usuali operazioi di addizioe e di prodotto per u umero reale è R [x](r ) 6 Sia V = {} v e sia + l operazioe itera di V defiita come segue: v + v = v Si prova facilmete che ( V + ) è u gruppo abeliao Ioltre su V si può defiire l operazioe estera avete K come domiio degli operatori k K kv = v Si prova facilmete che è V(K) ovvero { v} (K) 7 Sia F R () I l isieme delle fuzioi a valori reali defiite ell itervallo I Defiite i F R () I l operazioe di somma e di prodotto per u umero reale come segue a) f g F R () I e x I : ( f + g)( x) = f ( x) + g( x) b) f F R () I k R e x I : ( k f )( x) = k f ( x) si prova che è F R () I(R) 0