Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 dei 10 quesiti del questionario.

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1 ARTICOLO Archimede 4 7 ESAME DI STATO 7 SECONDA PROVA SCRITTA PER I LICEI SCIENTIFICI DI ORDINAMENTO Il cadidato risolva uo dei due problemi e rispoda a 5 dei quesiti del questioario. PROBLEMA Si cosiderio i triagoli la cui base è AB = e il cui vertice C varia i modo che l agolo CAB ˆ si matega doppio dell agolo ABC ˆ..Riferito il piao ad u coveiete sistema di coordiate, si determii l equazioe del luogo geometrico γ descritto da C..Si rappreseti γ, teedo coto, ovviamete, delle prescritte codizioi geometriche..si determii l ampiezza dell agolo ABC ˆ che rede massima la somma dei quadrati delle altezze relative ai lati AC e BC e, co l aiuto di ua calcolatrice, se e dia u valore approssimato i gradi e primi (sessagesimali). 5 4.Si provi che se ABC ˆ = 6 allora AC =. PROBLEMA Si cosideri u cerchio C di raggio r..tra i triagoli isosceli iscritti i C si trovi quello di area massima..si deoti co S l area del poligoo regolare di lati iscritto i C. Si dimostri che S e si trovi u aaloga espressioe per l area del poligoo regolare di lati circoscritto a C. = rse π.si calcoli il limite di S per. 4.Si spieghi i che cosa cosista il problema della quadratura del cerchio e se, e i che seso, si tratti di u problema risolubile o meo. QUESTIONARIO.La regioe R delimitata dal grafico di y = x, dall asse x e dalla retta x = (i figura) è la base di u solido S le cui sezioi, otteute tagliado S co piai per- 8

2 pedicolari all asse x, soo tutte triagoli equilateri. Si calcoli il volume di S..Le misure dei lati di u triagolo soo 4, 6 e 8 cm. Si calcolio, co l aiuto di ua calcolatrice, le ampiezze degli agoli del triagolo approssimadole i gradi e primi sessagesimali..si determii, al variare di k, il umero delle soluzioi reali dell equazioe: x x k + = 4 7 y Archimede R O l x ARTICOLO 4.U serbatoio di olio ha la stessa capacità del massimo coo circolare retto di apotema metro. Si dica quati litri di olio il serbatoio può coteere. 5.Si mostri che la fuzioe y = x + 8 soddisfa le codizioi del teorema del valor medio (o teorema di Lagrage) sull itervallo [-, ]. Si determiio i valori medi foriti dal teorema e se e illustri il sigificato geometrico. 6.Si sa che il prezzo p di u abito ha subìto ua maggiorazioe del 6% e, altresì, ua dimiuzioe del 6%; o si ha ricordo, però, se sia avveuta prima l ua o l altra delle operazioi. Che cosa si può dire del prezzo fiale dell abito? 7.Se f(x) è ua fuzioe reale dispari (ossia il suo grafico cartesiao è simmetrico rispetto all origie), defiita e itegrabile ell itervallo [-, ], che dire del suo itegrale esteso a tale itervallo? Quato vale el medesimo itervallo l itegrale della fuzioe + f(x)? 8.Si risolva l equazioe: = 9.Si calcoli l itegrale idefiito risultato di x dx e, successivamete, si verifichi che il x dx è i accordo co il suo sigificato geometrico.. Per orietarsi sulla Terra si fa riferimeto a meridiai e a paralleli, a latitudii e a logitudii. Suppoedo che la Terra sia ua sfera S e che l asse di rotazioe terrestre sia ua retta r passate per il cetro di S, come si può procedere per defiire i termii geometrici meridiai e paralleli e itrodurre u sistema di coordiate geografiche terrestri? Durata massima della prova: 6 ore. È cosetito soltato l uso di calcolatrici o programmabili. No è cosetito lasciare l Istituto prima che siao trascorse ore dalla dettatura del tema. 8

3 ARTICOLO Archimede 4 7 RISOLUZIONE DEL PROBLEMA.Voledo seguire il suggerimeto e impostare il problema subito per via aalitica, poiamo l origie i A, l asse x orietato come AB e l asse y perpedicolare ad AB (figura ). Il puto B ha coordiate (, ). Il puto C è quidi l itersezioe della retta per A che forma co AB u agolo orietato di ampiezza α e della retta per B che forma co BA u agolo di y ampiezza α. Per idividuare C occorre risolvere il sistema: C y= (ta α) x y= (ta α) ( x ) Le codizioi geometriche impogoo π α <. Quidi le coordiate (x, y) di C devoo soddisfare le codizioi ( x) < y ed y< ( x). Posto ta α=t t e quidi ta α= t il sistema diveta t y = x t y= t( x ) y La sostituzioe t = permette di elimiare il parametro t tra le due x equazioi. Il luogo dei puti le cui coordiate soddisfao il sistema è: y( x y 4x+ ) = Questo luogo è l uioe di due curve: l asse delle ascisse (che si ottiee el caso α = ) e la coica di equazioe x y 4x+ =, che è u iperbole. Questa può essere ridotta a forma stadard i modo elemetare, attraverso il metodo del completameto dei quadrati. Si ottiee: x 9 y =. Ai fii del ostro problema soo accettabili: dell asse delle ascisse i puti iteri al segmeto AB, ossia i puti (x, ), co < x <, i quali determiao u triagolo degeere, e i puti del ramo «a siistra» dell iperbole. A α Figura α B x 8

4 4 7 Archimede Propoiamo ache u metodo alterativo, di tipo sitetico. Questo secodo metodo è più elegate, ma o segue il C H C' suggerimeto dato el testo del problema, perché si fissa solo i u secodo α α mometo il sistema di riferimeto. P Sia P l itersezioe del lato BC del α triagolo co l asse d di AB (figura ). Si d α α cosideri ora la parallela per C ad AB e sia C' l itersezioe di tale parallela co A B la retta AP. I triagoli APB, CPC' e Figura AC'C soo isosceli co gli agoli alla base di ampiezza α; ioltre d è asse sia di AB che di CC'. Pertato AC = CC' = CH. Quidi C appartiee al luogo dei puti tali che la distaza da A è il doppio della distaza dalla retta d. Questo luogo è ua coica avete u fuoco i A, la retta d come direttrice ed eccetricità, cioè u iperbole. Per otteere l equazioe del luogo, fissato il sistema di riferimeto come i precedeza, si esprime la codizioe x = x + y, dalla quale si ricava, elevado al quadrato ambo i membri, l equazioe già trovata i precedeza (e, come i precedeza, dell iperbole ci iteressa il ramo siistro). Osserviamo che questo procedimeto o forisce i puti iteri al lato AB..Lo studio del luogo cercato può essere codotto co i metodi della geometria aalitica. Il cetro dell iperbole è il puto e gli asitoti soo le rette, y= x ed y= x..le altezze relative ai lati AC e BC soo rispettivamete si α e si α. È richiesto quidi di trovare il massimo della fuzioe f ( α) = si α+ si α dove possiamo supporre < α < π. Derivado si ottiee: ARTICOLO f '( α) = 4si αcos α+ si αcosα = si α( 4cos α+ ) Il massimo si ha per α= arccos 5 4'. 4 4.Se ABC ˆ = 6, allora CAB ˆ = BCA ˆ = 7. Detto P il puto el quale la bisettrice di CÂB iterseca CB, i triagoli CPA ed ABP soo isosceli, quidi CA = AP = PB (figura ). Ioltre, il triagolo CAP è simile ad ABC. Si ha quidi: AB : CA = CA : CP. Posto CA = x, si ottiee : x= x :( x). I altre parole x è la parte aurea di AB e, 8

5 ARTICOLO Archimede 4 7 quidi, è soluzioe di x e + x =. Le soluzioi dell equazioe soo 5, ma solo la prima delle due è positiva, quidi accettabile. C C + 5 P x r A B Figura Figura 4 RISOLUZIONE DEL PROBLEMA.Il quesito si presta ad essere risolto i molti modi diversi. Ad esempio, si può osservare che il triagolo di area massima deve risultare isoscele rispetto ad uo qualuque dei suoi lati assuto come base (ifatti, la relativa altezza è massima quado passa per il cetro). Vediamo u altro modo (figura 4). Chiamata x l altezza del triagolo ( x r), la metà della base è (per il secodo teorema di Euclide) x( r x). L area è espressa dalla fuzioe Sx ( ) = x x( r x). La derivata è S x rx x '( ) = e l area è massima quado x = r cioè quado x( r x), il triagolo è equilatero. A.U poligoo regolare di lati iscritto i D ua circofereza (figura 5) si può scomporre i triagoli isosceli cogrueti, H B aveti il lato pari al raggio della circofereza e l agolo al vertice di ampiezza C O π L area di ciascuo di essi vale quidi. r si π e l area del poligoo può essere espressa come S = r π si. Figura 5 Nel caso di u poligoo regolare circoscritto si ha ua scomposizioe aaloga, ma i questo caso r rappreseta l altezza dei triagoli. Perciò l area di ciascu triagolo è T = r r tg π e l area del poligoo è r tg π. 84

6 4 7 Archimede π si. lim S lim si lim r π r x = = = r lim si π = r π. x + x π tg π Osserviamo che ache lim T lim lim lim = r tg = r r tg πx = = r π. + x x Questo è i accordo co il fatto che l area del cerchio di raggio r, elemeto di separazioe tra le aree dei poligoi regolari iscritti e circoscritti, è uguale a πr. 4.Per quadratura del cerchio si itede la costruzioe, co il solo uso della riga e del compasso, di u quadrato equivalete ad u cerchio dato. Si tratta di uo dei cosiddetti problemi classici dell atichità. Risolvere il problema della quadratura del cerchio equivale a costruire co riga e compasso u segmeto di lughezza π, dato uo di lughezza uitaria. Ifatti il cerchio è equivalete a u rettagolo di base π e altezza. Chiamiamo costruibile u umero x se esiste u segmeto di lughezza x costruibile co riga e compasso a partire da u segmeto uitario. Si dimostra che i umeri costruibili soo u sottoisieme proprio dei umeri algebrici; questo perché idividuare u puto co riga e compasso sigifica itersecare rette e circofereze, cioè, dal puto di vista algebrico, risolvere u sistema di equazioi di primo e secodo grado. Poiché π è u umero trascedete, come dimostrato el 88 da Lidema, esso o è costruibile co riga e compasso, e il problema della quadratura del cerchio o è risolubile. ARTICOLO RISPOSTE AL QUESTIONARIO.Il quesito è molto simile al quesito dell idirizzo PNI di quest ao e al puto 5 del Problema del 5 PNI. Il volume del solido si calcola mediate l itegrale delle aree delle sezioi parallele del solido, otteute co piai perpedicolari all asse x (metodo «delle fette»; figura 6). Per u commeto più approfodito si rivia ad Archimede 4/5, pag. 9. z Figura 6 y x Si ottiee ( ) = = 4 x x dx x dx =. 85

7 ARTICOLO Archimede 4 7.Per trovare le ampiezze degli agoli si usa il Teorema del coseo (o di Carot): b + c a a = b + c bccos α; da cui, cos α=. Se a = 4 cm, b = 6 cm bc e c = 8 cm, si ha cos α=, cioè α= arccos Co calcoli aaloghi si ottiee β 46 4 e γ 4 9..Per rispodere al quesito studiamo l adameto della fuzioe y= x x k+, valutado la posizioe dei massimi e dei miimi rispetto all asse delle ascisse. La derivata è y' = x x. La fuzioe è crescete per x < e per x > decrescete, per < x < ; ha u massimo relativo M = k i x = e u miimo relativo m= i x = 7 k. Poiché M > m, si hao i segueti casi. a) Per k < si ha: M > m > e, quidi, uo zero semplice; 7 b) Per k = si ha: M > m = e, quidi, uo zero doppio e uo semplice; 7 c) Per < k < si ha: M > > m e, quidi, tre zeri semplici; 7 d) Per k = si ha: M => m e, quidi, uo zero semplice e uo doppio; e) Per k > si ha: > M > m e, quidi, uo zero semplice. 4.Calcoliamo le dimesioi del coo di volume massimo avete l apotema di m. Chiamata x l altezza del coo, co < x <, il raggio di base è x e il volume π( x ) x π( x ) è Vx ( ) =. Poiché V'( x) = il massimo volume si ha per π x = e vale m, pari a circa 4 litri. 7 5.Il teorema di Lagrage si applica alle fuzioi cotiue i u itervallo chiuso [a, b] e derivabili almeo ei puti iteri all itervallo. La fuzioe y = x + 8 è cotiua e derivabile i tutto l asse reale: ad essa si può applicare il teorema i qualsiasi itervallo chiuso. Esiste quidi almeo u puto x ], [ tale che f() f( ) f'( x) = x = = 4. L equazioe x = 4 ammette le due soluzioi ± ( ) etrambe apparteeti all itervallo. Nei puti corrispodeti, la retta, tagete è parallela alla retta che uisce gli estremi del grafico della fuzioe ell itervallo cosiderato. 6.Il prezzo dell abito dimiuisce, e questo idipedetemete dall ordie co il quale si compogoo maggiorazioe e dimiuzioe di prezzo. Ifatti, co la maggiorazioe il prezzo viee moltiplicato per +,6, metre co la dimiuzioe viee moltiplicato per,6. I tutto quidi, qualuque sia l ordie del- 86

8 4 7 Archimede le operazioi, il prezzo viee moltiplicato per ( +,6) (,6) =,6. U quesito del tutto aalogo è stato trattato su Archimede ella rubrica U problema da discutere,. del 4, pag Se f(x) è ua fuzioe dispari itegrabile i u itervallo del tipo [ a, a], il suo itegrale esteso a tale itervallo è ullo, come si ituisce facilmete co u grafico. a I effetti, se f(x) è dispari, f( x) dx= f( x) dx: questo perché, poedo t = x, a si ha a a f ( x) dx = f ( t) ( ) dt = f () t dt = f () t dt = f( x) dx. Quidi metre a ( ) = + = a f( x) dx = f( x) dx+ f( x) dx =, f ( x) + dx f ( x) dx dx. 8.Osserviamo iazitutto che deve essere 4ed ; quidi 5. Ricordiamo che k Questo ci permette di esplicitare i k = ( )...( + ). k! due membri dell equazioe, otteedo ( )( )( ) ( )( )( 4) 4 = 5 4 Semplificado si ha ( ) = 5( 4), cioè 6+ 6 =, che ammette le due soluzioi = 6 ed =, etrambe accettabili. a 9.L itegrale idefiito xdxsi calcola co la sostituzioe x = si t, dx = cos t dt. + cos t t si t t Si ottiee cos tdt = dt = + + c = + si tcost+ c = 4 = arcsi x+ x x + c. Ne deriva che = + π xdx arcsi x x x =. 4 Questo è i accordo co il sigificato geometrico dell itegrale, che esprime l area di u quarto di cerchio di raggio..quesito idetico al decimo della prova dell idirizzo sperimetale, alla quale si rivia. ARTICOLO CONSIDERAZIONI E COMMENTI La prova di matematica per i Licei Scietifici di ordiameto è risultata più difficile per gli alui rispetto agli ai precedeti ed è stata oggetto di u ampio dibattito tra doceti, per esempio ella lista di discussioe Cabriews. Ache le correzioi 87

9 ARTICOLO Archimede 4 7 che usualmete compaioo ei siti specializzati soo state completate i otevole ritardo rispetto agli ai precedeti, a coferma della maggiore difficoltà complessiva. Le critiche pricipali hao riguardato i problemi, e i particolare il primo. Le idicazioi miisteriali del dicoo che la prova di matematica deve essere costituita «da due problemi, articolati al loro itero i almeo tre quesiti, possibilmete idipedeti tra loro, e da u questioario coteete altri quesiti (da u miimo di 6 ad u massimo di ) riguardati argometi del programma»; e ioltre che «la tipologia delle questioi è tale da offrire al cadidato la più ampia opportuità per esprimere coosceze, competeze e capacità acquisite el corso di studi». L idipedeza dei quesiti ei problemi ha lo scopo da u lato di rassicurare gli alui, dall altro di permettere alla commissioe ua valutazioe più precisa delle competeze degli alui, come si osserva ell articolo di Aichii e Ciarrapico «Esami di stato: la prova scritta di matematica el liceo scietifico» apparso el su Archimede. Ioltre si richiama l opportuità di ua gradualità elle domade dei problemi, i modo da evitare che gli alui rimagao bloccati all iizio. Queste idicazioi, pur o ufficiali, soo state rispettate egli esami precedeti. Il problema del 7 richiede ivece al primo puto ua otevole abilità di tipo tecico: per essere risolto co u umero ragioevole di passaggi rispettado le cosege, è ecessario, tra le strategie possibili i via teorica, impostare subito la soluzioe usado le tageti degli agoli e la formula di duplicazioe, formula studiata al terzo o al quarto ao; ioltre il secodo puto è dipedete dal primo. L ultimo puto, ifie, riguarda u argometo classico, presete ei testi di trigoometria fio a ua vetia di ai fa, ma ora o più affrotato i modo sistematico dai libri di testo. Nel secodo problema il primo puto è stadard, ma l uso delle successioi solleva otevoli problemi: si tratta di u tema che o è presete ei programmi ufficiali, e che ei testi e ella pratica didattica compare co aspetti e fialità diversi. A volte, e a mio parere i modo più efficace dal puto di vista didattico, prima dello studio delle fuzioi, per itrodurre i modo ituitivo il cocetto di limite; altre volte, seguedo la tradizioe, come restrizioe di fuzioi all isieme dei aturali, collegado il limite di ua successioe al limite di ua fuzioe, e questo è il puto di vista dal quale va affrotata la domada del problema. Si tratta di due impostazioi abbastaza diverse, ed occorre tempo per far emergere i legami tra le due; l esiguità dell orario di matematica i u Liceo Scietifico di ordiameto o permette quasi mai di dedicare spazio alla sistemazioe degli argometi. Così il problema, pur affrotabile dal puto di vista cocettuale, o lo è stato per molti alui dal puto di vista tecico: macavao termiologia e strategie. Per quato riguarda poi la domada sulla quadratura del cerchio, o è chiaro il tipo di risposta attesa e soprattutto le competeze che si voglioo verificare co domade di questo geere. Ua risposta di tipo ozioistico o è molto sigificativa, ua trattazioe più approfodita o sembra alla portata di u ormale aluo di quita Liceo. Che cosa ha veramete capito e imparato u aluo diligete che rispode che la quadratura del cerchio è impossibile perché π è u umero trascedete (come riportato da quotidiai e da siti che hao pubblicato la soluzioe)? 88

10 4 7 Archimede I quesiti hao presetato miori difficoltà e u aluo mediamete preparato ha certamete potuto trovare metà alla sua portata; tuttavia alcue osservazioi vao fatte. Per il quesito si rivia a quato osservato per il quesito del PNI, e così ache per il. Il secodo quesito era semplice e stadard, ache se lascia perplessi la richiesta, peraltro presete ache el secodo problema, di arrotodare gli agoli ai primi di grado: che cosa si vuole valutare? La coosceza dei tasti di ua calcolatrice scietifica? E perché usare i primi di grado, quado ormai è comue l uso dei sottomultipli decimali? Curioso ache il tetativo di applicare le coosceze matematiche alla realtà: semplice e grazioso, perché cotroituitivo, il 6, ma decisamete forzato il : che seso cocreto può mai avere la frase «U serbatoio di olio ha la stessa capacità del massimo coo circolare retto di apotema metro»? Il quesito 8 preseta u esercizio di calcolo combiatorio ozioistico, el quale viee richiesta la coosceza della formula, e o del sigificato, dei coefficieti biomiali. Resta ifie da chiedersi quale messaggio si sia voluto dare agli isegati e agli alui co questa prova. L osservazioe più frequete è stata che il programma di quita era poco rappresetato, metre ivece era molto presete la trigoometria. Questo poe u problema serio. Quado si cerca di adeguare il vetusto programma del Liceo Scietifico di ordiameto alle esigeze della società modera o semplicemete di svolgere co u miimo di completezza gli argometi i u orario che diveta sempre più stretto, date ache le molteplici attività di cui la scuola viee caricata, ci si chiede quale parte possa essere ragioevolmete ridotta. Di solito si osserva che la trigoometria è sovradimesioata, ma la prova assegata quest ao impedisce di togliere spazio alla trigoometria. E per gli stessi motivi sembra che i realtà essua parte del programma potrà essere ridotta. Per questo è quato mai ecessario avere idicazioi precise, da parte del Miistero, su quali temi siao da privilegiare ella preparazioe degli alui e quale il livello di approfodimeto richiesto: o dimetichiamo che soo acora i vigore i programmi del 945. Sarebbe bee che queste idicazioi fossero forite esplicitamete e o attraverso i testi delle prove d esame che, essedo diverse di ao i ao, foriscoo, specialmete agli alui, messaggi cotraddittori. I tal seso si è espresso u umero cosistete di isegati (più di ), che ha iviato u documeto al Miistero, el quale si fa presete il disagio e si chiede «u eleco ufficiale chiaro e dettagliato di ciò che ell ambito dei programmi devoo sapere e saper fare gli esamiadi, i riferimeto alla prova scritta dell esame di Stato». È auspicabile che questa richiesta o sia igorata. ARTICOLO Maria Agela Chimetto Liceo Scietifico «G.B. Quadri» di Viceza 89

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