Appunti di Geometria

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1 ISTITUTO COMPRENSIVO N.7 - VIA VIVALDI - IMOLA Via Vivaldi, Imola (BOLOGNA) Centro Territoriale Permanente: Istruzione Degli Adulti - IDA Appunti di Geometria Scuola Secondaria di I Grado - Ex Licenza Media Indice 1 Introduzione Enti Geometrici Fondamentali Definizioni Importanti Posizione reciproca di due rette Angoli Misurare un angolo Classificazione degli Angoli Poligoni Classificazione dei Poligoni Triangoli Classificazione in base ai lati Classificazione in base agli angoli Triangolo: perimetro e area Quadrilateri e loro classificazione Trapezio Trapezio: perimetro e area Parallelogrammo Parallelogrammo: perimetro e area Rettangolo Rettangolo: perimetro e area Rombo Rombo: perimetro e area Quadrato Quadrato: perimetro e area A Equivalenze 17 A.1 Misure Lineari A.1.1 Misure di Lunghezza A.1.2 Misure di Capacità A.1.3 Misure di Massa A.2 Misure di Superficie Bibliografia 18 1

2 1 Introduzione 1.1 Enti Geometrici Fondamentali Punto Matematico Non ha dimensione e occupa una posizione. Si indica con le lettere maiuscole dell alfabeto latino: A, B, C, D,... Retta Ha una dimensione: la lunghezza. Si indica con le lettere minuscole dell alfabeto latino: a, b, c, d,... Contiene infiniti punti. Piano Ha due dimensioni: la lunghezza e larghezza. Si indica con le lettere minuscole dell alfabeto greco: α (alfa), β (beta),... Contiene infiniti punti e infinite rette. Osservazione. Per un punto passano infinite rette. Per due punti passa una e una sola retta. Per un punto passano infiniti piani. Per due punti passano infiniti piani, quindi per una retta passano infiniti piani. Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano. 1.2 Definizioni Importanti Definizione (Semiretta). Ognuna delle parti in cui una retta rimane divisa da un suo punto. 2

3 Definizione (Segmento). Parte di retta limitata da due suoi punti detti estremi del segmento. Definizione (Segmenti consecutivi). Due segmenti si dicono consecutivi se hanno un estremo in comune. (Nella figura l estremo in comune è il punto B) Definizione (Segmenti adiacenti). Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta. 1.3 Posizione reciproca di due rette Definizione (RETTE INCIDENTI). Due rette r e s si dicono incidenti quando hanno un punto in comune. Due rette r e s incidenti si dicono perpendicolari se dividono il piano in quattro parti uguali fra loro. Gli angoli che si formano sono di 90. Definizione (RETTE COINCIDENTI). Due rette r e s si dicono coincidenti quando hanno infiniti punti in comune. 3

4 Definizione (RETTE PARALLELE). Due rette r e s si dicono parallele quando non hanno nessun punto in comune e appartengono allo stesso piano; e si scrive r s. Definizione (RETTE SGHEMBE). Due rette r e s si dicono sghembe quando non hanno nessun punto in comune e non appartengono allo stesso piano. 2 Angoli Definizione (Angolo). Ognuna delle due parti di piano limitata da due semirette che hanno la stessa origine. L origine delle semirette si chiama vertice dell angolo. Le due semirette sono dette lati dell angolo. 4

5 Definizione (Angolo Convesso e Angolo Concavo). Si chiama angolo concavo la parte di piano che contiene i prolungamenti dei due lati; si chiama angolo convesso la parte di piano che non contiene i prolungamenti dei due lati. 2.1 Misurare un angolo La misura di un angolo si chiama ampiezza. Per misurare l ampiezza di un angolo è necessario scegliere un altro angolo come unità di misura e contare quante volte è contenuto nell angolo dato. Come angolo-unità di misura si sceglie il grado che è la 360-esima parte dell angolo giro. Lo strumento che si usa per misurare l ampiezza di un angolo si chiama GONIOMETRO (o rapportatore). 2.2 Classificazione degli Angoli NULLO misura 0 ACUTO misura meno di 90 RETTO misura 90 OTTUSO misura più di 90 e meno di 180 PIATTO misura 180 5

6 CONCAVO misura più di 180 e meno di 360 GIRO misura 360 Definizione (Angoli consecutivi). Due angoli si dicono consecutivi se hanno il vertice e un lato in comune. Definizione (Angoli adiacenti). Due angoli si dicono adiacenti se hanno il vertice e un lato in comune, quindi sono consecutivi, e se gli altri due lati appartengono alla stessa retta. La loro somma è sempre 180. Definizione (Angoli Complementari). Due angoli si dicono complementari tra loro se la loro somma è un angolo retto, cioè 90. Definizione (Angoli Supplementari). Due angoli si dicono supplementari tra loro se la loro somma è un angolo piatto, cioè

7 Definizione (Angoli opposti al vertice). Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell uno sono i prolungamenti dei lati dell altro. Due angoli opposti al vertice sono uguali. 3 Poligoni Definizione (Figura geometrica). Si chiama figura geometrica un insieme di punti. Definizione (Poligono). Un poligono è figura geomerica piana formata da segmenti consecutivi (non intrecciati) in cui il primo estremo coincide con l ultimo e dalla parte di piano da essi limitata. Definizione (Perimetro di un poligono). Il perimetro di un poligono è la somma dei suoi lati. Il perimetro si indica con 2p. Il perimetro della figura sopra è 2p = AB + BC + CD + DE + EA Definizione (Area di un poligono). L Area di un poligono è la misura della sua superficie ( la parte che si può verniciare ). 7

8 Somma interna degli angoli di un poligono Per il calcolare della somma interna degli angoli di un poligono di n lati si usa la seguente formula: (n 2) 180 Definizione (Diagonale). Segmento che unisce due vertici opposti. Numero diagonali di un poligono Il numero delle diagonali di un poligono di n lati si può calcolare con la seguente formula: 3.1 Classificazione dei Poligoni n (n 3) 2 TRIANGOLO ha 3 lati, 3 vertici e 3 angoli QUADRANGOLO o QUADRILATERO ha 4 lati, 4 vertici e 4 angoli PENTAGONO ha 5 lati, 5 vertici e 5 angoli 8

9 ESAGONO ha 6 lati, 6 vertici e 6 angoli ETTAGONO ha 7 lati, 7 vertici e 7 angoli OTTAGONO ha 8 lati, 8 vertici e 8 angoli DECADONO ha 10 lati, 10 vertici e 10 angoli DODECAGONO ha 12 lati, 12 vertici e 12 angoli 9

10 Definizione (Poligono Regolare). Un poligono che ha tutti i lati uguali si chiama equilatero. Un poligono che gli angoli uguali si chiama equiangolo. Un poligono che è equilatero e equiangolo si chiama regolare. ESEMPIO DI ESAGONO REGOLARE 3.2 Triangoli Classificazione in base ai lati TRIANGOLO EQUILATERO ha tutti i lati uguali ha tre angoli uguali a 60 TRIANGOLO ISOSCELE ha due lati uguali ha due angoli uguali TRIANGOLO SCALENO ha tutti i lati diversi ha tre angoli diversi 10

11 3.2.2 Classificazione in base agli angoli TRIANGOLO ACUTANGOLO ha tre angoli acuti TRIANGOLO OTTUSANGOLO ha un angolo ottuso e due angoli acuti TRIANGOLO RETTANGOLO ha un angolo retto e due angoli acuti Osservazione. Un triangolo può essere classificato sia in base ai lati che in base agli angoli: TRIANGOLO RETTANGOLO ISOSCELE Triangolo: perimetro e area PERIMETRO 2p AREA A 2p = b + l 1 + l 2 b = 2p (l 1 + l 2 ) l 1 = 2p (b + l 2 ) l 2 = 2p (l 1 + b) A = b h 2 b = A 2 h h = A 2 b 11

12 3.3 Quadrilateri e loro classificazione Trapezio Il trapezio ha due, e solamente due, lati paralleli: AB DC. Caratteristica: gli angoli adiacenti (vicini) a uno stesso lato sono supplementari (la loro somma è 180 )  + ˆD = 180 e Ĉ + ˆB = 180 Classificazione Trapezi TRAPEZIO SCALENO ha i lati obliqui diversi: TRAPEZIO ISOSCELE ha i lati obliqui uguali BC = AD. Sono uguali anche: gli angoli adiacenti alle basi  = ˆB e Ĉ = ˆD; gli angoli A ˆDH = KĈB; le diagonali AC = DB; le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore AH = KB. AB DC Si ha anche che AH = KB =. 2 12

13 TRAPEZIO RETTANGOLO ha uno dei lati obliqui perpendicolare alle basi AD AB e AD DC: Il lato obliquo AD è altezza del trapezio Trapezio: perimetro e area PERIMETRO 2p 2p = B + l 1 + b + l 2 B = 2p (l 1 + b + l 2 ) b = 2p (B + l 1 + l 2 ) l 1 = 2p (B + b + l 2 ) l 2 = 2p (B + l 1 + b) AREA A A = (B + b) h 2 B = A 2 b h b = A 2 B h h = A 2 B + b B + b = A 2 h Parallelogrammo Il parallelogrammo ha i lati a due a due paralleli: AB CD e AD BC. Caratteristiche: i lati paralleli sono uguali AB = CD e AD = BC; gli angoli opposti sono uguali  = Ĉ e ˆB = ˆD; gli angoli adiacenti (vicini) a uno stesso lato sono supplementari (la loro somma è 180 )  + ˆB=180 ˆB + Ĉ=180 Ĉ + ˆD=180 ˆD + Â=180 13

14 le diagonali vengono tagliate a metà dal loro punto di intersezione AO = OC e DO = OB; ciascuna diagonale divide il parallelogramma in due triangoli uguali; Parallelogrammo: perimetro e area PERIMETRO 2p AREA A 2p = b + l + b + l = 2 b + 2 l = 2 (b + l) A = b h b = A h b = 2p: 2 l l = 2p: 2 b h = A b Rettangolo Il rettangolo ha quattro angoli retti  = ˆB = Ĉ = ˆD = 90. Base e altezza di chiamano anche dimensioni del rettangolo. Caratteristiche: i lati opposti sono uguali e paralleli: AB = CD e AD = BC AB CD e AD BC gli angoli adiacenti (vicini) a uno stesso lato sono supplementari (la loro somma è 180 )  + ˆB=180 ˆB + Ĉ=180 Ĉ + ˆD=180 ˆD + Â=180 le diagonali sono uguali AC = BD e vengono tagliate a metà dal loro punto di intersezione AO = OC = DO = OB; ciascuna diagonale divide il rettangolo in due triangoli uguali. 14

15 3.3.6 Rettangolo: perimetro e area PERIMETRO 2p AREA A DIAGONALE d 2p = b + h + b + h = 2 b + 2 h = 2 (b + h) b = 2p: 2 h h = 2p: 2 b A = b h b = A h h = A b d = b 2 + h Rombo Il rombo ha quattro lati uguali AB = BC = AC = DA. Caratteristiche: i lati opposti sono paralleli: AB CD e AD BC ; gli angoli opposti sono uguali  = Ĉ e ˆB = ˆD; gli angoli adiacenti (vicini) a uno stesso lato sono supplementari (la loro somma è 180 )  + ˆB=180 ˆB + Ĉ=180 Ĉ + ˆD=180 ˆD + Â=180 le diagonali sono perpendicolari AC BD (formano 4 angoli di 90 ); le diagonali vengono tagliate a metà dal loro punto di intersezione AO = OC e DO = OB; ciascuna diagonale divide il rombo in triangoli uguali; le diagonali dividono gli angoli del rombo in due angoli uguali. 15

16 3.3.8 Rombo: perimetro e area PERIMETRO 2p AREA A DIAGONALI d e D 2p = l + l + l + l = 4 l l = 2p: 4 A = D d 2 A = l h l = A h D = A 2 d d = A 2 D h = A l Quadrato Il quadrato ha quattro lati uguali AB = BC = AC = DA e quattro angoli retti  = ˆB = Ĉ = ˆD = 90. Caratteristiche: i lati opposti sono paralleli: AB CD e AD BC gli angoli adiacenti (vicini) a uno stesso lato sono supplementari (la loro somma è 180 )  + ˆB=180 ˆB + Ĉ=180 Ĉ + ˆD=180 ˆD + Â=180 le diagonali sono uguali AC = BD e vengono tagliate a metà dal loro punto di intersezione AO = OC = DO = OB; le diagonali sono perpendicolari AC BD (formano 4 angoli di 90 ); 16

17 ciascuna diagonale divide il quadrato in triangoli uguali; le diagonali dividono gli angoli del quadrato in angoli uguali a 45 ; il quadrato è un poligono regolare Quadrato: perimetro e area PERIMETRO 2p AREA A DIAGONALE d 2p = l + l + l + l = 4 l l = 2p: 4 A = l l = l 2 A = d d 2 l = A = d2 2 d = l 2 + l 2 = 2 l 2 d = A 2 A Equivalenze A.1 Misure Lineari A.1.1 Misure di Lunghezza km hm dam m dm cm mm NOME Chilometro Ettometro Decametro Metro Decimetro Centimetro Millimetro SIMBOLO km hm dam m dm cm mm A.1.2 Misure di Capacità hl dal l dl cl ml NOME Ettolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Millilitro SIMBOLO hl dal l dl cl ml 17

18 A.1.3 Misure di Massa 00 Mg 00 kg hg dag g dg cg mg NOME Megagrammo (tonnellata) Chilogrammo Ettogrammo Decagrammo Grammo Decigrammo Centigrammo Milligrammo SIMBOLO Mg kg hg dag g dg cg mg A.2 Misure di Superficie 0 km 2 0 hm 2 0 dam 2 0 m 2 0 dm 2 0 cm mm 2 NOME SIMBOLO Chilometro quadrato km 2 Ettometro quadrato hm 2 Decametro quadrato dam 2 Metro quadrato m 2 (oppure mq) Decimetro quadrato dm 2 Centimetro quadrato cm 2 Millimetro quadrato mm 2 Riferimenti bibliografici [Agnesi, Baldi e Locatelli, 2007] L. Agnesi, M. Baldi e A. Locatelli ABC della GEOMETRIA, volume A, Ghisetti e Corvi Editori. [Flaccavento, 2000] G. Flaccavento Romano, Invito alla matematica Geometria A, Fabbri Editore. [Genovese, Manzone Bertone e Rinaldi, 2005] T. Genovese, L. Manzone Bertone, G. Rinaldi GEOMETRIA, volume a, Lattes Editore. [Zibetti, L. Tonolini e F. Tonolini, 2005] G. Zibetti, L. Tonolini e F. Tonolini Viaggio nella matematica - Moduli di Geometria, volume 1, Minerva Italica. 18