IL TEOREMA DI PITAGORA

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1 GEOMETRIA IL TEOREMA DI PITAGORA E LE SUE APPLICAZIONI PREREQUISITI l conoscere le rorietaá delle quattro oerazioni ed oerare con esse l conoscere il significato ed oerare con otenze ed estrazioni di radici quadrate l ossedere il concetto di equivalenza l conoscere gli elementi e le rorietaá delle figure iane CONOSCENZE 1. l'enunciato del teorema di Pitagora. le formule dirette ed inverse 3. il teorema di Pitagora e i oligoni 4. il teorema di Pitagora e la circonferenza ABILITAÁ A. alicare il teorema di Pitagora nei triangoli rettangoli B. alicare il teorema di Pitagora nella risoluzione di roblemi con i oligoni C. alicare il teorema di Pitagora nella risoluzione di roblemi con la circonferenza D. risolvere roblemi con i oligoni con angoli articolari (30,60,45 ) PER RICORDARE L'enunciato del teorema di Pitagora: 1. teorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'iotenusa eá equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti; formule: i ˆ c C ; C ˆ i c ; c ˆ i C ;. una terna itagorica eá un insieme di tre numeri interi corrisondenti alle misure dei lati di un triangolo rettangolo e quindi legati tra loro dalla relazione esressa dal teorema di Pitagora; 3. una terna itagorica rimitiva eá una terna di numeri a, b, c, rimi tra loro con i quali eá verificata la relazione: a ˆ b c ; 4. una terna itagorica derivata eá una terna di numeri ottenuta moltilicando una terna rimitiva er uno stesso fattore diverso da zero. Le alicazioni del teorema di Pitagora: 5. un triangolo isoscele eá diviso dall'altezza relativa alla base in due triangoli rettangoli congruenti; 6. un triangolo equilatero eá diviso dall'altezza relativa ad uno qualunque dei suoi lati in due triangoli rettangoli congruenti; 7. un quadrato eá diviso da una diagonale in due triangoli rettangoli isosceli congruenti; 8. un rettangolo eá diviso dalla diagonale in due triangoli rettangoli congruenti; 9. un rombo eá diviso dalle due diagonali in quattro triangoli rettangoli congruenti; 10. un arallelogrammo eá diviso dall'altezza relativa ad un lato in un triangolo rettangolo e in un traezio rettangolo; 11. un traezio rettangolo eá diviso dall'altezza in un rettangolo e in un triangolo rettangolo; 1. un traezio isoscele eá diviso dalle due altezze in un rettangolo e in due triangoli rettangoli congruenti;

2 IL TEOREMA DI PITAGORA E LE SUE APPLICAZIONI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 13. i oligoni regolari vengono divisi in tanti triangoli isosceli congruenti quanti sono i lati del oligono; 14. un triangolo inscritto in una semicirconferenza eá un triangolo rettangolo in cui il diametro corrisonde all'iotenusa; 15. se in una circonferenza tracciamo una corda, il raggio assante er uno degli estremi della corda, la distanza della corda dal centro e metaá corda formano un triangolo rettangolo in cui il raggio corrisonde all'iotenusa; 16. il segmento di tangente di una delle due tangenti ad una circonferenza da un unto esterno, il raggio assante er il unto di tangenza e la distanza tra il unto esterno e il centro della circonferenza formano un triangolo rettangolo; 17. se da un unto esterno di una circonferenza tracciamo il segmento di tangente assante er uno degli estremi del diametro, il segmento di secante assante er l'altro estremo del diametro e il diametro stesso, si forma un triangolo rettangolo. Le figure con angoli articolari: 18. un triangolo rettangolo con gli angoli acuti ami 45 si uoá considerare come la metaá di un quadrato in cui la diagonale e i lati raresentano risettivamente l'iotenusa e i cateti del triangolo rettangolo; 19. un triangolo rettangolo con gli angoli acuti ami risettivamente 30 e 60 si uoá considerare come la metaá di un triangolo equilatero; 0. in un triangolo ottusangolo con un angolo ottuso di 10 l'altezza relativa alla base, il lato contenente l'angolo ottuso e il rolungamento della base formano un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 30 e 60. N.B.: Nei roblemi sono stati utilizzati i seguenti valori arossimati: ˆ 1,414; 3 ˆ 1,73. ESERCIZI DI CONOSCENZA 1 Indica quale delle seguenti affermazioni eá quella corretta. Il teorema di Pitagora mette in relazione i lati: a. di tutti i triangoli; b. dei triangoli equilateri; c. dei triangoli rettangoli; d. dei triangoli isosceli. Comleta l'enunciato del teorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo il... costruito sull'iotenusa eá... alla... dei... costruiti sui... 3 Comleta le seguenti uguaglianze relative al teorema di Pitagora (i, c, C raresentano risettivamente l'iotenusa, il cateto minore e il cateto maggiore). a. i ˆ :::::::::::::::; b. C ˆ :::::::::::::::; c. c ˆ :::::::::::::::. 4 Data la figura a lato, una sola delle seguenti uguaglianze eá errata, individuala e correggila: a. Q ˆ Q 1 Q ; b. Q ˆ Q 1 Q; c. Q 1 ˆ Q Q.

3 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL TEOREMA DI PITAGORA E LE SUE APPLICAZIONI 3 5 Comleta le seguenti definizioni: a. una terna itagorica eá un insieme di tre numeri interi corrisondenti alle... dei lati di un triangolo... e quindi legati tra loro dalla... esressa dal...; b. una terna itagorica si dice rimitiva quando eá formata da...; c. una terna itagorica derivata si ottiene... moltilicando i tre numeri er... 6 Indica quali delle seguenti terne di numeri raresentano delle terne itagoriche: a. 18; 19; 0; b. 5; 0; 15; c. 95; 76; 57; d. 19; 181; Indica quali delle seguenti terne itagoriche sono rimitive: a. 30; 40; 50; b. 3; 4; 5; c. 165; 13; 99; d. 15; 8; Nelle seguenti figure metti in evidenza i triangoli rettangoli che si ottengono tracciando in modo oortuno altezze, diagonali, ecc. a. b. c. d. e. f. g. h. 9 Comleta le seguenti regole: a. la misura dell'altezza di un triangolo equilatero si ottiene moltilicando la... della misura del suo lato er la... di 3; in simboli: h ˆ...; b. la misura del lato di un triangolo equilatero si ottiene dividendo il... della misura... er la... di 3; in simboli: ` ˆ...; c. la misura della diagonale di un quadrato eá uguale al... della misura del suo lato er la... di ; in simboli: d ˆ...; d. la misura del lato di un quadrato si ottiene... la misura della sua diagonale er la... di ; in simboli: ` ˆ...; e. i oligoni regolari vengono scomosti in tanti triangoli... congruenti quanti sono i... Ogni triangolo... uoá a sua volta essere suddiviso in due Alica il teorema di Pitagora al entagono regolare della figura a lato e comleta le seguenti formule: a. r ˆ...; b. a ˆ...; ` c. ˆ Alica il teorema di Pitagora al triangolo inscritto in una semicirconferenza della figura a lato e comleta le seguenti formule: a. d ˆ...; b. C ˆ...; c. c ˆ...

4 4 IL TEOREMA DI PITAGORA E LE SUE APPLICAZIONI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 1 Alica il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo costruito con il raggio, la distanza di una corda dal centro e metaá della stessa corda (figura a lato) e comleta le seguenti formule: a. r ˆ...; b. d ˆ...; AB c. ˆ Alica il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo costruito con il segmento di tangente, il raggio e la distanza tra il unto esterno e il centro della circonferenza (figura a lato) e comleta le seguenti formule: a. OP ˆ...; b. r ˆ...; c. PA ˆ Alica il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo della figura a lato costruito con il segmento di tangente, il diametro e il segmento di secante assante er l'altro estremo del diametro della circonferenza e comleta le seguenti formule: a. PB ˆ...; b. d ˆ...; c. PA ˆ Comleta le seguenti affermazioni: a. un triangolo rettangolo avente gli angoli acuti di 45 si uoá considerare come la... di un quadrato in cui la... e i lati raresentano l'iotenusa e i... del triangolo...; b. un triangolo rettangolo con gli angoli acuti ami risettivamente 30 e60 si uoá considerare come la... di un triangolo...; c. in un triangolo ottusangolo con un angolo ottuso di 10 l'altezza relativa alla... uscente da uno degli angoli acuti, il lato contenente l'angolo... e il rolungamento... formano un... con gli angoli acuti ami 30 e... ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO BASE * 1 Comleta la seguente tabella relativa ad un triangolo rettangolo. cateto minore (in cm) cateto maggiore (in cm) iotenusa (in cm) Date le misure dei due cateti di un triangolo rettangolo, calcola la misura dell'iotenusa: a. c ˆ 1 cm; C ˆ 8 cm; i ˆ ::::::::: b. c ˆ 13 cm; C ˆ 84 cm; i ˆ ::::::::: c. c ˆ 99 cm; C ˆ 13 cm; i ˆ ::::::::: d. c ˆ 1 cm; C ˆ 0cm; i ˆ :::::::::

5 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL TEOREMA DI PITAGORA E LE SUE APPLICAZIONI 5 3 Date le misure dell'iotenusa e di uno dei due cateti di un triangolo rettangolo, calcola la misura dell'altro cateto: a. c ˆ 18 cm; i ˆ 30cm; C ˆ :::::::::: b. C ˆ 60cm; i ˆ 61 cm; c ˆ ::::::::::: c. c ˆ 57 cm; i ˆ 95 cm; C ˆ :::::::::: d. C ˆ 64 cm; i ˆ 65 cm; c ˆ ::::::::::: 4 Esercizio Svolto I triangoli rettangoli Calcola l'area e il erimetro di un triangolo rettangolo saendo che i due cateti misurano risettivamente 4 cm e 56 cm. AB ˆ 4 cm AC ˆ 56 cm Incognite A ABC ABC Calcoliamo la misura dell'iotenusa alicando il teorema di Pitagora: BC ˆ AB AC ˆ 4 56 cm ˆ cm ˆ 4900 cm ˆ 70cm. Calcoliamo l'area: A ABC ˆ AB AC : ˆ 4 56 : cm ˆ 1176 cm Determiniamo il erimetro: ABC ˆ AB BC CA ˆ cm ˆ 168 cm. 5 In un triangolo rettangolo il cateto maggiore misura 7 cm ed eá 4 3 l'area del triangolo. del minore. Calcola il erimetro e 6 L'iotenusa di un triangolo rettangolo misura 1,5 cm ed eá di 5 cm iuá lunga del cateto minore. Calcola il erimetro e l'area del triangolo. 7 Un triangolo isoscele ha la base e uno dei due lati obliqui che misurano risettivamente 1 cm e 17,5 cm. Calcola il erimetro e l'area del triangolo. 8 In un triangolo isoscele la base e l'altezza misurano risettivamente 138 cm e 9 cm. Calcola il erimetro del triangolo. 9 Esercizio Svolto I quadrati Calcola la misura della diagonale di un quadrato saendo che l'area eá 576 cm. Dato A ABCD ˆ 576 cm Incognita AC Calcoliamo la misura del lato del quadrato: AB ˆ A ˆ 576 cm ˆ 4 cm. Alichiamo la formula er calcolare la lunghezza della diagonale del quadrato: d ˆ AB ˆ 4 cm ˆ 4 1,414 cm ˆ 33,936 cm.

6 6 IL TEOREMA DI PITAGORA E LE SUE APPLICAZIONI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 10 Calcola il erimetro di un quadrato saendo che la diagonale misura 35,35 cm. 11 In un quadrato l'area eá 104 cm. Calcola la misura della diagonale. 1 Calcola l'area di un quadrato saendo che la diagonale eá lunga 4,4 cm. 13 Esercizio Svolto I rettangoli Calcola l'area di un rettangolo saendo che la base e la diagonale misurano risettivamente 14 cm e 155 cm. AB ˆ 14 cm AC ˆ 155 cm Incognita A ABCD 14 Calcola il erimetro l'area di un rettangolo saendo che la diagonale e l'altezza misurano risettivamente 05 cm e 13 cm. 15 Calcola la misura della diagonale e l'area di un rettangolo avente il erimetro di 140cm ed una dimensione 3 4 dell'altra. 16 L'area di un rettangolo 400 cm. Calcola il erimetro e la misura della diagonale saendo che la base eá 7 4 dell'altezza. 17 Calcoliamo la misura dell'altezza del rettangolo alicando il teorema di Pitagora: BC ˆ AC AB ˆ cm ˆ cm ˆ 8649 cm ˆ 93 cm: Determiniamo l'area del rettangolo: A ABCD ˆ AB BC ˆ cm ˆ 1153 cm. Esercizio Svolto I rombi Calcola il erimetro di un rombo saendo che le due diagonali misurano risettivamente 10 cm e 136 cm. AC ˆ 10 cm BD ˆ 136 cm Incognita ABCD Calcoliamo la misura delle semidiagonali del rombo: CO ˆ AC : ˆ 10 : cm ˆ 51 cm; BO ˆ BD : ˆ 136 : cm ˆ 68 cm Alichiamo il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo BCO: BC ˆ CO BO ˆ cm ˆ cm ˆ 75 cm ˆ 85 cm quindi: ABCD ˆ 4 BC ˆ 4 85 cm ˆ 340cm.

7 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL TEOREMA DI PITAGORA E LE SUE APPLICAZIONI 7 18 Calcola il erimetro di un rombo saendo che le due diagonali sono lunghe risettivamente 198 cm e 64 cm. 19 La diagonale maggiore di un rombo eá lunga 400 cm ed eá 40 della minore. Calcola l'area e il erimetro 9 del rombo. 0 Un rombo eá isoerimetrico ad un quadrato avente l'area di 3906,5 cm. Calcola l'area del rombo e la misura della sua altezza saendo che la diagonale minore eá lunga 75 cm. 1 Esercizio Svolto I traezi isosceli In un traezio isoscele l'altezza e la semidifferenza delle due basi misurano risettivamente 148 cm e 111 cm. Calcola il erimetro e l'area del traezio saendo che la base minore eá lunga 160cm. DH ˆ CK ˆ 148 cm AH ˆ KB ˆ 111 cm DC ˆ 160cm Incognite ABCD A ABCD Calcoliamo la misura del lato obliquo alicando il teorema di Pitagora: AD ˆ AH DH ˆ cm ˆ cm ˆ 345 cm ˆ 185 cm Calcoliamo la misura della base maggiore: AB ˆ AH HK KB ˆ cm ˆ 38 cm. Determiniamo il erimetro del traezio: ABCD ˆ AB BC DC DA ˆ cm ˆ 91 cm. Determiniamo l'area del traezio: A ABCD ˆ AB DC HD : ˆ : Š cm ˆ cm. In un traezio isoscele il lato obliquo e l'altezza misurano risettivamente 115 cm e 69 cm. Calcola il erimetro e l'area del traezio saendo che la base maggiore misura 94 cm. 3 In un traezio isoscele l'area eá 563 cm, le basi sono una 17 dell'altra e la loro differenza eá lunga 96 5 cm. Calcola il erimetro del traezio. 4 In un traezio isoscele il lato obliquo misura 00 cm, l'altezza eá lunga 160cm e la base maggiore eá del lato obliquo. Calcola il erimetro e l'area del traezio. 5 In un traezio rettangolo le due basi sono una 4 dell'altra e la loro somma misura 55 cm. Calcola l'area 7 del traezio saendo che il lato obliquo eá lungo 5 cm. 6 In un traezio rettangolo la base maggiore misura 10cm ed eá 15 della minore. Calcola il erimetro e 13 l'area del traezio saendo che l'altezza misura 17,5 cm. 7 In un traezio rettangolo la somma delle misure delle due basi eá 93 cm mentre la loro differenza eá 87 cm. Calcola il erimetro e l'area del traezio saendo che l'altezza eá lunga 116 cm. 8 In un traezio rettangolo l'area eá 6904 cm, le due basi sono una 39 dell'altra e la loro somma misura cm. Calcola il erimetro del traezio.

8 8 IL TEOREMA DI PITAGORA E LE SUE APPLICAZIONI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO MEDIO ** 1 Esercizio Guidato I triangoli rettangoli In un triangolo rettangolo avente l'area di 94 cm il cateto minore misura 1 cm. Calcola il erimetro del triangolo. A ABC ˆ 94 cm AB ˆ 1 cm Incognita ABC La somma del cateto minore e dell'iotenusa di un triangolo rettangolo misura 18 cm e la loro differenza 98 cm. Calcola l'area e il erimetro del triangolo. 3 La somma dei due cateti di un triangolo rettangolo misura 94 cm e la loro differenza 4 cm. Calcola il erimetro, l'area e la lunghezza dell'altezza relativa all'iotenusa. 4 In un triangolo rettangolo i due cateti sono uno 4 dell'altro. Calcola il erimetro e la misura dell'altezza 3 relativa all'iotenusa saendo che l'area del triangolo eá 8664 cm. 5 Calcoliamo la misura del cateto maggiore alicando la formula inversa dell'area: BC ˆ A ABC : ::::: ˆ ::::: ::::: : 1 cm ˆ 8 cm Determiniamo la misura dell'iotenusa alicando il teorema di Pitagora: AC ˆ AB ::::: ˆ ::::: ::::: cm ˆ ::::::::: :::::::::: cm ˆ :::::: cm ˆ 35 cm Calcoliamo il erimetro: Esercizio Guidato ABC ˆ ::::: ::::: CA ˆ ::::: ::::: ::::: cm ˆ 84 cm. I triangoli isosceli In un triangolo isoscele la somma delle lunghezze della base e dell'altezza ad essa relativa misurano 540cm e l'altezza eá della base. Calcola il erimetro del triangolo. 3 AB CH ˆ 540cm CH ˆ 3 AB Incognita ABC Raresentiamo con un disegno il dato relativo al raorto fra altezza e base: Le arti uguali che comongono la base iuá l'altezza sono 5, ertanto: ::::: : 5 cm ˆ ::::: cm (segmento unitario) CH ˆ ::::: cm ˆ ::::: cm; AB ˆ ::::: 3 cm ˆ 34 cm.

9 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL TEOREMA DI PITAGORA E LE SUE APPLICAZIONI 9 6 In un triangolo isoscele l'area eá di cm. Calcola il erimetro del triangolo saendo che la base eá 8 3 dell'altezza. 7 Calcola il erimetro di un triangolo rettangolo isoscele avente un cateto lungo 40cm. 8 Un triangolo equilatero ha l'altezza lunga 17,3 cm. Calcola il erimetro e l'area del triangolo. 9 Un triangolo isoscele ha l'area di 35 cm e la base lunga 84 cm. Calcola: a. il erimetro del triangolo; b. l'area di un quadrato avente il lato congruente a 3 del erimetro del triangolo; 8 c. l'area di un rettangolo avente il erimetro doio di quello del quadrato e altezza lunga 18 cm. 10 Determiniamo la misura della metaá della base: AH ˆ ::::: : ˆ ::::: : cm ˆ 16 cm. Per calcolare la misura del lato obliquo AC alichiamo il teorema di Pitagora nel triangolo...: AC ˆ AH HC ˆ ::::: ::::: ˆ ::::: ::::: cm ˆ 7900 cm ˆ 70cm. Calcoliamo il erimetro: Esercizio Guidato ABC ˆ ::::: ::::: ::::: ˆ ::::: 70 ::::: cm ˆ 864 cm. I rettangoli In un rettangolo l'area eá 300 cm e la base eá 4 dell'altezza. Calcola il erimetro e la misura della 3 diagonale del rettangolo. A ABCD ˆ 300 cm Incognite ABCD AB ˆ 4 AD AC 3 Determiniamo il numero di quadratini che comongono la figura: 4 3 ˆ 1 Determiniamo l'area di ciascun quadratino in colore: A ABCD : n quadratini ˆ 300 : ::::: ˆ :::: cm q Determiniamo la misura del lato di ogni quadratino: AE ˆ A quadratino ˆ ::::: cm ˆ 5cm Determiniamo la lunghezza della base del rettangolo: AB ˆ 5 ::::: cm ˆ ::::: cm Determiniamo la lunghezza dell'altezza del rettangolo: AD ˆ 5 ::::: cm ˆ ::::: cm Determiniamo il erimetro del rettangolo: ABCD ˆ AB BC CD DA ˆ cm ˆ 70cm. Calcoliamo la misura della diagonale alicando il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo ABC: AC ˆ AB BC ˆ ::::: ::::: cm ˆ ::::: ::::: cm ˆ ::::: cm ˆ ::::: cm. 11 Un quadrato ha l'area di 756,5 cm. Calcola la misura della diagonale di un rettangolo isoerimetrico al quadrato saendo che le sue dimensioni sono una 3 4 dell'altra. 1 Il erimetro di un rettangolo eá 518 cm e le sue dimensioni sono una 4 3 a. la misura della diagonale del rettangolo; b. il erimetro di un quadrato equivalente a 4 del rettangolo. 3 dell'altra. Calcola:

10 10 IL TEOREMA DI PITAGORA E LE SUE APPLICAZIONI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 13 Esercizio Guidato I rombi In un rombo l'area eá 97 cm e le due diagonali sono una 3 dell'altra. Calcola il erimetro e la misura dell'altezza del rombo. A ABCD ˆ 97 cm Incognite ABCD AC ˆ 3 DB BK Raddoiamo l'area del rombo ottenendo cosõá il rettangolo EFGH in cui le dimensioni sono una 3 dell'altra e la cui area eá data da: A EFGH ˆ A ABCD ˆ ::::: cm ˆ 1944 cm. Questo rettangolo eá formato da 3 ˆ 6 quadratini congruenti. Calcoliamo l'area di uno dei quadratini: A CMNF ˆ A EFGH : 6 ˆ ::::: : 6 cm ˆ 34 cm Determiniamo la misura del lato del quadrato: CF ˆ A CMNF ˆ ::::: cm ˆ 18 cm Calcoliamo la misura di EF che corrisonde alla diagonale...: EF ˆ 3 ::::: cm ˆ 54 cm Calcoliamo la misura di EH che corrisonde alla diagonale...: EH ˆ ::::: cm ˆ 36 cm Alichiamo il teorema di Pitagora er calcolare la misura del lato del rombo: AB ˆ ::::: ::::: ˆ 18 ::::: cm ˆ ::::: 79 cm ˆ 1053 cm ˆ 3,45 cm Determiniamo il erimetro: ABCD ˆ AB ::::: ˆ 19,8 cm Determiniamo la misura dell'altezza: BK ˆ A ABCD : AD ˆ 97 : 3,45 cm ˆ 9,95 cm. 14 In un rombo una diagonale eá 4 3 isoerimetrico al rombo. dell'altra e la loro differenza eá 11 cm. Calcola l'area di un quadrato 15 L'area di un rombo eá 384 cm. Calcola la misura della diagonale minore e il erimetro saendo che la diagonale maggiore eá lunga 3 cm. 16 Il erimetro di un rombo eá 100 cm e il suo lato eá congruente alla diagonale minore. Calcola la misura della diagonale maggiore e l'area del rombo. 17 Esercizio Guidato I traezi rettangoli In un traezio rettangolo l'angolo acuto eá amio 45. Calcola il erimetro e l'area del traezio saendo che la base minore e l'altezza misurano risettivamente 35 cm e 5 cm. HBC d ˆ 45 DC ˆ 35 cm CH ˆ 5 cm Incognite ABCD A ABCD Il triangolo HBC eá rettangolo e isoscele ertanto HB ˆ ::::: ˆ ::::: cm.

11 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL TEOREMA DI PITAGORA E LE SUE APPLICAZIONI 11 Alichiamo il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo HBC er calcolare BC: BC ˆ ::::: ˆ ::::: 1,414 cm ˆ 35,35 cm Calcoliamo la misura della base maggiore: AB ˆ AH HB ˆ 35 5 cm ˆ 60cm Determiniamo il erimetro: ABCD ˆ AB BC CD DA ˆ ::::: 35,35 ::::: ::::: cm ˆ ::::: cm Calcoliamo l'area: A ABCD ˆ AB CD ::::: : ˆ 60 ::::: ::::: : Š cm ˆ 1187,5 cm. 18 In un traezio rettangolo l'angolo acuto eá amio 60. Calcola il erimetro e l'area del traezio saendo che la base minore e la base maggiore misurano risettivamente 50cm e 70cm. 19 In un traezio rettangolo l'area eá 198,4 cm e l'altezza misura 8,4 cm. Calcola il erimetro del traezio saendo che la differenza delle due basi eá lunga 11, cm. 0 In un traezio rettangolo la diagonale minore eá erendicolare al lato obliquo e misura 74 cm, mentre il lato obliquo eá lungo 55,5 cm. Calcola l'area e il erimetro del traezio. 1 Un traezio rettangolo eá formato da un rettangolo e da un triangolo rettangolo avente il cateto minore coincidente con il lato minore del rettangolo. Saendo che le dimensioni del rettangolo misurano risettivamente 66 cm e 54 cm e che l'iotenusa del triangolo rettangolo eá lunga 90cm, calcola l'area e il erimetro del traezio. Calcola l'area e il erimetro di un traezio rettangolo saendo che la base minore e l'altezza misurano risettivamente 100 cm e 80 cm e che l'angolo acuto eá amio Esercizio Guidato I traezi isosceli In un traezio isoscele le diagonali sono erendicolari ai lati obliqui e ciascuna di esse eá lunga 66 cm. Calcola il erimetro e l'area del traezio saendo che la base maggiore eá lunga 8,5 cm. AC? BC BD? AD AC ˆ BD ˆ 66 cm AB ˆ 8,5 cm Incognite ABCD A ABCD Calcoliamo la misura del lato obliquo del traezio alicando il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo ABC: BC ˆ ::::: ::::: ˆ 8,5 ::::: cm ˆ 6806,5 :::::::::::: cm ˆ 450,5 cm ˆ 49,5 cm Calcoliamo l'area del triangolo rettangolo ABC : A ABC ˆ AC ::::: : ::::: ˆ ::::: 49,5 : cm ˆ 1633,5 cm Determiniamo la misura dell'altezza CH alicando la formula inversa dell'area: CH ˆ A ABC : ::::: ˆ ::::: : 8,5 cm ˆ 39,6 cm Determiniamo la misura della semidifferenza delle due basi alicando il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo HBC: HB ˆ CB CH ˆ 49,5 39,6 cm ˆ 450,5 1568,16 cm ˆ 88,09 cm ˆ 9,7 cm

12 1 IL TEOREMA DI PITAGORA E LE SUE APPLICAZIONI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 4 In un traezio isoscele le diagonali sono erendicolari ai lati obliqui ognuno dei quali misura 111 cm. Calcola il erimetro e l'area del traezio saendo che una delle due diagonali misura 148 cm. 5 In un traezio isoscele l'altezza, condotta da un estremo della base minore, eá lunga 168 cm e divide la base maggiore in due arti ognuna delle quali misura risettivamente 16 cm e 180cm. Calcola l'area, il erimetro del traezio e le misure delle diagonali. 6 Nel traezio isoscele ABCD gli angoli adiacenti alla base maggiore sono ami 45. Calcola il erimetro e l'area del traezio saendo che la base minore e l'altezza misurano risettivamente 100 cm e 10 cm. 7 Nel traezio ABCD gli angoli adiacenti alla base maggiore sono ami risettivamente 60 e45. Calcola il erimetro e l'area del traezio saendo che la base minore eá lunga 40cm ed eá del lato obliquo 5 adiacente all'angolo di Determiniamo la misura della base minore: DC ˆ AB ::::: ˆ 8,5 ::::: cm ˆ 3,1 cm Calcoliamo quindi il erimetro e l'area del traezio: ABCD ˆ AB BC CD DA ˆ 8,5 49,5 3,1 49,5 cm ˆ 04,6 cm A ABCD ˆ AB DC ::::: : ˆ 8,5 3,1 ::::: : Š cm ˆ 090,88 cm. Esercizio Guidato Il teorema di Pitagora e gli elementi di una circonferenza In una circonferenza di centro O e raggio lungo 46,5 cm eá inscritto un triangolo rettangolo. Calcola il erimetro e l'area del triangolo saendo che il cateto minore misura 55,5 cm. AO ˆ 46,5 cm AC ˆ 55,5 cm Incognite ABC A ABC Calcoliamo la misura del diametro: AB ˆ AO ˆ ::::: cm ˆ 9,5 cm Alichiamo il teorema di Pitagora er determinare la misura del cateto maggiore: BC ˆ AB AC ˆ 9,5 ::::: cm ˆ 8556,5 :::::::: cm ˆ :::::::::: cm ˆ 74 cm Determiniamo il erimetro: ABC ˆ ::::: ::::: ::::: ˆ ::::: ::::: ::::: cm ˆ cm Calcoliamo l'area: A ABC ˆ AC BC : ˆ ::::: ::::: : cm ˆ 053,5 cm. 9 La somma e la differenza dei due cateti di un triangolo inscritto in una semicirconferenza misurano risettivamente 189 cm e 7 cm. Calcola il erimetro e l'area del triangolo. 30 Il segmento di tangente PA condotto da un unto P esterno ad una circonferenza di centro O misura 156 cm. Calcola il erimetro e l'area del triangolo PAO saendo che il diametro eá lungo 34 cm. 31 Da un unto P esterno ad una circonferenza di centro O sono condotte le tangenti che toccano la circonferenza nei unti A e B. Saendo che i segmenti di tangente PA e PB misurano ciascuno 356 cm e che il unto P dista dal centro 445 cm, calcola il erimetro e l'area del quadrilatero PAOB. 3 In una circonferenza di centro O, la somma e la differenza del segmento di tangente e quello di secante, condotti da un unto esterno P e che toccano gli estremi del diametro AB, eá risettivamente 189 cm e 1 cm. Calcola il erimetro e l'area del triangolo PAB.

13 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL TEOREMA DI PITAGORA E LE SUE APPLICAZIONI 13 ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO AVANZATO *** 1 In un rettangolo ABCD la somma e la differenza delle due dimensioni misura risettivamente 30cm e 70cm. Si renda sul lato maggiore CD un segmento DE ari a di CD. Doo aver unito il unto E con 5 gli estremi della diagonale AC, calcola l'area e il erimetro dei triangoli AED, ACE e ABC. In un triangolo ABC gli angoli adiacenti alla base AB sono ami risettivamente 45 e60. Calcola il erimetro e l'area del triangolo saendo che l'altezza relativa alla base AB misura 50cm. 3 Calcola il erimetro del triangolo ottusangolo ABC saendo che l'altezza CH relativa alla base AB ela base stessa misurano risettivamente 86,6 cm e 150cm e l'angolo BAC d eá amio Un entagono eá formato da un quadrato e da un triangolo isoscele avente la base coincidente con un lato del quadrato. Saendo che l'area del quadrato eá 5 cm e che uno dei due lati congruenti del triangolo isoscele misura 1,5 cm, calcola l'area e il erimetro del entagono. 5 In un rombo la somma e la differenza delle due diagonali misurano risettivamente 18,6 cm e 10, cm. Calcola l'area di un quadrato avente il erimetro doio risetto a quello del rombo. 6 L'iotenusa e il cateto maggiore di un triangolo rettangolo sono congruenti risettivamente alla diagonale maggiore di un rombo e al lato di un quadrato avente l'area di 9,16 cm. Calcola l'area del triangolo e la misura dell'altezza relativa all'iotenusa saendo che il erimetro del rombo eá 6 cm e la diagonale minore misura 7,8 cm. 7 In un rombo la somma delle due diagonali eá lunga 55 cm ed una eá 8 dell'altra. Calcola la misura del 15 raggio del cerchio inscritto nel rombo e il erimetro di un quadrato equivalente ai 3 5 del rombo. 8 Nel traezio rettangolo ABCD la diagonale minore AC eá erendicolare al lato obliquo. Calcola il erimetro e l'area del traezio saendo che AC, CB e AB sono roorzionali ai numeri 6, 8 e 10e la loro somma misura 7 cm. 9 La base minore di un traezio rettangolo ABCD eá lunga 5,4 cm e la maggiore eá 16 della minore. Doo 9 aver tracciato il unto medio M dell'altezza AD, unisci M con C e con B. Calcola il erimetro del traezio ABCD e la distanza MH del unto M col lato BC saendo che DM eá medio roorzionale tra le basi del traezio. 10 In un traezio rettangolo le diagonali misurano risettivamente 51 cm e 30cm, mentre l'altezza misura 4 cm. Calcola il erimetro del traezio e la differenza fra l'area del traezio e l'area del quadrato che ha il erimetro uguale al doio della somma della base minore con l'altezza del traezio. 11 Nel traezio rettangolo ABCD la somma delle misure delle due basi eá 76,5 cm e la base minore eá 7 10 della maggiore. Saendo che il lato obliquo BC eá lungo,5 cm, calcola l'area del triangolo ottenuto congiungendo il unto medio dell'altezza DA con i unti medi delle due basi. 1 La somma e la differenza delle basi del traezio isoscele ABCD misurano risettivamente 16 cm e 96 cm e l'area eá 6 91 cm. Doo aver unito il unto medio M della base minore CD con gli estremi della base maggiore, calcola: a. il erimetro del traezio; b. il erimetro del triangolo AMB; c. l'area di ciascuno dei triangoli AMD e MCB. 13 In un traezio isoscele le diagonali sono erendicolari fra loro e si dividono in arti roorzionali a 8 e 15 e ciascuna di esse misura 138 cm. Calcola l'area e il erimetro del traezio.

14 14 IL TEOREMA DI PITAGORA E LE SUE APPLICAZIONI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 14 In una circonferenza inscritta in un traezio isoscele il raggio misura 9 cm. Calcola le misure delle due basi, il erimetro e l'area del traezio saendo che ciascun lato obliquo eá lungo,5 cm. 15 In una circonferenza due corde arallele dalla stessa arte risetto al diametro distano dal centro risettivamente 5,5 cm e 34 cm. Saendo che il raggio del cerchio misura 4,5 cm, calcola il erimetro e l'area del traezio avente er basi le due corde. 16 Nel traezio ABCD gli angoli acuti adiacenti alla base maggiore sono ami risettivamente 45 e60.il lato obliquo AD eá adiacente all'angolo di 60 ed eá 9 della base maggiore e la loro somma misura 58 0 cm. Calcola il erimetro di un rettangolo equivalente al traezio saendo che una delle due dimensioni misura un quinto del erimetro del traezio. 17 In un rettangolo la somma e la differenza delle misure della diagonale AC e della base maggiore AB sono risettivamente 108 cm e 1 cm. Doo aver condotto dal unto D la erendicolare DE alla diagonale AC e dal unto E la erendicolare EH al lato DC, calcola il erimetro e l'area del triangolo DEH. SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI CONOSCENZA 1 c. quadrato, equivalente, somma, quadrati, cateti. 3 a. i ˆ C c ; b. C ˆ i c ; c. c ˆ i C. 4 b. 5 a. misure, rettangolo, relazione, teorema di Pitagora; b. numeri rimi tra loro; c. da una terna itagorica rimitiva; uno stesso fattore diverso da zero. 6 b.; c. 7 b.; d. 8 a. b. c. d. e. f. g. h. 3 9 a. metaá, radice quadrata, h ˆ `; b. doio, dell'altezza, radice quadrata, ` ˆ h : 3 ; c. rodotto, radice quadrata, d ˆ ` ; d. dividendo, radice quadrata, ` ˆ d : ; e. isosceli, lati del oligono, isoscele, triangoli rettangoli congruenti. s 10 a. r ˆ a ` s ; b. a ˆ r ` ` ; c. ˆ r a. 11 a. d ˆ C c ; b. C ˆ d c ; c. c ˆ d C. s s 1 a. r ˆ d AB ; b. d ˆ r AB AB ; c. ˆ r d. 13 a. OP ˆ r PA ; b. r ˆ OP PA ; c. PA ˆ OP r. 14 a. PB ˆ d PA ; b. d ˆ PB PA ; c. PA ˆ PB d. 15 a. metaá, diagonale, cateti, rettangolo; b. metaá, equilatero; c. base, ottuso, della base, triangolo rettangolo, 60.

15 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL TEOREMA DI PITAGORA E LE SUE APPLICAZIONI 15 VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO BASE 1 cateto minore (in cm) cateto maggiore (in cm) iotenusa (in cm) a. 35 cm; b. 85 cm; c. 165 cm; d. 1 cm. 3 a. 4 cm; b. 11 cm; c. 76 cm; d. 3 cm cm; 1944 cm. 6 30cm; 37,5 cm cm; 147 cm cm cm ,48 cm cm cm; 017 cm cm; 100cm cm; 15 cm cm cm ; 80cm cm ; 60cm. 634 cm; cm cm cm; 3500cm cm cm; 1480cm cm; cm cm. VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO MEDIO 1 BC ˆ A ABC : AB ˆ 94 : 1 cm ˆ 8 cm; AC ˆ AB BC ˆ 1 8 cm ˆ cm ˆ 15 cm ˆ 35 cm; ABC ˆ AB BC CA ˆ cm ˆ 84 cm. 840cm ; 40cm cm; cm ; 100,8 cm cm; 91, cm : 5 ˆ 108 cm; CH ˆ 108 cm ˆ 16 cm; AB ˆ cm ˆ 34 cm; AH ˆ AB : ˆ 34 : cm ˆ 16 cm; rettangolo CHA; AC ˆ AH HC ˆ cm ˆ cm ˆ 7900 cm ˆ 70cm; ABC ˆ AB BC CA ˆ cm ˆ 864 cm cm ,56 cm. 8 60cm; 173, cm. 9 a. 4 cm; b cm ; c. 664 cm. q 10 A quadratino ˆ A ABCD : 1 ˆ 300 : 1 cm ˆ 5 cm ; AE ˆ A quadratino ˆ 5 cm ˆ 5 cm; AB ˆ 5 4 cm ˆ 0cm; AD ˆ 5 3 ˆ15 cm; AC ˆ AB BC ˆ 0 15 cm ˆ cm ˆ 65 cm ˆ 5 cm cm. 1 a. 185 cm; b. 59 cm. 13 A EFGH ˆ A ABCD ˆ 97 cm ˆ 1944 cm ; A CMNF ˆ A EFGH : 6 ˆ 1944 : 6 cm ˆ 34 cm ; CF ˆ A CMNF ˆ 34 cm ˆ 18 cm; maggiore; EF ˆ 3 18 cm ˆ 54 cm; minore; EH ˆ 18 cm ˆ 36 cm; AB ˆ OB OA ˆ 18 7 cm ˆ cm ˆ 1053 cm ˆ 3,45 cm; ABCD ˆ AB 4 ˆ 3,45 4 cm ˆ 19,8 cm cm cm; 80cm ,3 cm; 541,5 cm. 17 HB ˆ CH ˆ 5 cm; BC ˆ CH ˆ 5 1,414 cm ˆ 35,35 cm; ABCD ˆ AB BC CD DA ˆ 60 35, cm ˆ 155,35 cm; A ABCD ˆ AB CD CH : ˆ : Š cm ˆ 1187,5 cm.

16 16 IL TEOREMA DI PITAGORA E LE SUE APPLICAZIONI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS ,64 cm; 078,4 cm ,6 cm ,74 cm ; 51,6 cm cm ; 348 cm ,4 cm ; 578,56 cm. 3 BC ˆ AB AC ˆ 8,5 66 cm ˆ 6806, cm ˆ 450,5 cm ˆ 49,5 cm; A ABC ˆ AC CB : ˆ 66 49,5 : cm ˆ 1633,5 cm ; CH ˆ A ABC : AB ˆ 1633,5 : 8,5 cm ˆ 39,6 cm; DC ˆ AB HB ˆ 8,5 9,7 cm ˆ 3,1 cm; A ABCD ˆ AB DC CH : ˆ 8,5 3,1 39,6 : Š cm ˆ 090,88 cm ,8 cm; 10513,9 cm cm ; 780cm; 46, cm ,36 cm; 6400 cm ,05 cm; 9378,78 cm. 8 AB ˆ AO ˆ 46,5 cm ˆ 9,5 cm; BC ˆ AB AC ˆ 9,5 55,5 cm ˆ 8556,5 3080,5 cm ˆ 5476 cm ˆ 74 cm ABC ˆ AB BC CA ˆ 9, ,5 cm ˆ cm; A ABC ˆ AC BC : ˆ 55,5 74 : cm ˆ 053,5 cm cm; 4374 cm cm; 916 cm cm; 9505 cm. 3 5 cm; 646 cm. VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO AVANZATO 1 A AED ˆ 400 cm ; AED ˆ 40cm; A ACE ˆ 3600 cm ; ACE ˆ 360cm; A ABC ˆ 6000 cm ; ABC ˆ 400 cm. 07,31 cm; 1971,75 cm ,94 cm cm ; 70cm. 5 5 cm. 6 19, cm ; 3,69 cm. 7 84,7 cm; 576 cm. 8 79, cm; 93,76 cm. 9 44,4 cm; 7, cm ,1 cm; 315 cm ,15 cm. 1 a. 376 cm; b. 357,78 cm; c. 960cm cm ; 399,13 cm cm; 36 cm; 90cm; 405 cm ,04 cm; 505,75 cm ,4 cm ,1 cm; 199,06 cm.