Author: Ing. Giulio De Meo. Geometria Euclidea
|
|
- Adriana Graziani
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Geometria Euclidea La Geometria Euclidea è finalizzata a descrivere le figure geometriche e le relazioni spaziali dello spazio fisico che ci circonda, ricavandole in maniera deduttiva a partire da alcune proprietà fondamentali (assiomi). La geometria euclidea si basa sui cinque postulati di Euclide: 1) Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta; 2) Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente; 3) Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio; 4) Tutti gli angoli retti sono uguali; 5) Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due retti. ( Data una retta ed un punto ad essa esterno, per tale punto passa una ed una sola retta parallela alla retta data). Dagli assiomi si possono dedurre delle relazioni di incidenza fra punti, rette e piani. Ad esempio: - Per un punto passano infinite rette; - Per due punti distinti passa una ed una sola retta; - Per una retta nello spazio passano infiniti piani; - Per tre punti non allineati nello spazio passa un solo piano. - Due rette nello spazio si dicono complanari quando giacciono sullo stesso piano. - Se un punto divide la retta a metà, ciascuna delle due parti si dice semiretta: questa sarà dotata di un'origine, ma non di una fine. - La parte di retta delimitata da due punti è detta segmento. Le Cinque Nozioni Comuni Gli Elementi includono cinque Nozioni Comuni, che sono essenzialmente gli assiomi logici che stabiliscono le regole da utilizzare per la dimostrazione dei teoremi. 1) Cose che sono uguali alla stessa cosa sono anche uguali fra di loro. 2) Aggiungendo parti uguali a cose uguali, le somme sono uguali fra loro. 3) Sottraendo parti uguali a cose uguali, le differenze sono uguali fra loro. 4) Cose che coincidono l un l altra sono uguali fra di loro. 5) Il tutto è maggiore della parte. La Congruenza La nozione centrale nella Geometria Euclidea è la Congruenza, intendendo con questo termine l equivalenza delle forme, la possibilità cioè di sovrapporre due figure geometriche in modo da farle coincidere esattamente senza deformarle. Nella Geometria Euclidea gli oggetti possono essere spostati rigidamente (cioè possono essere ruotati e/o traslati), o anche sottoposti a riflessioni speculari, ma non possono essere allungati o piegati. La relazione di congruenza è chiaramente una relazione di equivalenza: ciò che rende equivalenti due figure geometriche congruenti sono quelle proprietà (come ad esempio la misura del perimetro o dell area) che restano invariate a seguito di uno spostamento rigido (Invarianti Euclidei). É proprio questo particolare tipo di invarianza che contraddistingue la Geometria Euclidea dalle altre Geometrie (quella Affine o quella Proiettiva). La relazione di congruenza è un caso particolare della relazione di similitudine (dove tutte le distanze risultano moltiplicate per uno stesso fattore), ed è una relazione di natura metrica. Classificazione dei triangoli Rispetto ai lati un triangolo è: Equilatero se ha i lati congruenti ; Isoscele se ha due lati congruenti ; Scaleno se ha i tre lati diversi. Rispetto agli angoli un triangolo è: Acutangolo se ha i gli angoli acuti; Ottusangolo se ha un angolo ottuso ; Rettangolo se ha un angolo retto Un triangolo scaleno può essere rettangolo, acutangolo o ottusangolo. Un triangolo acutangolo può essere isoscele, scaleno o equilatero. Un triangolo ottusangolo può essere isoscele o scaleno. 1
2 Proprietà di un triangolo In un triangolo: I lati e i vertici sono consecutivi fra loro. La somma degli angoli interni è sempre 180 (A+B+C=180 ) La somma degli angoli esterni è sempre 360 (a+b+c=360 ) Ciascun lato è sempre minore della somma degli altri due lati ed è sempre maggiore della loro differenza In un triangolo il lato minore si oppone all'angolo minore, il lato maggiore si oppone all'angolo maggiore Ciascun angolo esterno è uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti ad esso. Criteri di congruenza (o uguaglianza) tra due triangoli Due figure si dicono congruenti (uguali) se esiste un movimento rigido che permette di sovrapporli uno sull altro senza deformarli. 1 Criterio di congruenza:. Se due triangoli hanno due lati e l angolo tra essi compreso congruenti allora i due triangoli si dicono congruenti. 2 Criterio di congruenza: Se due triangoli hanno due angoli e il lato ad essi adiacente congruenti allora i due triangoli si dicono congruenti. 3 Criterio di congruenza: Se due triangoli hanno tutti i lati congruenti allora i due triangoli si dicono congruenti. Criteri di similitudine Si dicono simili, due figure di uguale forma. Analizziamo i tre criteri di similitudine dei triangoli: 1 Criterio di similitudine:. due triangoli sono simili se hanno 2 angoli rispettivamente uguali. 2 Criterio di similitudine: due triangoli sono simili se hanno un angolo uguale compreso tra lati in proporzione. 3 Criterio di similitudine: due triangoli sono simili se hanno i lati ordinatamente in proporzione. Teoremi sui Triangoli Simili: - il rapporto tra lati omologhi di due triangoli simili è costante; AB : A B = AC : A C = CB : C B - in due triangoli simili le altezze stanno tra loro come due lati omologhi ; AH : A H = AB : A B - i Perimetri di 2 triangoli simili stanno tra loro come 2 lati omologhi; P : P = AB : A B - le Aree di 2 triangoli simili stanno tra loro come i quadrati di 2 lati omologhi; S : S = (AB) 2 : (A B ) 2 Luoghi geometrici e punti notevoli di un triangoli Bisettrice: semiretta uscente dal vertice di un angolo che divide l angolo in due parti uguali. Un qualsiasi punto della bisettrice di un angolo è equidistante dai due lati dell angolo. Incentro: punto d incontro delle bisettrici e centro della circonferenza iscritta al triangolo. L'incentro è il centro della circonferenza tangente ai tre lati La circonferenza è inscritta nel triangolo e il triangolo è circoscritto alla circonferenza.. L'incentro è sempre interno al triangolo. L'incentro è sempre equidistante dai lati del triangolo (la distanza fra l'incentro e ciascun lato è il raggio della circonferenza). 2
3 Punto Medio: punto che divide in due parti uguali un segmento. Mediana: segmento che congiunge un vertice con il punto medio del lato opposto. Baricentro: punto di intersezione tra le tre mediane. Il baricentro in qualsiasi triangolo è sempre interno al triangolo stesso. Il baricentro divide ciascuna mediana in due parti, una doppia dell'altra Il baricentro è il punto di un corpo in cui si concentra il peso della massa di un corpo. Distanza punto-retta: segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta. Asse: retta che passa perpendicolarmente per il punto medio di un lato. L'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento. Circocentro: punto di incontro degli assi di un triangolo e centro della circonferenza circoscritta ad esso. - Il circocentro è il centro della circonferenza passante per i tre vertici del triangolo. - La circonferenza è circoscritta al triangolo e il triangolo è inscritto alla circonferenza. - Il circocentro è sempre equidistante dai vertici del triangolo. Nel triangolo rettangolo il circocentro è sul punto medio dell'ipotenusa. Nel triangolo ottusangolo il circocentro è esterno al triangolo Nel triangolo acutangolo il circocentro è interno al triangolo. Altezza di un triangolo: segmento di perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto. Ortocentro: punto di intersezione tra le tre altezze del triangolo - Nel triangolo isoscele l'ortocentro è sulla retta che comprende altezza relativa alla base. - Nel triangolo rettangolo l'ortocentro è sul vertice dell'angolo retto. - Nel triangolo ottusangolo l'ortocentro è esterno al triangolo e sui prolungamenti delle altezze. - Nel triangolo acutangolo è all'interno di esso. 1 Teorema di Euclide In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa stessa. CB 2 = CA CH ; BA 2 = CA HA 1 a Dimostrazione: Facendo riferimento alla figura, si consideri il triangolo rettangolo ABC. Sul cateto BC si costruisca il quadrato BDEC e sia CH la proiezione del cateto BC sull'ipotenusa CA. Si costruisca il rettangolo HCLM avente CL congruente a CA. Si prolunghi il lato ED dalla parte di D fino ad incontrare in F la retta contenente il segmento CL e in G la retta contenente il segmento MH. Si vuole dimostrare che il quadrato BDEC è equivalente al rettangolo HCLM. Si considerino ora i triangoli ABC e CFE. Essi hanno: BC congruente a CE per costruzione, l'angolo ABC congruente all'angolo FEC perché retti, l'angolo BCA congruente all'angolo ECF perché entrambi complementari dello stesso angolo FCB. 3
4 Dunque, per il 2 criterio di congruenza dei triangoli, i triangoli ABC e CFE sono congruenti, e in particolare si ha che CA è congruente a CF. Si considerino il quadrato BDEC e il parallelogramma FCBG. Essi hanno la stessa base CB e la stessa altezza DB (perché DE e GF appartengono alla stessa retta) e quindi sono equivalenti. Si considerino il parallelogramma FCBG e il rettangolo HCLM. Essi hanno basi congruenti (infatti FC è congruente a CA per dimostrazione precedente, e CA è congruente a CL per costruzione, quindi FC è congruente a CL per la proprietà transitiva della congruenza) e la stessa altezza (infatti FC e CL appartengono alla stessa retta, e così pure BG e MH), quindi sono equivalenti. Q. Allora, per la proprietà transitiva dell'equivalenza, il quadrato BDEC è equivalente al rettangolo HCLM. 2 a Dimostrazione: hp) ABC = triangolo rettangolo; Ts) A ABDE =A BFGH Questa dimostrazione fa riferimento a una figura denominata mulino a vento, coda di pavone o sedia della sposa: Dimostriamo che Triangolo ABF equivalente al Triangolo DBC Ts) A ABF = A DBC Dato il triangolo rettangolo ABC, costruiamo i quadrati sui suoi lati e tracciamo AG parallelo a BF. I triangoli DBC e ABF sono uguali per il primo criterio di uguaglianza. Hanno infatti AB = DB perché lati dello stesso quadrato ABDE; inoltre BC = BF, perché lati dello stesso quadrato BCIF; gli angoli DBC e ABF sono uguali perché somma di un angolo retto e di un angolo in comune, l'angolo ABC. Dimostriamo che il triangolo DBC ha area pari a metà dell aerea del quadrato ABDE Ts) A DBC = ½ A ABDE ; infatti il triangolo DBC ha altezza DE e base DB entrambe uguali ad AB essendo lati del quadrato ABDE A DBC = ½ ( DB DE ) = ½ ( AB AB ) = ½ ( AB) 2 = ½ A ABDE ; Dimostriamo che il triangolo ABF ha area pari a metà dell aerea del rettangolo BFGH. Ts) A ABF = ½ A BFGH ; L area del rettangolo BFGH è data dal prodotto BF FG ; L area del triangolo ABF, considerando come base BF, ha altezza FG : A ABF = ½ ( BF FG ) = ½ (A BFGH ) Abbiamo quindi dimostrato che: A DBC = ½ A ABDE ; A ABF = ½ A BFGH ; essendo A DBC = A ABF A ABDE = A BFGH Per la proprietà transitiva, essendo i triangoli ABF e DBC equivalenti, lo sono anche il quadrato ABDE ed il rettangolo BFGH. 4
5 1 Teorema di Euclide (enunciato delle proporzioni): In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa. BC:AB = AB:BH ; BC:AC = AC:HC ; Dimostrazione: Ts) BC:AB = AB:BH o anche AB 2 = BC BH ; Si considerino i triangoli ABC e ABH. Essi hanno tutti gli angoli congruenti (sono entrambi rettangoli e hanno l'angolo in B in comune), e quindi sono simili per il 1 criterio di similitudine. Essendo costante il rapporto tra lati omologhi di triangoli simili, si ha: BC:AB = AB:BH. 2 Teorema di Euclide In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull altezza relativa all ipotenusa è equivalente al rettangolo avente come lati le proiezioni dei cateti sull ipotenusa. Dimostrazione mediante similitudine: Dato il triangolo ABC, rettangolo in A, tracciamo l'altezza AH relativa all'ipotenusa. Questa divide l'ipotenusa stessa in due segmenti che sono la proiezione dei cateti; in più divide il triangolo iniziale in due più piccoli ABH e AHC, che sono simili fra loro e simili anche al triangolo originale ABC. Affinché due triangoli siano simili occorre che siano uguali tutti e tre gli angoli (in realtà ne bastano due: il terzo viene di conseguenza, grazie al fatto che la somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è sempre 180 ). I tre triangoli sono rettangoli (quello originale in A, gli altri in H); l'angolo A è in comune fra il triangolo ABC e il triangolo ABH; l'angolo C è in comune fra il triangolo ABC e il triangolo di AHC: tutti e tre i triangoli hanno quindi gli angoli uguali. In due triangoli simili, il rapporto fra i lati corrispondenti è costante. Tra il triangolo ABH e AHC vale la proporzione: BH : AH = AH : HC BH x HC = AH² Dimostrazione mediante equivalenze: hp) ABC rettangolo ; BM = BC; Ts ) Area Q 2 = Area R Si costruiscano i quadrati di lati rispettivamente AB e AH e si effettui la costruzione del rettangolo di lati BC e BH. Da quest ultimo rettangolo si tolga il quadrato Q 3 di lato BH. In riferimento alla figura a destra, per il primo teorema di Euclide è: Q 1 = Q 3 + R Considero il triangolo ABH e per il teorema di Pitagora si ha che: Q 1 = Q 2 + Q 3 Per la proprietà transitiva dell equivalenza segue che: Q 3 + R = Q 2 + Q 3 Sottraendo ad ambo i membri dell uguaglianza ottenuta, si ha: R = Q 2 5
6 Teorema di Pitagora In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Dimostrazione: Si traccia l'altezza CD sull'ipotenusa, di lunghezza h. Questa spezza l'ipotenusa in due segmenti, di lunghezza p e q. Per il 1 teorema di Euclide si ha: Da cui Teorema di Talete Un fascio di rette parallele intersecanti due trasversali determina su di esse classi di segmenti direttamente proporzionali. hp) r r ; Ts ) AB : A B = BC : B C Inoltre se presi AC e A'C', segmenti omologhi, si ha tra loro lo stesso rapporto di AB con A B e di BC con B'C' : Dimostrazione: Euclide dimostra il teorema di Talete indirettamente, attraverso la proporzionalità fra le aree dei triangoli: «Se una linea retta è disegnata parallela ad uno dei lati di un triangolo, allora taglia proporzionalmente i lati del triangolo...» Sia dato un triangolo ABC, tagliato da un segmento DE parallelo a uno dei suoi lati (in questo caso BC). Si avrà quindi, secondo la tesi del teorema, che BD : AD = CE : AE Si congiungano gli estremi di DE con gli opposti del lato parallelo, evidenziando così i due triangoli BDE e CDE. Tali triangoli sono equievalenti, hanno cioè la medesima area, in quanto possiedono la stessa base e sono tra le medesime parallele DE e BC. Il segmento DE ha anche creato il triangolo ADE e, siccome a grandezze uguali corrispondono rapporti uguali con la stessa grandezza, il triangolo BDE : ADE = CDE : ADE Ma il triangolo BDE sta a ADE come BD sta a DA, perché avendo la stessa altezza (nel caso in esempio DE) devono stare l uno all altro come le rispettive basi, così come, per la stessa ragione, il triangolo CDE sta a ADE, come CE sta a EA. Per cui BD : DA = CE : EA. Dal teorema di Talete derivano due importanti corollari complementari, che assieme costituiscono per intero l originaria proposizione di Euclide: - Una retta parallela al lato di un triangolo determina segmenti proporzionali sugli altri due lati. - Una retta che determina su due lati di un triangolo segmenti proporzionali, è parallela al terzo lato. 6
7 L'applicazione del teorema di Talete ai triangoli è in grado di spiegare il 2 criterio di similitudine dei triangoli che afferma: due triangoli, aventi coppie di lati proporzionali e l angolo ivi compreso congruente, sono simili. In base alla seconda parte della proposizione euclidea, tutti i segmenti omologhi sono in proporzione: AB : AC = BB : CC = B B : C C = allora B'C' e B C non possono che essere paralleli a BC e dunque i triangoli ABC, AB C AB C, sono per forza triangoli simili. Questo ci permette, ricollegando ci al fascio di rette, di stabilire una serie di legami non solo fra i segmenti omologhi delle traverse, ma anche sulle parallele. AB : AB = AC : AC = BC : BC Condizione necessaria per la validità di tali rapporti è che A = A, solo così, infatti, le trasversali sono assimilabili ai lati di un triangolo, dalla cui similitudine deriva la proporzionalità dei segmenti paralleli. Teorema della bisettrice Il teorema della bisettrice dell'angolo interno di un triangolo è un teorema della geometria elementare che è una particolare conseguenza del teorema di Talete: In un triangolo due lati stanno fra loro come le parti in cui resta diviso il terzo lato dalla bisettrice dell'angolo interno ad esso opposto. In altri termini, dato il triangolo ABC sia AL la bisettrice dell'angolo interno in A sussiste allora la proporzione: BC : AC = BL : LC Dimostrazione: Si conduca dal vertice C la parallela alla retta AL fino a incontrare il prolungamento del lato BA dalla parte di A nel punto D. Il triangolo ACD è isoscele perché i suoi angoli in C e in D sono congruenti. - i due angoli in ACD e CAL sono uguali, essendo alterni interni rispetto alle rette paralle AL e DC tagliate dalla trasversale AC; - i due angoli ADC e BAL sono uguali perché corrispondenti rispetto alle rette paralle AL e DC tagliate dalla trasversale AD; - i due angoli CAL e BAL sono uguali perché parti uguali dello stesso angolo. Per la proprietà transitiva dell'uguaglianza è allora sono uguali gli angoli ADC = ACD Si ha pertanto che i segmenti AC e AD sono congruenti. Per il teorema di Talete sussiste la proporzione BD : AD = BL : LC e poiché AC e AD sono congruenti anche BA : AC = BL : LC Teorema della mediana In un triangolo il doppio del quadrato della mediana relativa ad un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati diminuito della metà del quadrato del primo lato. In altri termini, con riferimento al triangolo OAB vale l'identità: Dimostrazione: ponendo OA = a; OB = b; a 2 = (m - u) 2 ; b 2 = (m + u) 2 ; sviluppando e sommando membro a membro 2 m 2 = a 2 + b 2 - ½ (2u) 2 ; 7
8 Teorema di Pappo Il Teorema di Pappo (o Teorema di Pappo - Pascal) afferma che, dati A, B e C punti su di una retta, aventi il corrispettivo A, B e C su di un altra retta che interseca la prima in un punto O, allora: se C'B è parallelo a B'C, e C'A è parallelo a A'C, allora anche BA sarà parallelo ad AB. Il teorema di Pappo permette di fondare un calcolo dei segmenti sostanzialmente equivalente al calcolo algebrico, poiché grazie ad esso possiamo giustificare le proprietà associativa e commutativa dell addizione e della moltiplicazione tra segmenti Teorema di Pasch Il Teorema di Pasch è un risultato, stabilito dal matematico Moritz Pasch nel 1882 che, nell'ambito della geometria della retta, stabilisce la seguente proprietà dell'ordinamento dei punti: Dati quattro punti su una retta a, b, c, d che si presentino ordinati come (a,b,c) e (b,c,d), se ne deduce che essi sono anche ordinati come (a,b,d). Detto in altri termini, se b è tra a e c e c tra b e d allora b è anche tra a e d. Teorema delle Corde Se due corde di una circonferenza si tagliano allora i due segmenti di una corda formano i medi e i due segmenti della seconda corda formano gli estremi di una proporzione Hp) AB e CD corde Ts) AP : DP = CP : BP Dimostrazione Considero i triangoli APC e BPD essi hanno: gli angoli APC = BPD uguali perche' opposti al vertice e gli angoli CAB = CDB uguali perche' angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco AB. Quindi i due triangoli CAP e BPD sono simili per il primo criterio di similitudine e posso scrivere AP : DP = CP : BP Teorema delle Secanti Se da un punto esterno traccio due secanti ad una stessa circonferenza allora un'intera seconte e la sua parte esterna formano i medi, l'altre intera secante e la sua parte esterna formano gli estremi di una proporzione. Hp) PA e PC secanti ts) AP : CP = DP : BP Dimostrazione Considero i triangoli APD e BPC essi hanno: gli angoli APD = BPC uguali perche' in comune; gli angoli PAD = PCB uguali perche' angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco BD Quindi i due triangoli PAD e PCB sono simili per il primo criterio di similitudine e posso scrivere AP : CP = DP : BP 8
9 Corollario su angoli alla circonferenza di 2 a specie Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali : Considerando la tangente alla circonferenza in un suo punto, essa forma un angolo retto con il diametro passante per lo stesso punto, poiché sono angoli a metà dello stesso angolo al centro. Teorema della Tangente e della Secante Se da un punto esterno P ad una circonferenza traccio una secante ed una tangente, la distanza tra P e punto di tangenza è medio proporzionale tra la distanza di P dai punti di secante. Hp) Ts) PT = tangente; A e B sono punti di secante AP : PT = PT : BP Dimostrazione I triangoli PTA e PTB sono Simili poiché hanno l angolo P in comune e gli angoli PAT = PTB uguali perche' angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco AT. (vedi corollario sopra) Quindi i due triangoli PAT e PTB sono simili per il primo criterio di similitudine possiamo scrivere AP : TP = TP : BP Sezione AUREA di un segmento Si dice Sezione Aurea di un segmento diviso in due parti, la parte maggiore (AB) che è media proporzionale tra l intero segmento (AC) e la parte restante (BC): BC : AB = AB : AC Costruire il Segmento Aureo: Dato il segmento AB, dividerlo in due parti uguali con il punto M. Dall'estremità B tracciare la perpendicolare al segmento fino al ottenere CB = MB. Dal punto C, tracciare con il compasso un semicerchio fino ad incontrare in D il segmento AC. Puntando infine il compasso in A con raggio AD, si ottiene il punto E che divide il segmento in due parte con proporzione aurea ( AE/EB = 1,618 ). 9
I TRIANGOLI I TRIANGOLI 1. IL TRIANGOLO. Il triangolo è un poligono avente tre lati. a) Proprietà di un triangolo
I TRIANGOLI 1. IL TRIANGOLO Il triangolo è un poligono avente tre lati. a) Proprietà di un triangolo In un triangolo: I lati e i vertici sono consecutivi fra loro. La somma degli angoli interni è sempre
DettagliI TRIANGOLI Un triangolo è un poligono con tre lati e tre angoli.
I TRIANGOLI Un triangolo è un poligono con tre lati e tre angoli. In ogni triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due e sempre maggiore della loro differenza. Relazione fra i lati di
DettagliParte Seconda. Geometria
Parte Seconda Geometria Geometria piana 99 CAPITOLO I GEOMETRIA PIANA Geometria: scienza che studia le proprietà delle figure geometriche piane e solide, cioè la forma, l estensione e la posizione dei
DettagliPunti notevoli di un triangolo
Punti notevoli dei triangoli (UbiLearning). - 1 Punti notevoli di un triangolo Particolarmente importanti in un triangolo sono i punti dove s intersecano specifici segmenti, rette o semirette (Encyclopedia
DettagliDiapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.
I triangoli e i criteri di congruenza Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. ntonio Manca da materiali offerti dalla rete. ontributi di: tlas editore, matematicamente, Prof.ssa. nnamaria Iuppa,
DettagliElementi di Geometria. Lezione 03
Elementi di Geometria Lezione 03 I triangoli I triangoli sono i poligoni con tre lati e tre angoli. Nelle rappresentazioni grafiche (Figura 32) i vertici di un triangolo sono normalmente contrassegnati
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA GEOMETRIA \ GEOMETRIA EUCLIDEA \ GEOMETRIA DEL PIANO (1)
GEOMETRIA \ GEOMETRIA EUCLIDEA \ GEOMETRIA DEL PIANO (1) Un ente (geometrico) è un oggetto studiato dalla geometria. Per descrivere gli enti vengono utilizzate delle definizioni. Una definizione è una
DettagliIL TRIANGOLO. Teorema di Pitagora. Il triangolo è un poligono avente tre lati.
IL TRIANGOLO Il triangolo è un poligono avente tre lati. FORMULE AREA: Il triangolo è equivalente a metà parallelogramma. A = (b x h) : da cui: b= A : h e h= A : b TRIANGOLO RETTANGOLO (a, b cateti; c
DettagliTrasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011
1 Trasformazioni Geometriche 1 Roberto etroni, 2011 Trasformazioni Geometriche sul piano euclideo 1) Introduzione Def: si dice trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni
DettagliUnità Didattica N 28 Punti notevoli di un triangolo
68 Unità Didattica N 8 Punti notevoli di un triangolo Unità Didattica N 8 Punti notevoli di un triangolo 0) ircocentro 0) Incentro 03) Baricentro 04) Ortocentro Pagina 68 di 73 Unità Didattica N 8 Punti
DettagliPiano Lauree Scientifiche 2011-2012
Piano Lauree Scientifiche 2011-2012 «non si può intendere se prima non s impara a intender lingua, e conoscer i caratteri, nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri sono triangoli,
DettagliGeogebra. Numero lati: Numero angoli: Numero diagonali:
TRIANGOLI Geogebra IL TRIANGOLO 1. Fai clic sull icona Ic2 e nel menu a discesa scegli Nuovo punto : fai clic all interno della zona geometria e individua il punto A. Fai di nuovo clic per individuare
DettagliSimilitudine e omotetia nella didattica della geometria nella scuola secondaria di primo grado di Luciano Porta
Similitudine e omotetia nella didattica della geometria nella scuola secondaria di primo grado di Luciano Porta Il concetto di similitudine è innato: riconosciamo lo stesso oggetto se è più o meno distante
DettagliRETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE
RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,
DettagliELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.
ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper
DettagliGEOMETRIA DELLE MASSE
1 DISPENSA N 2 GEOMETRIA DELLE MASSE Si prende in considerazione un sistema piano, ossia giacente nel pian x-y. Un insieme di masse posizionato nel piano X-Y, rappresentato da punti individuati dalle loro
DettagliPrincipali Definizioni e Teoremi di Geometria
Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Segmento (definizione) Si dice segmento di estremi A e B l insieme costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta AB compresi tra A e B. Angolo
DettagliIGiochidiArchimede--Soluzionibiennio
PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE SCUOLA NORMALE SUPERIORE IGiochidiArchimede--Soluzionibiennio 17 novembre 2010 Griglia delle risposte
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004
ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e
DettagliLIVELLO STUDENT S1. S2. S3. S4. S5. S6.
LIVELLO STUDENT S1. (5 punti ) La figura mostra due quadrati uguali che hanno in comune esattamente un vertice. È possibile precisare la misura dell'angolo ABC? S2. (7 punti ) Negli usuali fogli (rettangolari)
DettagliVertici opposti. Fig. C6.1 Definizioni relative ai quadrilateri.
6. Quadrilateri 6.1 efinizioni Un poligono di 4 lati è detto quadrilatero. I lati di un quadrilatero che hanno un vertice in comune sono detti consecutivi. I lati di un quadrilatero non consecutivi tra
Dettaglia) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π
PROBLEMA Il triangolo rettangolo ABC ha l ipotenusa AB = a e l angolo CAB =. a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio, l arco di circonferenza di estremi P e Q rispettivamente
DettagliLiceo G.B. Vico Corsico
Liceo G.B. Vico Corsico Classe: 3A Materia: MATEMATICA Insegnante: Nicola Moriello Testo utilizzato: Bergamini Trifone Barozzi: Manuale blu.0 di Matematica Moduli S, L, O, Q, Beta ed. Zanichelli 1) Programma
DettagliLa trigonometria prima della trigonometria. Maurizio Berni
La trigonometria prima della trigonometria Maurizio Berni 9 maggio 2010 Negli istituti tecnici agrari la trigonometria viene affrontata: nella seconda classe in Disegno e Topografia (risoluzione di triangoli
DettagliABCD è un parallelogrammo 90. Dimostrazione
EQUISCOMPONIBILITÀ Problema G2.360.1 È dato il parallelogrammo ABCD: dai vertici A e B si conducano le perpendicolari alla retta del lato CD e siano rispettivamente E e F i piedi di tali perpendicolari
DettagliTRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO. Parte 1
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Parte 1 La geometria è la scienza che studia la forma e l estensione dei corpi e le trasformazioni che questi possono subire. In generale per trasformazione geometrica
DettagliLE GEOMETRIE NON EUCLIDEE FRA CULTURA, STORIA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA. Dario Palladino (Università di Genova)
LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE FRA CULTURA, STORIA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA Dario Palladino (Università di Genova) Seconda parte Momenti della storia dei tentativi di dimostrazione del V postulato di Euclide
DettagliProblemi sui punti notevoli di un triangolo
1 Sia O l ortocentro del triangolo ABC; dimostra che B è l ortocentro del triangolo AOC. 2 Dimostra che in un triangolo rettangolo il circocentro è il punto medio dell ipotenusa. 3 Il baricentro del triangolo
DettagliLa somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto (180 ).
Il triangolo (UbiLearning) - 1 Triangoli Un triangolo è un poligono formato da tre lati. Rappresenta la più semplice figura piana formata dal minimo numero di lati utili a chiudere una superficie piana.
DettagliDisegno in quadretti le parti da calcolare; se capisco quanto vale un quadretto è fatta.
CLASSE III C RECUPERO GEOMETRIA AREA PERIMETRO POLIGONI Disegno in quadretti le parti da calcolare; se capisco quanto vale un quadretto è fatta. ES: se ho fatto questo disegno e so che 1 quadretto vale
Dettagligeometriche. Parte Sesta Trasformazioni isometriche
Parte Sesta Trasformazioni isometriche In questa sezione di programma di matematica parliamo della geometria delle trasformazioni che studia le figure geometriche soggette a movimenti. Tali movimenti,
DettagliINdAM QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA
INdAM Prova scritta per il concorso a 40 borse di studio, 2 borse aggiuntive e a 40 premi per l iscrizione ai Corsi di Laurea in Matematica, anno accademico 2011/2012. Piano Lauree Scientifiche. La prova
DettagliUNIONE MATEMATICA ITALIANA. C. I. I. M. Commissione Italiana per l'insegnamento della Matematica
UNIONE MATEMATICA ITALIANA C. I. I. M. Commissione Italiana per l'insegnamento della Matematica ESEMPI DI TERZE PROVE per il NUOVO ESAME DI STATO LA COMPONENTE MATEMATICA ISTITUTO MAGISTRALE Tipologia
DettagliProblemi di geometria
criteri di similitudine sui triangoli 1 Dimostra che le altezze di un triangolo sono inversamente proporzionali ai relativi lati. 2 Dimostra che due triangoli rettangoli sono simili se hanno ordinatamente
DettagliCONGRUENZE TRA FIGURE DEL PIANO
CONGRUENZE TRA FIGURE DEL PIANO Appunti di geometria ASSIOMI 15. La congruenza tra figure è una relazione di equivalenza 16. Tutte le rette del piano sono congruenti tra loro; così come tutti i piani,
DettagliMATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).
MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare
DettagliMODULO DI MATEMATICA. di accesso al triennio. Potenze. Proporzioni. Figure piane. Calcolo di aree
MODULO DI MATEMATICA di accesso al triennio Abilità interessate Utilizzare terminologia specifica. Essere consapevoli della necessità di un linguaggio condiviso. Utilizzare il disegno geometrico, per assimilare
DettagliLA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI TEST 1 In figura sono disegnati l angolo aob e il segmento PQ, perpendicolare al lato Oa e tale che PH sia congruente a HQ. Il luogo geometrico dei
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f
DettagliPiano Lauree Scientifiche 2012/2013. Liceo Scientifico Renato Caccioppoli Napoli Napoli
Piano Lauree Scientifiche 2012/2013 Liceo Scientifico Renato Caccioppoli Napoli Napoli Pitagora utilizzando l inversione circolare Euclide e Gli Elementi Negli Elementi Euclide parte da postulati formula
DettagliCome si indica un punto? Un punto si indica (distingue) con una lettera maiuscola dell alfabeto italiano.
Il punto Il punto è un elemento geometrico fondamentale privo di dimensioni ed occupa solo una posizione. Come si indica un punto? Un punto si indica (distingue) con una lettera maiuscola dell alfabeto
DettagliGli angoli. In questa dispensa vengono presentati i concetti fondamentali relativi agli angoli.
Gli angoli In questa dispensa vengono presentati i concetti fondamentali relativi agli angoli. Dopo le prime nozioni riguardanti angoli convessi e concavi, angolo piatto, angolo giro e angolo nullo, si
DettagliI teoremi di Euclide e di Pitagora
I teoremi di Euclide e di Pitagora In questa dispensa vengono presentati i due teoremi di Euclide ed il teorema di Pitagora, fondamentali per affrontare diverse questioni sui triangoli rettangoli. I teoremi
DettagliTIPI DI TRIANGOLO La classificazione dei triangoli può essere fatta o in riferimento ai lati oppure agli angoli. Sulla base dei lati abbiamo:
TIPI DI TRIANGOLO La classificazione dei triangoli può essere fatta o in riferimento ai lati oppure agli angoli. Sulla base dei lati abbiamo: TRIANGOLO EQUILATERO Il triangolo equilatero ha i tre lati
DettagliAnno 4 I Triangoli qualsiasi
Anno 4 I Triangoli qualsiasi 1 Introduzione In questa lezione descriveremo i triangoli qualunque. Enunceremo i teoremi su questi triangoli e illustreremo le loro applicazioni. Al termine della lezione
DettagliCONOSCENZE 1. gli elementi di un triangolo 2. la classificazione dei triangoli. 3. il teorema dell'angolo esterno. 4. i punti notevoli di un triangolo
GEOMETRIA I TRIANGOLI PREREQUISITI l conoscere le caratteristiche del sistema di numerazione decimale l conoscere le proprietaá delle quattro operazioni e operare con esse l conoscere gli enti geometrici
DettagliLA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI 1. La circonferenza e il cerchio ESERCIZI 1 A Disegna un triangolo ABC di altezza CH relativa ad AB. Fissa un segmento ED minore di CH. Determina il
DettagliLE FUNZIONI MATEMATICHE
ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante
DettagliSoluzioni del Certamen Mathematicum
Soluzioni del Certamen Mathematicum dicembre 2004 1. Notiamo che un qualsiasi quadrato modulo 4 è sempre congruo o a 0 o a 1. Infatti, se tale numero è pari possiamo scriverlo come 2k, seè dispari invece
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. FOGLIO DI ESERCIZI 4 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2010/11 Esercizio 4.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i
DettagliTRIANGOLI. Proprietà: in ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato. CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI
TRIANGOLI Si dice triangolo un poligono che ha 3 lati e 3 angoli. Proprietà: in ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato. a) RISPETTO AI LATI CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI SCALENO:
DettagliProgetto Matematica in Rete - Geometria euclidea - La similitudine. La similitudine. Figure simili
Figure simili Se consideriamo due triangoli equilateri di lato diverso, due quadrati di lato diverso intuitivamente diciamo che hanno la stessa forma. Ma cosa comporta avere la stessa forma? Se osserviamo
DettagliPOLIGONI. A= bxh. 2p=2(b+h) RETTANGOLO. Il rettangolo è un parallelogramma che ha gli angoli congruenti. Ha le diagonali congruenti
POLIGONI RETTANGOLO Il rettangolo è un parallelogramma che ha gli angoli congruenti. Ha le diagonali congruenti Pertanto ogni parallelogramma che ha gli angoli congruenti e le diagonali congruenti è un
DettagliIL TEOREMA DI PITAGORA
GEOMETRIA IL TEOREMA DI PITAGORA E LE SUE APPLICAZIONI PREREQUISITI l conoscere le rorietaá delle quattro oerazioni ed oerare con esse l conoscere il significato ed oerare con otenze ed estrazioni di radici
DettagliAnno 4 Applicazioni dei teoremi di trigonometria
Anno 4 Applicazioni dei teoremi di trigonometria 1 Introduzione In questa lezione descriveremo le applicazioni dei teoremi di trigonometria. Inizieremo, illustrando alcune formule di trigonometria, utili
Dettaglir.berardi COSTRUZIONI GEOMETRICHE
r.berardi COSTRUZIONI Costruzioni geometriche di base perpendicolari Pag.. 2 OVALI Pag. 12 Bisettrice e divisione Pag. 3 angoli COSTRUZIONE POLIGONI RACCORDI GRAFICI DATO IL LATO Triangolo equilatero,
DettagliProblemi di geometria
1 2 3 applicazioni al triangolo rettangolo Calcola il perimetro e l area di un triangolo rettangolo sapendo che l ipotenusa e l altezza ad essa relativa sono lunghe rispettivamente 3 cm e 16,8 cm. [8 cm;
DettagliLaboratorio di Rappresentazione e Modellazione dell Architettura
Laboratorio di Rappresentazione e Modellazione dell Architettura Seconda Università di Napoli Facoltà di Architettura Corso di Laurea in Architettura Laboratorio di Rappresentazione e Modellazione dell
DettagliAppunti di Geometria
ISTITUTO COMPRENSIVO N.7 - VIA VIVALDI - IMOLA Via Vivaldi, 76-40026 Imola (BOLOGNA) Centro Territoriale Permanente: Istruzione Degli Adulti - IDA Appunti di Geometria Scuola Secondaria di I Grado - Ex
DettagliCAP.2:ITRIANGOLI GEOMETRIA 1 - AREA 3 I TRIANGOLI E LA LORO CLASSIFICAZIONE. richiami della teoria COMPRENSIONE DELLA TEORIA
GEOMETRIA 1 - AREA 3 CAP.2:ITRIANGOLI I TRIANGOLI E LA LORO CLASSIFICAZIONE richiami della teoria n In un triangolo ogni lato eá minore della somma degli altri due ed eá maggiore della loro differenza;
DettagliC9. Teorema di Talete e similitudine - Esercizi
C9. Teorema di Talete e similitudine - Esercizi ESERCIZI SU TEOREMA DI TALETE, TEOREMA DELLA BISETTRICE Si consideri la seguente figura e si risponda alle domande che seguono. 1) Se AB=2, BC=4 e EF=3 trovare
DettagliLiceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO GEOMETRIA
Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO GEOMETRIA TRIANGOLI Criteri di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti:
DettagliLe caratteristiche dei poligoni. La relazione tra i lati e gli angoli di un poligono. Definizioni
Le caratteristiche dei poligoni 1. Si dice poligono la parte del piano delimitata da una spezzata chiusa. 2. Il perimetro di un poligono è la somma delle misure del suoi lati, si indica cm 2p. 3. Un poligono
DettagliMaturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 2000-2001
Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 000-00 Problema Sia AB un segmento di lunghezza a e il suo punto medio. Fissato un conveniente
DettagliTRIANGOLI CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI RISPETTO AI LATI. Def: Si dice triangolo un poligono che ha 3 lati e 3 angoli.
TRIANGOLI Si dice triangolo un poligono che ha 3 lati e 3 angoli. Proprietà: in ogni triangolo la somma di due lati è sempre maggiore del terzo lato. CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI RISPETTO AI LATI SCALENO:
DettagliRette e piani con le matrici e i determinanti
CAPITOLO Rette e piani con le matrici e i determinanti Esercizio.. Stabilire se i punti A(, ), B(, ) e C(, ) sono allineati. Esercizio.. Stabilire se i punti A(,,), B(,,), C(,, ) e D(4,,0) sono complanari.
DettagliPROBLEMI SUI TEOREMI DI EUCLIDE E SUL TEOREMA DI PITAGORA
PROBLEMI SUI TEOREMI DI EUCLIDE E SUL TEOREMA DI PITAGORA 1. Calcolare la misura x di un cateto di un triangolo rettangolo, sapendo che essa supera di 4 cm. quella della sua proiezione sull'ipotenusa,
DettagliGrandezze scalari e vettoriali
Grandezze scalari e vettoriali Esempio vettore spostamento: Esistono due tipi di grandezze fisiche. a) Grandezze scalari specificate da un valore numerico (positivo negativo o nullo) e (nel caso di grandezze
DettagliI triangoli. Un triangolo è un poligono con tre lati e tre angoli.
Triangoli I triangoli Un triangolo è un poligono con tre lati e tre angoli. I triangoli A, B e C: vertici AB, BC e CA: lati A, B e C: angoli Il lato CB Il lato CA Il lato AB I triangoli Un lato e un angolo
DettagliSui concetti di definizione, teorema e dimostrazione in didattica della matematica
Liceo Scientifico Statale P. Paleocapa, Rovigo XX Settimana della Cultura Scientifica e Tecnologica 19 marzo 2010 Sui concetti di definizione, teorema e dimostrazione in didattica della matematica Prof.
DettagliC5. Triangoli - Esercizi
C5. Triangoli - Esercizi DEFINIZIONI 1) Dato il triangolo in figura completare al posto dei puntini. I lati sono i segmenti,, Gli angoli sono,, Il lato AB e l angolo sono opposti Il lato AB e l angolo
DettagliI TRIANGOLI. Esistono vari tipi di triangoli che vengono classificati in base ai lati e agli angoli.
I TRIANGOLI Il triangolo è un poligono formato da tre angoli o vertici e da tre lati. Il triangolo è la forma geometrica con il minor numero di lati perché tre è il numero minimo di lati con cui si può
DettagliI TRIANGOLI ESERCIZI. compreso tra.. e...
I TRIANGOLI ESERCIZI 1. Considerazioni generali sui triangoli Osserva la figura e poi completa le frasi a lato. 1 A Il punto. è il vertice opposto al lato AC, mentre il punto C è il vertice. al lato AB.
DettagliProblemi di geometria
1 2 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1 In un triangolo rettangolo l ipotenusa misura 60 cm e la proiezione del cateto maggiore sull ipotenusa misura 55,29 cm. Calcola la misura dei due cateti. [57,6 cm; 16,8 cm] In
DettagliLEZIONI CON I PAD Docente scuola secondaria IC Moglia Carla Casareggio Classi seconde 2014/2015 Proprietà triangoli e quadrilateri con Sketchometry
LEZIONI CON I PAD Docente scuola secondaria IC Moglia Carla Casareggio Classi seconde 2014/2015 Proprietà triangoli e quadrilateri con Sketchometry La costruzione di figure geometriche al computer con
DettagliCONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE
CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).
DettagliB. Vogliamo determinare l equazione della retta
Risoluzione quesiti ordinamento Quesito N.1 Indicata con α la misura dell angolo CAB, si ha che: 1 Area ( ABC ) = AC AB sinα = 3 sinα π 3 sinα = 3 sinα = 1 α = Il triangolo è quindi retto in A. La misura
DettagliElenco Ordinato per Materia Chimica
( [B,25404] Perché le ossa degli uccelli sono pneumatiche, cioè ripiene di aria? C (A) per consentire i movimenti angolari (B) per immagazzinare come riserva di ossigeno X(C) per essere più leggere onde
DettagliGeometria analitica di base (prima parte)
SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una
Dettaglia. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d.
1) Il valore di 5 10 20 è: a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 2) Il valore del rapporto (2,8 10-4 ) / (6,4 10 2 ) è: a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori 3) La quantità
DettagliINTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.
INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati
DettagliCorso di ordinamento Sessione straordinaria - a.s. 2009-2010 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA
Sessione straordinaria - a.s. 9- ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA Tema di: MATEMATICA a.s. 9- Svolgimento a cura di Nicola De Rosa Il candidato risolva uno
Dettaglib) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:
Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere
DettagliGEOMETRIA EUCLIDEA. segno lasciato dalla punta di una matita appena appoggiata sul foglio. P
GEOMETRIA EUCLIDEA 1) GLI ENTI FONDAMENTALI: PUNTO, RETTA E PIANO Il punto, la retta e il piano sono gli ELEMENTI ( o ENTI ) GEOMETRICI FONDAMENTALI della geometria euclidea; come enti fondamentali non
DettagliI Giochi di Archimede - Soluzioni Biennio 22 novembre 2012
PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE I Giochi di Archimede - Soluzioni Biennio novembre 0 Griglia delle risposte corrette Problema Risposta
DettagliLiceo Scientifico Statale. Leonardo da Vinci. Fisica. Programma svolto durante l anno scolastico 2012/13 CLASSE I B. DOCENTE Elda Chirico
Liceo Scientifico Statale Leonardo da Vinci Fisica Programma svolto durante l anno scolastico 2012/13 CLASSE I B DOCENTE Elda Chirico Le Grandezze. Introduzione alla fisica. Metodo sperimentale. Grandezze
DettagliALCUNE LINEE GUIDA PER LA DIMOSTRAZIONE DEI TEOREMI
ALCUNE LINEE GUIDA PER LA DIMOSTRAZIONE DEI TEOREMI LE RELAZIONI FRA GLI ELEMENTI DI UN TRIANGOLO 1) La somma degli angoli interni di un triangolo è 180 γ Consideriamo il triangolo ABC. Tracciamo la parallela
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2008
PRVA SPERIMENTALE P.N.I. 8 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 8 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Nel piano riferito
Dettagli15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
15 febbraio 010 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 009-010 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura
DettagliProprietà di un triangolo
Poligono con tre lati e tre angoli. Proprietà di un triangolo In un triangolo : I lati e i vertici sono consecutivi fra loro; La somma degli angoli interni è 180 ; La somma degli angoli esterni è 360 Ciascun
DettagliProblemi di geometria
1 3 4 5 6 7 8 9 Un triangolo rettangolo ha un angolo acuto di 30, il cateto minore misura 6 m. Calcola il perimetro e l area del triangolo. [8,39 m; 31,18 m ] Un triangolo rettangolo ha un angolo acuto
DettagliLaboratorio Da Euclide ai pannelli solari piegando la carta
Summer School La matematica incontra le altre Scienze San Pellegrino Terme 8 9-10 Settembre 2014 Laboratorio Da Euclide ai pannelli solari piegando la carta I Parte : Relazioni tra tetraedro regolare e
DettagliLa spirale iperbolica: Fu descritta per la prima volta da Pierre Varignon (1654-1722). L equazione, espressa in coordinate polari, è del tipo:
Esistono delle forme geometriche che sono in grado, per complessi fattori psicologici non del tutto chiariti, di comunicarci un senso d equilibrio, di gradimento e di benessere. Tra queste analizzeremo
DettagliPoligoni e triangoli
Poligoni e triangoli Def: I poligoni sono figure geometriche formate da una spezzata chiusa semplice e dalla parte di piano che essa delimita.. I punti A, B, C, D, E sono i vertici del poligono. I segmenti
DettagliPoligoni Un poligono è la parte di piano delimitata da una linea spezzata, semplice e chiusa.
Poligoni Un poligono è la parte di piano delimitata da una linea spezzata, semplice e chiusa. Lato Vertice Angolo interno Angolo esterno I lati del poligono sono segmenti che costituiscono la linea spezzata.
DettagliPROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 DISCIPLINA : MATEMATICA DOCENTI : CECILIA SAMPIERI, TAMARA CECCONI
PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 LIBRO DI TESTO:L. Sasso Nuova Matematica a colori Algebra e Geometria 1 edizione Azzurra ed. Petrini TEMA A I numeri e linguaggio della Matemati Unità 1
DettagliTeoremi di geometria piana
la congruenza teoremi sugli angoli γ teorema sugli angoli complementari Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo α β In generale: Se due angoli sono complementari di due angoli congruenti
DettagliASSIOMI DELLA GEOMETRIA RAZIONALE
ASSIOMI DELLA GEOMETRIA RAZIONALE ASSIOMI DI APPARTENENZA A1 Per ogni coppia di punti A e B di un piano π esiste ed è unica la retta che li contiene. A2 Data nel piano π una retta r esistono almeno due
DettagliRilevazione degli apprendimenti
Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 00-0 PROVA DI MATEMATIA Scuola secondaria di II grado lasse... Studente... Simulazioni di prove costruite secondo il Quadro di riferimento Invalsi pubblicato
Dettagli