MATEMATICA C3 GEOMETRIA 1 2. CONGRUENZA NEI TRIANGOLI

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1 MTEMTIC C3 GEOMETRI 1 2. CONGRUENZ NEI TRINGOLI Triangle Shapes Photo by: maxtodorov Taken from: License: Creative commons ttribution TRINGOLI 1

2 Indice 1. Definizioni relative ai triangoli Primo e secondo criterio di congruenza dei triangoli Teoremi del triangolo isoscele Terzo criterio di congruenza dei triangoli Congruenza dei poligoni...18 TRINGOLI 2

3 1. Definizioni relative ai triangoli Definiamo gli elementi principali di un triangolo Un triangolo è un poligono di tre lati. Si chiamano vertici gli estremi dei lati. Un vertice si dice opposto a un lato se non appartiene a quel lato. Si chiamano angoli interni del triangolo i tre angoli formati dai lati. Un angolo interno si dice angolo compreso tra due lati quando i lati dell angolo contengono dei lati del triangolo. Un angolo interno si dice angolo adiacente a un lato del triangolo quando uno dei suoi lati contiene quel lato del triangolo. Un angolo si dice angolo esterno al triangolo se è un angolo adiacente a un angolo interno. α a Figura 8., e C sono i vertici del triangolo. Il vertice è opposto al lato a. L angolo α è angolo interno al triangolo. L angolo γ è esterno. L angolo α è compreso tra i lati e C. Si dice bisettrice relativa a un vertice, il segmento di bisettrice dell angolo al vertice che ha per estremi il vertice stesso e il punto in cui essa incontra il lato opposto. Si dice mediana relativa a un lato il segmento che ha per estremi il punto medio del lato e il vertice opposto a quel lato. Si dice altezza di un triangolo relativa a un suo lato il segmento di perpendicolare che ha per estremi il vertice opposto al lato e il punto di intersezione della perpendicolare con la retta contenente il lato. Si dice asse di un triangolo, relativo a un suo lato, la perpendicolare al lato condotta nel suo punto medio. a C angolo esterno γ L L C M MC H H C angoli retti H L Figura 9. L è la bisettrice dell angolo nel vertice ; H è altezza relativa alla base C; M è mediana relativa al lato C, la retta a è l asse di C. Classificazione dei triangoli rispetto ai lati: un triangolo si definisce equilatero se ha i tre lati congruenti; un triangolo si definisce isoscele se ha (almeno) due lati congruenti; un triangolo si definisce scaleno se ha i tre lati a due a due non congruenti; M C TRINGOLI 3

4 C Equilatero Isoscele scaleno C C C Figura 10. Classificazione dei triangoli rispetto ai lati. C C Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli: un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo interno retto; in un triangolo rettangolo si dice ipotenusa il lato che si oppone all angolo retto, si dicono cateti i lati adiacenti all angolo retto; un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo interno ottuso; un triangolo si dice acutangolo se ha tutti gli angoli interni acuti. cateto ipotenusa angolo retto angolo ottuso angoli acuti cateto triangolo rettangolo triangolo ottusangolo Figura 11. Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli. triangolo acutangolo 1 In base alla figura rispondi alle seguenti domande a) Il lato si oppone all angolo b) L angolo α si oppone al lato C c) L angolo di vertice C si chiama d) L angolo γ è adiacente ai lati e e) I lati e C sono adiacenti all angolo β f) I lati C e formano l angolo g) Traccia l angolo esterno al triangolo nel vertice h) Traccia la bisettrice dell angolo β γ α i) Traccia l altezza relativa alla base j) La mediana relativa al lato C 2 Disegna un segmento e poi disegna i triangoli C e D che hanno la base in comune. 3 Disegna le tre altezze di ciascuno dei seguenti triangoli TRINGOLI 4

5 2. Primo e secondo criterio di congruenza dei triangoli Ricordiamo che due figure piane sono congruenti se sono sovrapponibili, cioè se è possibile spostare una sull altra, senza deformarle, in modo che coincidano perfettamente. In particolare, due triangoli sono sovrapponibili se hanno ordinatamente congruenti i tre lati ed i tre angoli. Con il termine ordinatamente intendiamo che, a partire da una coppia di vertici e procedendo lungo il contorno in senso orario oppure antiorario, incontriamo lati congruenti e vertici di angoli congruenti. Nel caso dei triangoli, questo succede esattamente quando angoli congruenti nei due triangoli sono compresi tra coppie di lati congruenti o, in maniera equivalente, quando sono opposti a lati congruenti. I criteri di congruenza dei triangoli ci dicono che basta conoscere la congruenza di solo alcuni elementi dei due triangoli, generalmente tre elementi di un triangolo congruenti a tre elementi dell altro triangolo, per poter affermare la congruenza di due triangoli, e quindi dedurne la congruenza degli altri elementi. Un modo tradizionale di presentare l argomento, dovuto allo stesso Euclide, è quello di dimostrare i primi due criteri di congruenza dei triangoli facendo uso della definizione di congruenza come uguaglianza per sovrapposizione, e di utilizzarli successivamente per la verifica di altre proprietà. Secondo il matematico tedesco D. Hilbert ( ), il primo criterio di congruenza è un assioma, il secondo criterio può essere dimostrato per assurdo attraverso il primo. È utile, a nostro giudizio, presentare questi argomenti basilari in entrambi i modi, perché offrono buoni spunti di riflessione. Esponiamo prima il metodo tradizionale. 1 CRITERIO DI CONGRUENZ DEI TRINGOLI Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l angolo tra essi compreso. Ipotesi: C ' C ', C ' C ', C ' C ' '. Tesi: C ' ' C '. Dimostrazione. Vogliamo provare che il triangolo C può essere portato a sovrapporsi perfettamente al triangolo C. C C γ γ' tal proposito, portiamo il punto C sul punto C in modo tale che la semiretta C sia sovrapposta alla semiretta C ed i punti e siano nello stesso semipiano individuato dalla retta C. Dopo questo movimento, i triangoli potrebbero trovarsi nella seguente posizione? C C γ γ' Vediamo perché questa situazione non è possibile. bbiamo supposto per ipotesi che i segmenti C e C siano congruenti, pertanto se C coincide con C anche deve coincidere necessariamente con, mentre nella figura C è maggiore di C. llora i triangoli potrebbero trovarsi almeno nella seguente posizione, nella quale e coincidono? TRINGOLI 5

6 C C γ γ' Tuttavia nemmeno questa posizione è possibile poiché abbiamo supposto per ipotesi che gli angoli γ e γ siano congruenti, mentre dalla figura risulta che γ è maggiore di γ. Di conseguenza la semiretta per C e la semiretta per C devono sovrapporsi, in quanto devono formare lo stesso angolo con la semiretta per C. questo punto, rimane da fissare la posizione di rispetto a, cioè rimane da decidere se cade internamente al segmento C, come nella figura che segue, se cade esternamente al segmento C o se e coincidono. C C γ γ' Poiché per ipotesi C 'C', il punto deve necessariamente coincidere con. Pertanto i vertici del triangolo C si sovrappongono ai vertici del triangolo C e di conseguenza i triangoli C e C sono congruenti. 2 CRITERIO DI CONGRUENZ DEI TRINGOLI Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due angoli e il lato tra essi compreso. Ipotesi: DE, C F D E, C D E F. Tesi: C D E F. Dimostrazione. Vogliamo provare che il triangolo DEF può essere portato a sovrapporsi perfettamente al triangolo C. tal proposito, in virtù della congruenza dei lati e DE, portiamo a sovrapporre il segmento DE al segmento in maniera tale che D coincida con, E coincida con, e i punti C ed F siano nello stesso semipiano individuato dalla retta. I due triangoli potrebbero trovarsi nella seguente posizione? TRINGOLI 6

7 C F D E Dalla congruenza degli angoli e D, segue che la semiretta DF sarà sovrapposta alla semiretta C; analogamente, dalla congruenza degli angoli e E, segue che la semiretta EF sarà sovrapposta alla semiretta C. Dunque C ed F devono necessariamente coincidere, perché sono l unica intersezione di due rette incidenti. Poiché i tre vertici si sono sovrapposti, i due triangoli sono completamente sovrapposti e quindi sono congruenti. Procediamo ora alla maniera di Hilbert. ssioma XVII. PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZ DEI TRINGOLI Se per due triangoli C e C si ha che ' ', C 'C ', e l'angolo C congruente all'angolo C, allora tutto il triangolo C è congruente al triangolo C. C C Essendo un assioma, non si dimostra. Figura 12. Primo criterio di congruenza dei triangoli SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZ DEI TRINGOLI Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due coppie di angoli e il lato tra essi compreso. Ipotesi: DE, C F D E, C D E F. Tesi: C D E F. Dimostrazione. Figura 13. Secondo criterio di congruenza dei triangoli TRINGOLI 7

8 Se C FE, i due triangoli risultano congruenti per il primo criterio, avendo per ipotesi DE e C D E F. Supponiamo dunque per assurdo che non sia C FE ma indifferentemente possiamo supporre C FE o C FE. Sia ad esempio C FE. Prendiamo un punto G sul segmento FE in modo che C G E. llora per il primo criterio di congruenza risulterà C D E G e dunque anche C G D E. Ma per ipotesi C F D E, e l angolo G D E è una parte propria di F D E, per cui dovrebbe risultare G D E F D E e questo contrasta con la proprietà transitiva della congruenza che vorrebbe G D E F D E in quanto entrambi congruenti a C. Si può, analogamente, supponendo C FE, dedurre che C F D E, contro l ipotesi. Pertanto, dovrà essere C FE e C D E F, C.V.D. 4 Per ciascuna delle seguenti coppie di triangoli indica se sono congruenti ed eventualmente per quale criterio. Si sa che sono congruenti i lati con '' e C con 'C', l'angolo in con l'angolo '. C C I triangoli sono congruenti? SI NO Se sì, per il C C Si sa che sono congruenti i lati con '' e gli angoli in con ' e con '. I triangoli sono congruenti? SI NO Se sì, per il C C Si sa che sono congruenti ilati con '' e C con 'C', l'angolo in con ' I due triangoli sono congruenti? SI NO Se sì, per il Esempio p= un triangolo ha tre lati (Vera) q= un triangolo ha tre vertici (Vera) llora p q è vera, q r è falsa, r s è falsa. Inoltre p q è vera, q r è vera, r s è falsa. TRINGOLI 8

9 Esempio Si considerino due rette incidenti, r ed s, ed il loro punto in comune P. Sulle semirette opposte di origine P si prendano punti equidistanti da P, come in figura, in maniera tale che P P, CP PD. Dimostra che, unendo i quattro punti in modo da costruire un quadrilatero, i quattro triangoli che si vengono a formare sono a due a due congruenti: CP DP, DP PC. Realizziamo il disegno ed esplicitiamo ipotesi e tesi Ipotesi r s=p P P CP PD Tesi CP DP DP PC Dimostrazione. I triangoli CP e PD hanno: P P per ipotesi, CP PD per ipotesi, P C P D perché opposti al vertice. Pertanto sono congruenti per il 1 criterio di congruenza dei triangoli. nalogamente, i triangoli DP e PC hanno: Esempio Si considerino un segmento ed il suo punto medio M. Si tracci una generica retta r passante per M e distinta dalla retta per. Si traccino inoltre due semirette di origine rispettivamente e, situate nei due semipiani opposti rispetto alla retta per, che intersechino la retta r rispettivamente in C e in D e che formino con la retta per due angoli congruenti (vedi figura). Detti C e D i rispettivi punti d intersezione delle due semirette con la retta r, dimostra che i triangoli MC e MD sono congruenti. Ipotesi: M M M C M D Tesi: MC MD Dimostrazione. I segmenti M e M sono congruenti in quanto M è il punto medio di, gli angoli di vertice M sono congruenti perché opposti al vertice, gli angoli di vertice e sono congruenti per costruzione. llora i triangoli MC e MD sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli. TRINGOLI 9

10 Dimostra le seguenti affermazioni, utilizzando i criteri di congruenza dei triangoli. 5 In un triangolo C prolunga la mediana M di un segmento MD congruente a M. Dimostra che il triangolo MC è congruente al triangolo MD e che il triangolo M è congruente al triangolo CMD. 6 Sulla bisettrice L di un triangolo C, o sul suo prolungamento, prendi il punto K in modo che K sia congruente a KC. Quali tra i seguenti triangoli sono necessariamente congruenti? K e CK; KL e CKL. Dai una dimostrazione. 7 Due triangoli C e DEF hanno il lati e DE congruenti, hanno inoltre gli angoli esterni ai vertici e rispettivamente congruenti agli angoli esterni ai vertici D e E. Dimostra che i due triangoli sono congruenti. 8 Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti i due cateti. 9 Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti un cateto e l angolo acuto adiacente ad esso. 10 Due triangoli isosceli sono congruenti se hanno congruenti l angolo al vertice e i due lati obliqui. 11 Nel triangolo isoscele C, di base C, prolunga la bisettrice D di un segmento DE. Dimostra che E è bisettrice dell angolo E C. 12 Dati due triangoli congruenti C e C, si considerino sui lati C e C due punti D e D tali che DC D' C '. Dimostrare che D D ' '. 13 Siano C e DEF due triangolo congruenti. Sui lati congruenti e DE prendi il punto G su e H su DE, in modo che G DH. Dimostra che anche GC è congruente ad HF. 14 In un triangolo C, sul prolungamento del lato, dalla parte di, prendi un punto D tale che D, analogamente sul prolungamento del lato C, dalla parte di, prendi un punto E tale che E C. Dimostra che la mediana M del triangolo C è allineata con la mediana N del triangolo DE, ossia che l angolo formato dalle due mediane è un angolo piatto. 15 Del triangolo C prolunga il lato di un segmento D congruente a C, analogamente prolunga il lato C di un segmento E congruente ad. Traccia la bisettrice F del triangolo C e la bisettrice G del triangolo DE. Dimostra che F G. 16 Nel triangolo C traccia la bisettrice D dell angolo in. Con origine in D traccia due semirette che incontrano rispettivamente C in E e in F, in modo che D F D E. Dimostra che il triangolo FE è un triangolo isoscele. TRINGOLI Nel triangolo C con C< traccia la bisettrice D dell angolo in. Per il punto D traccia la perpendicolare alla bisettrice D. Detti E ed F i punti in cui la perpendicolare incontra rispettivamente i lati C e, dimostra che F E. 18 Sui prolungamenti oltre del lato C, oltre del lato e oltre C del lato C di un triangolo equilatero C si considerino i segmenti congruenti,, CC. Dimostrare che il triangolo C è ancora equilatero. 19 Dato l angolo convesso b c si considerino su b i due punti e, su c si considerino i punti C e C, tali che e siano rispettivamente congruenti con C e con C. Dimostrare che e C sono rispettivamente congruenti con CC e C. 20 Dato un segmento, condurre per il suo punto medio M una qualsiasi retta r e considerare su di essa, da parti opposte rispetto ad, due segmenti congruenti MC e MD. Dimostrare che i triangoli MC e MD sono congruenti. 21 Si consideri il segmento e per il suo punto medio M si tracci una retta r qualsiasi. Su tale semiretta, da parti opposte rispetto a, si prendano due punti S e T tali che SM MT. Dimostrare che i triangoli MS e TM sono congruenti. 22 Sui lati dell angolo X OY si considerino i punto e tali che O O. Sia H un punto della bisettrice dell angolo tale che OH<O. Siano T il punto di intersezione di H con OY e S il punto di intersezione di H con OX. Dimostrare che H H e SH HT. 23 Si consideri un punto O interno al triangolo C e si congiunga tale punto con i vertici e del triangolo. Si prolunghino i segmenti O e O oltre O di due segmenti O e O rispettivamente congruenti ai suddetti segmenti. Dimostrare che i segmenti e sono congruenti. 24 Si considerino i triangoli congruenti C e C e si prolunghino i lati e di due segmenti P e P tra loro congruenti. Si prolunghino inoltre i lati C e C di due segmenti CQ e C Q tra loro congruenti. Si dimostri che sono congruenti i triangoli PQ e P Q ; CP C ' P ', Q Q' '. 25 Sui lati a e b di un angolo di vertice O prendi i punti e sulla semiretta a e i punti C e D sulla semiretta b, in modo che O OC e CD. Sia E il punto di intersezione di D con C. Dimostra che sono congruenti i triangoli E e CDE.

11 3. Teoremi del triangolo isoscele Il triangolo isoscele ha almeno due lati congruenti, l eventuale lato non congruente si chiama base, i due lati congruenti si dicono lati obliqui. Il triangolo equilatero è un caso particolare di triangolo isoscele: si dice che il triangolo equilatero è isoscele rispetto a qualsiasi lato preso come base. TEOREM (DIRETTO) DEL TRINGOLO ISOSCELE. In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti. Ipotesi: C. Tesi: C C. Figura 14. In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti. Dimostrazione. Vogliamo dimostrare la tesi facendo uso solo delle nozioni comuni della geometria euclidea e dei primi due criteri di congruenza dei triangoli. Procediamo per passi, avviando una costruzione che ci permetta di confrontare coppie di triangoli congruenti. In figura 14 il triangolo C è isoscele sulla base C, per cui i lati obliqui e C sono congruenti. Prolunghiamo i lati e C, rispettivamente dalla parte di e di C, di due segmenti D e CE congruenti tra di loro, cioè D CE. Confrontiamo i triangoli DC e E, per comodità sono stati riportati in piccolo a destra del disegno principale ( 1 D 1 C 1 e 2 2 E 2 ). Questi due triangoli hanno: i lati C e congruenti per ipotesi; i lati D e E congruenti in quanto somme di segmenti congruenti (D=+D, E=C+CE); l angolo compreso tra queste coppie di lati congruenti è sempre lo stesso perché è in comune ai due triangoli (è l angolo di vertice ). Pertanto i due triangoli DC e E risultano congruenti per il 1 criterio. Di conseguenza anche i restanti elementi risultano ordinatamente congruenti: DC E, D C E, C D E. Confrontiamo ora i triangoli DC e EC (anch essi sono stati riprodotti a rimpiccioliti a destra della figura principale). I due triangoli risultano congruenti per il 1 criterio, poiché hanno: D CE per costruzione DC E, D C E C, per la dimostrazione precedente. Pertanto, anche gli altri elementi dei due triangoli risultano ordinatamente congruenti, in particolare D C C E. Osserviamo che questi due angoli sono adiacenti agli angoli alla base del triangolo isoscele C, per cui C C in quanto supplementari di due angoli congruenti. C.V.D. Il teorema precedente è invertibile, nel senso che è valido anche il teorema inverso, quello che si ottiene scambiando ipotesi e tesi. TRINGOLI 11

12 TEOREM INVERSO DEL TRINGOLO ISOSCELE Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele (rispetto al lato compreso tra gli angoli congruenti preso come base). Ipotesi: C C. Tesi: C C. Dimostrazione. Procediamo per passi, realizzando una costruzione che ci permetta di confrontare coppie di triangoli congruenti. Figura 15. Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele. Prolunghiamo i lati C e C dalla parte di e di rispettivamente, e prendiamo due punti D ed E sui rispettivi prolungamenti in maniera tale che risulti D E. questo punto confrontiamo i triangoli D e E (ne abbiamo riprodotto un grafico rimpicciolito a sinistra della figura principale). I due triangoli risultano congruenti per il 1 criterio, avendo in comune il lato ed essendo D E per costruzione e D E perché adiacenti agli angoli C e C congruenti per ipotesi. Pertanto, i restanti elementi risultano ordinatamente congruenti: D E, D E, D E. Confrontiamo ora i triangoli CD e CE (anch essi riprodotti a sinistra della figura principale). I due triangoli risultano congruenti per il 2 criterio poiché hanno D E, C D C, per la dimostrazione precedente, C D C E perché somma di angoli rispettivamente congruenti: C D C D ; C E C E. Pertanto, i restanti elementi risultano ordinatamente congruenti, in particolare C C. C.V.D. Dai due teoremi precedenti seguono importanti proprietà, che qui riportiamo come corollari del teorema principale. COROLLRI Un triangolo equilatero è anche equiangolo. Viceversa, se un triangolo è equiangolo, allora è equilatero. Un triangolo scaleno non ha angoli congruenti. Viceversa, se un triangolo non ha angoli congruenti, allora è scaleno. Dimostrazioni (1) Poiché un triangolo equilatero è isoscele rispetto a qualsiasi lato preso come base, la tesi segue dal teorema diretto del triangolo isoscele. (2) Possiamo confrontare gli angoli a due a due; risulteranno i lati congruenti a due a due in base al teorema inverso del triangolo isoscele. (3) Se per assurdo un triangolo scaleno avesse due angoli congruenti, allora risulterebbe isoscele, in base al teorema inverso del triangolo isoscele. (4) Se per assurdo un triangolo che non ha angoli congruenti non fosse scaleno, il che vuol dire che sarebbe isoscele, allora avrebbe angoli congruenti in contrasto con l ipotesi di assurdo. TRINGOLI 12

13 PROPOSIZIONE (PROPRIETÀ DEL TRINGOLO ISOSCELE) In ogni triangolo isoscele, la mediana relativa alla base è anche altezza e bisettrice. Figura 16. La bisettrice dell angolo al vertice, l altezza relativa alla base e la mediana relativa alla base coincidono. In figura, CJ è per ipotesi la bisettrice dell angolo al vertice γ del triangolo C, FK è la mediana relativa alla base DE del triangolo DEF, IL è l altezza relativa alla base GH del triangolo GHI. Dividiamo l enunciato in tre parti: a) In un triangolo isoscele la bisettrice dell angolo al vertice è anche altezza e mediana relativa alla base. b) In un triangolo isoscele la mediana relativa alla base è anche bisettrice dell angolo al vertice e altezza relativa alla base. c) In un triangolo isoscele l altezza relativa alla base è anche bisettrice dell angolo al vertice e mediana relativa alla base. Dimostriamo le prime due parti della proposizione. Per ciascuna delle tre parti precedenti, scriviamo ipotesi e tesi; utilizziamo i tre triangoli della figura 16 segnalando che CJ è per ipotesi la bisettrice dell angolo al vertice γ del triangolo C, FK la mediana relativa alla base DE del triangolo DEF, IL l altezza relativa alla base GH del triangolo GHI. Prop a) In C: Ipotesi: C C, C C, C J C J. Tesi: CJ, J J. Prop b) In DEF: Ipotesi: DF FE, F D E F E D, DK KE. Tesi: FK DE, D F K E F K. Prop c) In GHI: Ipotesi: IG IH, I G H I H G, IL GH. Tesi: G I L H I L, GL LH. vviamo la dimostrazione delle prime due parti, che lasciamo completare al lettore, rimandando al prossimo capitolo la dimostrazione della terza parte. Utilizziamo i primi due criteri di congruenza, i teoremi del triangolo isoscele e le nozioni comuni della geometria euclidea. Dimostrazione Prop a): I triangoli JC e CJ sono congruenti per il secondo criterio. Infatti Dunque J J e J C C J che risultano pertanto retti in quanto adiacenti. Dimostrazione Prop b): I triangoli DKF e FKE sono congruenti per il primo criterio. Infatti Dunque D F K E F K e F K D F K E che risultano pertanto retti in quanto adiacenti. TRINGOLI 13

14 Dimostra le seguenti affermazioni. 26 In un triangolo isoscele le mediane relative ai lati congruenti sono congruenti. 27 In un triangolo isoscele le bisettrici degli angoli alla base sono congruenti. 28 Due triangoli isosceli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti l angolo al vertice e uno dei lati obliqui. 29 Due triangoli isosceli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti la base e uno degli angoli ad essa adiacenti. 30 Due triangoli isosceli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti la base e la bisettrice dell'angolo al vertice. 31 Due triangoli isosceli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti gli angoli al vertice e due lati corrispondenti qualsiasi. 32 In un triangolo isoscele C di base e vertice C, prendi su C un punto M e su C un punto N in modo che CM CN, quali delle seguenti coppie di triangoli sono congruenti? Dimostralo. a) CN N b) CN CM c) N M d) C MNC 33 In un triangolo isoscele C di base e vertice C, indica con M il punto medio di C, con N il punto medio di C e con H il punto medio di. Quali delle seguenti coppie di triangoli sono congruenti? a) MH HN b) MNH MNC c) MH MCN 34 Sui lati C e C del triangolo isoscele C di base considera rispettivamente due punti D ed E tali che CD CE. Dimostra che i triangoli D e E son congruenti. Detto P il punto di intersezione tra E e D, dimostrare che P e DPE sono triangoli isosceli. 35 In un triangolo isoscele C di base e vertice C prolunga la base, dalla parte di di un segmento D e dalla parte di di un segmento E congruente ad D. Dimostra che anche il triangolo DEC è isoscele. 36 Nel triangolo isoscele C di base C, prendi sul prolungamento di C due segmenti congruenti Q P, dimostra che PQ è isoscele. 37 Due triangoli isosceli C e D hanno in comune la base, i vertici C e D sono situati da parti opposte rispetto alla base. Dimostra che la retta per CD è bisettrice dell angolo in C. 38 In un triangolo isoscele C di base e vertice C traccia le bisettrici D all angolo in e E all angolo in. a) Dimostra che D E. b) Detto O il punto di intersezione delle bisettrici dimostra che O è isoscele. c) Dimostra che il triangolo DO è congruente al triangolo EO. 39 In un triangolo isoscele C di base e vertice C prolunga, dalla parte di C la bisettrice CD dell angolo in C di un segmento CE. Dimostra che ED è bisettrice dell angolo E D. 40 In un triangolo isoscele C di base e vertice C prendi su C un punto D e su C il punto E tali che D E. Detto O il punto di intersezione di E con D, dimostra che O è isoscele. 41 In un triangolo C sia M il punto medio di. Traccia la mediana CM e prolungala dalla parte di M di un segmento MD congruente a CM. Dopo aver dimostrato che MC è congruente a ME, dimostra che se CM è bisettrice dell angolo in C allora C è isoscele. 42 In un triangolo isoscele C di base e vertice C, prendi su C un punto D e su C un punto E in modo che CD CE. Dimostra che il triangolo DME, dove M è il punto medio della base, è isoscele. 43 Due triangoli isoscele hanno in comune la base,dimostra che la retta che unisce i vertici dei due triangoli divide la base a metà. 44 In un triangolo isoscele C di base e vertice C, si ha che C C 2. Chiama M il punto medio di C e N il punto medio di C, P il punto di intersezione di M con N. Individua tutti i triangoli isosceli che si vengono a formare. 45 Sia dato il triangolo C e sia M il punto medio del lato. Si prolunghi CM di un segmento MD CM. Dimostrare che C D. 46 Si prolunghino i lati C e C del triangolo isoscele C rispettivamente di due segmenti CP e CQ tra loro congruenti. Dimostrare che e che Q P e che P Q. 47 Sulla base di un triangolo isoscele C prendi i punti M e N tali che M<N e M N. Dimostra che CMN è isoscele. 48 Sia D il punto di intersezione delle bisettrici degli angoli alla base di un triangolo isoscele C di vertice. Dimostra che DC è isoscele. TRINGOLI 14

15 4. Terzo criterio di congruenza dei triangoli TERZO CRITERIO DI CONGRUENZ DEI TRINGOLI Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti le tre coppie di lati. Ipotesi: ' ', C ' C ', C ' C '. Tesi: C ' ' C '. Figura 17. Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti le tre coppie di lati. Dimostrazione. bbiamo due triangoli, C e C, dei quali sappiamo che i lati dell uno sono congruenti ai lati dell altro. Ribaltiamo il triangolo C e portiamo il segmento sul segmento in modo che il punto coincida con, il punto coincida con (ciò è possibile in quanto ' ' ) ed in modo che il punto C cada nel semipiano individuato dalla retta opposto a quello in cui si trova C. Uniamo C con C. Viene fuori un disegno diverso a seconda che il punto d intersezione, che chiamiamo D, tra il segmento CC e la retta per sia interno al segmento oppure coincide con uno degli estremi ( o ) oppure sia esterno al segmento. Il punto D esiste in ogni caso in quanto C e C sono nei due semipiani opposti individuati dalla retta, pertanto il segmento CC deve necessariamente tagliare la retta per. Primo caso: D è interno ad. Figura 18. Primo caso della dimostrazione del terzo criterio di congruenza dei triangoli. Essendo C ' C ' e C C ' ', i triangoli CC 1 e CC 1 sono isosceli, entrambi sulla base CC 1. Dunque, per il teorema (diretto) del triangolo isoscele, gli angoli alla base sono congruenti. Precisamente risulta: C C 1 ' C 1 ' C e C 1 ' C C C 1 '. Inoltre, hatc hatc 1 ' in quanto somme di angoli congruenti: C = C D D C C 1 ' D D C 1 ' = C 1 '. In conclusione C e C 1 sono congruenti per il primo criterio perché hanno C C 1 ' ; C C 1 ' ; C C 1 '. Infine, poiché C è congruente a C 1 e quest ultimo è congruente a C se ne deduce che C e C sono congruenti tra di loro. TRINGOLI 15

16 Secondo caso: il punto D coincide con uno dei due estremi. Figura 19. Secondo caso Poiché per ipotesi C C 1 ' 1 ' il triangolo CC 1 è isoscele sulla base CC 1, pertanto C C 1 ' in quanto angoli alla base di un triangolo isoscele. I triangoli C e C 1 sono congruenti per il primo criterio perché hanno: C C 1 ' ; C C 1 ' ; C C 1 '. Infine, come per il caso precedente, poiché C è congruente a C 1 e quest ultimo è congruente a C anche C è congruente a C. Terzo caso: Il punto D cade esternamente al segmento. Figura 20. Terzo caso Come nel primo caso, i triangoli CC 1 è CC 1 sono isosceli sulla base CC 1, pertanto C C 1 ' C 1 ' C e C C 1 ' C 1 ' C. Per differenza di angoli congruenti si ottiene che C C 1 ' infatti C = D C D C D C 1 ' D C 1 ' = C 1 '. Da ciò segue che i triangoli C e C 1 sono congruenti per il primo criterio in quanto hanno rispettivamente congruenti due lati e l angolo tra essi compreso. Come per i casi precedenti, se C è congruente a C 1 è congruente anche a C. 49 Due triangoli sono congruenti se hanno a) tre lati congruenti V F b) tre angoli congruenti V F c) due lati e l angolo tra essi compreso congruenti V F d) due angoli e il lato in comune congruenti V F e) un lato e l angolo opposto congruenti V F TRINGOLI 16

17 Dimostra le seguenti affermazioni. 50 Due triangoli equilateri sono congruenti se hanno lo stesso perimetro. 51 Dimostra che due triangoli equilateri C e D che hanno in comune la base sono congruenti. 52 Se in due triangoli sono congruenti due coppie di lati e la mediana relativa ad uno di essi, allora i due triangoli sono congruenti. 53 Se in due triangoli sono congruenti due coppie di lati e la bisettrice relativa ad uno di essi, allora i due triangoli sono congruenti. 54 Due triangoli isosceli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti la base e un altro lato. 55 In un triangolo isoscele C di base C e vertice prendi un punto D sul lato e un punto E sul lato C, in modo che D EC, unisci C con D e con E, detto F il punto di intersezione di E e DC, dimostra che sono congruenti i triangoli F e CF. 56 In un triangolo isoscele C di base C e vertice, prolunga il lato di un segmento D e il lato C di un segmento CE in modo che D CE, prolunga la base C di un segmento G, dalla parte di, e di un segmento CF dalla parte di C, in modo che G CF. Dimostra che sono congruenti i triangoli DG e EF. 57 In un triangolo scaleno C sia C>C. Prolunga C, dalla parte di C, di un segmento CD congruente ad C e prolunga C, dalla parte di C, si un segmento CE congruente a C. Detto H il punto di intersezione della retta per con la retta per DE, dimostra che H DH. 58 In un triangolo isoscele C di base C e vertice, prolunga il lato di un segmento D e il lato C di un segmento CE in modo che D CE. Unisci D con C e prolunga il segmento DC, dalla parte di C di un segmento CF. Unisci E con e prolunga il segmento E dalla parte di di un segmento G congruente a CF. Dimostra che i triangoli GD e FE sono congruenti. 59 Dato il triangolo convesso non piatto a O b si prenda un punto sul lato Oa e un punto sul lato Ob, in modo che O O. Sia M il punto medio di O e N il punto medio di O, congiungi con N e con M, indica con P in punto di intersezione. Dimostra che sono congruenti i triangoli OC e OD e i triangolo OP OP. 60 Nel triangolo isoscele C di base e vertice C, prendi un punto D sulla bisettrice CH dell angolo al vertice C, indica con E il punto di intersezione della retta D con C e F il punto di intersezione di D con C. Dimostra che i triangoli FD e ED sono congruenti. 61 Siano C e D due triangoli isosceli aventi la base in comune e i vertici C e D situati da parti opposte rispetto ad. Dimostrare che C D D C. 62 Sia P un punto interno al triangolo isoscele C di base e sia P P. Si dimostri che il segmento CP appartiene alla bisettrice dell angolo in C. 63 Due triangoli equilateri C e DC hanno la base C in comune e i vertici e D situati da parti opposte rispetto alla base C. Dimostra che i due triangoli sono congruenti. 64 Siano C e C due triangoli congruenti. Si fissino su C un punto P e su C un punto P tali che P ' P '. Si fissino su C un punto Q e su C un punto Q tali che Q ' Q '. Si dimostri che PQ P ' Q '. 65 Due triangoli, che hanno un lato congruente e hanno congruenti anche i due angoli esterni al triangolo aventi per vertici gli estremi del lato congruente, sono congruenti. 66 Dato il triangolo C e un punto O esterno al triangolo, si unisca O con con e con C. Si prolunghi ciascun segmento, dalla parte di O, dei segmenti O ' O, O ' O, OC ' OC. llora il triangolo C è congruente al triangolo C. 67 Siano LMN i punti medi dei lati del triangolo isoscele C, dimostra che anche LMN è isoscele. 68 Siano MN i punti medi dei lati congruenti e C del triangolo isoscele C, dimostra che le mediane M e N sono congruenti. 69 Siano O e O C due angoli consecutivi congruenti, sia OM la bisettrice dell angolo O. Sulle semirette OC, O, OM e O si prendano rispettivamente i segmenti tutti congruenti tra di loro OC, O, OM, O. Dimostrare che ' M ' M ' ', ' ' ' C '. 70 Sia OM la bisettrice dell angolo O, sui lato dell angolo O si prendano i punti P e Q tali che OP OQ. Sia C un punto qualsiasi della bisettrice OM. Dimostra che CP CQ. TRINGOLI 17

18 5. Congruenza dei poligoni Ricordiamo che due poligoni sono congruenti se hanno lo stesso numero di lati ed hanno ordinatamente congruenti tutti i lati e tutti gli angoli corrispondenti. Il seguente criterio di congruenza dei quadrilateri è una semplice applicazione del primo criterio di congruenza dei triangoli. CRITERIO DI CONGRUENZ DEI QUDRILTERI Due quadrilateri, aventi ordinatamente congruenti tre lati ed i due angoli tra essi compresi, sono congruenti. Di conseguenza hanno ordinatamente congruenti anche il rimanente lato ed i rimanenti due angoli. Conseguenza diretta del primo e del secondo criterio di congruenza dei triangoli è il seguente criterio. CRITERIO DI CONGRUENZ DEI QUDRILTERI Due quadrilateri, aventi ordinatamente congruenti due lati consecutivi e tre angoli (adiacenti ai due lati congruenti), sono congruenti. Di conseguenza hanno ordinatamente congruenti anche il rimanente angolo ed i rimanenti due lati. Conseguenza del primo e del terzo criterio di congruenza dei triangoli è il seguente criterio. CRITERIO DI CONGRUENZ DEI QUDRILTERI. Due quadrilateri sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i quattro lati ed un angolo corrispondente. Di conseguenza hanno ordinatamente congruenti anche i rimanenti tre angoli. CRITERI DI CONGRUENZ DEI POLIGONI Due poligoni sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti tutti i lati e tutti gli angoli compresi, tranne tre elementi su cui non si fa alcuna ipotesi: 1) due angoli consecutivi ed il lato compreso; 2) due lati consecutivi e l angolo compreso; 3) tre angoli consecutivi. La dimostrazione di questi criteri è lasciata al lettore che potrà esercitarsi applicando i tre criteri di congruenza dei triangoli. TRINGOLI 18

19 Quesiti dalle prove INVLSI 71 In un triangolo isoscele l angolo al vertice è metà dell angolo alla base. Quanto misurano gli angoli del triangolo?. 72, 72, , 60, 90 C. 36, 36, 72 D. 90, 45, 45 (Prove invalsi 2005) 72 Osserva la seguente figura. Se C e H=HC, che cosa rappresenta il segmento H nel triangolo C?. Una altezza.. Una mediana. C. Una bisettrice. D. Un asse. (Prove invalsi 2006) 73 Da un triangolo equilatero MNO di lato 6 cm viene tagliato via un triangolo equilatero di vertice in O e lato 2 cm. Il perimetro del quadrilatero rimanente è. 12 cm. 14 cm C. 16 cm D. 18 cm E. 20 cm (Prove invalsi 2003) 74 Quanto misurano gli angoli interni di un triangolo rettangolo isoscele?. 30 ; 60 ; ; 90 ; 45 C. 60 ; 60 ; 90 D. 90 ; 30 ; 30 (Prove invalsi 2005) 75 Un lato di un quadrato e un lato di un triangolo equilatero, di uguale perimetro, hanno lunghezze la cui somma è 14m. Quanto misurano rispettivamente il lato del quadrato e quello del triangolo?. 5m e 9 m. 6m e 8m C. 7m e 7m D. 8m e 6m (Prove invalsi 2005) 76 In un triangolo C si ha C=6, =7, C=5. Se confrontiamo tra loro i tre angoli del triangolo, quale tra le seguenti affermazioni è vera?. C è l angolo di misura maggiore e C l angolo di misura minore.. C è l angolo di misura maggiore e C l angolo di misura minore. C. C è l angolo di misura maggiore e C l angolo di misura minore. D. C è l angolo di misura maggiore e C l angolo di misura minore. (Prove invalsi 2006) 77 Nel triangolo in figura, =C e D C=128. Quanto misura C? C. 64 D. 76 TRINGOLI 19

20 Copyright Matematicamente.it 2011 Questo libro, eccetto dove diversamente specificato, è rilasciato nei termini della licenza Creative Commons ttribuzione Condividi allo stesso modo 3.0 Italia (CC Y-S 3.0) il cui testo integrale è disponibile al sito Tu sei libero: di riprodurre, distribuire, comunicare al pubblico, esporre in pubblico, rappresentare, eseguire e recitare quest'opera, di modificare quest'opera, alle seguenti condizioni: ttribuzione Devi attribuire la paternità dell'opera nei modi indicati dall'autore o da chi ti ha dato l'opera in licenza e in modo tale da non suggerire che essi avallino te o il modo in cui tu usi l'opera. Condividi allo stesso modo Se alteri o trasformi quest'opera, o se la usi per crearne un'altra, puoi distribuire l'opera risultante solo con una licenza identica o equivalente a questa. utori ngela D mato: teoria, esercizi ntonio ernardo: esercizi, integrazioni Claudio Carboncini: editing OpenOffice Cristina Mocchetti: teoria, integrazioni Gemma Fiorito: integrazioni, correzioni Erasmo Modica: esercizi Luciano Sarra: correzioni Eugenio Medaglia: correzioni Laura Todisco: correzioni Collaborazione, commenti e suggerimenti Se vuoi contribuire anche tu alla stesura e aggiornamento del manuale Matematica C3 o se vuoi inviare dei commenti e/o suggerimenti scrivi a antoniobernardo@matematicamente.it Versione del documento Versione 2.7 del TRINGOLI 20