Sistemi Lineari. Elisabetta Colombo. Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico

Transcript

1 Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico

2 2 a di o.0 4 Capelli Rango o Caratterisca

3 : definizioni a di o.0 Un equazione nelle n incognite x,..., x n della forma dove c x + + c n x n = b c,..., c n sono numeri reali (detti coefficienti), b è un numero reale (detto termine noto), si chiama equazione lineare in x,..., x n. Un sistema lineare di m equazioni nelle n incognite x,..., x n è un sistema formato da m equazioni in x,..., x n, ossia: a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 (*) : : : a m x + a m2 x a mn x n = b m

4 : definizioni a di o.0 Una soluzione di ( ) è una n-pla di numeri reali ( x,..., x n ) che sostituita alle incognite soddisfa simultaneamente tutte le equazioni del sistema. La matrice di tipo (m, n) : A = (a ij ) j=...n i=...m si chiama matrice dei coefficienti del sistema. Il vettore colonna di tipo (m, ) : b = (b i ) m i= si chiama vettore dei termini noti. La matrice di tipo (m, n + ) : (A b) ottenuta accostando alle colonne della matrice A dei coefficienti il vettore (colonna) b dei termini noti si chiama matrice completa del sistema.

5 o. a di o.0 Dato il sistema di due equazioni in tre incognite { 2x + y z = 0 4x + 6y 2z =, la matrice del sistema, il vettore dei termini noti e la matrice completa sono, rispettivamente: ( ) ( ) ( A =, b = (A b) = ). Detto x = (x j ) n j= il vettore colonna di tipo (n, ) delle incognite il sistema ( ) si può trascrivere in forma matriciale Ax = b Una sua soluzione è quindi un vettore colonna di tipo (n, ) x = ( x j ) n j= di numeri reali che soddisfa la relazione matriciale A x = b.

6 risolubili o impossibili a di Un sistema si dice possibile (o risolubile) se ammette almeno una soluzione. In tal caso le equazioni si dicono compatibili. Un sistema si dice impossibile se non ammette alcuna soluzione. In tal caso le equazioni si dicono incompatibili. NOTA Un sistema possibile può avere una sola soluzione (sistema determinato) oppure infinite (sistema indeterminato), ma mai un numero finito 2 di. o.0

7 equivalenti a di Due sistemi si dicono equivalenti quando ammettono le stesse. Trasformazioni elementari. Le seguenti trasformazioni, applicate ad un dato sistema, portano a un sistema equivalente: I) scambiare due equazioni tra loro; II) moltiplicare i due membri di un equazione per lo stesso numero k ( 0); III) sommare ad un equazione un altra equazione moltiplicata per k. o.0

8 a di o.0 o. x + y = Dato il sistema 2x y = 2 2x + y = 2 la matrice del sistema, il vettore dei termini noti e la matrice completa sono: A = 2 2, b = 2 2, (A b) = 2 2 Il sistema ha una sola soluzione. Infatti, sottraendo alla terza equazione la seconda si ottiene il sistema, equivalente a quello dato: x + y = 2x y = 2 4y =

9 a di o.0 o.4 ( 2 Dati A = 6 ) (, e b = ), il sistema Ax = b è il sistema di due equazioni in due incognite { 2x y = 6x + y =. Sommando alla seconda equazione la prima moltiplicata per si ottiene il sistema equivalente: { 2x y =. 0 = 0 Il sistema ammette quindi le infinite della forma (t, 2t ), al variare del numero reale t.

10 a a di o.0 Un sistema a è un sistema per cui la matrice completa è a, cioè il numero di zeri all inizio di una riga è maggiore del numero di zeri della riga precedente. I seguenti sistemi sono a { 2x + y z + t = 0 (a) y 2z t = ( 2 (A b) = )

11 a a di o.0 { 2x + y z + t = 0 In (a) y 2z t = si mette a parametro z = r e t = s e si ottiene { x = 2 y + 2 z 2 t y = + 2z + t = + 2r + s { x = 2 ( + 2r + s) + 2 r 2 s y = + 2r + s { x = r 2s y = + 2r + s Sol(A, b) = {( r 2s, + 2r + s, r, s r, s R}

12 a a di o.0 (b) da cui 2x + y z = 0 y 2z = z = x = 2 y + 2 z y = + 2z z = Sol(A, b) = {( 2,, )}. (A b) = x = 2 2 = 2 y = + 2( ) = z = 0

13 a a di o.0 { x + y = 0 (c) 0x + 0y = ( (A b) = ) Il sistema è chiaramente impossibile perchè lo è la seconda equazione.

14 a a di o.0 Se il sistema è a si possono presentare i seguenti due casi: () Nel sistema a nell ultima equazione non zero si annulla il primo membro (in cui compaiono le variabili), ma il termine noto è 0. In questo caso il sistema è ovviamente impossibile. (2) In tutte le equazioni non zero non si annulla mai il primo membro. In tal caso il sistema è sempre risolubile, si pongono a parametro le variabili che non corrispondono a un gradino e il valore assunto dalle altre nell insieme delle si ricava induttivamente a partire dall ultima equazione.

15 a a di Nel caso di sistemi a risolubili, sia k il numero di equazioni non zero del sistema, corrispondenti quindi a k. Se k = n, il sistema ha una sola soluzione., infatti non tutte le variabili corrispondono a un gradino. Se k < n, le sono infinite ed espresse in funzione delle n k variabili non corrispondenti ai e che sono quindi dette variabili libere. o.0

16 a a di In conclusione, quando il sistema è risolubile, per sapere quante ha, dobbiamo confrontare il numero k delle equazioni effettive con il numero n delle incognite: Se k = n il sistema è determinato ossia ha una sola soluzione. Se k < n il sistema è indeterminato ossia ha infinite che dipendono da n k variabili libere (si dice che il sistema ha n k ). o.0

17 Metodo di a di Questo metodo si basa sulle ripetute applicazioni delle trasformazioni che permettono di passare a sistemi equivalenti. Si opera in modo da ricondursi ad un sistema equivalente a quello dato, ma a, per cui per esso è immediato vedere la eventuale risolubilità e, in tal caso, procedere in modo standard per determinare le. o.0

18 Metodo di a di o.0 Consideriamo il sistema: a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 : : : a m x + a m2 x a mn x n = b m Possiamo supporre che a 0 (in caso contrario scambiamo la a equazione con un altra in cui il coefficiente di x sia 0). Dividendo la prima equazione per a, otteniamo: x + a 2 a x a n a x n = b a a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 : : : a m x + a m2 x a mn x n = b m

19 Metodo di a di o.0 Sottraiamo poi dalla seconda equazione la prima moltiplicata per a 2, dalla terza la prima moltiplicata per a e così via. Otteniamo: x + a 2 x a n x n = b 0 a 22 x a 2n x n = b 2 0 : : 0 a m2 x a mnx n = b m Le equazioni successive alla prima costituiscono un sottosistema di m equazioni nelle n incognite x 2,..., x n. Allora possiamo procedere in modo iterativo: ripetiamo quanto fatto precedentemente a questo sottosistema. Si noti che la prima colonna ha tutti zeri sotto la prima riga.

20 Metodo di a di o.0 Se a 22 0 si procede come prima. Se a 22 = 0, ma c è un altra equazione con il coefficiente di x 2 diverso da zero, si scambiano tali equazioni e si procede come prima. In questo modo x 2 comparirà con coefficiente nella 2 a equazione e 0 nelle successive. Le equazioni successive sono quindi equazioni in cui non compaiono più le prime due incognite. Se in tutte le equazioni il coefficiente di x 2 è nullo tranne che nella prima, vuol dire che x 2 non compare come variabile effettiva nel sottosistema ottenuto dalle equazioni successive alla prima. Si può quindi considerarla una variabile libera e porla a parametro. La seconda colonna della matrice dei coefficienti avrà tutti zeri sotto la prima riga Iterando alle equazioni successive otterremo un sistema a

21 Metodo di a di Per applicare questo metodo, conviene rileggere le trasformazioni elementari sulle equazioni come corrispondenti trasformazioni elementari sulle righe della matrice completa (A b), che richiamiamo: Trasformazioni elementari sulle righe di (A b) I) R ij : scambio della riga r i con la riga r j ; II) k R i : prodotto della riga r i per il numero k ( 0) ; III) R i + kr j : somma della riga r i con la riga r j moltiplicata per k. o.0

22 Metodo di a di o.0 2x + 4y = 2 x + y = 0 x + y = 2 x + 2y = 5y = 5y = x + 2y = y = 5 0 = 0 x + 2y = 2 R x + y = 0 x + y = 2 5 R 2 { x = y = 5 x + 2y = y = 5 5y = R 2 R R + R R 5R 2 { x = 5 y = 5 Sistema con 2 equazioni effettive e 2 incognite: quindi determinato, ossia con una sola soluzione.

23 Metodo di a di o.0 Analogamente, con le stesse trasformazioni elementari sulle righe di (A b) si ha: R R 2 2 R 0 5 R 2 + R R R 5R

24 Metodo di a di o.0 Dato il sistema x 2y + 4z = 2 x + y + 5z = 2x + y + z = 2, con trasformazioni elementari sulle righe di (A b) si ha: R 2 R 2 R 2 2R R R 5R

25 Metodo di a di o Quindi il sistema è impossibile. x 2y + 4z = 2 y z = 0 =

26 Metodo di a di o.0 Dato il sistema x + y + z = 2x + z = 0 6x + 2y = 2 elementari sulle righe di (A b) si ha: R 2 + 2R R 2 6R R 2 4, con trasformazioni

27 Metodo di a di o R + 4R { 0 2 x + y + z = y z =

28 Metodo di a di o.0 Discutere la risolubità al variare del parametro reale k, e trovare le eventuali del sistema x + 2y z = x + y + 2z = 0. 2x y = 0 x y z = k k 2 k R 2 + R R 2R R 4 R R 2

29 Metodo di a di o R 4 R k Quando k + k = 2 k R R + 5R 2 R 4 + R k k + 0 il sistema è impossibile. Se invece, si tratta di un sistema di equazioni effettive in incognite, quindi determinato.

30 Metodo di a di o.0 Per calcolarne l unica soluzione si risolve il sistema x + 2y z = x = 2y + z y + z = y = z = z, z = x = 2 4 = 2 y = + = 4, z = quindi l unica soluzione è ( 2, 4, ).

31 Metodo di a di o.0 Discutere la risolubità e trovare le eventuali del sistema: (A b) = x + 2y + z w = 2 2x + y z = 2 2y + 4z w = 9 x + z + w = R + 2R 2 R 4 2R 2, R 2 2R R 4 R

32 Metodo di a di o R 4 + R R + 2R 2 R 4 2R

33 Metodo di a di o.0 Il sistema è quindi determinato e si cerca l unica soluzione x + 2y + z w = 2 y z + 2w = 6 2z + w = 7w = 7 x = 2 2y z + w y = +6 z + 2w z = w w = x = 2 2y z + w = = 2 y = +6 z + 2w = = z = = w = Quindi la soluzione è il vettore (2,,, )

34 Metodo di a di o.0 o.0 Discutere la risolubità al variare del parametro reale k, e trovare le eventuali del sistema x y w = 5x 5y + z + kw = 0 2x + 4y + z = 0 Con trasformazioni elementari sulle righe di (A b) si ha: k k R 2 5R R 0 2R 2 R R 2 5.

35 Metodo di a di o k R R k k Quindi per k = il sistema è impossibile, mentre per k, il sistema dipende da 4-= parametro, ottenuto ponendo a parametro z o y. In questo caso conviene mettere a parametro y.

36 Metodo di a di o.0 Ponendo a parametro y = s si ha x y w = x = + y + w 0y + z + (k + 5)w = 5 z = 5 0y (k + 5)w (k + )w = w = (k+) x = + s + (k+) z = 5 0s (k+5) (k+) w = (k+) L insieme delle è: {( + s + k+, s, 5 0s (k+5) k+, k+ ) s R}.

37 Rango Theorem Il numero di righe diverse da zero di due matrici a equivalenti per trasformazioni elementari per riga è uguale. a di o.0 Si pone quindi la seguente definizione Definizione Il Rango o caratteristica di una matrice A (indicato con rango(a) o rk(a) o car(a)) è il numero r di righe non nulle di una sua qualunque matrice a equivalente per trasformazioni elementari per riga. NOTA Ci sono vari altri modi di definire il rango di una matrice, che si dimostrano essere tutti equivalenti.

38 Capelli a di o.0 Theorem (di Rouché Capelli) Il sistema di m equazioni in n incognite Ax = b è risolubile rango (A) = rango (A b). Dim Il sistema è impossibile se la sua matrice completa (A b) viene trasformata in una matrice a in cui l ultima riga diversa da zero ha solo divero da zero l ultimo termine, quindi rango (A b) = rango (A) +. Il sistema è invece risolubile se la sua matrice completa (A b) viene trasformata in una matrice a in cui l ultima riga diversa da zero non ha tutti zero nelle colonne relative ai coefficienti, quindi rango (A b) = rango (A).

39 NOTA Con la definizione di rango data qui, la dimostrazione del teorema segue immediatamente dal metodo. Le difficoltà relative a tale teorema sono spostate sulla dimostrazione dell equivalenza delle varie definizioni di rango. a di o.0