POLITECNICO DI MILANO Scuola di Ingegneria Industriale Fondamenti di Fisica Sperimentale, a.a II a prova in itinere, 25 giugno 2013

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1 POLITECNICO DI MILANO Scuola di Ingegneria Industriale Fondamenti di Fisica Sperimentale, a.a II a prova in itinere, 25 giugno 2013 Giustificare le risposte e scrivere in modo chiaro e leggibile. Sostituire i valori numerici solo alla fine, dopo aver ricavato le espressioni letterali. Scrivere in stampatello nome, cognome, matricola e firmare ogni foglio. 1. Due moli di gas ideale monoatomico sono usate in una macchina termica reversibile che descrive il ciclo riportato in figura. La trasformazione A B avviene a pressione atmosferica (P A = Pa), mentre la trasformazione B C è effettuata a volume costante. Il gas nel punto B si trova a temperatura ambiente (T B = 300 K), mentre P C = 3P B. a) si determini il rendimento η del ciclo nel caso in cui la trasformazione C A sia adiabatica. b) Si confronti il rendimento ottenuto con quello di una macchina di Carnot reversibile che operi fra le temperature T B e T C. c) Calcolare il rendimento del ciclo se la trasformazione C A fosse isoterma. [R = costante dei gas ideali = J mol -1 K -1 ] P C B A V 2. Due sfere conduttrici di raggio R 1 =1 cm e R 2 =3 cm sono poste con i centri ad una distanza L = 2 m. Inizialmente su entrambe è distribuita una stessa quantità di carica Q 0 = C. a) Calcolare la forza (modulo, direzione e verso) esercitata su una carica puntiforme q 0 = C posta ad una distanza 2L dal centro della seconda sfera (vedi figura). b) Quanto vale il lavoro compiuto dalle forze elettrostatiche per portare la carica q o all infinito? In seguito le due sfere vengono connesse con un filo conduttore. c) Quanto valgono le cariche Q 1 e Q 2 che si misurano sulle due sfere dopo tale connessione? [Suggerimento: si trascurino effetti di induzione elettrostatica fra le sfere; ε 0 = C 2 N -1 m -2 ] 3. a) Si scriva l espressione vettoriale della forza agente su una carica q di massa m in moto con velocità v all interno di un campo magnetostatico uniforme B. Si dica se durante il moto della carica si conservano (i) l energia cinetica e/o (ii) la quantità di moto. b) Sia data una densità di corrente J di elettroni con n portatori per unità di volume, che scorre in un conduttore di dimensione trasversale d immerso in un campo magnetostatico uniforme B perpendicolare al piano del conduttore, come mostrato in figura. Si calcoli la d.d.p. di Hall V = V P V Q che si instaura trasversalmente nel conduttore in regime stazionario, specificandone il segno. 4. Una spira circolare di raggio R 1 = 10 cm è attraversata da una corrente di intensità I 1 = 10 A. a) Determinare il campo magnetico B (modulo, direzione e verso) nel suo centro. Una seconda spira di raggio R 2 = 1 cm anch essa percorsa da una corrente di intensità I 2 = 10 A è collocata nel centro della spira di raggio R 1. Le due spire sono complanari e le correnti I 1 e I 2 sono concordi [vedi figura (a)]. b) Si calcoli il momento M delle forze che agiscono sulla spira più piccola. c) Si determini il lavoro da compiere per ruotare la spira di 180 (mantenendone fisso il centro) attorno a un asse parallelo al piano della spira di raggio maggiore [vedi figura (b)]. [Suggerimento: considerare il campo prodotto dalla spira di raggio R 1 come uniforme su tutta la spira di raggio R 2 ; µ 0 = 4π 10-7 N A -2 ] I 1 I 2 I 1 -I 2 (a) (b)

2 Esercizio 1 a) Calcoliamo innanzitutto le temperature in A, B e C: γ γ = 3 ; = (γ)/γ (γ)/γ = = 3 (γ)/γ = 3 /γ. Ora valutiamo i calori scambiati per le tre trasformazioni: = ( ) = (1 3 /γ ) ; = ( ) = 2 ; = 0. Dai precedenti valori si ottiene il rendimento η del ciclo: η = 1 = 1 γ 3/γ 1 = b) Il rendimento η C del ciclo di Carnot vale η = 1 B C = c) Si ottiene che V A = 3V C = 3V B e T A = T C = 3T B. Da queste relazioni si ricavano i valori dei calori scambiati per le tre trasformazioni: Quindi il rendimento η del ciclo è pari a = ( ) = 2 ; = ( ) = 2 ; = & ln ) ) = 3& ln3. η = 1 * A B * * B C + C A * = 1 * A B * * B C + C A * = 0.21.

3 Esercizio 2 a) Applicando il principio di sovrapposizione: -. = = /πε 0 (23) 4 /πε 0 (3) 4 /πε N. b) Applicando il principio di sovrapposizione: 8 = = /πε 0 23 /πε 0 3 /πε J. c) Ricordando che la capacità C di una sfera di raggio R vale ; = 4πε& e imponendo che le due sfere collegate abbiano lo stesso potenziale otteniamo = 4πε& ; = 4πε&. Ricordando il principio di conservazione della carica elettrica, + = 2 =, si ricava il risultato richiesto: = 2& & +& = = C; = 2& & +& = = C.

4 Esercizio 3 a) La forza che agisce sulla particella in movimento vale F = qv B. Poiché tale forza è perpendicolare alla velocità, essa non compie lavoro, pertanto l energia cinetica della particella si conserva durante il moto. Varia invece la quantità di moto in quanto nel tempo la forza esercita un impulso non nullo. b) Durante il transitorio gli elettroni vengono deviati dalla forza di Lorentz F = qv B = -ev B, come mostrato in figura (si ricordi che il verso della corrente è definito per convenzione come quello delle cariche positive): Si instaura pertanto un campo elettrico trasversale E H che, esaurito il transitorio, esercita sugli elettroni una forza tale da bilanciare quella di Lorentz. A regime si ha perciò -ee H = -ev B, da cui V = V P V Q = E H d = vbd = JBd/en > 0, dove si è usata la relazione J = nqv.

5 Esercizio 4 a) Applicando l espressione di Laplace si ricava che il campo B generato dalla spira di raggio R 1 è parallelo all asse della spira, orientato verso l alto (facendo riferimento alla figura dell esercizio) e di modulo B pari a? = µ A B A = 62.8 µt. b) Il momento m di dipolo magnetico della spira di raggio R 2 è pari a: E = F GH =π& F H, dove n è il versore diretto perpendicolarmente alla spira più piccola e rivolto verso l alto (facendo riferimento alla figura dell esercizio). Il momento M delle forze che agiscono sulla spira più piccola vale I = E J = 0. c) L energia potenziale E p di una spira in un campo magnetico vale: K L = E J. Da questa relazione si ottiene che il lavoro che è necessario compiere per ruotare la spira più piccola di 180 vale 8 = K L = 2E J = 39 µj.