Trasformazioni Elementari 2D

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1 Traformazioni Elementari 2D Le traformazioni affini ono operazioni di ROTAZIONE, TRASLAZIONE e SCALATURA che permettono di modificare l oggetto 2D o 3D. Una traformazione è definita da una matrice T. Applicare una traformazione T a un punto P(,) in uno pazio 2D o 3D ignifica moltiplicare la matrice per il vettore che rappreenta P. In generale un punto traformato P (, ) è dato da: P' [ ', T A B ',] [,,] T PT

2 Traformazioni Elementari: tralazione L operazione di tralazione è quella che muove un oggetto dalla ua poizione iniziale. Siano d, d i fattori di tralazione. La matrice di traformazione T è: T d Quindi il punto tralato P arà determinato dalla eguente relazione: d P ' [ ', ',] [ + d, + d,] PT 2

3 3 Traformazioni Elementari: cala La traformazione di cala è quella che epande o comprime un oggetto. La matrice che definice tale traformazione è la eguente: S Il punto P determinato dalla calatura di P arà:,], [,], [ ' PS P

4 Traformazioni Elementari: rotazione La rotazione intorno all origine, di un punto P e angolo è definita da: R La rotazione di P è quindi definita da: P' PR [,,] ' [ ', ',] ' + 4

5 Compoizione di traformazioni Definite le traformazioni elementari, è poibile realizzare una traformazione complea tramite compoizioni di operazioni elementari. Una traformazione complea è quindi ì definita: P PT T 2 T 3 T n Le matrici elementari ono tutte invertibili, ed in particolare le matrici di rotazione ono ortogonali cioè l invera è uguale alla trapota. 5

6 6 Compoizione di traformazioni (2) Le matrici invere per ciacuna traformazione ono: / / R S d d T

7 Eempio: Rotazione di un punto P (,) di un angolo E neceario realizzare tale traformazione come compoizione di traformazioni elementari. 7

8 Eempio (2): Eeguo una tralazione del punto nell origine, ruoto dell angolo celto, eeguo una tralazione invera per riportare l oggetto nella poizione originale. T - R T 8

9 9 Eempio (3): La matrice che definice queta traformazione arà: CTM tack di matrici teta dello tack } ] ) {[( ' R T PT P T - T R CTM current tranformation matri

10 Traformazioni Elementari 3D Le traformazioni geometriche 3D ono analoghe a quelle 2D. La truttura delle matrici di traformazioni 3D è: T Quindi P (,,z,) arà determinato da P(,,z,)*T. A B

11 Traformazioni Elementari 3D: tralazione La tralazione di un punto 3D è governata dalla eguente matrice: T d d dz Per cui P [,,z,]p*t

12 2 Traformazioni Elementari 3D: cala La matrice che definice la calatura 3D è la eguente: S Per cui P [,,z,]p*s

13 3 Traformazioi Elementari 3D: rotazione La rotazione può eere effettuata ripetto a ciacuno degli ai: z R R R

14 Traformazioni Elementari 3D Analogamente al cao 2D, la combinazione di traformazioni elementari 3D porta a traformazioni complee in uno pazio tridimenionale. In OpengGL le traformazioni elementari ono realizzate tramite la chiamata alle eguenti funzioni: glrotatef( ); gltranlatef( ); glscalef( ); Ognuna di ee definice la relativa matrice di elementare. Tali matrici vengono applicate ai punti dell oggetto da viualizzare e ono Memorizzate in ciò che i chiama CTM current tranformation matri che conite in uno tack vero e proprio. 4